第十一章 专题01与三角形的角有关的计算（30题）（含解析）2023-2024学年八年级数学上册人教版
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| 名称 | 第十一章 专题01与三角形的角有关的计算（30题）（含解析）2023-2024学年八年级数学上册人教版 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 5.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-06 14:08:39 | ||
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文档简介
专题第01讲 与三角形的角有关的计算
（2022秋 海珠区校级期末）
1．如图，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点，．
(1)的度数为______；
(2)若，求的度数．
（2023春 洛宁县期末）
2．如图，为的高，，为的角平分线，，．
(1) °；
(2)求的度数．
（2023春 丰城市期末）
3．如图，在中，分别是的平分线，分别是的平分线．
(1)当时， °， °；
(2)，求的度数；
(3)请你猜想，当的大小变化时，的值是否变化？请说明理由．
（2023春 乐山期末）
4．（1）如图1，中，延长到M，平分，延长到N，平分，交于点P，若．求证：；
（2）如图2，中，E是边上一点，F是边上一点，延长到M，平分，平分，交于点P，若，，．求证：；
（3）如图3，中，E是边上一点，F是边上一点，延长到G，平分，平分，交于点P，若，，，探究并直接写出α，β，θ之间的等量关系．
（2022秋 黄石期末）
5．如图，直线与EF相交于点O，，将一直角三角尺（含和）的直角顶点与O重合，平分．
(1)求的度数；
(2)图中互余的角有 对；
(3)将三角尺以每秒的速度绕点O顺时针旋转，同时直线以每秒的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为．
①当t为何值时，直线平分．
②当 时，直线平分．
（2022秋 淮南期末）
6．（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C直角顶点X在△ABC内部，若∠A=30 ，则∠ABC+∠ACB=_____ ，∠XBC+∠XCB=________
（2）如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过点B、C，直角顶点X还在△ABC内部，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化 若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小．
（2023春 栾城区校级期末）
7．在三角形ABC中，点D在线段AC上，交AB于点E，点F在线段AB上（点F不与点A，E，B重合），连接DF，过点D作交射线CB于点G．
(1)如图1，点F在线段BE上，
①用等式表示∠EDF与∠BGF的数量关系，并说明理由；
②如图，求证：；
(2)当点F在线段AE上时，依题意，在图2中补全图形，请直接用等式表示∠EDF与∠BGF的数量关系，不需证明．
（2023春 邗江区期中）
8．阅读下列材料并解答问题：
在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的2倍，那么这样的三角形我们称为“优雅三角形”，其中称为“优雅角”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是、、，这个三角形就是“优雅三角形”，其中“优雅角”为．反之，若一个三角形是“优雅三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的2倍．
(1)一个“优雅三角形”的一个内角为，若“优雅角”为锐角，则这个“优雅角”的度数为 ．
(2)如图1，已知，在射线上取一点A，过点A作交于点B，以A为端点画射线交线段于点C（点C不与点O、点B重合）．若是“优雅三角形”，求的度数．
(3)如图2，中，点D在边上，平分交于点E，F为线段上一点，且，．若是“优雅三角形”，求的度数．
（2023春 邗江区期中）
9．综合与探究：爱思考的小明在学习过程中，发现课本有一道习题，他在思考过程中，对习题做了一定变式，让我们来一起看一下吧．在中，与的平分线相交于点P．
(1)如图1，如果，那么___________°
(2)如图2，作的外角，的平分线交于点Q，试探究与的数量关系．
(3)如图3，在（2）的条件下，延长线段交于点E，在中，若，求的度数．
（2022秋 海丰县期末）
10．综合与探究：
【情境引入】
(1)如图1，分别是的内角，的平分线，说明的理由．
【深入探究】
(2)①如图2，分别是的两个外角，的平分线，与之间的等量关系是______；
②如图3，分别是的一个内角和一个外角的平分线，交于点D，探究与之间的等量关系，并说明理由．
（2023春 南阳期末）
11．如图，在中，分别是的平分线，分别是的平分线．
(1)若，则 ， ， ；
(2)当变化时，∠D+∠P的值是否变化？请说明理由．
（2023春 洪洞县期末）
12．在中，于点D．
特例研究：
（1）如图1，若的平分线能交于点E，，，求的度数；
操作发现：
如图2，点M，N分别在线段，，将折叠，点B落在点F处，点C落在点G处，折痕分别为和，点G，F都在射线上；
（2）若，试猜想与之间的数量关系，并说明理由；
（3）将绕点D逆时针旋转，旋转角记为．记旋转中的为，在旋转过程中，点M，F的对应点分别为，，直线与直线交于点Q，与直线交于点P．若，，请直接写出旋转角α的度数．
（2023春 东方校级期末）
13．在中，与的平分线相交于点．
(1)如图1，如果，求的度数；
(2)如图1，如果，用含的代数式表示；
(3)探索：如图2，作外角的平分线交于点，试写出之间的数量关系；
(4)拓展：如图3，延长线段交于点，中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出的度数．
（2023春 商水县期末）
14．【基本模型】（1）如图1，在中，平分，平分外角，试说明．
【变式应用】（2）如图2，，A，B分别是射线上的两个动点，与的平分线的交点为P，则点A，B的运动的过程中，的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．
【拓展应用】（3）如图3，，作的平分线，A是射线上的一定点，B是直线上的任意一点（不与点O重合），连接，设的平分线与的邻补角的平分线的交点为P，请直接写出的度数．
（2023春 大荔县期末）
15．我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角为对顶角，则与为“对顶三角形”，根据三角形三个内角和是，“对顶三角形”有如下性质：．
性质理解：
（1）如图1，在“对顶三角形”与中，则，则 °．
性质应用：
（2）如图2，在中，、分别平分和，若，比大，求的度数．
拓展提高：
（3）如图3，、是的角平分线，且和的平分线和相交于点P，设，请尝试求出的度数（用含的式了表示）．
（2023春 金华期末）
16．数学兴趣小组围绕“三角形的内角和是”，进行了一系列探究，过程如下：
【论证】如图1，延长至，过点作，就可以说明成立，即：三角形的内角和为，请完成上述说理过程．
【应用】如图2，在中，的平分线与的角平分线交于点，过点作，在射线上，且，的延长线与的延长线交于点．
①求的度数；
②设，请用的代数式表示．
【拓展】如图3，在中，，过点作，直线与相交于点右侧的点，．绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，同时绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，与重合时再绕着点以原速度逆时针方向旋转，当旋转一周时，运动全部停止，设运动时间为秒，在旋转过程中，是否某一时刻，使得与的一边平行？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
（2023春 云浮期末）
17．如图1，在直角三角形中，，，现将绕点顺时针旋转角度得到．
(1)若时，则______°；若时，与的关系是______；
(2)与有怎样的关系？请说明理由．
(3)在旋转过程中，若时，与这两个三角形是否存在一组边互相平行？若存在，请求出的所有可能取值．
（2023春 荣成市期末）
18．实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则入射光线，反射光线与平面镜所夹的锐角．
(1)如图2，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被反射，若被反射出的光线与光线平行，且，则 ， ；
(2)图2中，当被反射出的光线与光线平行时，不论如何变化，与总具有一定的数量关系，请猜想和的数量关系，并说明理由；
(3)图2中，请你探究：当任何射到平面镜上的光线，经过平面镜、的两次反射后，入射光线与反射光线平行，求两平面镜、的夹角的度数；
(4)如图3，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被反射，若被反射出的光线与光线垂直，求出此时的度数？（友情提示：三角形内角和等于）
（2023春 定兴县期末）
19．综合与实践课上，同学们以“一个含30°角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已知两直线a，b且ab，三角形ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60° ∠BAC=30°．操作发现：
(1)如图1，若∠1=42°，求∠2的度数；
(2)小聪同学把图1中的直线a向上平移得到如图2，请你探究图2中的∠1与∠2的数量关系，并说明理由．
(3)小颖同学将图2中的直线b向上平移得到图3，若∠2=4∠1，求∠1的度数．
（2023春 盐都区期中）
20．【教材呈现】苏科版义务教育数学教科书七下第42页第20题，是一道研究双内角平分线的夹角和双外角平分线夹角的数学问题，原题如下．
在中，．
（1）设、的平分线交于点O，求的度数；
