第一章 第06讲有理数的乘方同步学与练（含解析）2023-2024学年七年级数学上册人教版

第06讲 有理数的乘方
课程标准 学习目标
①有理数的乘方运算 ②偶次方的非负性 ③科学计数法表示较大的数 ④近似数以及有效数字 1. 掌握乘方的定义与运算． 2. 掌握偶次方的非负性，结合绝对值的非负性解题． 3. 掌握科学计数法的表示方法，能够对一个较大的数用科学计数法表示． 4. 掌握近似数及其有效数字解决相关题目．
知识点01 乘方的定义与计算
1. 乘方的意义：
求几个相同因数的积的运算叫做乘方．一般地：（个）可以记作：，读作：的次方．当把看做的次方的结果时，也可读作：的次幂，所以乘方的结果叫做幂，其中是底数，是指数．
特别提示：
（1）当指数是1时，指数可以省略不写．即直接写成．
（2）底数是负数或分数时，要把底数用括号括起来．如－2的三次方写成；的四次方写成．
（3）任何数都可以看做是它本身的1次方，一个数的2次方可以读作：平方，一个数3次方可以读作：立方．
题型考点：①乘方的意义．②幂的认识．
【即学即练1】
1．表示的意义是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练2】
2．代数式可以表示为（　　）
A． B． C．2 D．
【即学即练3】
3．中，底数是 ，指数是 ．
【即学即练4】
4．对于式子，下列说法不正确的是：（ ）
A．指数是3 B．底数是 C．幂为 D．表示3个相乘
知识点02 乘方的计算
1. 乘方的计算：
（个）．在计算有理数的乘方时，先根据有理数的乘方的意义把有理数的乘方转化为乘法运算，计算时先确定幂的符号，在计算幂的绝对值．可以计算出结果，也可以用幂来表示结果．
特别提示：
（1）正数的任何次方都是正数．
（2）负数的奇次方是负数，负数的偶次方是正数．
（3）0的任何正整数次方（除0外）都得0．
（1）1的任何次方都得1，﹣1的奇次方得﹣1，﹣1的偶次方得1．
题型考点：乘方的计算
【即学即练1】
5．计算：
(1)（﹣4）3；
(2)（﹣2）4；
(3)．
【即学即练2】
6．的相反数是（ ）
A．1 B． C．2021 D．
【即学即练3】
7．化简的值是（ ）
A．1 B． C．2020 D．
知识点03 有理数的偶次方
1. 有理数的偶次方：
由乘方的计算可知，任何一个数的偶次方得到的结果都大于等于0，即任何数的偶次方（常见的平方）都是非负数，都具有非负性，几个非负数的和等于0，这几个非负数分别等于0．即，则0．
题型考点：①有理数的乘法计算；②乘法运算定律的应用．
【即学即练1】
8．若，则＝ ．
【即学即练2】
9．如果|a +2|+（b﹣1）2＝0，那么代数式（a+b）2021的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．2021
知识点04 与的区别与联系
1. 三者的意义：
表示的意义是个相乘的积，即 （个），底数是．
表示的意义是个相乘的积的相反数，即（个），底数是．
表示的意义是个相乘的积，即（个），底数是．
2. 三者的联系
（1）当为奇数时，和相等，他们与互为相反数．
（2）当为偶数时，和相等，他们与互为相反数．
题型考点：求倒数
【即学即练1】
10．下列各组的两个数中，运算后的结果相等的是（　　）
A．和 B．和
C．和 D．和
【即学即练2】
11．对于式子（–3）6与–36，下列说法中，正确的是（ ）
A．它们的意义相同 B．它们的结果相同
C．它们的意义不同，结果相等 D．它们的意义不同，结果也不相等
【即学即练3】
12．下列说法中正确的是（　　）
A．－an和(－a)n一定是互为相反数 B．当n为奇数时，－an和(－a)n相等
C．当n为偶数时，－an和(－a)n相等 D．－an和(－a)n一定不相等
知识点05 科学计数法
1. 科学计数法：
把一个大于10或小于﹣10的数用的形式来表示．这种表示数的方法就叫做科学计数法．其中1≤＜10．为正整数．
方法技巧：
（1）确定：移动小数点到只有一位整数时得到的数就是．
（2）确定：小数点移动了几位就是几．
