初中数学人教版九下28.1 锐角三角函数（第3课时） 教案
文档属性
| 名称 | 初中数学人教版九下28.1 锐角三角函数（第3课时） 教案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 124.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-06 14:29:59 | ||
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文档简介
28.1 锐角三角函数
（第3课时）
一、教学内容分析
本课时包括两部分主要内容，一是特殊锐角的三角函数值，二是用计算器求锐角三角函数值．前者在学习锐角的正弦时，已经得到了三个特殊角（30°，45°和60°角）的正弦值，结合余弦和正切的定义，类比即可得到另外两种三角函数值．用计算器求锐角三角函数值，使解题场景更加真实化，会基本操作即可，涉及求锐角的三角函数值和根据锐角的三角函数值求角度．
二、教学目标
1．根据锐角三角函数的定义，探索得到30°，45°，60°角的正弦、余弦和正切值．
2．能进行与特殊角的三角函数相关的计算，能根据特殊角的三角函数值得到角度．
3．会使用计算器求锐角的三角函数值，根据锐角的三角函数值计算角度．
三、教学重难点
【重点】掌握30°，45°，60°角的正弦、余弦和正切值．
【难点】会使用计算器进行锐角三角函数的相关计算．
四、教学方法
自主探究法．引导学生利用所学知识探索30°，45°，60°角的三角函数值，并进行相关计算．对于计算器的使用，可以阅读使用说明书，或参考教材中介绍的方法步骤，通过大量练习形成熟练的技能．
五、教学过程
（一）新课导入
内容：回顾旧知，做好铺垫
思考：
1．在数学中经常用到三角板，一副三角板中除了直角，还有哪几个不同的角度？
2．一个三角板中，三条边长（从小到大）之比是多少？这是根据什么得到的？
3．在前面的学习中，我们得到了哪些特殊角的三角函数值？这是根据什么得到的？
【提示】1．30°，45°，60°三个不同的角度，我们称之为特殊角（下同）
2．如图，在含有30°和60°角的直角三角形中，三条边长之比是1：：2；
在含有45°角的直角三角形中，三条边长之比是1：1：．
主要依据是勾股定理，含有30°角的直角三角形性质，等腰三角形性质．
3．sin30°=，sin45°=，sin60°=．
主要依据是锐角的正弦的概念．
意图：通过三角板引出三个特殊锐角，作为研究对象．复习相关的知识，得到在三角板中的三边之比，为求特殊角的三角函数奠定基础，并直接得到特殊角的正弦值，减少重复教学内容，也为求它们的余弦和正切值提供思路．
（二）新课讲授
活动一 求特殊角的余弦和正切值
探索：类比求30°，45°，60°角的正弦值的方法，求它们的余弦和正切值．
【说明】学生独立完成为主，同伴互助为辅，交流结果，并进行总结，填写下表．
总结：特殊角的三角函数值一览表：
锐角 A锐角三角函数 30° 45° 60°
sin A
cos A
tan A 1
意图：基于已有的知识基础，求特殊角的三角函数值并不困难，在求解过程中让学生进一步强化应用锐角的正弦、余弦和正切的定义式解题．
活动二 利用特殊角的三角函数值解题
例3 求下列各式的值：
(1) cos260°+sin260°；
(2)
教师提示：cos260°表示(cos60°)2，即 (cos60°) (cos60°) ．
【说明】在教师引导下，以学生为主进行解答，师生共同订正，规范解题步骤．
解：（1）cos260°+sin260°=
（2）
归纳：求含有特殊角三角函数的算式的值，先把三角函数的值代入算式，再进行计算．
例4 （1）如图1，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AB =， BC =，求∠A的度数．
（2）如图2，AO是圆锥的高，OB是底面半径，AO =OB，求α的度数．
图1 图2
思考：这两个问题与前面例题中的两个问题都涉及到锐角三角函数，从函数的角度来看，上面的例题中已知自变量（角的度数）求（三角）函数值．从这个角度看，本例有什么不同？
【提示】本例由边长求角度，要先求出锐角的三角函数值，再求自变量（锐角的度数）．
解（1）在图1中，
∵
∴∠A = 45°．
（2）在图2中，
∵tanα=，
∴α= 60°．
归纳：像其他函数一样，三角函数既可以已知自变量求函数值，也可以由函数值求自变量．
意图：一方面学习用特殊角的三角函数值解题，另一方面加深对三角函数的函数特征的理解．
活动三 用计算器求锐角三角函数值
问题：除了特殊角的三角函数值外，一般锐角的三角函数值怎样求得呢？
阅读：学生阅读教材第67-68页两个“练习”之间的内容，或者阅读科学计算器中关于锐角三角函数的使用说明．
操作：一边阅读文本，一边操作计算器，不明白的地方可以讨论解决．
归纳：1．用计算器求锐角的三角函数，操作步骤如下：
第一步：按计算器上的三角函数名称键；
第二步：输入角度值（可使用° ′ ″键）；
第三步：屏幕显示三角函数值．
2．根据三角函数值用计算器求锐角，操作步骤如下：
第一步：先后按计算器上的2nd F和三角函数名称键；
第二步：输入三角函数值；
第三步：屏幕显示锐角度数（可使用2nd F和° ′ ″键，把结果单位改为度分秒）．
意图：通过阅读，自学计算器的使用，既能提高阅读数学资料和操作文具的水平，又能锻炼自主学习的能力，达到教师讲解无法达成的效果．
（三）课堂练习
1．教材第67页练习第1-2题．（配套“活动二”完成）
2．教材第68页练习第1-2题．（配套“活动三”完成）
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，求∠A，∠B的度数．
解：由勾股定理，得
∴∠A=30°，∠B = 90°－∠A = 90°－30°=60°．
4. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠BAC = 42°24′，∠BAC 的平分线 AT = 14.7 cm，用计算器求 AC 的长(精确到0.001cm).