（2）设的外角、的平分线交于点，求的度数；
（3）与有怎样的数量关系？
【问题解决】聪聪对上面的问题进行了研究，得出以下答案：
如图1，在中，．
(1) 、的平分线交于点O，则的度数为________；
(2)的外角、的平分线交于点，则的度数为________；
(3)与的数量关系是_________．
(4)【问题深入】
如图2，在中，、的角平分线交于点O，将沿折叠使得点A与点O重合，请直接写出与的一个等量关系式：
(5)如图3，过的外角、的平分线的交点，作直线交于点P，交于点Q．当时，与有怎样的数量关系？请直接写出结果．
（2023春 郯城县期中）
21．已知，直线交、交于点M、N．
(1)如图1所示，点E在线段上，设，，则
(2)如图2所示，点E在线段上，，平分，交的延长线于点F，试找出、、之间的数量关系，并证明；（提示：不能使用“三角形内角和是”）
(3)如图3所示，点B、C、D在同一条直线上，与的角平分线交于点P，请直接写出与的数量关系： ．
（2023春 单县期末）
22．如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B=38°，∠C=64°．
（1）求∠DAE的度数；
（2）如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，∠B=α，∠C=β（α＜β），请用α、β 的代数式表示∠DFE．
（2023春 秀英区校级月考）
23．如图，在中，是的外角，平分，平分，平分，平分．
(1)若，求 度；
(2)求及的度数；
(3)若，求及的度数．（用含的代数式表示）
（2023 东兴区校级二模）
24．如图①，在中，与的平分线相交于点P．
(1)如果，求的度数；
(2)如图②，作外角、的平分线交于点Q，试探索、之间的数量关系；
(3)如图③，延长线段、交于点E，中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，请直接写出的度数．
（2023春 桂林期末）
25．实验与探究
小芳同学在用数学图形软件探究平行线的性质时，进行如下实验与探究：
在直线上取一定点N，作一任意三角形，过点M作直线，并标记为，为，请用平行线的相关知识解决下列问题．
(1)如图1，小芳发现，当点P落在直线与之间时，总有的结论，请你帮小芳说明理由；
(2)将三角形绕点N旋转，当点P落在直线与之外时（如图2），小芳发现，，，之间依然满足某种数量关系，请你写出这个数量关系，并说明理由；
(3)如图3，当点P落在直线与之间时，小芳用数学软件作出与的角平分线和，交点为点Q，发现与之间也满足某种数量关系，请你写出这个数量关系，并说明理由．
（2023春 徐州期末）
26．已知：在中，．过边上的点作，垂足为点．为的一条角平分线，为的平分线．
(1)如图1，若，点在边上且不与点重合．
①判断与的数量关系，并说明理由；
②判断与的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，若，点在边，与的延长线交于点，用含的代数式表示，并说明理由；
(3)如图3，若，点在边上，与交于点，用含的代数式表示，则 ．
（2023春 江都区期末）
27．如图，在中，于点，平分．
(1)若，则 ；
(2)与∠DAE有何数量关系？证明你的结论；
(3)点是线段上任一点（不与重合），作，交的延长线于点，点在的延长线上．若，求（用含代数式表示）．
（2023春 增城区期末）
28．如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM＝∠FME．
（1）直线AB与直线CD是否平行，说明你的理由；
（2）如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．
①当点G在点F的右侧时，若β＝60°，求α的度数；
②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
（2023春 信都区期末）
29．在中，BD平分交于点，点是线段上的动点（不与点重合），过点作交射线于点，的平分线所在直线与射线交于点．
(1)如图，点在线段上运动．
①若，则的度数是 ；的度数是 ，
②探究与之间的数量关系，并说明理由；
(2)若点在线段上运动时，请直接写出与之间的数量关系．
（2023春 曹县期末）
30．如图，，点C、D分别在射线、上，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点F．
(1)在图1中，当时，求的度数；
(2)如图2，当C、D两点分别在射线、上移动时（不与点O重合），其他条件不变，F的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，试求出的度数．
试卷第2页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）根据角平分线的定义得出，根据三角形内角和定理得出，进而即可求解；
（2）根据三角形内角和定理求得，根据是的角平分线，得出，根据，即可求解．
【详解】（1）解：∵、是、的角平分线，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵在中，是高，，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形中线，角平分线，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
2．(1)
(2)
【分析】（1）利用角平分线的定义求出，再利用三角形内角和定理求出；
（2）根据，求出，即可．
【详解】（1）解：平分，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：，
，
，
平分，
，
，
．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，三角形的高、角平分线，掌握性质是解题的关键．
3．(1)，
(2)，
(3)的值不变．理由见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理解答即可；
（2）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理解答即可；
（3）利用（2）的结论即得结果．
【详解】（1）解：∵分别是的平分线，，
∴
∴；
∵分别是的平分线，
∴
∴；
（2）解：在中，，
∵分别是的平分线，
∴，
∴
又∵，
∴；
∵分别是的平分线，
∴
∴
又∵，
∴；
（3）解：的值不变．
∵由（2）知，，
∴．
∴当的大小变化时，的值不变．
【点睛】本题考查角平分线的有关计算，三角形的内角和定理，学会整体思想是解题关键．
4．（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据角平分线的性质、外角性质和三角形内角和定理，求出，，再次利用三角形的内角和定理进行解答；
（2）根据角平分线的性质、外角性质和三角形内角和定理，求出，，，再次利用三角形的内角和定理进行解答；
（3）根据角平分线的性质、外角性质和三角形内角和定理，求出，，，再次利用三角形的内角和定理进行解答；
【详解】（1）证明：如图1，∵平分，平分，，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
解法2： ∵平分，平分，，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：如图所示：设与的交点为点O，
∵平分，平分，，，
∴，
，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
解法2 平分，平分，，，
∴，
，
∵，，
∴，
∴，
∴．
（3）解：关系为．理由如下：
如图所示：设与的交点为点O，
∵平分，平分，，，，
∴，
，
∵
，
∴，
∴．
解法2∵平分，平分，，，，
∴，
，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了角的平分线，三角形外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
5．(1)
(2)5
(3)①或；②或
【分析】（1）根据，平分，可得，再根据，即可得到的度数；
（2）根据余角的定义求解即可；
（3）①分两种情况进行讨论：当平分；当平分时；
②分两种情况进行讨论：当平分时；当平分时．
【详解】（1）解：∵，平分，
∴，
又∵，
∴；
（2）∵，，
∴，，，，，
∴互余的角有5对．
故答案为：5；
（3）①分两种情况：
当平分时，，
即
解得；
当平分时，，
即，
解得；
综上所述，当t的值为或时，直线平分；
②分两种情况：
当平分时，，
即，
解得；
当平分时，，
即，
解得；
综上所述，若直线平分，t的值为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，以及一元一次方程的应用，应用方程的思想和分类思想是解决问题的关键．
6．(1) 150°，90°；(2)60°.
【分析】在△ABC中，利用三角形内角和等于180°，可求∠ABC+∠ACB=180°-∠A，即可求∠ABC+∠ACB；同理在△XBC中，∠BXC=90°，那么∠XBC+∠XCB=180°-∠BXC，即可求∠XBC+∠XCB；
（2）不发生变化，由于在△ABC中，∠A=30°，从而∠ABC+∠ACB是一个定值，即等于150°，同理在△XBC中，∠BXC=90°，那么∠XBC+∠XCB也是一个定值，等于90°，于是∠ABX+∠ACX的值不变，等于150°-90°=60°；
【详解】解：（1）∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A=30°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-30°=150°，
同理可得：∠XBC+∠XCB=180°-90°=90°，
故答案为：150°，90°
（2）不发生变化．
∵∠A=30°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=150°，（三角形内角和180°）
∵∠YXZ=90°，
∴∠XBC+∠XCB=90°，（三角形内角和180°）
∴∠ABX+∠ACX=150°-90°=60°.
