初中数学人教版九下26.1.2 反比例函数的图象和性质（第1课时） 教案
文档属性
| 名称 | 初中数学人教版九下26.1.2 反比例函数的图象和性质（第1课时） 教案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 219.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-06 14:38:19 | ||
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文档简介
26.1.2 反比例函数的图象和性质
（第1课时）
一、教学内容分析
学生已经有了探索一次函数与二次函数的基本活动经验，掌握了用描点法画函数图象，对数形结合思想在函数图象学习中的重要意义也有一定认识，这为本节课的学习提供了重要保障．但是，反比例函数图象是一种不连续的曲线图象，导致它的很多性质具有独特之处，这些应成为学习的着力点．
二、教学目标
1．能用描点法画出反比例函数的图象，领会函数解析式与函数图象之间的联系．
2．结合图象，探索反比例函数图象的性质，体会数形结合及转化的思想方法．
三、教学重难点
【重点】探索反比例函数图象的性质，体会数形结合及转化的思想方法．
【难点】从数和形的角度认识反比例函数图象的形状和性质．
四、教学方法
探索归纳法，计算机辅助教学．通过学生描点法画图和利用几何画板作图功能画图，呈现出各种不同的反比例函数图象，概括总结图象性质，跟踪练习，强化理解，遵循“画图——探索——应用”的基本过程展开教学．
五、教学过程
（一）新课导入
活动一 复习正比例函数图象的性质
1．正比例函数y=kx（k≠0）图象的形状是什么？
2．用描点法画函数图象经历哪几个步骤？
3．正比例函数的图象经过哪几个象限？
4．函数值y与自变量x的增减变化有什么规律？
5．它与坐标轴有交点吗？为什么？
意图：回顾正比例函数图象的形状和基本性质．
效果：为学习反比例函数图象的性质，建立一个可供类比探索的支撑点．
活动二 复习反比例函数的意义
1．反比例函数解析式的一般形式是怎样的？
2．反比例函数解析式的一般形式中，每个字母的取值范围是什么？
3．根据k的不同取值范围，可以把反比例函数解析式分成哪几种情况讨论？
【答案或提示】1．(k≠0)．
2．k≠0，x≠0，y≠0．
3．k>0与k<0两种情况，分类讨论．
意图：回顾反比例函数已经学习的主要内容．
效果：从反比例函数解析式入手开启对反比例函数图象的研究，渗透分类讨论思想．
（二）新课讲授
活动一 根据解析式特征猜想k>0时图象性质
思考：以y=为例，不画图象，猜想它的函数图象可能有哪些特点？
1．由自变量的取值范围，猜想函数图象是否为一条连续的图象？
2．由两个变量的取值范围，猜想函数图象与坐标轴有交点吗？
3．结合两个变量的符号关系，猜想函数图象位于哪几个象限？
4．结合分数的大小，猜想：
（1）当x>0时，函数图象位于哪个象限？从左向右呈上升趋势，还是下降趋势？随着x的值增大，y的值如何变化？
（2）当x<0时，函数图象位于哪个象限？从左向右呈上升趋势，还是下降趋势？随着x的值增大，y的值如何变化？
【答案或提示】1．由x≠0可知，函数图象不连续，在y轴处“断开”．
2．由x≠0，y≠0可知，函数图象与两条坐标轴都没有交点．
3．因为xy=6>0，所以x与y同号，因此函数图象位于第一、三象限内．
4．（1）当x>0时，函数图象位于第一象限；从左向右呈下降趋势；随着x的值增大，y的值减小．
（2）当x<0时，函数图象位于第三象限；从左向右呈下降趋势；随着x的值增大，y的值减小．
意图：通过对反比例函数解析式的分析，猜想函数图象可能具有的性质．
效果：结合反比例函数解析式的数据特征，培养学生合理猜想的能力．
活动二 用描点法画反比例函数图象
思考：根据以上分析，用描点法画函数图象时，如何取值？
用描点法画出反比例函数y=和y=的图象．
列表：
x … －12 －6 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 6 12 …
y= … －1.5 －2 6 2 1 …
y= … －1 －2 －4 －6 12 4 3 1 …
描点：在两个平面直角坐标系中，分别描出反比例函数y=和y=对应的各点．
