初中数学人教版九下28.1 锐角三角函数（第1课时） 教案

28.1 锐角三角函数
（第1课时）
一、教学内容分析
前面已经研究了直角三角形中三边之间的关系、两个锐角之间的关系，本章内容在此基础上继续研究直角三角形的边与锐角之间的关系，并把一个锐角与其对边、斜边的关系，作为第一个研究对象，即得正弦，成为研究锐角三角函数的起点．
二、教学目标
1．构建探索锐角正弦的定义方法，初步理解锐角的正弦概念．
2．在直角三角形中，会求锐角的正弦值．
三、教学重难点
【重点】初步理解锐角正弦的概念．
【难点】理解直角三角形中锐角的对边与斜边的比是定值．
四、教学方法
启发法．在已有知识基础上，通过问题的设置，启发学生积极思考问题，逐步开展对新知识的学习．
五、教学过程
（一）新课导入
内容：通过直角三角形元素关系，得到本章研究方向．
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，一般把∠A，∠B，∠C的对边分别表示为a，b，c．
思考：1．直角三角形的边与边之间有什么关系？
2．直角三角形的角与角之间有什么关系？
3．除了边与边之间的关系、角与角之间的关系，还有什么关系我们没有研究？
【提示】1．数量关系：（勾股定理）；位置关系：a⊥b．
2．∠A+∠B+∠C=180°；两个锐角的关系：∠A+∠B=90°．
3．边与角之间的关系．
意图：直角三角形的边和角两种几何元素有三种不同的组合关系，即边与边之间的关系、角与角之间的关系，以及边与角之间的关系，既然前两种关系都已经学习了，那么第三种关系就成为需要弥补的知识，由此引导学生把直角三角形的边与角之间关系作为研究对象．
效果：使学生很自然地把新知识充实到已有知识结构中，使之更加完备．
（二）新课讲授
活动一 在现实情境中探究问题
问题：如图，为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌，现测得斜坡的坡角(∠A)为30°，为使出水口的高度为35 m，那么需要准备多长的水管？
探究：把以上问题归结为数学问题，可以怎样描述？怎样解答？
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35 m，求AB的长．
【提示】根据“直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半”得到答案：需要准备70 m长的水管．
思考：1．如果使出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管？ 请归结为数学问题，进行解答．
2． 由这些结果，你能发现30°角的对边与斜边的比值有什么关系？
【提示】根据“直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半”得到答案：需要准备100 m长的水管．
归纳：在直角三角形中，如果一个锐角为30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边之比都等于．
意图：通过实际问题抽象出含有30°角的直角三角形进行研究，得到它的对边与斜边之比不变．
效果：让学生感受到锐角三角形函数来源于对现实问题的研究，通过特例加以说明．
活动二 变式探索，加深认识
变式1 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，求∠A的对边与斜边的比．
思考：这个结果是否随三角形的大小而变化？
变式2 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，求∠A的对边与斜边的比．
思考：这个结果是否随三角形的大小而变化？
猜想：在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，会有什么结论？
归纳：在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，它的对边与斜边的比是一个固定值．
演示：如图（按Ctrl点击可链接到几何画板课件），用几何画板演示，观察猜想所得结论是否成立．
只改变点B的位置，∠A大小不变，观察BC与AB的比值是否改变．
意图：通过含有45°角和60°的直角三角形进行研究，进一步认识它的对边与斜边之比不变．
效果：让学生通过更多特例加深对结论的认识，并为后续得到特殊角的正弦值做好铺垫．
活动三 借助相似，证明结论
探究：任意画Rt△ABC和Rt△A＇B＇C＇中，使得∠C=∠C＇=90°， ∠A=∠A＇，那么与有什么关系？
归纳：在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．