【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．
7．(1)①∠EDF+∠BGF=90°，理由见解析；②过程见解析
(2)∠BGF -∠EDF=90°或∠BGF +∠EDF=90°
【分析】对于（1）①，过点F作平行线，再根据平行线的性质∠EDF=∠1和∠BGF=∠2，
然后根据垂直可得结论；
对于②，根据平行线的性质得∠ABC=∠AFH和∠EDF=∠1，再根据垂直定义得∠BFG+∠3=90°，整理可得结论；
对于（2），分两种情况讨论，再结合（1）给出证明即可．
【详解】（1）过点F作FH∥BC交AC于点H
①∠EDF+∠BGF=90°．
理由如下：
∵FH∥BC，ED∥BC，
∴ED∥FH，
∴∠EDF=∠1．
∵FH∥BC，
∴∠BGF=∠2，
∴∠EDF+∠BGF=∠1+∠2．
∵FG⊥FD，
∴∠DFG=90°，即∠1+∠2=90°，
∴∠EDF+∠BGF=90°；
②∵FH∥BC，
∴∠ABC=∠AFH，即∠ABC=∠1+∠3．
∵FG⊥FD，
∴∠DFG=90°，
∴∠BFG+∠3=90°，即∠BFG=90°-∠3．
∵ED∥FH，
∴∠EDF=∠1，
∴∠ABC+∠BFG -∠BFG=∠1+∠3+90°-∠3-∠1=90°；
（2）当点G在线段BC上时，∠BGF -∠EDF=90°；
过点F作，
∵FH∥BC，ED∥BC，
∴ED∥FH，
∴∠EDF=∠DFH．
∵FH∥BC，
∴∠BGF=∠GFH，
∴∠BGF=∠GFD+∠EDF．
∵FG⊥FD，
∴∠GFD=90°，
∴∠BGF-∠EDF =90°；
当点G在点B的左侧时，∠BGF+∠EDF=90°；
过点F作，
∵FR∥BC，ED∥BC，
∴ED∥FR，
∴∠EDF=∠DFR．
∵FR∥BC，
∴∠BGF+∠GFR=180°，
∴∠BGF+∠GFD+∠EDF=180°．
∵FG⊥FD，
∴∠GFD=90°，
∴∠BGF+90°+∠EDF =180°，
即∠BGF+∠EDF =90°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，垂直的定义等，构造平行线是解题的关键．
8．(1)
(2)的度数为或或
(3)，
【分析】（1）由“优雅三角形”的定义可得另两个角之和为，即可求解；
（2）①当“优雅角”为时，可求另一个角为，可求，即可求解；②当另两个角中有“优雅角”时，另两个角分别为：，，即可求解；
（3）解：可证，，①当，时，，，，即可求解；②当，时，，，即可求解；③当，时，可求，即可求解；④当，时，可求，，即可求解；⑤当，，可求，，⑥当，时，，，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得
一个“优雅三角形”的一个内角为，
另两个角之和为：，
“优雅角”为锐角，
“优雅角”为，另一个角为．
（2）解：交于点B，
，
，是“优雅三角形”，
①当“优雅角”为时，
另一个角为，
，
；
②当另两个角中有“优雅角”时，
另两个角之和为，
根据“优雅三角形”的定义，另两个角分别为：，，
当时，，
当，．
综上所述：的度数为或或．
（3）解：，
，
，
，
平分交于点E，
，
，
是“优雅三角形”，
①当，时，
，
，
，
，
解得，
故；
②当，时，
，
，
，不成立，
故此情况不存在；
③当，时，
，
，
，
，
解得，
；
④当，时，
，
，
，
，
解得，
；
⑤当，时，
，
，
，
解得：，
；
⑥当，，
，
，
，不成立，
综上所述，∠C的度数为：，．
【点睛】本题考查了几何新定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的判定及性质等，理解新定义，掌握相关的性质是解题的关键．
9．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题；
（2）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解；
（3）在中，由于，求出，由，得出，求解即可．
【详解】（1），
，
与的平分线交于点，
，，
；
故答案为：；
（2）的外角，的平分线交于点，
，．
，
，
；
（3）如图，延长至，
为的外角的角平分线，
是的外角的平分线，
，
平分，
，
，
，
即，
又，
，即，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．
10．(1)见解析
(2)①；②，理由见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义以及三角形内角和定理证明即可；
（2）①根据三角形外角的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可；
②根据三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义求解即可．
【详解】（1）解：∵分别是，的平分线，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）①，理由如下：
∵分别是的两个外角，的平分线，
∴，，
∵，，
∴
，
故答案为：；
②与之间的等量关系是：，理由如下：
∵分别是的一个内角和一个外角的平分线，
，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
11．(1)，75，180
(2)结论：∠D+∠P的值不变，理由见解析
【分析】（1）根据三角形的内角和定理用表示出，再根据角平分线的定义表示出，然后在中利用三角形的内角和定理可得出的度数；根据三角形的内角和定理及其推论以及角平分线的定义及三角形外角的性质即可得出的度数；
（2）根据（1）中与的式子即可得出结论．
【详解】（1）解：，
，
分别是的平分线，
，，
，
，
，
，
分别是的平分线，
，，
，
，
，
故答案为：105，75，180．
（2）解：结论：的值不变．理由如下：
在中，，
分别是的平分线，
，，
在中，，
分别是的平分线，
，，
，
在中，
，
∴．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义，熟练三角形的内角和等于是解题的关键．
12．（1）；（2）结论：．理由见解析；（3）或
【分析】（1）利用三角形的内角和定理和角平分线的定义即可解决问题；
（2）结论：．由翻折可知，，由得出，再根据三角形外角的性质可得出，从而得出结论；
（3）分两种情形分别求解即可解决问题．
【详解】解：（1）∵，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
（2）结论：．理由：
由折叠可知：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
（3）旋转角的度数为或．
①当时，
∵，
∴，
∵将折叠，点B落在点F处，折痕为，将绕点D逆时针旋转一个角度α，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当时，
∵，
∴，
∵将折叠，点B落在点F处，折痕为，将绕点D逆时针旋转一个角度α，
∴，
∴，
∴，
∴；
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
综上所述，旋转角a的度数为或．
【点睛】本题主要考查了三角形的综合，旋转变换，翻折变换，三角形内角和定理，三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，具有分类讨论的思想．
13．(1)
(2)
(3)
(4)或或或
【分析】（1）根据已知条件和角平分线的性质，求出和，再利用三角形内角和定理进行计算；
（2）根据已知条件和角平分线的性质，把和用和表示出来，再利用表示出来，最后利用三角形内角和定理进行代换即可；
（3）根据已知条件和角平分线的性质，求出和，再利用三角形内角和定理进行计算；
（4）根据已知条件求出的度数，然后由（3）求出的，利用三角形内角和求出，再分4种情况讨论，求出的度数．
【详解】（1）解：分别是和的角平分线，，
，
，
；
（2）解：分别是和的角平分线，
，
，
；
（3）解：分别是的角平分线，
，，
，
，，
，
，
，
；
（4）解：是的角平分线，是的角平分线，
，
，
，
，
由（3）知，
，
，
∵在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，，
都是锐角，
∴分四种情况讨论：
①，
，
，
；
②，
，
；
③，
，
，
，
④，
，
解之得：，
综上可知：的度数为或或或．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键．
14．（1）见解析（2）不变，（3）或
【分析】(1)利用三角形外角定理分别在△ABC与△BCP中建立等式关系：∠1=∠2+∠P，2∠1=2∠2+∠A，则，于是．
(2)与(1)的思路一样，可以先证得，然后结合已知，可得．
(3)分两种情况讨论．根据点B所处的位置不同，则或，的度数等于度数的一半即可求得结果．
【详解】解：(1)如图1，
∵，，
∴，．
又∵平分，平分
∴，，
∴，
∴．
(2)的大小不变．
理由：如图2，
∵，，
∴，．
又∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴．
(3)分两种情况讨论：
①如图3，
∵，，
∴，．
又∵平分，平分，
∴，，
∴
∴．
②如图4，
∵，，
∴，．
又∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形外角定理，解题的关键是灵活对等式进行适当变形．
15．（1）；（2）；（3），理由见解析
【分析】（1）由对顶三角形可得，再根据三角形内角和定理即可得到答案；
（2）由对顶三角形的性质以及三角形内角和定理得到，再根据已知即可求解；
（3）利用三角形内角和定理求得，再利用角平分线的定义求得，，最后根据对顶三角形的性质即可求解．
【详解】解：（1）由对顶三角形可得，
在中，
，
，
故答案为：；
（2）在中，，
，
、分别平分和，
，
，
，
，；
（3）
理由：在中，，
，
、分别平分和，
，
，
，
和的平分线和相交于点，
，
，
，
，
故：．
【点睛】本题考查了几何新定义，三角形的角平分线，三角形内角和定理，理解新定义，会根据新定义的进行计算是解题的关键．
16．论证：见解析；应用：①；②；拓展：存在，15秒或秒
【分析】论证：利用平行线的性质以及平角的性质即可证明；
应用：①利用平行线的性质以及角平分线的定义求得，再推出、，再利用平角的性质即可求解；②在中，，由三角形的外角性质推出，结合①的结论得到，据此计算即可求解．
拓展：当旋转一周时，运动全部停止，求得总时间为30秒，与重合时间为15秒，分在前15秒内和后15秒内，两种情况讨论，根据与平行的次数，求解即可．
【详解】论证：
证明：延长至，过点作，
，
，
，
即三角形的内角和为；
应用：
解：①如图，
，
，
是的角平分线，
，
，
又，
，
，
；
②是的角平分线，
，
在中，，
，
，即，
，
，
，
，
，
拓展：
当旋转一周运动停止，
总时间（秒），
与重合时再以原速返回，
重合时间为秒，此时，延长CB交于点，
在前15秒内，由逐渐减少，由逐渐减少至，
又当秒时，旋转至，此时，而由逐渐减少至，