连线：用平滑曲线顺次连接这些点，得到反比例函数y=和y=的图象．
注意：由前面的分析可知，每个函数图象是被坐标轴分隔开的两部分，分别在第一三象限内．
意图：经历描点法画反比例函数图象的过程，把解析式转化为表格、图象，体会函数的三种常见表示方法之间的联系与转化．
效果：在画反比例函数图象的过程中，把解析式转化为图象实现了由“数”到“形”的转化，进一步感受数形结合思想的具体应用．
活动三 探究反比例函数图象的性质
观察：当k>0时的两个反比例函数图象，找到它们的共同点．
思考：1．我们从哪几个方面研究了正比例函数图象的性质？
2．我们先看反比例函数图象的形状，是直线还是曲线？有几部分？
（教师介绍双曲线的概念）
3．你能总结出双曲线的位置、增减性以及与坐标轴的交点等方面的性质吗？利用解析式说明理由．
（可以独立思考，也可以分组讨论）
归纳：一般地，反比例函数(k>0)的图象是双曲线，它具有以下的性质：
（1）双曲线的两支分别位于第一、三象限；
（2）在每一个象限内，y随x的增大而减小．
鼓励学生发现更多性质，比如：
①双曲线与坐标轴没有交点．（双曲线与坐标轴无限接近，但永不相交）
②双曲线的两个分支关于原点对称（由列表取值和函数图象都可以发现）
意图：结合两个实例，探索反比例函数(k>0)图象的性质．
效果：以两个反比例函数作为研究的“特例”，初步概括得到当k>0时，反比例函数图象的形状和性质．
活动四 用几何画板验证反比例函数图象的性质
操作：如图（按Ctrl点击可链接到几何画板课件），移动“k”，使k的值发生变化，双曲线的图象随之变化．
观察：在k值变化过程中，观察k值对于双曲线的形状、位置、增减性、与坐标轴交点等方面的影响，看是否符合总结出来的规律，以此验证得到的反比例函数图象的性质是否正确．
意图：用更多的实例来说明所得结论的合理性．
效果：刚才只是从2个函数图象的基础上总结反比例函数(k>0)图象的性质，所得结论未免有些不可靠，对于任意反比例函数图象，通过几何画板的演示可以进一步验证上述结论都成立．
活动五 反比例函数(k<0)图象的性质
讨论：类比探索反比例函数(k>0)图象性质的过程，设计出探索k<0时的方案．
（分组讨论并实施）
总结：一般地，反比例函数(k<0)的图象是双曲线，它具有以下的性质：
（1）双曲线的两支分别位于第二、四象限；
（2）在每一个象限内，y随x的增大而增大．
归纳：一般地，反比例函数的图象是双曲线，它具有以下的性质：
（1）当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；
（2）当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
例题解析：
例1 下列关于反比例函数的图象的四个结论：
①反比例系数k=12；
②经过点 (－1，12) 和点(10，－1.2)；
③双曲线位于第二、四象限；
④在每一个象限内，y随x的增大而减小．
其中正确的是________ (填序号)．
解析：反比例函数解析式中，k=－12；
分别把(－1，12)，(10，－1.2)代入解析式中，满足解析式；
由k=－12<0，可知双曲线位于第二、四象限，且在每一个象限内，y随x的增大而增大．
所以，正确的是②③．
例2 已知反比例函数的两个分支分别在第一、三象限，求m的值．
思考：（1）由是反比例函数的解析式，可得关于m的什么结论？
（2）由双曲线的两个分支所在的象限，可得关于m的什么结论？
【提示】（1）m2－5=－1，m≠0；
（2）m>0．
解：因为反比例函数的两个分支分别在第一、三象限，
所以
解得 m=2．
意图：类比已有的学习方法，获得新知识，并在解题中加以简单运用．
效果：在探索过程中，体会分类讨论思想、类比思想、数形结合思想的重要意义．
（三）课堂练习
1．教材第6页练习第1－2题．
2．反比例函数（k为常数）的图象位于（ B ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
3．反比例函数y=－的大致图象是图中的（ A ）
4．如果双曲线在第二、四象限内，那么m的取值范围为____m<2____．
意图：利用反比例函数的图象解决简单问题．
效果：及时应用所学知识，加深对结论的认识．
（四）课堂小结
内容：这节课你有哪些收获？
（1）反比例函数的图象有什么性质？