意图：通过证明，印证结论的正确性．
效果：遵循“特殊——一般”的思路进行研究，体现了探索新知的基本路径．
活动四 学习正弦的概念
定义：在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即
sin A=．
注意：
1． sinA不表示“sin”乘“A”，而是一个完整的符号，它表示∠A的正弦，习惯省去角的符号“∠”．
2．常见书写格式示例：sinA，sin30°，sinα，sin∠1，sin∠BAC．
3．sinA表示一个比，没有单位．
推导：根据正弦定义，结合前面的探索，你能得到哪几个特殊锐角的正弦值？
【提示】sin30°=，sin45°=，sin60°=．
思考：锐角∠A的正弦sinA 随着∠A的变化有什么变化？
总结：锐角∠A的正弦sinA 随着∠A的增大而增大．
例1 如图，在Rt△ABC 中，∠C = 90°，求 sin A和 sin B 的值．
思考：在图（1）中求 sin A和 sin B 的值，还缺少什么条件？
根据图（2）中的条件，可以直接求哪个角的正弦？
规范解题格式与步骤．
解：如图（1），在 Rt△ABC 中，由勾股定理得
因此，
如图（2），在 Rt△ABC 中，由勾股定理得
因此，
意图：对于前面探索得到的“固定值”给出名称，得到正弦的定义，并通过解答例题，直接应用定义求直角三角形中锐角的正弦值．
效果：承接探索结论，水到渠成的达到对正弦定义的认识，在解题中完成初步理解．
（三）课堂练习
1．判断题：
（1）sinB表示sin·B，即∠B的正弦与B的乘积．（ × ）
（2）如图1，sinB=．（ × ）
（3）如图2，sinA=0.4cm．（ × ）
（4）如图2，sinB=．（ √ ）
（5）如图3，sinA=．（ × ）
图1 图2 图3
2．在 Rt△ABC中，锐角 A 的对边和斜边同时扩大 100倍，sinA 的值( C )
A．扩大100倍 B．缩小到原来的 C．不变 D．不能确定
3．在 △ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=3，则sinA 的值为 ( C )
A． B． C． D．
4．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，
(1) sinB可以由哪两条线段之比表示？
(2) 若 AC = 5，CD = 3，求sinB的值．
解：（1）∵ ∠A =∠A，∠ADC =∠ACB = 90°，
∴△ACD ∽△ABC，∴∠ACD = ∠B，
∴
（2）
由(1)，得
意图：通过正误辨析，避免陷入对正弦定义的错误认识，其余题目限定在直角三角形中，适当控制难度．
效果：针对学生的解答和展示交流情况，查漏补缺，及时调整教学．
（四）课堂小结
教师提问：
1．锐角的正弦的定义是什么？有哪些需要注意的地方？
2．我们在探索定义的过程中，经历了哪些数学活动？
在学生自由发言的基础上，与同伴进行交流，师生共同总结．
意图：鼓励学生根据自己的真实感受大胆发言，既要梳理知识，又要回顾方法，积累数学活动经验．
效果：在独立解题和同伴交流的过程中，培养学生总结梳理和分享质疑的能力．
（五）作业布置
A组：
1．教材第64页练习第1，2题．
2．教材第68页此题28.1第1题（只求∠A，∠B的正弦值）．
B组：
1．教材第68页此题28.1第6题．
（思考：为什么添加“∠A≠45°”这一条件？）．
2．如图，已知点 P 的坐标是 (a，b)，则 sinα 等于 ( D )
A． B． C． D．
3．如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin B=．
请判断上述结论是否正确？如果正确，请说明理由；如果不正确，请求sin B的值．
解：不正确．
在Rt△ABD中，AD=BD=3，
则AB=，
∴sin B=．
（提示：也可以在Rt△AEF中求sin B，或求得∠B=45°后求sin B）
意图：A组题目注重正弦定义的直接运用，B组题目增加了问题背景，供学有余力的同学选用．
效果：布置分层作业，照顾不同学情的学生，进行自我检测．
六、板书设计
七、课后反思
本节课从数学知识内在的逻辑关系，指出问题的研究方向；通过具体的现实问题抽象得到基本图形，从特例开始探索猜想，归纳结论，借助几何画板验证，利用相似知识证明，都是为了得到正弦概念做充分的准备，可见整节课强化了研究的过程，让学生体会并积累数学活动经验，在达成“知识与技能”目标的同时，突出了“过程与方法”目标，培养了“情感态度价值观”．
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