在前15秒内，与仅一次平行，即与重合时，此时（秒），
同理，后15秒，由逐渐增至，由逐渐增至，与仅可能一次平行，
有，
解得，
（秒），
综上，的值为15秒或秒．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查的是三角形内角和定理、平行线的性质，熟练掌握三角形内角和定理、平行线的性质，采用分类讨论思想解题，是解此题的关键．
17．(1)62；
(2)，见解析
(3)存在，或或或
【分析】（1）直接利用角的和差关系可得答案，再根据旋转的性质可得；
（2）证明，结合，可得
（3）分情况讨论：①如图，当时，②如图，当时，③如图，当时，④如图，当时，再利用数形结合的方法解答即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴；
当，由旋转的性质可得：；
（2）与的关系是：，
理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴；
（3）∵，
∴，，
①如图，当时，
∴
∴；
②如图，当时，
∴
③如图，当时，
∴，
∴．
④如图，当时，
∴，
∴；
综上：与这两个三角形的一组边互相平行时，为或或或．
【点睛】本题考查的是旋转的性质，平行线的性质，邻补角的含义，清晰的分类讨论是解本题的关键．
18．(1)，
(2)，理由见解析
(3)
(4)
【分析】（1）利用题目所给的平面镜反射光线的规律，再结合三角形的内角和定理以及两直线平行，同旁内角互补可解决问题；
（2）利用题目所给的平面镜反射光线的规律，再结合三角形的内角和定理以及两直线平行，同旁内角互补可解决问题；
（3）利用题目所给的平面镜反射光线的规律，再结合三角形的内角和定理以及两直线平行，同旁内角互补可解决问题；
（4）利用题目所给的平面镜反射光线的规律，再结合三角形的内角和定理可解决问题．
【详解】（1）解：由题知，
，则，
又，
，则，
又，则，
由三角形的内角和可知，，
故答案为：；
（2）解：，
由题知，
，
，
又，
则，
即，
故和的数量关系为：；
（3）由题知，
，
，
又，
，
即，
由三角形的内角和得，，
故的度数为；
（4）解：如图，
，
由题知，
，，
又，
，
，
故的度数为．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质，熟练的运用题中所给的“平面镜反射光线规律”是解题的关键．
19．(1)132°
(2)∠2-∠1=120°，理由见解析
(3)30°
【分析】（1）由题意可求得∠ACP=∠1+∠ACB=132°，再由平行线的性质即可求得∠2的度数；
（2）由题意可求得∠ACP=∠1+∠ACB，由平行线的性质可得∠AGF=∠ACP，再由三角形的外角性质即可求解；
（3）由图可知∠1=∠CMN，则由三角形的外角性质得∠ANM=∠1+90°，利用平行线的性质得∠2=∠ANM，从而可求解．
【详解】（1）如图1，
∵∠ACB=90°，∠1=42°，
∴∠ACP=∠1+∠ACB=132°，
∵a∥b，
∴∠2=∠ACP=132°；
（2）∠2-∠1=120°，理由如下：
如图2，由题意得：∠ACP=∠1+∠ACB=∠1+90°，
∵a∥b，
∴∠AGF=∠ACP=∠1+90°，
∵∠2是△AFG的外角，
∴∠2=∠BAC+∠AGF=30°+∠1+90°，
即∠2-∠1=120°；
（3）∵∠1=∠CMN，∠ACB=90°，
∴∠ANM=∠CMN+∠ACB=∠1+90°，
∵a∥b，
∴∠2=∠ANM=∠1+90°，
∵∠2=4∠1，
∴4∠1=∠1+90°，
解得：∠1=30°．
【点睛】本题主要考查三角形的内角和，平行线的性质，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．
20．(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)
【分析】（1）由三角形内角和定理得到，，再根据角平分线的定义，推出，即可求出的度数；
（2）根据三角形外角的定义，推出，再根据角平分线的定义，推出，然后利用三角形内角和定理即可求出的度数；
（3）根据（1）和（2）的结果即可得到答案；
（4）由折叠的性质可知，，，得到，，再根据三角形内角和定理，推出，由（1）同理可证，据此即可得到答案；
（5）根据多边形内角和与角平分线的定义，推出，再根据三角形外角的性质，得到，最后根据，即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
平分，平分，
，，
，
，
故答案为：；
（2）解：，，
，
平分，平分，
，，
，
，
故答案为：；
（3）解：由（1）和（2）可知，，，
，
故答案为：
（4）解：，理由如下：
由折叠的性质可知，，，
，，
，
，
由（1）同理可证，，
，
；
（5）解：四边形的内角和为，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，多边形内角和，根据图形找出角度之间的数量关系是解题关键．
21．(1)
(2)，证明见解析；
(3)
【分析】（1）过点E作，根据平行线的性质得到和的度数，即可求出的度数；
（2）过点E作，根据平行线的性质，推出，再结合角平分线的定义，推出，进而求得，然后利用对顶角相等，即可求出的度数；
（3）根据角平分线的定义和三角形外角的性质进行求解即可得到答案．
【详解】（1）解：过点E作，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：，证明如下：
过点E作，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
；
（3）解：平分， 平分，
， ，
，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识，找准角度之间的数量关系是解题关键．
22．（1）∠DAE的度数为13°；（2）∠DFE=．
【分析】（1）先利用三角形内角和定理求出∠BAC=78°，再由角平分线的定义求出∠BAD=39°，由三角形外角的性质得到∠ADE=∠B+∠BAD=77°，再由垂直的定义得到∠AEB=90°，由此即可求解；
（2）同（1）进行求解即可；
【详解】解：（1），，
，
平分，
，
，
，
，
．
（2），，
，
平分，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，垂直的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
23．(1)125
(2)，
(3)，
【分析】（1）先由角平分线的性质可得，，由可得度数，；
（2）由角平分线知、，由知，同理可得的度数；
（3）利用角平分线的定义、三角形外角的性质及三角形内角和定理进行计算即可．
【详解】（1）解：平分，平分，
，，
；
故答案为：125；
（2）解：平分，平分，平分，平分，
，，，，
，
，
；
（3）解：平分，平分，平分，平分，
，，，，
，
．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质是解题的关键．
24．(1)
(2)
(3)∠A的度数是或或．
【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题；
（2）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解；
（3）在中，由于，求出，，所以如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①；②；③；④；分别列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：∵．
∴，
∵点P是和的平分线的交点，
∴；
（2）解：∵外角，的角平分线交于点Q，
∴
，
∴；
（3）解：延长至F，
∵为的外角的角平分线，
∴是的外角的平分线，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
即，
又∵，
∴，即；
∵
．
如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①，则，；
②，则，；
③，则，解得；
④，则，解得．
综上所述，∠A的度数是或或．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．
25．(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)或，理由见解析
【分析】（1）作，可得，然后根据平行线的性质和角的和差可得结论；
（2）作，可得，然后根据平行线的性质和角的和差可得结论；
（3）分两种情况：当点P在右侧时，如图3，由（1）的结论可得：，然后根据角平分线的定义和角的代换即可得出结论；当点P在左侧时，同理即可解答．
【详解】（1）解：理由如下：作，如图1，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
作，如图2，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：当点P在右侧时，；理由如下：
如图3，由（1）的结论可得：，
∵分别平分，
∴，
∴
；
当点P在左侧时，；理由如下：
如图3，由（1）的结论可得：，
∵分别平分，
∴，
∴；
综上，或
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质以及角平分线的定义，正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
26．(1)①，见解析；②，见解析
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）①利用角平分线的性质及三角形内角和定理即可解答，②利用角的关系可证明与的位置关系；
（2）利用角平分线的性质及三角形内角和定理找到各角之间的等量关系求解即可；
（3）利用角平分线的性质及三角形内角和定理找到各角之间的等量关系求解即可．
【详解】（1）解：①，
，
又，
，即，
；
②
，
；
（2）解：，
证明：，
，
，
，
又，
整理得，
，将之代入，
得；
（3）解：，
，
又，
，
，
将之代入，
得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质、平行线的判定，解答本题的关键是找到各相关角之间的等量关系，然后利用三角形内角和定理列出等式即可．
27．(1)11
(2)，证明见解析
(3)，
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，在中求出的度数，即可求出的度数；
（2）根据三角形内角和定理用表示出，再根据角平分线的定义表示出，在中用表示出，即可求出与的关系；
（3）根据三角形外角的性质得到，即①，根据平行线的性质得到，根据（2）中的结论得到②，①与②组成方程组，求解即可．
【详解】（1）解：在中，，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
故答案为：11；
（2）解：，
证明：在中，，
，
平分，
，
，
，
，
；
（3）解：是的一个外角，
，
，
，
，
，
，
，
，
由（2）知，
，
即②，
①、②组成方程组得，