（2）在探索反比例函数的图象性质的过程中，我们经历了哪些环节？
（3）本节课中有哪些重要的数学思想方法让你印象深刻，举例说明？
意图：从知识与技能、过程与方法等方面引导学生总结收获．
效果：在获得知识的同时，习得必要的数学学习方法，感悟数学思想方法的重要意义．
（五）作业布置
A组：教材第8页习题26.1第3.8题．
B组：
1．如图是反比例函数（k为常数，k0）的图象，则一次函数y=kx－k的图象大致是（ ）
A B C D
【答案】B
【解析】∵反比例函数的图象在第一、三象限，∴k>0，－k<0．
∴一次函数y=kx－k的图象从左到右是上升趋势，与y轴交于负半轴，故选B．
2．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
【答案】D
【解析】当a＞0时，函数的图象开口向上，函数的图象在一、三象限，四个选项中没有符合此条件的；
当a＜0时，函数的图象开口向下，函数的图象在二、四象限，符合此条件的只有D．
3．如图，函数y＝的图象所在坐标系的原点是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
【答案】A
【解析】由已知可知函数y＝关于y轴对称，且在x轴的上方（分别位于第一、二象限），所以点M是原点，故选A．
意图：A组题目注重基础知识的直接运用，B组题目有一定灵活性，适用于学有余力的同学．
效果：布置分层作业，照顾不同学情的学生，进行自我检测．
六、板书设计
反比例函数（k0）的图象和性质
k值 k>0 k<0
图示
位置 双曲线的两支分别位于第一、三象限 双曲线的两支分别位于第二、四象限
性质 在每一个象限内，y随x的增大而减小 在每一个象限内，y随x的增大而增大
七、课后反思
本节课从正比例函数图形的性质开始，为研究反比例函数图象的性质提供参考范本，也是一种学习方法的指导．在探讨反比例函数图象性质的过程中，通过学生猜想并亲手画图象进行比较归纳得出初步结论，然后利用计算机多媒体辅助教学手段进行验证，使学生相信所得结论．在整个探索过程中，让学生感受数形结合思想的具体应用，在此基础上得到研究函数性质的五个一般步骤：猜想推测——画出图象——观察特征——得到结论——做出解释，即得具有普遍意义的“基本套路”，由此锻炼学生数学思维的深刻性，也为探索各种函数图象的性质提供了基本的研究方法和路径．
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（第1课时）
一、教学内容分析
学生已经有了探索一次函数与二次函数的基本活动经验，掌握了用描点法画函数图象，对数形结合思想在函数图象学习中的重要意义也有一定认识，这为本节课的学习提供了重要保障．但是，反比例函数图象是一种不连续的曲线图象，导致它的很多性质具有独特之处，这些应成为学习的着力点．
二、教学目标
1．能用描点法画出反比例函数的图象，领会函数解析式与函数图象之间的联系．
2．结合图象，探索反比例函数图象的性质，体会数形结合及转化的思想方法．
三、教学重难点
【重点】探索反比例函数图象的性质，体会数形结合及转化的思想方法．
【难点】从数和形的角度认识反比例函数图象的形状和性质．
四、教学方法
探索归纳法，计算机辅助教学．通过学生描点法画图和利用几何画板作图功能画图，呈现出各种不同的反比例函数图象，概括总结图象性质，跟踪练习，强化理解，遵循“画图——探索——应用”的基本过程展开教学．
五、教学过程
（一）新课导入
活动一 复习正比例函数图象的性质
1．正比例函数y=kx（k≠0）图象的形状是什么？
2．用描点法画函数图象经历哪几个步骤？
3．正比例函数的图象经过哪几个象限？
4．函数值y与自变量x的增减变化有什么规律？
5．它与坐标轴有交点吗？为什么？
意图：回顾正比例函数图象的形状和基本性质．
效果：为学习反比例函数图象的性质，建立一个可供类比探索的支撑点．
活动二 复习反比例函数的意义
1．反比例函数解析式的一般形式是怎样的？
2．反比例函数解析式的一般形式中，每个字母的取值范围是什么？
3．根据k的不同取值范围，可以把反比例函数解析式分成哪几种情况讨论？
【答案或提示】1．(k≠0)．
2．k≠0，x≠0，y≠0．
3．k>0与k<0两种情况，分类讨论．
意图：回顾反比例函数已经学习的主要内容．