特别提示：
当数后面带有数级单位时，的值是由小数点的移动位数＋级数单位后的位数．万级是4位数，亿级是8位数．
2. 科学计数法还原：还原时，等于多少就将小数点向右移动多少位，若位数不够时添0补足．
题型考点：①用科学计数法表示数
【即学即练1】
13．2022年冬奥运即将在北京举行，北京也即将成为迄今为止唯一个既举办过夏季奥运会，又举办过冬季奥运会的城市，据了解北京冬奥会的预算规模为15.6亿美元，政府补贴6%（9400万美元）．其中1 560 000 000用科学记数法表示为（　　）
A．1.56×109 B．1.56×108 C．15.6×108 D．0.156×1010
【即学即练2】
14．我国首次火星探测任务“天问一号”探测器于2021年5月15日稳稳降落在火星乌托邦平原南部的预选着陆区，迈出了我国星际探测征程的重要一步，火星作为地球的近邻，到地球的最近距离约为55000000千米，将55000000用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
知识点06 近似数与有效数字
1. 相关概念：
准确数：确切的反映实际的数．
近似数：与实际接近但有差别的数．
近似数的精确度：近似数与准确数的接近程度叫做精确度。一个近似数四舍五入到哪一位就说这个说精确到哪一位．
精确度的表示方法：①用数位表示，如精确到个位、十位、百分位等；②用小数表示，如精确到0.1或0.01等．
特别提示：求一个科学计数法表示的数的精确度时应先将其还原，看科学计数法中的的最后一位在哪一位就是精确到哪一位。
求一个后面有级数单位的数的精确度时也应先将其还原，看原数最后一位在哪个位置就精确到哪一位．
题型考点：①精确度的判断
【即学即练1】
15．用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是（ ）
A．（精确到） B．（精确到千分位）
C．（精确到百分位） D．（精确到）
【即学即练2】
16．由四舍五入得到的近似数88.35万．精确到（ ）
A．十分位 B．百分位 C．百位 D．十位
【即学即练3】
17．近似数的精确到（　　）
A．个位 B．百位 C．百分位 D．千位
题型01 有理数的混合运算
法则：先算乘方，在算乘除，最后算加减．有括号的先算括号，能简便运算的简便运算．
【典例1】
18．计算：
（1）（﹣1）3﹣×[2﹣（﹣3）2]
（2）﹣22+|5﹣8|+24÷（﹣3）×．
【典例2】
19．计算
(1) ；
(2)；
(3)；
(4)．
题型02 与
【典例1】
20．下列各组数中，相等的一组是（ ）
A．（-3）2与-32 B．（-2）3与-23 C．23与32 D．与
【典例2】
21．下列各式中，不相等的是（　　）
A．（﹣5）2和52 B．（﹣5）2和﹣52
C．（﹣5）3和﹣53 D．|﹣5|3和|﹣53|
题型03 有理数的偶次方
【典例1】
22．若，则 ．
【典例2】
23．若、为有理数，且，则 ．
【典例3】
24．若有理数a、b、c满足|a﹣1|+|b+4|+（4c﹣1）2＝0，求（abc）250÷（a6×b4×c3）的值．
题型04 科学计数法
【典例1】
25．港珠澳大桥是世界上总体跨度最长的跨海大桥，全长55000米．其中海底隧道部分全长6700米，是世界最长的公路沉管隧道和唯一的深埋沉管隧道，也是我国第一条外海沉管隧道．将数字55000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】
26．电影《长津湖之水门桥》上映后，票房一路高歌，2022年2月9日单日票房为113000000元，113000000用科学记数法可表示为（　　）
A．11.3×108 B．1.13×108 C．1.13×109 D．1.13×107
【典例3】
27．国家统计局于年月日发布了第七次全国人口普查主要数据情况的公告，全国人口共计万人，与年的万人相比，增加万人其中数据万用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