解得，
，．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、平行线的判定与性质、角平分线的定义、二次元一次方程组的解法、垂线的定义等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
28．（1）AB∥CD，理由见解析；（2）①30°；②α＝β或，证明见解析
【分析】（1）根据角平分线的性质及等量代换证明∠AEM＝∠FME即可．
（2）①根据平行线的性质求∠BEG，利用平角的定义求出∠AEG的度数，根据角平分线的定义求出∠HEN即可解决问题．②结论：α=β．根据平行线的性质求∠BEG，利用平角的定义表示∠AEG的度数，根据角平分线的定义表示∠HEN即可解决问题．
【详解】解：（1）结论：．
理由：如图1中，
平分交于点，
，
．
，
．
（2）①如图2中，
，
，
，
，，
，
，
，
．
②猜想：或
理由：①当点在的右侧时，
，
，
，
，，
，
，
，
．
②当点在的左侧在线段上时，同法可得，
综上所述，或．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
29．(1)①；②，理由见解析
(2)
【分析】（1）①根据三角形的内角和及平行线的性质可知，再利用角平分线的定义即可解答；②根据三角形外角的性质及平行线的性质得到，再根据三角形内角和定理及角平分线的定义即可解答；
（2）根据平行线的性质及角平分线的定义得到，再根据角平分线的定义及外角的性质即可解答．
【详解】（1）解：①，
∴在中，，
，
，
平分，
，
，
故答案为：；
②是是一个外角，
，
，
，
，
，
∵BD平分平分，
，，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
是的平分线，
，
，
，
平分，
，
．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质、角平分线的定义、三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
30．(1)
(2)不变，
【分析】（1）根据角平分线的定义和角平分线的性质求得，即可；
（2）同理，设，利用角平分线的定义和三角形的外角性质求得，即可．
【详解】（1）解：因为，平分，
所以，又因为，
所以，
因为平分，
所以，
因为；
（2）解：的大小不变．
设，则，，
所以，
所以．
【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解答的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
（2022秋 海珠区校级期末）
1．如图，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点，．
(1)的度数为______；
(2)若，求的度数．
（2023春 洛宁县期末）
2．如图，为的高，，为的角平分线，，．
(1) °；
(2)求的度数．
（2023春 丰城市期末）
3．如图，在中，分别是的平分线，分别是的平分线．
(1)当时， °， °；
(2)，求的度数；
(3)请你猜想，当的大小变化时，的值是否变化？请说明理由．
（2023春 乐山期末）
4．（1）如图1，中，延长到M，平分，延长到N，平分，交于点P，若．求证：；
（2）如图2，中，E是边上一点，F是边上一点，延长到M，平分，平分，交于点P，若，，．求证：；
（3）如图3，中，E是边上一点，F是边上一点，延长到G，平分，平分，交于点P，若，，，探究并直接写出α，β，θ之间的等量关系．
（2022秋 黄石期末）
5．如图，直线与EF相交于点O，，将一直角三角尺（含和）的直角顶点与O重合，平分．
(1)求的度数；
(2)图中互余的角有 对；
(3)将三角尺以每秒的速度绕点O顺时针旋转，同时直线以每秒的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为．
①当t为何值时，直线平分．
②当 时，直线平分．
（2022秋 淮南期末）
6．（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C直角顶点X在△ABC内部，若∠A=30 ，则∠ABC+∠ACB=_____ ，∠XBC+∠XCB=________
（2）如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过点B、C，直角顶点X还在△ABC内部，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化 若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小．
（2023春 栾城区校级期末）
7．在三角形ABC中，点D在线段AC上，交AB于点E，点F在线段AB上（点F不与点A，E，B重合），连接DF，过点D作交射线CB于点G．
(1)如图1，点F在线段BE上，
①用等式表示∠EDF与∠BGF的数量关系，并说明理由；
②如图，求证：；
(2)当点F在线段AE上时，依题意，在图2中补全图形，请直接用等式表示∠EDF与∠BGF的数量关系，不需证明．
（2023春 邗江区期中）
8．阅读下列材料并解答问题：
在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的2倍，那么这样的三角形我们称为“优雅三角形”，其中称为“优雅角”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是、、，这个三角形就是“优雅三角形”，其中“优雅角”为．反之，若一个三角形是“优雅三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的2倍．
(1)一个“优雅三角形”的一个内角为，若“优雅角”为锐角，则这个“优雅角”的度数为 ．
(2)如图1，已知，在射线上取一点A，过点A作交于点B，以A为端点画射线交线段于点C（点C不与点O、点B重合）．若是“优雅三角形”，求的度数．
(3)如图2，中，点D在边上，平分交于点E，F为线段上一点，且，．若是“优雅三角形”，求的度数．
（2023春 邗江区期中）
9．综合与探究：爱思考的小明在学习过程中，发现课本有一道习题，他在思考过程中，对习题做了一定变式，让我们来一起看一下吧．在中，与的平分线相交于点P．
(1)如图1，如果，那么___________°
(2)如图2，作的外角，的平分线交于点Q，试探究与的数量关系．
(3)如图3，在（2）的条件下，延长线段交于点E，在中，若，求的度数．
（2022秋 海丰县期末）
10．综合与探究：
【情境引入】
(1)如图1，分别是的内角，的平分线，说明的理由．
【深入探究】
(2)①如图2，分别是的两个外角，的平分线，与之间的等量关系是______；
②如图3，分别是的一个内角和一个外角的平分线，交于点D，探究与之间的等量关系，并说明理由．
（2023春 南阳期末）
11．如图，在中，分别是的平分线，分别是的平分线．
(1)若，则 ， ， ；
(2)当变化时，∠D+∠P的值是否变化？请说明理由．
（2023春 洪洞县期末）
12．在中，于点D．
特例研究：
（1）如图1，若的平分线能交于点E，，，求的度数；
操作发现：
如图2，点M，N分别在线段，，将折叠，点B落在点F处，点C落在点G处，折痕分别为和，点G，F都在射线上；
（2）若，试猜想与之间的数量关系，并说明理由；
（3）将绕点D逆时针旋转，旋转角记为．记旋转中的为，在旋转过程中，点M，F的对应点分别为，，直线与直线交于点Q，与直线交于点P．若，，请直接写出旋转角α的度数．
（2023春 东方校级期末）
13．在中，与的平分线相交于点．
(1)如图1，如果，求的度数；
(2)如图1，如果，用含的代数式表示；
(3)探索：如图2，作外角的平分线交于点，试写出之间的数量关系；
(4)拓展：如图3，延长线段交于点，中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出的度数．
（2023春 商水县期末）
14．【基本模型】（1）如图1，在中，平分，平分外角，试说明．
【变式应用】（2）如图2，，A，B分别是射线上的两个动点，与的平分线的交点为P，则点A，B的运动的过程中，的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．
【拓展应用】（3）如图3，，作的平分线，A是射线上的一定点，B是直线上的任意一点（不与点O重合），连接，设的平分线与的邻补角的平分线的交点为P，请直接写出的度数．
（2023春 大荔县期末）
15．我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角为对顶角，则与为“对顶三角形”，根据三角形三个内角和是，“对顶三角形”有如下性质：．
性质理解：
（1）如图1，在“对顶三角形”与中，则，则 °．
性质应用：
（2）如图2，在中，、分别平分和，若，比大，求的度数．
拓展提高：
（3）如图3，、是的角平分线，且和的平分线和相交于点P，设，请尝试求出的度数（用含的式了表示）．
（2023春 金华期末）
16．数学兴趣小组围绕“三角形的内角和是”，进行了一系列探究，过程如下：
【论证】如图1，延长至，过点作，就可以说明成立，即：三角形的内角和为，请完成上述说理过程．
【应用】如图2，在中，的平分线与的角平分线交于点，过点作，在射线上，且，的延长线与的延长线交于点．
①求的度数；
②设，请用的代数式表示．
【拓展】如图3，在中，，过点作，直线与相交于点右侧的点，．绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，同时绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，与重合时再绕着点以原速度逆时针方向旋转，当旋转一周时，运动全部停止，设运动时间为秒，在旋转过程中，是否某一时刻，使得与的一边平行？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
（2023春 云浮期末）
17．如图1，在直角三角形中，，，现将绕点顺时针旋转角度得到．
(1)若时，则______°；若时，与的关系是______；
(2)与有怎样的关系？请说明理由．
(3)在旋转过程中，若时，与这两个三角形是否存在一组边互相平行？若存在，请求出的所有可能取值．
（2023春 荣成市期末）
18．实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则入射光线，反射光线与平面镜所夹的锐角．
(1)如图2，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被反射，若被反射出的光线与光线平行，且，则 ， ；
(2)图2中，当被反射出的光线与光线平行时，不论如何变化，与总具有一定的数量关系，请猜想和的数量关系，并说明理由；
(3)图2中，请你探究：当任何射到平面镜上的光线，经过平面镜、的两次反射后，入射光线与反射光线平行，求两平面镜、的夹角的度数；
(4)如图3，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被反射，若被反射出的光线与光线垂直，求出此时的度数？（友情提示：三角形内角和等于）
