初中数学人教版九下28.1 锐角三角函数（第2课时） 教案

28.1 锐角三角函数
（第2课时）
一、教学内容分析
上节课对于锐角的正弦进行了详细的研究，本节课所学的余弦和正切与之有很多相似之处，学生在已有知识经验的基础上，比较容易理解，故本节课不再像学习正弦那样，由教师引导从特例到一般逐步深化，而是类比正弦让学生论述两边比是定值，从而得到余弦和正切的概念，进一步利用锐角三角函数的概念解答简单问题．
二、教学目标
1．类比正弦概念的形成过程，学习余弦、正切等锐角三角函数的概念．
2．在学习过程中体会类比思想与函数思想．
三、教学重难点
【重点】理解余弦、正切等锐角三角函数的概念，会利用定义求三角函数值．
【难点】体会锐角三角函数的函数特征．
四、教学方法
问题启发法．在教师问题的引导下，启发学生类比上节课所学的正弦知识，学习余弦和正切的概念，并利用概念求锐角的三角函数值．
五、教学过程
（一）新课导入
探究：Rt△ABC和Rt△A＇B＇C＇中，∠C=∠C＇=90°，∠A=∠A＇，∠A和∠A＇的对边与邻边如图所示．
（1）与有什么关系？请给出证明．
（2）与有什么关系？请给出证明．
归纳：在直角三角形中，当锐角的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，它的邻边与斜边的比是一个定值，它的对边与邻边的比也是一个定值．
意图：类比正弦研究直角三角形中的两边比，借助相似说明其两边比的确定性．
效果：突出类比思想在学习新知识中的重要价值．
（二）新课讲授
活动一 学习余弦和正切的概念
通过以上探索，对发现的两个“定值”分别给出定义：
余弦的定义：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cos A=；∠B的余弦，记作cosB，即cos B=．
正切的定义：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tan A=；∠B的正切，记作tanB，即tan B=．
意图：类比锐角的正弦定义的方法，得到锐角的余弦和正切的定义．
效果：把直角三角形的边用对角顶点的小写字母表示，方便记忆，体现了字母的简洁性特征．
活动二 学习三角函数的概念
探索：我们学习了关于直角三角形中两边比的三个概念分别是什么？它们与三角形的大小有关系吗？与角度的大小有关系吗？有什么关系？
归纳：锐角的正弦、余弦和正切与三角形的大小没有关系，与角度的大小有关系，随着角度的大小而变化，即对于锐角的每一个确定的值，它的正弦、余弦和正切都有唯一确定的值与之对应，从而形成了函数关系，即锐角的正弦、余弦和正切是这个锐角的函数，锐角的度数是自变量．
命名：锐角的正弦、余弦和正切称为这个锐角的三角函数．
讨论：如果锐角不在直角三角形中，那么它的三角函数值还存在吗？
总结：锐角的三角函数是由锐角的大小决定的，即使不在直角三角形中，它的三角函数依然存在，放在直角三角形中更方便利用定义式求解．
意图：通过对锐角正弦、余弦和正切的探索与讨论，更加深入的认识三角函数的函数特征．
效果：在具体的探索与讨论过程中，让学生畅所欲言，通过合作分享明确三角函数的概念．
活动三 求锐角三角函数的值
例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sinA，cosA，tanA的值．
由学生独立解答，师生共同订正格式与步骤．
解：由勾股定理，得
因此
思考：
1．能求∠B的三个三角函数的值吗？
2．如果改变题目的条件，使三角函数的值不变，那么条件可以怎样改变？从以下角度思考：
（1）换掉一条边长，即只保留“AB=10，BC=6”中的一个条件，再增加另一个条件；
（2）改变两条边长，即“AB=10，BC=6”两个条件中的数据都改为其他数，有多少种改法，这些不同的改法有什么共同特点？
（3）不给出两条边长的具体数值，可以吗？尝试写出一个符合题意的条件，并进行解答；
（4）只给出∠B的一个三角函数值，没有关于边长的条件，可以吗？尝试编题并解答．
3．给出∠B的一个三角函数值，以及“AB=10，BC=6”中的一个条件，能求出什么？
（1）尝试编题并解答．
（2）对比上述两个锐角的三角函数值，发现什么等量关系？为什么会有这种关系？
【提示】1．
2．（1）用“AC=8”换掉“AB=10，BC=6”中的任何一个条件均可．
（2）有无数种改法，比如：AB=5，BC=3；或AB=15，BC=9；或AB=1，BC=0.6；等等．