题型05 精确度的判断
【典例1】
28．将34.945取近似数精确到十分位，正确的是（　　）
A．34.9 B．35.0 C．35 D．35.05
【典例2】
29．用四舍五入法对0.06045取近似值，错误的是（ ）
A．0.1（精确到0.1） B．0.06（精确到百分位）
C．0.061（精确到千分位） D．0.0605（精确到0.0001）
【典例3】
30．据报道，国新办于2021年5月11日上午就第七次全国人口普查主要数据结果举行发布会，发布会上透露全国人口已达14.1178亿人，这里的近似数“14.1178亿”精确到（　　）
A．亿位 B．千万位 C．万分位 D．万位
31．下列数值中，的计算结果是（ ）．
A．8 B． C．16 D．
32．年月日，在第十四届全国人民代表大会第一次会议上，李克强总理做政府报告时指出我国人民生活水平不断提高，基本养老保险参保人数增加亿、覆盖亿人，基本医保水平稳步提高．将“亿”用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
33．计算等于（ ）
A．2 B．0 C． D．
34．下列等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
35．某平台发布2022卡塔尔世界杯观赛报告称，2022世界杯累计直播观看人次达106.253亿，用户直播总互动达13.67亿．将数据106.253按照四舍五入精确到十分位，其结果是（　　）
A．106.0 B．106.2 C．106.25 D．106.3
36．下列各对数中，数值相等的是（　　）
A．与 B．与
C．与 D．和
37．定义新运算“”，规定：，则的运算结果为（ ）
A． B． C．5 D．3
38．如果 ，那么 的值是（ ）
A． B． C． D．
39．某人一天饮水1890mL，请用四舍五入法将1890mL精确到1000mL，并用科学记数法表示为 mL．
40．已知，满足，则式子的值是 ．
41．若，，则 ．
42．我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例：
指数运算
新运算
根据上表规律，某同学写出了三个式子：①，②，③．
其中正确的是 ．
43．已知互为相反数互为倒数，x的绝对值等于2，求的值．
44．定义新运算“@”与“”：,
(1)计算的值；
(2)若，比较A和B的大小
45．概念学习
规定：求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作，读作“a的圈n次方”．

初步探究
（1）直接写出计算结果：______，______；
（2）关于除方，下列说法错误的是______，
A．任何非零数的圈2次方都等于1；
B．对于任何正整数n，；
C．
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
深入思考
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．______；______；=______．
（2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于______；
（3）算一算：．
试卷第10页，共10页
试卷第1页，共10页
参考答案：
1．B
【分析】根据有理数乘方的定义即可解答．
【详解】表示的意义是．
故选B．
【点睛】本题考查有理数乘方的意义．掌握求相同因数的积叫做乘方是解题关键．
2．B
【分析】根据幂的定义计算即可．
【详解】解：代数式可以表示为．
故选：B．
【点睛】本题考查了幂的意义，正确理解幂的意义是解题的关键．
3．
5
【分析】根据乘方的定义得，中，底数是，指数是5.
【详解】中，底数是，指数是5.
故答案为，5.
【点睛】求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，记作，其中a叫做底数，n叫做指数.
