初中数学人教版九下26.2 实际问题与反比例函数（第2课时） 教案

26.2 实际问题与反比例函数
（第2课时）
一、教学内容分析
数学作为“自然科学之母”，在其他学科尤其是物理等自然学科中有着广泛的应用，本课时主要是研究用反比例函数解决与物理相关的一些实际问题．通过运用反比例函数知识解决跨学科问题或其他综合性较强的问题，进一步体会数学的工具作用，深化对反比例函数模型的认识．
二、教学目标
1．运用反比例函数的知识解决跨学科问题的实际问题，提高发现问题、分析问题和解决问题的能力；
2．结合在实际问题的应用，进一步体会函数思想的重要作用．
三、教学重难点
【重点】运用反比例函数知识解决与物理相关的实际问题．
【难点】综合运用跨学科知识，建立反比例函数的数学模型．
四、教学方法
讲练结合法．通过对典型问题的分析，引导学生逐步学会利用反比例函数的知识解决跨学科或综合性实际问题，掌握一般解题思路，通过适当的配套练习，使学生在解题过程中熟悉基本方法，领会反比例函数在其他学科实际问题中的重要用途．
五、教学过程
（一）新课导入
内容：阿基米德与杠杆原理
公元前 3 世纪，有一位科学家说了这样一句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”
你们知道这位科学家是谁吗？这里蕴含什么样的原理呢？
【提示】阿基米德，杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂
意图：导出杠杆原理，为后续解题提供依据．
效果：阿基米德的名言激发学生的学习兴趣，并发现其中的科学道理．
（二）新课讲授
活动一 用杠杆原理中的反比例函数关系解决问题
例3：小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1200N和0.5m．
（1）动力F与动力臂l有怎样的函数关系？当动力臂为1.5m时，撬动石头至少需要多大的力？
（2）若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？
尝试：请参照“新课导入”中的相关结论，独立完成第（1）小题．
思考：这道小题求动力臂加长的长度，就要先求出动力臂需要多长．这样一来，从数学的角度来讲，本题是知道什么求什么？
【提示】知道动力F的大小，求动力臂l的长度．
解：（1）根据“杠杆定律”，得Fl = 1200×0.5，
所以F关于l的函数解析式为F=．
当l = l.5时，F=（N）．
对于函数F=，当l= 1.5m时，F = 400 N，此时杠杆平衡.因此，撬动石头至少需要400 N的力．
（2）对于函数F=，F随l的增大而减小．
因此，只要求出F = 200 N时对应的l的值，就能确定动力臂l至少应加长的量．
当F= 400×=200时，由 200=得：=3（m）．
对于函数F=，当l>0时，l越大，F越小．因此，若想用力不超过400 N的一半，则 动力臂至少要加长1.5 m．
思考：在物理中，我们知道，在阻力和阻力臂一定的情况下，动力臂越长就越省力，你能用反比例函数的知识对其进行解释吗？
【提示】由杠杆原理可知，在阻力和阻力臂一定的情况下，设二者乘积为k（k>0），则动力F与动力臂l存在反比例函数关系，关系式为F=．由函数性质，得动力F随着动力臂l的增长而减小，所以就会省力．
意图：通过具体问题探讨杠杆原理中蕴含的反比例函数关系．
效果：用数学的眼光观察现实世界，物理原理是现实世界客观规律的体现，可以用数学的视角进行解释说明．
活动二 用反比例函数解决电学问题
例4 一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110～220欧姆．已知电压为220伏，这个用电器的电路图如图所示．
(1)输出功率P与电阻R有怎样的函数关系？
(2)用电器输出功率的范围多少？
按如下步骤分析处理：
（1）我们在学习物理中电学知识时，有这样的公式PR=U2，其中P（瓦）表示用电器的输出功率，U（伏）表示两端的电压，R（欧姆）表示电阻．根据这个公式，可知在本题中输出功率P与电阻R之间是什么函数关系？为什么？写出它们之间的函数关系式．
（2）从数学的角度来讲，第（2）小题是已知什么，求什么？
（3）指名板演，其余在练习本上完成解答，之后师生共同订正格式步骤．
【说明】（1）由于P与R的乘积U2=2202，是一个常数，所以它们之间是反比例函数关系，其关系式为．
（2）已知自变量R的取值范围，求函数值P的取值范围．
（3）解题过程如下：
解：（1）根据电学知识，当 U=220 时，得
①
（2）根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小．
把电阻的最小值 R=110 代入 ① 式，得到功率的最大值
=440（W）；
把电阻的最大值 R=220 代入 ① 式，得到功率的最小值
=220（W）；
因此，用电器的功率为 220～440 W ．
思考：结合第（2）小题，想一想为什么收音机的音量、某些台灯的亮度以及电风扇的转速可以调节．
【提示】收音机的音量、台灯的亮度以及电风扇的转速由用电器的功率决定.
