初中数学人教版九下26.1.1 反比例函数 教案

26.1.1 反比例函数
一、教学内容分析
在小学阶段学生已经接触了反比例，前面学习了一次函数与二次函数，为反比例函数的学习奠定了知识基础，积累了活动经验．教科书从几个学生熟悉的实际问题出发，引出反比例函数的概念，使学生逐步从对具体函数的感性认识上升到对抽象的反比例函数概念的理性认识，这一过程与其他函数、特别是正比例函数有很多相似之处，从而为类比教学提供了充分条件．
二、教学目标
1．经历从实际问题中抽象出反比例函数模型的过程，体会反比例函数来源于实践；
2．理解反比例函数的概念，能判断一个给定的函数是否为反比例函数；
3．会用待定系数法求反比例函数解析式，会根据自变量取值确定函数值．
三、教学重难点
【重点】理解反比例函数的概念，能判断一个给定的函数是否为反比例函数．
【难点】会用待定系数法求反比例函数解析式，会根据自变量取值确定函数值．
四、教学方法
类比教学法．类比正比例函数的知识体系形成过程，以问题串的形式为学生提供思维途径，抓住反比例函数概念的建立、判断函数类型、解析式特征分析、解析式的确定等关键的知识结点，逐步深化对反比例函数意义的认识．
五、教学过程
（一）新课导入
内容：复习正比例函数知识
问题1：在一条铁路上，某次列车运行的平均速度为160km/h，设运行的路程为s（km），运行时间为t（h）．
（1）s与t之间存在函数关系吗？能否用函数解析式表示？
（2）s是t的什么函数？在这个函数解析式中，哪些是变量？谁是自变量？谁是常数？
问题2：正比例函数解析式的一般形式是怎样的？其中，哪些是变量？谁是自变量？谁是常数？它们的取值范围分别是什么？
【提示或答案】问题1 （1）s=160t．
（2） s是t的正比例函数；在这个函数解析式中，s与t是变量，t是自变量，160是常数．
（提示：当运行速度一定时，s随着t的变化而变化，即每一个t值都对应唯一的s值，这是列车运行的变化过程中表现出来的对应关系）
问题2 正比例函数解析式的一般形式是y=kx，其中，y与x是变量，x是自变量，k是常数．两个变量y与x的取值范围是任意实数，k的取值范围是k≠0．
意图：回顾正比例函数概念有关知识，作为学习反比例函数概念的“先行组织者”．
效果：从现实问题建立正比例函数模型，得到解析式的一般形式，分析其中每个数量的特征，是学习一个函数概念的必经之路．
（二）新课讲授
活动一 结合现实情境，列函数关系式
问题1：京沪线铁路全程为 1 463 km，某次列车的平均速度 v（单位：km/h）随此次列车的全程运行时间 t（单位：h）的变化而变化．
（1）v与t两个变量间有函数关系吗？试说明理由．
（2）你能写出 v 关于 t 的解析式吗？
【提示或答案】（1）当运行路程一定时，v随着t的变化而变化，即每一个t值都对应唯一的v值，这是列车运行的变化过程中表现出来的对应关系．
（2）．
思考：下列问题中的两个变量间具有函数关系吗？如果有，请直接写出解析式，并指出其中的变量、自变量和常数．
（1）某住宅小区要种植一个面积为1000 m2的矩形草坪，草坪的长y（m）随宽x（m）的变化而变化；
（2）已知北京市的总面积为1.68×104km2，人均占有的土地面积S（km2/人）随全市总人口n（人）的变化而变化．
【提示或答案】（1），其中y与x是变量，x是自变量，1000是常数；
（2）S= ，其中S与n是变量，n是自变量，1.68×104是常数．
意图：根据现实问题中的数量关系，列出反比例函数解析式．
效果：让学生感受到函数关系式来自现实世界，列函数关系式的过程是一个抽象的过程，分清变量、自变量和常数等基本概念．
活动二 抽象得到反比例函数解析式的一般形式
讨论：
问题1：刚才得到的函数解析式中，变量、自变量和常数的位置分别有什么共同特点？
问题2：仿照正比例函数解析式的一般形式，写出这种函数解析式的一般形式．
问题3：为了保证函数有意义，通过解析式判断两个变量、常数的取值范围分别是什么？
【提示或答案】问题1 这些函数解析式中，都有两个变量，第一个变量表示为一个分式的形式，自变量在分母的位置上，常数在分子的位置上．
问题2 ．
问题3 自变量x≠0，函数值y≠0，常数k≠0．
总结：
如果两个变量x，y之间的关系可以表示成的形式，那么y是x的反比例函数，反比例函数的自变量x≠0，函数值y≠0．
意图：总结出反比例函数的概念．
效果：比较各个解析式的共同特征，用一般形式表示出来，概括反比例函数的定义，明确k的值．
活动三 判断反比例函数
讨论：怎样判断一个等式中的两个变量是否反比例函数关系？
问题：下列哪个等式中的y是x的反比例函数？并指出其中常数k的值．
（1）y=4x；（2）；（3）y=6x +1；（4）xy=123；（5）y= 2x 1；（6）．