解：∵ AT 平分∠BAC，且∠BAC = 42°24′，
∴ ∠CAT =∠BAC = 21°12′．
在 Rt△ACT 中 ，cos∠CAT =，
∴ AC = AT·cos∠CAT = 14.7×cos21°12′≈13.705(cm)．
意图：教材中配套的练习题用于巩固基础知识，规范解题步骤．补充的两道练习题，是对基础知识（特殊角的三角函数值）和基本技能（用计算器求锐角的三角函数值）的拓展提升．
（四）课堂小结
教师提问：
1．本节课学习了哪些知识？
2．用这些知识能够解决哪些数学问题？
3．从“函数思想”和“数形结合思想”的角度，谈谈自己有什么收获？
在学生自由发言的基础上，与同伴进行交流，师生共同总结．
意图：前两个问题梳理知识体系，力求完备；后一个问题突出数学思想，鼓励学生根据自己的真实感受大胆发言，不追求统一标准答案．
（五）作业布置
A组：教材第69页习题28.1第3-5题．
B组：教材第69页习题28.1第7-9题．
意图：分层作业，照顾不同学情的学生．其中A组题目注重基础知识和基本技能，B组题目有一定综合性，供学有余力的同学选用．
六、板书设计
七、课后反思
除了学习注重对基础知识（特殊角的三角函数值）和基本技能（用计算器求锐角的三角函数值）外，注重数学思想方法，比如三角函数所体现的函数思想，几何图形（特别是直角三角形）与表达式（三角函数式）之间的数形结合思想，以及由计算器操作和探索过程中积累的数学活动经验．
1
（第3课时）
一、教学内容分析
本课时包括两部分主要内容，一是特殊锐角的三角函数值，二是用计算器求锐角三角函数值．前者在学习锐角的正弦时，已经得到了三个特殊角（30°，45°和60°角）的正弦值，结合余弦和正切的定义，类比即可得到另外两种三角函数值．用计算器求锐角三角函数值，使解题场景更加真实化，会基本操作即可，涉及求锐角的三角函数值和根据锐角的三角函数值求角度．
二、教学目标
1．根据锐角三角函数的定义，探索得到30°，45°，60°角的正弦、余弦和正切值．
2．能进行与特殊角的三角函数相关的计算，能根据特殊角的三角函数值得到角度．
3．会使用计算器求锐角的三角函数值，根据锐角的三角函数值计算角度．
三、教学重难点
【重点】掌握30°，45°，60°角的正弦、余弦和正切值．
【难点】会使用计算器进行锐角三角函数的相关计算．
四、教学方法
自主探究法．引导学生利用所学知识探索30°，45°，60°角的三角函数值，并进行相关计算．对于计算器的使用，可以阅读使用说明书，或参考教材中介绍的方法步骤，通过大量练习形成熟练的技能．
五、教学过程
（一）新课导入
内容：回顾旧知，做好铺垫
思考：
1．在数学中经常用到三角板，一副三角板中除了直角，还有哪几个不同的角度？
2．一个三角板中，三条边长（从小到大）之比是多少？这是根据什么得到的？
3．在前面的学习中，我们得到了哪些特殊角的三角函数值？这是根据什么得到的？
【提示】1．30°，45°，60°三个不同的角度，我们称之为特殊角（下同）
2．如图，在含有30°和60°角的直角三角形中，三条边长之比是1：：2；
在含有45°角的直角三角形中，三条边长之比是1：1：．
主要依据是勾股定理，含有30°角的直角三角形性质，等腰三角形性质．
3．sin30°=，sin45°=，sin60°=．
主要依据是锐角的正弦的概念．
意图：通过三角板引出三个特殊锐角，作为研究对象．复习相关的知识，得到在三角板中的三边之比，为求特殊角的三角函数奠定基础，并直接得到特殊角的正弦值，减少重复教学内容，也为求它们的余弦和正切值提供思路．
（二）新课讲授
活动一 求特殊角的余弦和正切值
探索：类比求30°，45°，60°角的正弦值的方法，求它们的余弦和正切值．
【说明】学生独立完成为主，同伴互助为辅，交流结果，并进行总结，填写下表．
总结：特殊角的三角函数值一览表：
锐角 A锐角三角函数 30° 45° 60°
sin A
cos A
tan A 1
意图：基于已有的知识基础，求特殊角的三角函数值并不困难，在求解过程中让学生进一步强化应用锐角的正弦、余弦和正切的定义式解题．
活动二 利用特殊角的三角函数值解题
例3 求下列各式的值：
(1) cos260°+sin260°；
(2)
教师提示：cos260°表示(cos60°)2，即 (cos60°) (cos60°) ．
