初中数学人教版九下26.1.2 反比例函数的图象和性质（第2课时） 教案

26.1.2 反比例函数的图象和性质
（第2课时）
一、教学内容分析
上节课的主要任务是探索得到反比例函数及其图象的性质，按照学习研究数学的一般路径，本课时重在运用反比例函数及其图象的性质解决数学问题，下节课开始研究反比例函数在实际问题中的应用．从数形结合的角度设计问题，题目包括三种情况：一是以“数”为主，二是以“形”为主，三是 “数”“形”均有，本课时的研究以第二种情况为主，且不过多涉及与其他函数的综合．
二、教学目标
1．掌握反比例函数图象的性质．
2．探索反比例函数系数 k 的几何意义．
3．深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法．
三、教学重难点
【重点】运用反比例函数及其图象的性质解决数学问题．
【难点】探索反比例函数系数 k 的几何意义．
四、教学方法
通过例题示范和跟踪练习，强化对反比例函数及其图象的性质的认知．在分析和解决问题的过程中，以自主学习为主，培养独立解题的思维能力，通过练习使知识内化为解题技能，并从中感悟数学思想方法．
五、教学过程
（一）新课导入
内容：复习反比例函数及其图象的主要性质
1．反比例函数的图象是什么形状的？
2．反比例函数的性质与 k 有怎样的关系？
【答案或提示】
反比例函数的图象是双曲线
2．当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；
当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
意图：复习上节课所学内容，为本节课的学习奠定知识基础．
效果：通过复习，让学生尽快进入状态，提取相关知识储备．
（二）新课讲授
活动一 根据双曲线上点的坐标解题
例1（教科书第7页例3）已知反比例函数的图象经过点A（2，6）．
（1）这个函数的图象在哪几个象限？y随x的增大如何变化？
（2）点B（3，4），C，D（2，5）是否在这个函数的图象上？
思考：能否根据现有条件确定反比例函数解析式？为什么？
解答：学生独立完成此题，订正格式步骤．
解：（1）设这个反比例函数为．
把A（2，6）代入函数解析式，得．
解得k=12．
所以这个反比例函数为．
（2）分别把点B，C，D的坐标代入，可知点B，C的坐标满足函数解析式，点D的坐标不满足函数解析式，
所以点B，C在函数的图象上，点D不在这个函数的图象上．
讨论：如果不求反比例函数解析式，能否解答此题？
提示：（1）点A在第一象限，说明双曲线一定经过第一象限，则还经过第三象限，在各自象限内，图象从左到右呈下降趋势，所以y值随x值的增大而减小．
（2）求每个坐标中，横坐标与纵坐标的乘积，看它与点A（2，6）中横坐标与纵坐标的乘积是否相等，即可判断该点是否在反比例函数图象上．
备注：为规范解题步骤格式，一般不用此法做解答题，但可以做选择题和填空题，还可以快速找到解题思路，或用于检查解答题的结果．
意图：用待定系数法确定反比例函数解析式，并根据反比例函数性质解题．
效果：求函数解析式和利用函数性质解题，是所有函数问题的重要学习内容，本题体现了反比例函数性质的简单应用．
活动二 根据双曲线的图象特征解题
例2（教科书第7页例4）如图，它是反比例函数的图象的一支．根据图象回答下列问题：
（1）图象的另一支在哪个象限？常数m的取值范围是什么？
（2）在这个函数图象的某一支上任取两点A(a，b)，B(a′，b′)．如果a>a′，那么b和b′怎样的大小关系？
思考：能否根据现有条件确定反比例函数解析式？为什么？
解答：学生独立完成此题，订正格式步骤：
（1）反比例函数的图象只有两种可能，位于第一、三象限，或者位于第二、四象限．这个函数的图象的一支位于第一象限，则另一支必位于第三象限．
因为这个函数的图象位于第一、三象限，
所以m－5>0，解得m>5．
（2）因为m－5>0，在这个函数图象的一支上，y随x的增大而减小，
所以当a>a′时，b讨论：怎样直接利用图象解答第（2）小题？
变式：分别在两个分支上各取一点A（a，b）和B（a′，b′），那么原结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请说明新的结论．
提示：第（2）小题原结论不成立．当A（a，b）和B（a′，b′）在不同分支上时，若a>a′，则a为正数，a′为负数，所以A（a，b）在第一象限，B（a′，b′） 在第三象限，于是b为正数，b′为负数，因此b> b′．（由系数为正数也可得出此结论）
归纳：双曲线的增减性是两个分支在各自的象限内成立的，不能跨象限．
活动三 探索反比例函数系数 k 的几何意义
问题：1．如图，在反比例函数y=的图象上分别取点P（2，2），Q（4，1），分别作 x 轴、y 轴的垂线，设围成的两个矩形面积分别为S1，S2，探索S1与S2之间有什么关系．
P (2，2) ，Q (4，1)
S1的值
S2的值
S1与S2的关系
猜想 S1，S2 与 k的关系
P (－1，4)，Q(－2，2)
S1的值
S2的值
S1与S2的关系
猜想 S1，S2 与 k的关系
2. 若在反比例函数y=－中也用同样的方法分别取 P(－1，4)，Q(－2，2) ，探索S1，S2之间有什么关系．
猜想：过反比例函数图象上的任意一点，分别作 x 轴、y 轴的垂线，则围成的矩形面积S与k有怎样的关系？
【提示】S=|k|.