这些不同的改法中，AB：BC=5：3．
（3）把“AB=10，BC=6”改为“AB：BC=5：3”．
解：设AB=5k，则BC=3k，
由勾股定理，得
因此
（4）例：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，求sinA，cosA，tanA的值．
解：由得，若设AB=5k，则BC=3k，
由勾股定理，得
因此
3．能求其他未知的边长和锐角三角函数值．
（1）例：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=6，
求AC，AB以及sinA，cosA，tanA，sinB，tanB的值．
解：由得，若设AB=5k，则BC=3k，
由BC=6，得3k=6，解得k=2，则AB=10．
由勾股定理，得
因此
（2）sinA=cosB，cosA=sinB，tanA·tanB=1．
由锐角的正弦、余弦和正切定义，可知：
意图：通过教材中例题的解答，培养良好的基本解题规范，在此基础上对问题进行变式思考，深入探索在不同条件下锐角三角函数的解法，初步探索互余两角的三角函数关系，并为解直角三角形做铺垫．
效果：学生在教师设置的思考题下，思维逐步递进，通过发散思维和求异思维，训练学生数学思维品质的深刻性、广阔性和灵活性．
（三）课堂练习
1．教材第65页练习第1-2题．
2．如图，△ABC 中一边 BC 与以 AC 为直径的 ⊙O相切与点 C，若 BC=4，AB=5，则sinA=______，cosB=_____，tanA=______．
3．如图，在 Rt△ABC 中，斜边 AB 的长为 m，∠A=35°，则直角边 BC 的长是（ A ）．
A． B． C． D．
4．如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD.BC相交于点P，若 ，那么（ B ）．
5．如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，cosA =，求 sinA，tanA 的值．
解：
设 AC=15k，则 AB = 17k，
由勾股定理，得
∴
意图：通过在直角三角形中求锐角的三角函数，进一步理解三种常见三角函数的概念．
效果：针对学生的解答情况，及时反馈信息，调整教学方式和教学内容．
（四）课堂小结
1．综合两节课所学内容，说一下常见的三种锐角三角函数的求法．
2．为什么说锐角三角函数是一种函数，谁是谁的函数？谁是自变量？
3．结合本节课所学内容，谈一下你对类比思想的认识．
在学生自由发言的基础上，与同伴进行交流，师生共同总结．
意图：鼓励学生积极发言，采用适当方法梳理概括本节知识．
效果：在独立解题和同伴交流的过程中，培养学生总结梳理和分享质疑的能力．
（五）作业布置
A组：1．教材第68页习题28.1第1题（只求余弦值和正切值），第2题．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上的一点，CD=3，AD=BD=5．求∠A的三个三角函数值．
解：在Rt△BCD中，∵CD=3，BD=5，
∴BC=，
又AC=AD+CD=8，
∴AB=，
∴sinA=，
cosA=，
tanA=．
B组：
1．教材第70页习题28.1第10题（证明结论）．
2．如图，在△ABC中，AB=AC=4，BC=6，求cosB，tanC的值．
（提示：求锐角的三角函数值的问题，当图形中没有直角三角形时，可以用恰当的方法构造直角三角形）
解：过点 A 作 AD⊥BC 于 D．
∵ AB = AC，
∴ BD = CD = 3，
在 Rt△ABD 中，
∴cosB=，tanC=．
意图：A组题目注重简单问题的解决，B组题目有一定综合性，供学有余力的同学选用．
效果：布置分层作业，照顾不同学情的学生，进行自我检测．
六、板书设计
七、课后反思
采用类比思想，从锐角的正弦开启锐角的余弦和正切的学习，由于在上节课中已经有了一定的基础，所以对于这两个概念的学习比较顺利．综合三个概念进行比较，归纳出它们共同具有的函数特征，是引入锐角三角函数概念的关键．对于课本例题进行多角度的变式思考，在求三角函数值、探究它们的关系的同时，培养学生良好的数学思维品质．
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