初中数学人教版九下26.2 实际问题与反比例函数（第1课时） 教案

26.2 实际问题与反比例函数
（第1课时）
一、教学内容分析
同其他函数的学习内容相同，在研究函数及其图象的性质以后，运用函数性质解决实际问题．用反比例函数解决的实际问题范围较广，本课时主要是解决日常生活中的一些实际问题．让学生体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，体验数学的实用性，提高学数学的兴趣．
二、教学目标
1．运用反比例函数的知识解决日常生活中的实际问题，经历“实际问题——建立模型——拓展应用”的过程发展学生分析问题，解决问题的能力；
2．结合实际问题，进一步掌握反比例函数的概念和性质，进一步体会数学建模思想的重要意义．
三、教学重难点
【重点】运用反比例函数的意义和性质解决日常生活中实际问题．
【难点】从实际问题中寻找变量之间的关系，建立反比例函数的数学模型．
四、教学方法
讲练结合法．通过对典型问题的讲析，引导学生逐步学会利用反比例函数的知识解决实际问题的一般思路，再配以适当的练习，使学生在解题过程中熟悉解题思路，领会反比例函数在解决实际问题中的重要价值．
五、教学过程
（一）新课导入
内容：复习反比例函数的意义和性质
1．反比例函数解析式的一般形式是怎样的？式中每个字母的取值范围是什么？
2．反比例函数中k=_______；它的图象在______象限内；在每个象限内，y随x的增大而_______（增大还是减小）．
3．反比例函数中，当x=3时，y=_______；当x=______时，函数值为3．
4．一个圆柱体的体积为18 cm3，则它的底面积S（cm2）和高d（cm）之间的函数式为___________，d的取值范围为_____________．
【答案或提示】1．，其中自变量x≠0，函数值y≠0，常数k≠0．
2．；第二、四；增大．
3．4；4．
4．；d>0．
意图：以上几个问题涉及到反比例函数的解析式、字母取值范围、函数及其图象的性质、有一个变量求另一个变量等，是本节课解决实际问题的基础知识．最后一个问题与例1进行衔接．
效果：复习反比例函数的概念和性质，为应用它们解决实际问题奠定基础．
（二）新课讲授
活动一 探究几何问题中的反比例函数关系
例1 如图，某煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室．
（1）储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）有怎样的函数关系？
（2）公司决定把储存室的底面积S定为500 m2，施工队施工时应该向下掘进多深？
（3）当施工队按照（2）中的施工计划掘进到地下15m时，碰到了岩石，为了节约资金，公司临时改设计，把储存室的深改为15m，相应的，储存室的底面积改为多少才能满足需要．（保留两位小数）？
尝试：请参照“新课导入”中的“问题4”，独立完成第（1）小题．
解答：在完成第（1）小题的基础上，独立解答第（2）小题．
探究：第（3）小题文字叙述较长，请把它说得简单些，就第（1）小题中所得的函数关系式而言，就是已知什么求什么？
解：(1) 根据圆柱的体积公式，得S·d=104．
∴ S 关于d 的函数解析式为S= ．
(2)把S=500代入S=，得500=．
解得d=20（m）．
如果把储存室的底面积定为500 m2，施工时应向地下掘进20 m深．
根据题意，把d=15 代入 S=，得S=，
解得S≈666.67（m2）．
当储存室的深为15m，储存室的底面积应改为666.67m2才能满足需要．
归纳：把实际问题转化为数学模型，运用数学知识进行解答．
意图：以圆柱体容器的容积与高之间的关系作为研究对象，赋予现实问题情境，解题时从利用几何公式寻找数量关系，列出函数解析式进行解答．
效果：根据几何图形中蕴含的数学公式进行变形，得到函数关系式，为运用函数性质解题提供了条件．
活动二 解决日常生活中的反比例函数关系问题
例1 码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，把轮船装载完毕恰好用了8天时间．
（1）轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v (单位:吨/天)与卸货时间t (单位:天)之间有怎样的函数关系？
（2）由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5日内卸载完毕，那么平均每天至少要卸多少吨货物？
按如下步骤分析处理：
（1）本题涉及到装货和卸货，在这个过程中什么是保持不变的？设它为W，则W与卸货速度v、时间t之间有什么等量关系（公式）？
（2）根据公式变形，完成第（1）小题．
（3）假定货物正好在5日内卸载完毕，求平均每天卸多少吨货物，那么就相当于在函数解析式中已知什么求什么？
（4）写出第（2）小题的解题过程，订正格式步骤．
（5）请用不等式解答第（2）小题．
（6）进一步思考，如何用反比例函数知识解答下面的问题：
（变式）如果码头工人先以每天30吨的速度卸货两天后，由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过4日内卸载完毕，那么平均每天至少要卸多少吨货物？
（7）你能编一道已知v求t的问题吗？请给予解答．
【答案或提示】（1）货物的总量，设货物的总量为W（吨），则．
（2）设轮船上的货物总量为k吨，则根据已知条件有k=30×8=240，
所以v与t的函数关系式为 ．
（3）已知t=5，求v．
（4）把t=5代入，得.