（2023春 定兴县期末）
19．综合与实践课上，同学们以“一个含30°角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已知两直线a，b且ab，三角形ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60° ∠BAC=30°．操作发现：
(1)如图1，若∠1=42°，求∠2的度数；
(2)小聪同学把图1中的直线a向上平移得到如图2，请你探究图2中的∠1与∠2的数量关系，并说明理由．
(3)小颖同学将图2中的直线b向上平移得到图3，若∠2=4∠1，求∠1的度数．
（2023春 盐都区期中）
20．【教材呈现】苏科版义务教育数学教科书七下第42页第20题，是一道研究双内角平分线的夹角和双外角平分线夹角的数学问题，原题如下．
在中，．
（1）设、的平分线交于点O，求的度数；
（2）设的外角、的平分线交于点，求的度数；
（3）与有怎样的数量关系？
【问题解决】聪聪对上面的问题进行了研究，得出以下答案：
如图1，在中，．
(1) 、的平分线交于点O，则的度数为________；
(2)的外角、的平分线交于点，则的度数为________；
(3)与的数量关系是_________．
(4)【问题深入】
如图2，在中，、的角平分线交于点O，将沿折叠使得点A与点O重合，请直接写出与的一个等量关系式：
(5)如图3，过的外角、的平分线的交点，作直线交于点P，交于点Q．当时，与有怎样的数量关系？请直接写出结果．
（2023春 郯城县期中）
21．已知，直线交、交于点M、N．
(1)如图1所示，点E在线段上，设，，则
(2)如图2所示，点E在线段上，，平分，交的延长线于点F，试找出、、之间的数量关系，并证明；（提示：不能使用“三角形内角和是”）
(3)如图3所示，点B、C、D在同一条直线上，与的角平分线交于点P，请直接写出与的数量关系： ．
（2023春 单县期末）
22．如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B=38°，∠C=64°．
（1）求∠DAE的度数；
（2）如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，∠B=α，∠C=β（α＜β），请用α、β 的代数式表示∠DFE．
（2023春 秀英区校级月考）
23．如图，在中，是的外角，平分，平分，平分，平分．
(1)若，求 度；
(2)求及的度数；
(3)若，求及的度数．（用含的代数式表示）
（2023 东兴区校级二模）
24．如图①，在中，与的平分线相交于点P．
(1)如果，求的度数；
(2)如图②，作外角、的平分线交于点Q，试探索、之间的数量关系；
(3)如图③，延长线段、交于点E，中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，请直接写出的度数．
（2023春 桂林期末）
25．实验与探究
小芳同学在用数学图形软件探究平行线的性质时，进行如下实验与探究：
在直线上取一定点N，作一任意三角形，过点M作直线，并标记为，为，请用平行线的相关知识解决下列问题．
(1)如图1，小芳发现，当点P落在直线与之间时，总有的结论，请你帮小芳说明理由；
(2)将三角形绕点N旋转，当点P落在直线与之外时（如图2），小芳发现，，，之间依然满足某种数量关系，请你写出这个数量关系，并说明理由；
(3)如图3，当点P落在直线与之间时，小芳用数学软件作出与的角平分线和，交点为点Q，发现与之间也满足某种数量关系，请你写出这个数量关系，并说明理由．
（2023春 徐州期末）
26．已知：在中，．过边上的点作，垂足为点．为的一条角平分线，为的平分线．
(1)如图1，若，点在边上且不与点重合．
①判断与的数量关系，并说明理由；
②判断与的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，若，点在边，与的延长线交于点，用含的代数式表示，并说明理由；
(3)如图3，若，点在边上，与交于点，用含的代数式表示，则 ．
（2023春 江都区期末）
27．如图，在中，于点，平分．
(1)若，则 ；
(2)与∠DAE有何数量关系？证明你的结论；
(3)点是线段上任一点（不与重合），作，交的延长线于点，点在的延长线上．若，求（用含代数式表示）．
（2023春 增城区期末）
28．如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM＝∠FME．
（1）直线AB与直线CD是否平行，说明你的理由；
（2）如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．
①当点G在点F的右侧时，若β＝60°，求α的度数；
②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
（2023春 信都区期末）
29．在中，BD平分交于点，点是线段上的动点（不与点重合），过点作交射线于点，的平分线所在直线与射线交于点．
(1)如图，点在线段上运动．
①若，则的度数是 ；的度数是 ，
②探究与之间的数量关系，并说明理由；
(2)若点在线段上运动时，请直接写出与之间的数量关系．
（2023春 曹县期末）
30．如图，，点C、D分别在射线、上，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点F．
(1)在图1中，当时，求的度数；
(2)如图2，当C、D两点分别在射线、上移动时（不与点O重合），其他条件不变，F的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，试求出的度数．
试卷第2页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）根据角平分线的定义得出，根据三角形内角和定理得出，进而即可求解；
（2）根据三角形内角和定理求得，根据是的角平分线，得出，根据，即可求解．
【详解】（1）解：∵、是、的角平分线，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵在中，是高，，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形中线，角平分线，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
2．(1)
(2)
【分析】（1）利用角平分线的定义求出，再利用三角形内角和定理求出；
（2）根据，求出，即可．
【详解】（1）解：平分，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：，
，
，
平分，
，
，
．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，三角形的高、角平分线，掌握性质是解题的关键．
3．(1)，
(2)，
(3)的值不变．理由见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理解答即可；
（2）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理解答即可；
（3）利用（2）的结论即得结果．
【详解】（1）解：∵分别是的平分线，，
∴
∴；
∵分别是的平分线，
∴
∴；
（2）解：在中，，
∵分别是的平分线，
∴，
∴
又∵，
∴；
∵分别是的平分线，
∴
∴
又∵，
∴；
（3）解：的值不变．
∵由（2）知，，
∴．
∴当的大小变化时，的值不变．
【点睛】本题考查角平分线的有关计算，三角形的内角和定理，学会整体思想是解题关键．
4．（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据角平分线的性质、外角性质和三角形内角和定理，求出，，再次利用三角形的内角和定理进行解答；
（2）根据角平分线的性质、外角性质和三角形内角和定理，求出，，，再次利用三角形的内角和定理进行解答；
（3）根据角平分线的性质、外角性质和三角形内角和定理，求出，，，再次利用三角形的内角和定理进行解答；
【详解】（1）证明：如图1，∵平分，平分，，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
解法2： ∵平分，平分，，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：如图所示：设与的交点为点O，
∵平分，平分，，，
∴，
，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
解法2 平分，平分，，，
∴，
，
∵，，
∴，
∴，
∴．
（3）解：关系为．理由如下：
如图所示：设与的交点为点O，
∵平分，平分，，，，
∴，
，
∵
，
∴，
∴．
解法2∵平分，平分，，，，
∴，
，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了角的平分线，三角形外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
5．(1)
(2)5
(3)①或；②或
【分析】（1）根据，平分，可得，再根据，即可得到的度数；
（2）根据余角的定义求解即可；
（3）①分两种情况进行讨论：当平分；当平分时；
②分两种情况进行讨论：当平分时；当平分时．
【详解】（1）解：∵，平分，
∴，
又∵，
∴；
（2）∵，，
∴，，，，，
∴互余的角有5对．
故答案为：5；
（3）①分两种情况：
当平分时，，
即
解得；
当平分时，，
即，
解得；
综上所述，当t的值为或时，直线平分；
②分两种情况：
当平分时，，
即，
解得；
当平分时，，
即，
解得；
综上所述，若直线平分，t的值为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，以及一元一次方程的应用，应用方程的思想和分类思想是解决问题的关键．
6．(1) 150°，90°；(2)60°.
【分析】在△ABC中，利用三角形内角和等于180°，可求∠ABC+∠ACB=180°-∠A，即可求∠ABC+∠ACB；同理在△XBC中，∠BXC=90°，那么∠XBC+∠XCB=180°-∠BXC，即可求∠XBC+∠XCB；
（2）不发生变化，由于在△ABC中，∠A=30°，从而∠ABC+∠ACB是一个定值，即等于150°，同理在△XBC中，∠BXC=90°，那么∠XBC+∠XCB也是一个定值，等于90°，于是∠ABX+∠ACX的值不变，等于150°-90°=60°；
【详解】解：（1）∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A=30°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-30°=150°，
同理可得：∠XBC+∠XCB=180°-90°=90°，
故答案为：150°，90°
（2）不发生变化．
∵∠A=30°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=150°，（三角形内角和180°）
∵∠YXZ=90°，
∴∠XBC+∠XCB=90°，（三角形内角和180°）
∴∠ABX+∠ACX=150°-90°=60°.