4．C
【分析】根据底数，指数，幂以及乘方的意义进行逐一分析判断即可．
【详解】∵的底数是-2，指数是3，幂为=-8，表示3个-2相乘，
∴C选项错误，A、B、D都正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数乘方的定义，熟记有理数乘方的定义是解题的关键．
5．(1)﹣64；
(2)16；
(3)
【分析】（1）根据有理数的乘方运算法则进行计算求解；
（2）根据有理数的乘方运算法则进行计算求解；
（3）根据有理数的乘方运算法则进行计算求解．
【详解】（1）（﹣4）3
＝（﹣4）×（﹣4）×（﹣4）
＝﹣64；
（2）（﹣2）4
＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）
＝16；
（3）
=
=
【点睛】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方的运算法则是解本题的关键．
6．A
【分析】根据2021是奇数即可得到(-1)2021的值为-1，再根据相反数的概念即可得到答案．
【详解】解：∵(-1)2021=-1，
∴(-1)2021的相反数是1，
故选：A．
【点睛】本题考查了-1的整数幂以及相反数的概念，准确把握概念的实质是解决问题的关键．
7．A
【分析】根据有理数乘方的意义计算．
【详解】（-1）2020＝1．
故选：A．
【点睛】考查了有理数的乘方，解题关键是－1的偶次方为正数，奇次方为负数．
8．9
【分析】先根据绝对值和完全平方的非负性求出x和y的值，再代入中计算即可.
【详解】，且
故答案为：9
【点睛】本题主要考查了绝对值和完全平方的非负性，几个非负数的和为0，则每一个数都为0.掌握以上知识是解题的关键.
9．B
【分析】根据绝对值及偶次幂的非负性进行求解a、b的值，然后代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴，解得：，
∴；
故选B．
【点睛】本题主要考查有理数的乘方及绝对值与偶次幂的非负性，熟练掌握有理数的乘方及绝对值与偶次幂的非负性是解题的关键．
10．B
【分析】根据有理数的乘方分别计算，然后作出判断．
【详解】原式各项计算得到结果，比较即可．
A选项：，，不相等，故该选项不符合题意；
B选项：，相等，故该选项符合题意；
C选项：，，不相等，故该选项不符合题意；
D选项：，，不相等，故该选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟记概念是解题的关键．
11．D
【分析】根据有理数的乘方的定义解答．
【详解】( 3)6表示 3的6次幂，结果是729，
36表示3的6次幂的相反数，结果是 729.
故选:D.
【点睛】考查有理数的乘方,从两个式子的意义和结果进行解答即可.
12．B
【分析】根据有理数的乘方的定义，分n是奇数和偶数两种情况讨论求解即可．
【详解】当n为奇数时， an和（ a）n相等，
当n为偶数时， an和（ a）n一定互为相反数．
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，难点在于分n是偶数和奇数讨论．
13．A
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：1560000000用科学记数法表示为1.56×109．
故选：A．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14．C
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
15．B
【分析】根据四舍五入，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、（精确到），选项正确，不符合题意；
B、（精确到千分位），选项错误，符合题意；
C、（精确到百分位），选项正确，不符合题意；
D、（精确到），选项正确，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查近似数．熟练掌握四舍五入法求近似数，是解题的关键．
16．C
【分析】根据近似数的精确度进行判断．
【详解】近似数88.35万精确到百位．
故选C．
【点睛】本题考查了近似数和有效数字：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
17．B
【分析】近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．
【详解】解：，4在百位上，所以近似数精确到百位．
故选：B．
【点睛】本题考查了科学记数法与有效数字，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
18．(1);(2)-
【分析】（1）原式先计算乘方及绝对值运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值；
（2）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值．
【详解】（1）原式=﹣1﹣×（﹣7）=﹣1+=；
（2）原式=﹣4+3﹣=﹣．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．(1)
(2)4
(3)
(4)
【分析】（1）根据有理数的加减运算求解即可；
（2）根据有理数的四则混合运算求解即可；
（3）根据有理数的乘方以及四则混合运算求解即可；
（4）根据有理数的乘方以及四则混合运算求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
【点睛】此题考查了有理数的乘方以及四则混合运算，解题的关键是掌握有理数的有关运算法则．
20．B
【分析】A、B、C、D分别利用乘方的法则化简即可判定．
【详解】A、（ 3）2＝9， 32＝ 9，故选项错误；
B、（ 2）3＝ 8， 23＝ 8，故选项正确；
C、23＝8，32＝9，故选项错误；
D、()2＝，＝，故选项错误．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了有理数的乘方运算，解题的关键是利用有理数的乘方法则化简即可解决问题．
21．B
【分析】本题运用有理数的乘方，相反数以及绝对值的概念进行求解．
【详解】选项A：
选项B：；
∴
选项C：；
∴
选项D：；
∴
故选B．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，相反数（只有正负号不同的两个数互称相反数），绝对值（一个有理数的绝对值是这个有理数在数轴上的对应点到原点的距离），其中正数和零的绝对值是其本身，负数的绝对值是它的相反数．
22．9
【分析】由可得再求解的值，从而可得答案.