【提示或答案】（4）（5）（6）中的y是x的反比例函数，k的值分别是123， 2，．
提示：（6）中，故k=．
归纳：判断反比例函数解析式，要看其能否转化为（k≠0）的形式．
一般形式为：（k≠0）；常见变式：xy=k（k≠0）；y=kx 1（k≠0）等．
意图：从解析式的形式上加深对反比例函数的认识．
效果：严格按照定义判断反比例函数，对于与反比例函数定义中的一般形式不同的，看能否改写成一般形式，由此判断是否为反比例函数，以及k的取值．
活动四 求函数解析式和变量的值
问题：例1 已知y是x的反比例函数，当x=2时，y=6．
（1）写出y是x的函数解析式；
（2）求当x=4时y的值．
思考：（1）确定一个反比例函数解析式，需要有几组关于两个变量的数对？为什么？
（2）解此类问题常用的数学方法是什么？它的一般解题步骤包括哪几步？
【提示或答案】（1）设，则，解得k=12．所以．
（2）当x=4时，．
变式：当x取何值时，函数值为 6？
【提示或答案】把y= 6代入，得．
解得x=-2．
经检验，x=-2是方程的解．
所以，当x=-2时，函数值为 6．
总结：
（1）反比例函数解析式中只有一个常数，所以只需要一组关于两个变量的数对，就能确定一个反比例函数解析式．
（2）待定系数法，它的一般解题步骤包括“设（函数解析式）——列（方程或方程组）——解（方程或方程组）——代（入函数解析式）”四个步骤．
意图：用待定系数法求反比例函数的解析式，转化为代数式或方程求变量的值．
效果：进一步认识待定系数法的重要作用，体会函数关系式、代数式、方程之间的关系．
（三）课堂练习
1．教科书第3页练习第1题，并指出常数k的值．
【提示或答案】（1）t=，k=200；
，k=1000；
，k=100．
2．判断下列哪些等式中的y是x的反比例函数；在反比例函数中，如果不是反比例函数解析式的一般形式，请把它们改写成一般形式，并指出k的值．
（1）；（2）；（3）xy＝5；（4）；（5）；
（6） ；（7）y＝x－4；（8）；（9）y=6x 1；（10）．
【提示或答案】（2），k=；（3），k=5；（5），k=；
（9），k=6；（10），k=．
3．教科书第3页练习第3题．
意图：直接运用本节课所学反比例函数知识解决问题，巩固基础知识．
效果：通过练习题的解答情况，及时反馈调整教学内容．
（四）课堂小结
内容：从以下几方面，交流这节课你的收获：
（1）学到了哪些关于反比例函数的数学知识？
（2）进一步体会到了哪些数学思想方法的作用？
（3）哪些学习方法对你有所启发？
在学生自由发言的基础上，师生共同总结（以下供参考）：
1．基础知识：反比例函数的定义，及其解析式的一般形式．
2．数学方法：待定系数法．
3．学习方法：类比正比例函数学习反比例函数．
意图：鼓励学生根据自己的真实感受大胆发言，不追求共同答案．
效果：在独立解题和同伴交流的过程中，培养学生总结梳理和分享质疑的能力．
（五）作业布置
内容：布置作业：
A组：教材第8页习题26.1第1.2.4题；
B组：1．当m取何值时，是反比例函数？
解：由m2 5= 1，即m2=4，解得m=±2．
又因为m-2≠0，即m ≠2，
所以m= 2．
2．如果y是y1和y2两个函数之和，y1与x成正比例，y2与x成反比例，当x=1时，y= 1；当x= 2时，y=5．
（1）写出y是x的函数解析式；
（2）求当x=2时y的值．
解：（1）设，则y=y1+y2=．
由题意，得
解得
所以，y=．
（2）当x=2时，y=
意图：A组题目注重基础知识的直接运用，B组题目有一定灵活性，适用于学有余力的同学．
效果：布置分层作业，照顾不同学情的学生，进行自我检测．
六、板书设计
1．反比例函数的概念
2．反比例函数解析式的不同形式
（k≠0）y=kx 1（k≠0）xy=k（k≠0）
3．确定反比例函数解析式
待定系数法：设——列——解——代
七、课后反思
本节课从复习正比例函数的概念入手，为反比例函数的学习提供思路，便于新旧知识之间的类比对照，形成知识体系．通过大量的生活实例，建立反比例函数模型，写出函数解析式，顺理成章地形成反比例函数概念，体现了数学知识与现实生活的密切关系，反映了变量之间的对应关系．结合判断反比例函数，分析解析式的结构特点和不同的变化形式，深化了对解析式的认识．在以上知识储备的基础上，进行规范的解题训练，体会转化思想、待定系数法等重要数学思想方法的应用．整节课循序渐进，由表及里，由浅到深，促进了学生思维的发展，并力图教给他们学习的方法，为以后的函数学习提供基本方法．
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