【说明】在教师引导下，以学生为主进行解答，师生共同订正，规范解题步骤．
解：（1）cos260°+sin260°=
（2）
归纳：求含有特殊角三角函数的算式的值，先把三角函数的值代入算式，再进行计算．
例4 （1）如图1，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AB =， BC =，求∠A的度数．
（2）如图2，AO是圆锥的高，OB是底面半径，AO =OB，求α的度数．
图1 图2
思考：这两个问题与前面例题中的两个问题都涉及到锐角三角函数，从函数的角度来看，上面的例题中已知自变量（角的度数）求（三角）函数值．从这个角度看，本例有什么不同？
【提示】本例由边长求角度，要先求出锐角的三角函数值，再求自变量（锐角的度数）．
解（1）在图1中，
∵
∴∠A = 45°．
（2）在图2中，
∵tanα=，
∴α= 60°．
归纳：像其他函数一样，三角函数既可以已知自变量求函数值，也可以由函数值求自变量．
意图：一方面学习用特殊角的三角函数值解题，另一方面加深对三角函数的函数特征的理解．
活动三 用计算器求锐角三角函数值
问题：除了特殊角的三角函数值外，一般锐角的三角函数值怎样求得呢？
阅读：学生阅读教材第67-68页两个“练习”之间的内容，或者阅读科学计算器中关于锐角三角函数的使用说明．
操作：一边阅读文本，一边操作计算器，不明白的地方可以讨论解决．
归纳：1．用计算器求锐角的三角函数，操作步骤如下：
第一步：按计算器上的三角函数名称键；
第二步：输入角度值（可使用° ′ ″键）；
第三步：屏幕显示三角函数值．
2．根据三角函数值用计算器求锐角，操作步骤如下：
第一步：先后按计算器上的2nd F和三角函数名称键；
第二步：输入三角函数值；
第三步：屏幕显示锐角度数（可使用2nd F和° ′ ″键，把结果单位改为度分秒）．
意图：通过阅读，自学计算器的使用，既能提高阅读数学资料和操作文具的水平，又能锻炼自主学习的能力，达到教师讲解无法达成的效果．
（三）课堂练习
1．教材第67页练习第1-2题．（配套“活动二”完成）
2．教材第68页练习第1-2题．（配套“活动三”完成）
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，求∠A，∠B的度数．
解：由勾股定理，得
∴∠A=30°，∠B = 90°－∠A = 90°－30°=60°．
4. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠BAC = 42°24′，∠BAC 的平分线 AT = 14.7 cm，用计算器求 AC 的长(精确到0.001cm).
解：∵ AT 平分∠BAC，且∠BAC = 42°24′，
∴ ∠CAT =∠BAC = 21°12′．
在 Rt△ACT 中 ，cos∠CAT =，
∴ AC = AT·cos∠CAT = 14.7×cos21°12′≈13.705(cm)．
意图：教材中配套的练习题用于巩固基础知识，规范解题步骤．补充的两道练习题，是对基础知识（特殊角的三角函数值）和基本技能（用计算器求锐角的三角函数值）的拓展提升．
（四）课堂小结
教师提问：
1．本节课学习了哪些知识？
2．用这些知识能够解决哪些数学问题？
3．从“函数思想”和“数形结合思想”的角度，谈谈自己有什么收获？
在学生自由发言的基础上，与同伴进行交流，师生共同总结．
意图：前两个问题梳理知识体系，力求完备；后一个问题突出数学思想，鼓励学生根据自己的真实感受大胆发言，不追求统一标准答案．
（五）作业布置
A组：教材第69页习题28.1第3-5题．
B组：教材第69页习题28.1第7-9题．
意图：分层作业，照顾不同学情的学生．其中A组题目注重基础知识和基本技能，B组题目有一定综合性，供学有余力的同学选用．
六、板书设计
七、课后反思
除了学习注重对基础知识（特殊角的三角函数值）和基本技能（用计算器求锐角的三角函数值）外，注重数学思想方法，比如三角函数所体现的函数思想，几何图形（特别是直角三角形）与表达式（三角函数式）之间的数形结合思想，以及由计算器操作和探索过程中积累的数学活动经验．
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