【详解】解： ，
故答案为：
【点睛】本题考查的是非负数的性质，绝对值非负性与偶次方非负性的应用，代数式的值，理解“两个非负数的和为0，则其中每个数都为0”是解本题的关键.
23．-1
【分析】根据偶次幂和绝对值的非负性求得x与y的值，然后代入求解．
【详解】解：∵且
∴
解得：x=5，y=-5
∴
故答案为：-1．
【点睛】本题考查有理数的乘方的运算，理解偶次幂和绝对值的非负性正确计算求解是关键．
24．
【分析】根据已知等式利用非负数性质求出a，b，c的值，代入原式即可得到答案．
【详解】解：∵|a﹣1|+|b+4|+（4c﹣1）2＝0，
∴a﹣1＝0，b+4＝0，4c﹣1＝0，
∴a＝1，b＝﹣4，c＝，
则（abc）250÷（a6×b4×c3）
＝[1×（﹣4）×]250÷[16×（﹣4）4×（）3]
＝（﹣1）250÷4
＝．
即（abc）250÷（a6×b4×c3）的值是．
【点睛】本题考查非负数的应用，熟练掌握有关非负数的性质是解题关键．
25．A
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：数字55000用科学记数法表示为5.5×104．
故选：A．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
26．B
【分析】用科学记数法定义解答，科学记数法是把一个数表示成（，n为整数）的形式，当要表示的数的绝对值大于10时，n的值等于原数的整数部分的位数减1．
【详解】解：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解决问题的关键是熟练掌握科学记数法的定义，n值的确定方法．
27．D
【分析】绝对值大于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10n， 为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答．
【详解】解：∵万 ，
∴万用科学记数法可表示为
故选：D
【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中，解题的关键是确定 和 的值．
28．A
【分析】把百分位上的数字4进行四舍五入即可得出答案．
【详解】34.945取近似数精确到十分位是34.9；
故选：A．
【点睛】此题考查近似数，根据要求精确的数位，看它的后一位数字，根据“四舍五入”的原则精确即可.
29．C
【分析】近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．
【详解】解：A、0.06045精确到0.1得0.1，故本选项不符合题意；
B、0.06045精确到百分位得0.06，故本选项不符合题意；
C、0.06045精确到千分位得0.060，故本选项符合题意；
D、0.06045精确到0.0001得0.0605，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了近似数，对于精确到哪一位是需要识记的内容，经常会出错．
30．D
【分析】根据近似数“14.1178亿”，可知最后的数字8在万位上，从而可以解答本题．
【详解】解：近似数“14.1178亿”精确到万位，
故选：D．
【点睛】本题考查近似数和有效数字，解答本题的关键是明确近似数和有效数字的含义．
31．C
【分析】根据乘方运算法则进行计算即可．
【详解】解：，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了乘方运算，解题的关键是熟练掌握乘方运算法则，准确计算．
32．D
【分析】根据科学记数法的表示形式的形式，其中，为整数即可解答．
【详解】解：∵亿，
故选．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示形式的形式，其中，为整数，确定和的值是解题的关键．
33．B
【分析】先根据有理数乘方法则计算，再根据有理数加法法则计算即可．
【详解】解：
．
故选：B．
【点睛】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理数乘方法则和有理数加法法则是解题的关键．
34．A
【分析】进行运算后判断即可．
【详解】解：
故选：A．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．
35．D
【分析】把百分位上的数字5进行四舍五入即可．