【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．
7．(1)①∠EDF+∠BGF=90°，理由见解析；②过程见解析
(2)∠BGF -∠EDF=90°或∠BGF +∠EDF=90°
【分析】对于（1）①，过点F作平行线，再根据平行线的性质∠EDF=∠1和∠BGF=∠2，
然后根据垂直可得结论；
对于②，根据平行线的性质得∠ABC=∠AFH和∠EDF=∠1，再根据垂直定义得∠BFG+∠3=90°，整理可得结论；
对于（2），分两种情况讨论，再结合（1）给出证明即可．
【详解】（1）过点F作FH∥BC交AC于点H
①∠EDF+∠BGF=90°．
理由如下：
∵FH∥BC，ED∥BC，
∴ED∥FH，
∴∠EDF=∠1．
∵FH∥BC，
∴∠BGF=∠2，
∴∠EDF+∠BGF=∠1+∠2．
∵FG⊥FD，
∴∠DFG=90°，即∠1+∠2=90°，
∴∠EDF+∠BGF=90°；
②∵FH∥BC，
∴∠ABC=∠AFH，即∠ABC=∠1+∠3．
∵FG⊥FD，
∴∠DFG=90°，
∴∠BFG+∠3=90°，即∠BFG=90°-∠3．
∵ED∥FH，
∴∠EDF=∠1，
∴∠ABC+∠BFG -∠BFG=∠1+∠3+90°-∠3-∠1=90°；
（2）当点G在线段BC上时，∠BGF -∠EDF=90°；
过点F作，
∵FH∥BC，ED∥BC，
∴ED∥FH，
∴∠EDF=∠DFH．
∵FH∥BC，
∴∠BGF=∠GFH，
∴∠BGF=∠GFD+∠EDF．
∵FG⊥FD，
∴∠GFD=90°，
∴∠BGF-∠EDF =90°；
当点G在点B的左侧时，∠BGF+∠EDF=90°；
过点F作，
∵FR∥BC，ED∥BC，
∴ED∥FR，
∴∠EDF=∠DFR．
∵FR∥BC，
∴∠BGF+∠GFR=180°，
∴∠BGF+∠GFD+∠EDF=180°．
∵FG⊥FD，
∴∠GFD=90°，
∴∠BGF+90°+∠EDF =180°，
即∠BGF+∠EDF =90°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，垂直的定义等，构造平行线是解题的关键．
8．(1)
(2)的度数为或或
(3)，
【分析】（1）由“优雅三角形”的定义可得另两个角之和为，即可求解；
（2）①当“优雅角”为时，可求另一个角为，可求，即可求解；②当另两个角中有“优雅角”时，另两个角分别为：，，即可求解；
（3）解：可证，，①当，时，，，，即可求解；②当，时，，，即可求解；③当，时，可求，即可求解；④当，时，可求，，即可求解；⑤当，，可求，，⑥当，时，，，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得
一个“优雅三角形”的一个内角为，
另两个角之和为：，
“优雅角”为锐角，
“优雅角”为，另一个角为．
（2）解：交于点B，
，
，是“优雅三角形”，
①当“优雅角”为时，
另一个角为，
，
；
②当另两个角中有“优雅角”时，
另两个角之和为，
根据“优雅三角形”的定义，另两个角分别为：，，
当时，，
当，．
综上所述：的度数为或或．
（3）解：，
，
，
，
平分交于点E，
，
，
是“优雅三角形”，
①当，时，
，
，
，
，
解得，
故；
②当，时，
，
，
，不成立，
故此情况不存在；
③当，时，
，
，
，
，
解得，
；
④当，时，
，
，
，
，
解得，
；
⑤当，时，
，
，
，
解得：，
；
⑥当，，
，
，
，不成立，
综上所述，∠C的度数为：，．
【点睛】本题考查了几何新定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的判定及性质等，理解新定义，掌握相关的性质是解题的关键．
9．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题；
（2）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解；
（3）在中，由于，求出，由，得出，求解即可．
【详解】（1），
，
与的平分线交于点，
，，
；
故答案为：；
（2）的外角，的平分线交于点，
，．
，
，
；
（3）如图，延长至，
为的外角的角平分线，
是的外角的平分线，
，
平分，
，
，
，
即，
又，
，即，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．
10．(1)见解析
(2)①；②，理由见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义以及三角形内角和定理证明即可；
（2）①根据三角形外角的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可；
②根据三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义求解即可．
【详解】（1）解：∵分别是，的平分线，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）①，理由如下：
∵分别是的两个外角，的平分线，
∴，，
∵，，
∴
，
故答案为：；
②与之间的等量关系是：，理由如下：
∵分别是的一个内角和一个外角的平分线，
，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
11．(1)，75，180
(2)结论：∠D+∠P的值不变，理由见解析
【分析】（1）根据三角形的内角和定理用表示出，再根据角平分线的定义表示出，然后在中利用三角形的内角和定理可得出的度数；根据三角形的内角和定理及其推论以及角平分线的定义及三角形外角的性质即可得出的度数；
（2）根据（1）中与的式子即可得出结论．
【详解】（1）解：，
，
分别是的平分线，
，，
，
，
，
，
分别是的平分线，
，，
，
，
，
故答案为：105，75，180．
（2）解：结论：的值不变．理由如下：
在中，，
分别是的平分线，
，，
在中，，
分别是的平分线，
，，
，
在中，
，
∴．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义，熟练三角形的内角和等于是解题的关键．
12．（1）；（2）结论：．理由见解析；（3）或
【分析】（1）利用三角形的内角和定理和角平分线的定义即可解决问题；
（2）结论：．由翻折可知，，由得出，再根据三角形外角的性质可得出，从而得出结论；
（3）分两种情形分别求解即可解决问题．
【详解】解：（1）∵，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
（2）结论：．理由：
由折叠可知：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
（3）旋转角的度数为或．
①当时，
∵，
∴，
∵将折叠，点B落在点F处，折痕为，将绕点D逆时针旋转一个角度α，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当时，
∵，
∴，
∵将折叠，点B落在点F处，折痕为，将绕点D逆时针旋转一个角度α，
∴，
∴，
∴，
∴；
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
综上所述，旋转角a的度数为或．
【点睛】本题主要考查了三角形的综合，旋转变换，翻折变换，三角形内角和定理，三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，具有分类讨论的思想．
13．(1)
(2)
(3)
(4)或或或
【分析】（1）根据已知条件和角平分线的性质，求出和，再利用三角形内角和定理进行计算；
（2）根据已知条件和角平分线的性质，把和用和表示出来，再利用表示出来，最后利用三角形内角和定理进行代换即可；
（3）根据已知条件和角平分线的性质，求出和，再利用三角形内角和定理进行计算；
（4）根据已知条件求出的度数，然后由（3）求出的，利用三角形内角和求出，再分4种情况讨论，求出的度数．
【详解】（1）解：分别是和的角平分线，，
，
，
；
（2）解：分别是和的角平分线，
，
，
；
（3）解：分别是的角平分线，
，，
，
，，
，
，
，
；
（4）解：是的角平分线，是的角平分线，
，
，
，
，
由（3）知，
，
，
∵在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，，
都是锐角，
∴分四种情况讨论：
①，
，
，
；
②，
，
；
③，
，
，
，
④，
，
解之得：，
综上可知：的度数为或或或．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键．
14．（1）见解析（2）不变，（3）或
【分析】(1)利用三角形外角定理分别在△ABC与△BCP中建立等式关系：∠1=∠2+∠P，2∠1=2∠2+∠A，则，于是．
(2)与(1)的思路一样，可以先证得，然后结合已知，可得．
(3)分两种情况讨论．根据点B所处的位置不同，则或，的度数等于度数的一半即可求得结果．
【详解】解：(1)如图1，
∵，，
∴，．
又∵平分，平分
∴，，
∴，
∴．
(2)的大小不变．
理由：如图2，
∵，，
∴，．
又∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴．
(3)分两种情况讨论：
①如图3，
∵，，
∴，．
又∵平分，平分，
∴，，
∴
∴．
②如图4，
∵，，
∴，．
又∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形外角定理，解题的关键是灵活对等式进行适当变形．
15．（1）；（2）；（3），理由见解析
【分析】（1）由对顶三角形可得，再根据三角形内角和定理即可得到答案；
（2）由对顶三角形的性质以及三角形内角和定理得到，再根据已知即可求解；
（3）利用三角形内角和定理求得，再利用角平分线的定义求得，，最后根据对顶三角形的性质即可求解．
【详解】解：（1）由对顶三角形可得，
在中，
，
，
故答案为：；
（2）在中，，
，
、分别平分和，
，
，
，
，；
（3）
理由：在中，，
，
、分别平分和，
，
，
，
和的平分线和相交于点，
，
，
，
，
故：．
【点睛】本题考查了几何新定义，三角形的角平分线，三角形内角和定理，理解新定义，会根据新定义的进行计算是解题的关键．
16．论证：见解析；应用：①；②；拓展：存在，15秒或秒
【分析】论证：利用平行线的性质以及平角的性质即可证明；
应用：①利用平行线的性质以及角平分线的定义求得，再推出、，再利用平角的性质即可求解；②在中，，由三角形的外角性质推出，结合①的结论得到，据此计算即可求解．
拓展：当旋转一周时，运动全部停止，求得总时间为30秒，与重合时间为15秒，分在前15秒内和后15秒内，两种情况讨论，根据与平行的次数，求解即可．
【详解】论证：
证明：延长至，过点作，
，
，
，
即三角形的内角和为；
应用：
解：①如图，
，
，
是的角平分线，
，
，
又，
，
，
；
②是的角平分线，
，
在中，，
，
，即，
，
，
，
，
，
拓展：
当旋转一周运动停止，
总时间（秒），
与重合时再以原速返回，
重合时间为秒，此时，延长CB交于点，
在前15秒内，由逐渐减少，由逐渐减少至，
又当秒时，旋转至，此时，而由逐渐减少至，
在前15秒内，与仅一次平行，即与重合时，此时（秒），
同理，后15秒，由逐渐增至，由逐渐增至，与仅可能一次平行，
有，
解得，
（秒），
综上，的值为15秒或秒．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查的是三角形内角和定理、平行线的性质，熟练掌握三角形内角和定理、平行线的性质，采用分类讨论思想解题，是解此题的关键．
17．(1)62；
(2)，见解析
(3)存在，或或或
【分析】（1）直接利用角的和差关系可得答案，再根据旋转的性质可得；
（2）证明，结合，可得
（3）分情况讨论：①如图，当时，②如图，当时，③如图，当时，④如图，当时，再利用数形结合的方法解答即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴；
当，由旋转的性质可得：；
（2）与的关系是：，
理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴；
（3）∵，
∴，，
①如图，当时，
∴
∴；
②如图，当时，
∴
③如图，当时，
∴，
∴．
④如图，当时，
∴，
∴；
综上：与这两个三角形的一组边互相平行时，为或或或．
【点睛】本题考查的是旋转的性质，平行线的性质，邻补角的含义，清晰的分类讨论是解本题的关键．
18．(1)，
(2)，理由见解析
(3)