效果：从反比例函数解析式入手开启对反比例函数图象的研究，渗透分类讨论思想．
（二）新课讲授
活动一 根据解析式特征猜想k>0时图象性质
思考：以y=为例，不画图象，猜想它的函数图象可能有哪些特点？
1．由自变量的取值范围，猜想函数图象是否为一条连续的图象？
2．由两个变量的取值范围，猜想函数图象与坐标轴有交点吗？
3．结合两个变量的符号关系，猜想函数图象位于哪几个象限？
4．结合分数的大小，猜想：
（1）当x>0时，函数图象位于哪个象限？从左向右呈上升趋势，还是下降趋势？随着x的值增大，y的值如何变化？
（2）当x<0时，函数图象位于哪个象限？从左向右呈上升趋势，还是下降趋势？随着x的值增大，y的值如何变化？
【答案或提示】1．由x≠0可知，函数图象不连续，在y轴处“断开”．
2．由x≠0，y≠0可知，函数图象与两条坐标轴都没有交点．
3．因为xy=6>0，所以x与y同号，因此函数图象位于第一、三象限内．
4．（1）当x>0时，函数图象位于第一象限；从左向右呈下降趋势；随着x的值增大，y的值减小．
（2）当x<0时，函数图象位于第三象限；从左向右呈下降趋势；随着x的值增大，y的值减小．
意图：通过对反比例函数解析式的分析，猜想函数图象可能具有的性质．
效果：结合反比例函数解析式的数据特征，培养学生合理猜想的能力．
活动二 用描点法画反比例函数图象
思考：根据以上分析，用描点法画函数图象时，如何取值？
用描点法画出反比例函数y=和y=的图象．
列表：
x … －12 －6 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 6 12 …
y= … －1.5 －2 6 2 1 …
y= … －1 －2 －4 －6 12 4 3 1 …
描点：在两个平面直角坐标系中，分别描出反比例函数y=和y=对应的各点．
连线：用平滑曲线顺次连接这些点，得到反比例函数y=和y=的图象．
注意：由前面的分析可知，每个函数图象是被坐标轴分隔开的两部分，分别在第一三象限内．
意图：经历描点法画反比例函数图象的过程，把解析式转化为表格、图象，体会函数的三种常见表示方法之间的联系与转化．
效果：在画反比例函数图象的过程中，把解析式转化为图象实现了由“数”到“形”的转化，进一步感受数形结合思想的具体应用．
活动三 探究反比例函数图象的性质
观察：当k>0时的两个反比例函数图象，找到它们的共同点．
思考：1．我们从哪几个方面研究了正比例函数图象的性质？
2．我们先看反比例函数图象的形状，是直线还是曲线？有几部分？
（教师介绍双曲线的概念）
3．你能总结出双曲线的位置、增减性以及与坐标轴的交点等方面的性质吗？利用解析式说明理由．
（可以独立思考，也可以分组讨论）
归纳：一般地，反比例函数(k>0)的图象是双曲线，它具有以下的性质：
（1）双曲线的两支分别位于第一、三象限；
（2）在每一个象限内，y随x的增大而减小．
鼓励学生发现更多性质，比如：
①双曲线与坐标轴没有交点．（双曲线与坐标轴无限接近，但永不相交）
②双曲线的两个分支关于原点对称（由列表取值和函数图象都可以发现）
意图：结合两个实例，探索反比例函数(k>0)图象的性质．
效果：以两个反比例函数作为研究的“特例”，初步概括得到当k>0时，反比例函数图象的形状和性质．
活动四 用几何画板验证反比例函数图象的性质
操作：如图（按Ctrl点击可链接到几何画板课件），移动“k”，使k的值发生变化，双曲线的图象随之变化．
观察：在k值变化过程中，观察k值对于双曲线的形状、位置、增减性、与坐标轴交点等方面的影响，看是否符合总结出来的规律，以此验证得到的反比例函数图象的性质是否正确．
意图：用更多的实例来说明所得结论的合理性．
效果：刚才只是从2个函数图象的基础上总结反比例函数(k>0)图象的性质，所得结论未免有些不可靠，对于任意反比例函数图象，通过几何画板的演示可以进一步验证上述结论都成立．
活动五 反比例函数(k<0)图象的性质
讨论：类比探索反比例函数(k>0)图象性质的过程，设计出探索k<0时的方案．
（分组讨论并实施）
总结：一般地，反比例函数(k<0)的图象是双曲线，它具有以下的性质：
（1）双曲线的两支分别位于第二、四象限；
（2）在每一个象限内，y随x的增大而增大．
归纳：一般地，反比例函数的图象是双曲线，它具有以下的性质：
（1）当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；