【详解】解：106.253按照四舍五入精确到十分位，其结果是106.3，
故选：D．
【点睛】本题考查了近似数，“精确到第几位”是近似数的精确度的常用表示形式．
36．C
【分析】根据有理数的乘方法则逐项计算判断即可．
【详解】A、，，，不符合题意；
B、，，，不符合题意；
C、，，，符合题意；
D、，，，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查有理数的乘方．熟练掌握有理数的乘方法则是解题关键．
37．D
【分析】根据新定义的运算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选：D．
【点睛】题目主要考查新定义的运算，理解题意中的运算法则是解题关键．
38．C
【分析】根据非负性求得a，b的值代入计算即可．
【详解】∵，
∴a+2=0，b-1=0，
解得a=-2，b=1，
∴a+b=-2+1=-1，
∴==-1，
故选C．
【点睛】本题考查了绝对值和偶数次幂的非负性，乘方运算，灵活运用非负性是解题的关键．
39．2×103．
【分析】先利用科学记数法表示，然后把百位上的数字8进行四舍五入即可．
【详解】1890mL≈2×103（精确到1000mL）．
故答案为：2×103．
【点睛】本题考查了近似数和有效数字，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
40．1
【分析】根据绝对值和平方式的非负性求出a、b，再代值求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，，
解得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查绝对值和平方式的非负性、有理数的混合运算和代数式求值，理解非负数的性质并正确求解是解答的关键．
41．9
【分析】根据有理数的乘方求得a，b的值，然后代入中进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
则，
故答案为：9．
【点睛】本题考查有理数的乘方及代数式求值，结合已知条件求得a，b的值是解题的关键．
42．①③##③①
【分析】根据指数运算和新的运算法则得出规律，根据规律运算可得结论．
【详解】解：由题意得：
①，，故①正确；
②，，故②不正确；
③，，故③正确；
所以，正确的是①③，
故答案为：①③．
【点睛】此题考查了指数运算和新定义运算，发现运算规律是解答此题的关键．
43．或
【分析】由互为相反数，互为倒数，x的绝对值等于2，，再分两种情况整体代入求解代数式的值即可．
【详解】解：∵互为相反数，互为倒数，x的绝对值等于2，
∴，
∴，则，
当时，
，
当时，
．
【点睛】本题考查的是求解代数式的值，倒数，相反数绝对值的含义，掌握“整体代入法求解代数式的值”是解本题的关键．
44．（1）1；（2）.
【分析】(1)根据题意新运算的符号进行求解；
(2)根据新运算符号分别求出A、B的值在进行比较大小即可.
【详解】解：(1)根据题意得：
；
(2) ,
,
,
.
【点睛】本题考查新运算，解题关键在于对题意得理解.
45．初步探究：（1），；（2）C；
深入思考：（1）； ；；（2）；（3）．
【分析】初步探究：（1）根据所规定的a的圈n次方的定义，计算结果即可得到答案；
（2）根据所规定的a的圈n次方的定义，列式逐项计算验证是否正确即可．
深入思考：（1）根据有理数乘方运算的法则，原来的底数作底数，即可得解；
（2）根据所得式子得出总结规律即可得解．
（3）利用上面的结论，将除方运算转化为乘方运算，再用有理数混合运算法则计算即可．
【详解】解：初步探究：（1），
，
故答案为：，；
（2）A、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1；所以选项A正确，不符合题意；
B、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n，都等于1；所以选项B正确，不符合题意；
C、，，则；所以选项C错误，符合题意；
D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确，不符合题意；
故选：C；
深入思考
（1）；
；
；
故答案为： ； ；；
（2）由（1）总结规律得：；
故答案为：；
（3）解：原式，
，
．
【点睛】此题考查了有理数的乘方运算，四则混合运算，正确掌握有理数运算的法则及正确理解题意列式计算是解题的关键．
答案第14页，共15页
答案第15页，共15页