从结果知，如果全部货物恰好用5天卸完，则平均每天卸载48吨.若货物在不超过5天内卸完，则平均每天至少要卸48吨．
（5）由题意知 t≤5，
由，得．
∵　t≤5，∴，
又　v＞0，∴　240≤5v．
∴　v≥48（吨）．
【说明】对比以上两种解答方法可知，在有些问题中，可以把不等关系转化为相等关系来解决．
（6）两天后的货物还有240-30×2=180（吨），
则v与t的函数关系式为 ．
把t=4代入，得．
所以平均每天至少要卸45吨货物．
（7）比如，如果每天卸40吨货物，那么几天卸完？
把v=40代入，得.
解得t=6．
所以如果每天卸40吨货物，那么6天卸完．
意图：引导学生分析数量关系，并用函数关系式表示出来，借助函数知识解决日常生活中的实际问题．
效果：通过具体问题的解答，进一步认识函数关系式与方程、不等式之间的关系，以及不等关系与相等关系的相互转化（比如第（2）小题把不等关系转化为相等关系来解决）．
（三）课堂练习
1-3．教材第15页练习第1-3题．
4．在河道治理工程中，某工程队负责开挖水渠，所需天数 y (天) 与每天完成的工程量 x (m/天) 的函数关系图象如图所示．
(1) 求 y 与 x 之间的函数表达式；
(2) 若该工程队有 2 台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠 15 m，问该工程队需用多少天才能完成此项任务？
(3) 如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内 (按 30天计算)完成任务，那么每天至少要完成多少 m？
【答案或提示】(1) 设，则k=24×50=1200，所以．
(2)由图象可知共需开挖水渠 24×50=1200 (m)，
2 台挖掘机需要 1200÷(2×15)=40 (天)．
(3)1200÷30=40 (m)，故每天至少要完成40 m．
意图：提高运用反比例函数解决日常生活中的实际问题的能力，规范解题步骤．
效果：针对学生的解答情况，及时反馈信息，调整教学方式和教学内容．
（四）课堂小结
教师提问：这节课你有哪些收获？
1．你学会了用反比例函数知识解决哪些实际问题？
2．用反比例函数知识解决这些实际问题的基本思路是怎样的？
3．通过本节课的学习，你对数学有了什么新的看法？
在学生自由发言的基础上，与同伴进行交流，师生共同总结．
意图：鼓励学生根据自己的真实感受大胆发言，不追求共同答案．
效果：在独立解题和同伴交流的过程中，培养学生总结梳理和分享质疑的能力．
（五）作业布置
A组：教材第16页习题26.2第2.3.5.7题．
B组：工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到800℃，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8min时，材料温度降为600℃．煅烧时温度y（℃）与时间x（min）成一次函数关系；锻造时，温度y（℃）与时间x（min）成反比例函数关系（如图）．已知该材料初始温度是32℃．
（1）分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围；
（2）根据工艺要求，当材料温度低于480℃时，须停止操作．那么锻造的操作时间有多长？
解：（1）停止加热时，设y=（k≠0），
由题意，得600=，解得k=4800，
当y=800时，解得x=6，
∴点B的坐标为（6，800）；
材料加热时，设y=ax+32（a≠0），
由题意得 800=6a+32， 解得 a=128，
∴材料加热时，y与x的函数关系式为y=128x+32（0≤x≤6）．
∴停止加热进行操作时y与x的函数关系式为（6＜x≤20）
（2）把y=480代入，解得x=10．
从开始加热到停止操作，共经历了10分钟．
答：从开始加热到停止操作，共经历了10分钟．
意图：A组题目注重简单问题的解决，B组题目有一定综合性，供学有余力的同学选用．
效果：布置分层作业，照顾不同学情的学生，进行自我检测．
六、板书设计
七、课后反思
由于学生在小学学习反比例和本章开始学习反比例函数概念时，都接触到了反比例函数的实际应用，所以本节课的知识对学生并不陌生．但是，教材中的例题难度较大，比以前学生接触的题目条件复杂，问题多变．为了取得良好的教学效果，对于例题做了不同的处理，例1在复习导入阶段已有铺垫，为的是分解难点，自然导入新课；例2在解决例题时，强调把问题简单化、数学化，实际上是抽象建立数学模型的过程，在原有问题解决后进行变式，并让学生拟题解答，训练发散思维．
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