（2）当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
例题解析：
例1 下列关于反比例函数的图象的四个结论：
①反比例系数k=12；
②经过点 (－1，12) 和点(10，－1.2)；
③双曲线位于第二、四象限；
④在每一个象限内，y随x的增大而减小．
其中正确的是________ (填序号)．
解析：反比例函数解析式中，k=－12；
分别把(－1，12)，(10，－1.2)代入解析式中，满足解析式；
由k=－12<0，可知双曲线位于第二、四象限，且在每一个象限内，y随x的增大而增大．
所以，正确的是②③．
例2 已知反比例函数的两个分支分别在第一、三象限，求m的值．
思考：（1）由是反比例函数的解析式，可得关于m的什么结论？
（2）由双曲线的两个分支所在的象限，可得关于m的什么结论？
【提示】（1）m2－5=－1，m≠0；
（2）m>0．
解：因为反比例函数的两个分支分别在第一、三象限，
所以
解得 m=2．
意图：类比已有的学习方法，获得新知识，并在解题中加以简单运用．
效果：在探索过程中，体会分类讨论思想、类比思想、数形结合思想的重要意义．
（三）课堂练习
1．教材第6页练习第1－2题．
2．反比例函数（k为常数）的图象位于（ B ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
3．反比例函数y=－的大致图象是图中的（ A ）
4．如果双曲线在第二、四象限内，那么m的取值范围为____m<2____．
意图：利用反比例函数的图象解决简单问题．
效果：及时应用所学知识，加深对结论的认识．
（四）课堂小结
内容：这节课你有哪些收获？
（1）反比例函数的图象有什么性质？
（2）在探索反比例函数的图象性质的过程中，我们经历了哪些环节？
（3）本节课中有哪些重要的数学思想方法让你印象深刻，举例说明？
意图：从知识与技能、过程与方法等方面引导学生总结收获．
效果：在获得知识的同时，习得必要的数学学习方法，感悟数学思想方法的重要意义．
（五）作业布置
A组：教材第8页习题26.1第3.8题．
B组：
1．如图是反比例函数（k为常数，k0）的图象，则一次函数y=kx－k的图象大致是（ ）
A B C D
【答案】B
【解析】∵反比例函数的图象在第一、三象限，∴k>0，－k<0．
∴一次函数y=kx－k的图象从左到右是上升趋势，与y轴交于负半轴，故选B．
2．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
【答案】D
【解析】当a＞0时，函数的图象开口向上，函数的图象在一、三象限，四个选项中没有符合此条件的；
当a＜0时，函数的图象开口向下，函数的图象在二、四象限，符合此条件的只有D．
3．如图，函数y＝的图象所在坐标系的原点是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
【答案】A
【解析】由已知可知函数y＝关于y轴对称，且在x轴的上方（分别位于第一、二象限），所以点M是原点，故选A．
意图：A组题目注重基础知识的直接运用，B组题目有一定灵活性，适用于学有余力的同学．
效果：布置分层作业，照顾不同学情的学生，进行自我检测．
六、板书设计
反比例函数（k0）的图象和性质
k值 k>0 k<0
图示
位置 双曲线的两支分别位于第一、三象限 双曲线的两支分别位于第二、四象限
性质 在每一个象限内，y随x的增大而减小 在每一个象限内，y随x的增大而增大
七、课后反思
本节课从正比例函数图形的性质开始，为研究反比例函数图象的性质提供参考范本，也是一种学习方法的指导．在探讨反比例函数图象性质的过程中，通过学生猜想并亲手画图象进行比较归纳得出初步结论，然后利用计算机多媒体辅助教学手段进行验证，使学生相信所得结论．在整个探索过程中，让学生感受数形结合思想的具体应用，在此基础上得到研究函数性质的五个一般步骤：猜想推测——画出图象——观察特征——得到结论——做出解释，即得具有普遍意义的“基本套路”，由此锻炼学生数学思维的深刻性，也为探索各种函数图象的性质提供了基本的研究方法和路径．
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