意图：通过具体问题探讨电学原理中蕴含的反比例函数关系．
效果：数学知识不但为自然科学奠定了研究基础，还可以作为工具和手段深化研究．
（三）课堂练习
1. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 p (kPa) 是气体体积 V (m3)的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于120 kPa 时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应( C )


A．不大于 B．小于 C．不小于 D．大于
2．一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶 对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力F甲，F乙，F丙、F丁，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若F乙＜F丙＜F甲＜F丁，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是（　B　）
A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学
3．某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的湿地．为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着路线铺了若干块木板，构筑成一条临时通道．你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S（m2）的变化，人和木板对地面的压强p（Pa）将如何变化？如果人和木板对湿地地面的压力合计600 N，
（1）木板面积 S 与人和木板对地面的压强 p 有怎样的函数关系？
（2）当木板面积为 0.2 m2 时，压强是多少？
（3）要求压强不超过 6 000 Pa，木板面积至少要多大？
解: （1）p 是 S 的反比例函数，，S＞0．
（2） 当 S=0.2 m2 时，（Pa）．
（3）由，S＞0，得．
当 p =6 000 Pa 时，=0.1（m2）．
木板面积至少要 0.1 m2．
4．在某一电路中，电源电压 U 保持不变，电流 I（A）与电阻 R（Ω）之间的函数关系如图所示．
（1）写出 I 与 R 之间的函数解析式；
（2）结合图象回答当电路中的电流不超过 12 A 时，电路中电阻 R 的取值范围是多少Ω？
解：（1）由电学知识得．
由图可知，当 R=6 时，I=6，
所以　U=36（V），
即 I 与 R 之间的函数解析式为．
（2）（2）电流不超过 12 A，
即　≤12，
解得R≥3（Ω）．
所以当电路中的电流不超过 12 A 时，电路中电阻 R 大于或等于 3Ω．
意图：运用反比例函数知识解决物理学科相关的实际问题，规范解题步骤．
效果：通过反比例函数与物理知识的综合，体现不同学科之间的相互融合．
（四）课堂小结
教师提问：这节课你有哪些收获？（引导学生从三位目标角度总结收获）
（1）请说出反比例函数知识在哪些领域有所应用？
（2）本节课所讲的主要是通过公式得出的反比例函数关系，你还能举出这样的例子吗？
（3）通过运用反比例函数解决实际问题，你能说一下反比例函数与实际问题之间有什么关系吗？（怎样从实际问题中提取信息，建立反比例函数，它们与函数图象有什么关系）
在学生自由发言的基础上，与同伴进行交流，师生共同总结．
意图：鼓励学生根据自己的真实感受大胆发言，不追求共同答案．
效果：在独立解题和同伴交流的过程中，培养学生总结梳理和分享质疑的能力．
（五）作业布置
A组：教材第16页习题26.2第4.6题．
B组：教材第16页习题26.2第8.9题．
意图：A组题目注重基础问题的解决，B组题目综合性较强，供学有余力的同学选用．
效果：布置分层作业，照顾不同学情的学生，进行自我检测．
六、板书设计
七、课后反思
本节课主要是为了体现数学知识在其他学科中的应用，并在第一节课基础上增加实际问题的综合性，但不刻意加大难度．讲与练的结合，使课堂教学更加合理有效．学生经历观察、分析、讨论、交流的过程，结合物理学原理，逐步深化对问题的探究，通过师生共同对典型问题的分析讲解，找出问题中两个变量之间存在的反比例函数关系，利用反比例函数的知识解题．对于例题和习题的分析，在教师的引导下，以学生为主加以解决；对于练习题，学生尽量独立解决；对于有一定困难的同学，可以以同伴互助、师生互动的方式给予指导帮助．
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