讨论：能否就k<0的情况给出证明？
证明：设点 P 的坐标为 (a，b)，
∵点 P (a，b) 在函数的图象上，
∴，即 ab=k.
若点 P 在第二象限，则 a<0，b>0，
∴ S矩形 AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k；
若点 P 在第四象限，则 a>0，b<0，
∴ S矩形 AOBP=PB·PA=a· (－b)=－ab=－k.
综上，S矩形 AOBP=|k|.
归纳：反比例函数的面积不变性
如图，对于反比例函数，若点 P 是其图象上的任意一点，作 PA 垂直于 y 轴，作PB 垂直于x 轴，矩形AOBP的面积与 k 的关系是S矩形AOBP=|k|.
推理：△PAO与△PBO的面积和 k 的关系是S△PAO=S△PBO=．
意图：探索反比例函数的面积不变性（反比例函数系数 k的几何意义），并简单应用该结论解决问题．
效果：通过反比例函数系数k与矩形或三角形的面积关系，进一步体会数形结合思想的重要意义．
（三）课堂练习
1．教科书第8页练习第1题．
2．教科书第8页练习第2题．
变式：（3）分别在两个分支上各取一点A（a，b）和B（a′，b′），那么原结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请说明新的结论．
3. 如图，在函数 (x＞0)的图象上有三点A，B ，C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴，y轴围成的矩形的面积分别为SA ，SB，SC，则（ C ）
A. SA >SB>SC B. SA追问：如果三个矩形的面积都相等，那么它们等于多少？（提示：SA =SB=SC=1）
4．如图，点A在反比例函数图象上，AC⊥x 轴于点 C，且△AOC 的面积为 2，求该反比例函数的解析式．
解：设反比例函数解析式为 (k<0)，点 A 的坐标为(xA，yA)，
∵点 A 在反比例函数图象上，∴ xA·yA＝|k|．
又∵ S△AOC＝|k|＝2，∴| k|＝4．
∵k<0，∴k＝－4，
∴反比例函数的表达式为．
意图：作为跟踪训练题目，可以把第1题放到“活动一”后使用，第2题放到“活动二”后使用，第3-4题放到“活动三”后使用，及时巩固所学知识．
效果：运用所学知识解决具体问题，既有仿照例题解答的第1-2题，又有根据结论进行解答的第3-4题，既能巩固新知，又能提升能力．
（四）课堂小结
内容：这节课你有哪些收获？
1．反比例函数及其图象有什么性质？
2．我们是如何探索“反比例函数系数 k的几何意义”？请概括大致步骤．
3．在探索性质和同伴交流的过程中，你学会了哪些学习方法和数学思想？
意图：教师应从知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三方面引导学生总结收获．
效果：对反比例函数及其图象的性质有更加全面深刻的认识，包括反比例函数系数 k的几何意义，促进学生三维目标的达标或提高．
（五）作业布置
A组：教材第9页习题26.1第5.9题．
3．如图，过反比例函数图象上的一点 P，作 PA⊥x 轴于A， PB⊥y 轴于B. 若四边形AOBP的面积为 10，则 k=____-10___ .
B组：
1．点（-1，y1），（2，y2），（3，y3）均在函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ D ）
A．y32. 若点 P 是反比例函数图象上的一点，过点 P 分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点 M，N，若四边形PMON 的面积为 3，则这个反比例函数的关系式是 .
3．如图，正比例函数y＝kx与反比例函数的图象交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则S△ABC＝　 16 　．
意图：A组题目注重基础知识的直接运用，B组题目有一定灵活性，适用于学有余力的同学．
效果：布置分层作业，照顾不同学情的学生，进行自我检测．
六、板书设计
七、课后反思
本节课主要是应用反比例函数的性质解决数学问题，在学中用，在用中学，从而加深对性质的认识．在探索和练习中，仍以自主学习为主，培养独立解题和思维能力，并从中感悟数学思想方法．通过多种形式的探索和解题，揭示性质的本质和注意点，形成知识技能，逐步提高从反比例函数图象中获取信息的能力，从学习中不断领会数形结合思想和转化思想的重要价值，对知识的认识得到升华．
反比例函数的性质
性质
反比例函数图象中比例系数k的几何意义
面积不变性：S矩形=|k|，S△=
当k＞0时，两支分别位于第一、三象限，
在每一象限内，y的值随x的增大而减小
当k<0时，两支分别位于第二、四象限，
在每一象限内，y的值随x的增大而增大
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