(4)
【分析】（1）利用题目所给的平面镜反射光线的规律，再结合三角形的内角和定理以及两直线平行，同旁内角互补可解决问题；
（2）利用题目所给的平面镜反射光线的规律，再结合三角形的内角和定理以及两直线平行，同旁内角互补可解决问题；
（3）利用题目所给的平面镜反射光线的规律，再结合三角形的内角和定理以及两直线平行，同旁内角互补可解决问题；
（4）利用题目所给的平面镜反射光线的规律，再结合三角形的内角和定理可解决问题．
【详解】（1）解：由题知，
，则，
又，
，则，
又，则，
由三角形的内角和可知，，
故答案为：；
（2）解：，
由题知，
，
，
又，
则，
即，
故和的数量关系为：；
（3）由题知，
，
，
又，
，
即，
由三角形的内角和得，，
故的度数为；
（4）解：如图，
，
由题知，
，，
又，
，
，
故的度数为．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质，熟练的运用题中所给的“平面镜反射光线规律”是解题的关键．
19．(1)132°
(2)∠2-∠1=120°，理由见解析
(3)30°
【分析】（1）由题意可求得∠ACP=∠1+∠ACB=132°，再由平行线的性质即可求得∠2的度数；
（2）由题意可求得∠ACP=∠1+∠ACB，由平行线的性质可得∠AGF=∠ACP，再由三角形的外角性质即可求解；
（3）由图可知∠1=∠CMN，则由三角形的外角性质得∠ANM=∠1+90°，利用平行线的性质得∠2=∠ANM，从而可求解．
【详解】（1）如图1，
∵∠ACB=90°，∠1=42°，
∴∠ACP=∠1+∠ACB=132°，
∵a∥b，
∴∠2=∠ACP=132°；
（2）∠2-∠1=120°，理由如下：
如图2，由题意得：∠ACP=∠1+∠ACB=∠1+90°，
∵a∥b，
∴∠AGF=∠ACP=∠1+90°，
∵∠2是△AFG的外角，
∴∠2=∠BAC+∠AGF=30°+∠1+90°，
即∠2-∠1=120°；
（3）∵∠1=∠CMN，∠ACB=90°，
∴∠ANM=∠CMN+∠ACB=∠1+90°，
∵a∥b，
∴∠2=∠ANM=∠1+90°，
∵∠2=4∠1，
∴4∠1=∠1+90°，
解得：∠1=30°．
【点睛】本题主要考查三角形的内角和，平行线的性质，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．
20．(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)
【分析】（1）由三角形内角和定理得到，，再根据角平分线的定义，推出，即可求出的度数；
（2）根据三角形外角的定义，推出，再根据角平分线的定义，推出，然后利用三角形内角和定理即可求出的度数；
（3）根据（1）和（2）的结果即可得到答案；
（4）由折叠的性质可知，，，得到，，再根据三角形内角和定理，推出，由（1）同理可证，据此即可得到答案；
（5）根据多边形内角和与角平分线的定义，推出，再根据三角形外角的性质，得到，最后根据，即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
平分，平分，
，，
，
，
故答案为：；
（2）解：，，
，
平分，平分，
，，
，
，
故答案为：；
（3）解：由（1）和（2）可知，，，
，
故答案为：
（4）解：，理由如下：
由折叠的性质可知，，，
，，
，
，
由（1）同理可证，，
，
；
（5）解：四边形的内角和为，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，多边形内角和，根据图形找出角度之间的数量关系是解题关键．
21．(1)
(2)，证明见解析；
(3)
【分析】（1）过点E作，根据平行线的性质得到和的度数，即可求出的度数；
（2）过点E作，根据平行线的性质，推出，再结合角平分线的定义，推出，进而求得，然后利用对顶角相等，即可求出的度数；
（3）根据角平分线的定义和三角形外角的性质进行求解即可得到答案．
【详解】（1）解：过点E作，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：，证明如下：
过点E作，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
；
（3）解：平分， 平分，
， ，
，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识，找准角度之间的数量关系是解题关键．
22．（1）∠DAE的度数为13°；（2）∠DFE=．
【分析】（1）先利用三角形内角和定理求出∠BAC=78°，再由角平分线的定义求出∠BAD=39°，由三角形外角的性质得到∠ADE=∠B+∠BAD=77°，再由垂直的定义得到∠AEB=90°，由此即可求解；
（2）同（1）进行求解即可；
【详解】解：（1），，
，
平分，
，
，
，
，
．
（2），，
，
平分，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，垂直的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
23．(1)125
(2)，
(3)，
【分析】（1）先由角平分线的性质可得，，由可得度数，；
（2）由角平分线知、，由知，同理可得的度数；
（3）利用角平分线的定义、三角形外角的性质及三角形内角和定理进行计算即可．
【详解】（1）解：平分，平分，
，，
；
故答案为：125；
（2）解：平分，平分，平分，平分，
，，，，
，
，
；
（3）解：平分，平分，平分，平分，
，，，，
，
．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质是解题的关键．
24．(1)
(2)
(3)∠A的度数是或或．
【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题；
（2）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解；
（3）在中，由于，求出，，所以如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①；②；③；④；分别列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：∵．
∴，
∵点P是和的平分线的交点，
∴；
（2）解：∵外角，的角平分线交于点Q，
∴
，
∴；
（3）解：延长至F，
∵为的外角的角平分线，
∴是的外角的平分线，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
即，
又∵，
∴，即；
∵
．
如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①，则，；
②，则，；
③，则，解得；
④，则，解得．
综上所述，∠A的度数是或或．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．
25．(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)或，理由见解析
【分析】（1）作，可得，然后根据平行线的性质和角的和差可得结论；
（2）作，可得，然后根据平行线的性质和角的和差可得结论；
（3）分两种情况：当点P在右侧时，如图3，由（1）的结论可得：，然后根据角平分线的定义和角的代换即可得出结论；当点P在左侧时，同理即可解答．
【详解】（1）解：理由如下：作，如图1，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
作，如图2，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：当点P在右侧时，；理由如下：
如图3，由（1）的结论可得：，
∵分别平分，
∴，
∴
；
当点P在左侧时，；理由如下：
如图3，由（1）的结论可得：，
∵分别平分，
∴，
∴；
综上，或
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质以及角平分线的定义，正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
26．(1)①，见解析；②，见解析
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）①利用角平分线的性质及三角形内角和定理即可解答，②利用角的关系可证明与的位置关系；
（2）利用角平分线的性质及三角形内角和定理找到各角之间的等量关系求解即可；
（3）利用角平分线的性质及三角形内角和定理找到各角之间的等量关系求解即可．
【详解】（1）解：①，
，
又，
，即，
；
②
，
；
（2）解：，
证明：，
，
，
，
又，
整理得，
，将之代入，
得；
（3）解：，
，
又，
，
，
将之代入，
得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质、平行线的判定，解答本题的关键是找到各相关角之间的等量关系，然后利用三角形内角和定理列出等式即可．
27．(1)11
(2)，证明见解析
(3)，
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，在中求出的度数，即可求出的度数；
（2）根据三角形内角和定理用表示出，再根据角平分线的定义表示出，在中用表示出，即可求出与的关系；
（3）根据三角形外角的性质得到，即①，根据平行线的性质得到，根据（2）中的结论得到②，①与②组成方程组，求解即可．
【详解】（1）解：在中，，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
故答案为：11；
（2）解：，
证明：在中，，
，
平分，
，
，
，
，
；
（3）解：是的一个外角，
，
，
，
，
，
，
，
，
由（2）知，
，
即②，
①、②组成方程组得，
解得，
，．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、平行线的判定与性质、角平分线的定义、二次元一次方程组的解法、垂线的定义等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
28．（1）AB∥CD，理由见解析；（2）①30°；②α＝β或，证明见解析
【分析】（1）根据角平分线的性质及等量代换证明∠AEM＝∠FME即可．
（2）①根据平行线的性质求∠BEG，利用平角的定义求出∠AEG的度数，根据角平分线的定义求出∠HEN即可解决问题．②结论：α=β．根据平行线的性质求∠BEG，利用平角的定义表示∠AEG的度数，根据角平分线的定义表示∠HEN即可解决问题．
【详解】解：（1）结论：．
理由：如图1中，
平分交于点，
，
．
，
．
（2）①如图2中，
，
，
，
，，
，
，
，
．
②猜想：或
理由：①当点在的右侧时，
，
，
，
，，
，
，
，
．
②当点在的左侧在线段上时，同法可得，
综上所述，或．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
29．(1)①；②，理由见解析
(2)
【分析】（1）①根据三角形的内角和及平行线的性质可知，再利用角平分线的定义即可解答；②根据三角形外角的性质及平行线的性质得到，再根据三角形内角和定理及角平分线的定义即可解答；
（2）根据平行线的性质及角平分线的定义得到，再根据角平分线的定义及外角的性质即可解答．
【详解】（1）解：①，
∴在中，，
，
，
平分，
，
，
故答案为：；
②是是一个外角，
，
，
，
，
，
∵BD平分平分，
，，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
是的平分线，
，
，
，
平分，
，
．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质、角平分线的定义、三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
30．(1)
(2)不变，
【分析】（1）根据角平分线的定义和角平分线的性质求得，即可；
（2）同理，设，利用角平分线的定义和三角形的外角性质求得，即可．
【详解】（1）解：因为，平分，
所以，又因为，
所以，
因为平分，
所以，
因为；
（2）解：的大小不变．
设，则，，
所以，
所以．
【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解答的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页