第十二章 第02讲全等三角形的判定 同步学与练（含解析）2023-2024学年八年级数学上册人教版
文档属性
| 名称 | 第十二章 第02讲全等三角形的判定 同步学与练（含解析）2023-2024学年八年级数学上册人教版 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-06 00:00:00 | ||
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文档简介
第02讲 全等三角形的判定
课程标准 学习目标
①全等三角形的判定 ②直角三角形的全等判定 1. 掌握全等三角形的几种判定方法． 2. 掌握直角三角形的判定方法． 3. 能够熟练运用全等三角形的判定方法判定全等． 4. 对全等三角形的应用
知识点01 边边边（SSS）判定全等
1.概念：
三条边分别对应相等的两个三角形全等．
2. 数学语言：
如图：在△ABC与△DEF中：
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
题型考点：①添加全等判定条件．
②全等判定．
【即学即练1】
1．如图，已知，若用定理证明，则需要添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练2】
2．如图，在和中，，．求证：．
知识点02 边角边（SAS）判定全等
1. 概念：
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．
2. 数学语言：
如图：在△ABC与△DEF中：
∴△ABC≌△DEF．
题型考点：①添加全等判定条件．
②全等判定．
【即学即练1】
3．如图，在和中，点E、F在上，，，添加下列一个条件后能用“”判定的是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练2】
4．如图，点D在线段上，，，．和全等吗？为什么？
知识点03 角边角（ASA）判定全等
1. 概念：
两角及其夹边对应相等的两个三角形全等．
2. 数学语言：
如图，在△ABC与△DEF中：
∴△ABC≌△DEF．
题型考点：①添加全等判定条件．
②全等判定．
【即学即练1】
5．如图，点B，F，C，E在同一直线上，，，如果根据“”判断，那么需要补充的条件是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练2】
（2023春 东明县期末）
6．如图，点F、C是上的两点，且，，，求证：．
知识点04 角角边（AAS）判定全等
3.概念：
两角及其其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
4.数学语言：
如图，在△ABC与△DEF中：
∴△ABC≌△DEF．
题型考点：①添加全等判定条件．
②全等判定．
【即学即练1】
7．如图，已知，若用“”证明，还需加上条件（ ）
A． B．
C． D．
【即学即练2】
8．如图，在中，于点D，于E．与交于F，若，求证：．
知识点05 直角三角形的直角边与斜边（HL）判定全等
5.概念：
直角三角形的斜边与其中一条斜边对应相等的两个三角形全等．
6.数学语言：
如图：在Rt△ABC与Rt△DEF中：
∴Rt△ABC≌Rt△DEF．
题型考点：①添加全等判定条件．
②全等判定．
【即学即练1】
9．如图，，垂足为C，且，若用“”证明，则需添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练2】
10．如图所示，在中，，，F是延长线上一点，点E在上，且．求证：．
寻找全等判定条件的方法总结：
题型01 补充判定全等的条件
【典例1】
11．如图，，，要得到，只需添加（ ）
A． B． C． D．
【典例2】
12．如图，已知，增加下列条件：不能使的条件（ ）
A． B． C． D．
【典例3】
13．如图，，下列条件中不能使的是（ ）
A． B． C． D．
【典例4】
14．如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
【典例5】
15．如图，在△ABC和△DEF中，如果AB＝DE，BC＝EF．在下列条件中不能保证△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠B＝∠DEF B．∠A＝∠D C．AB∥DE D．AC＝DF
【典例6】
16．如图，若要用“”证明，则还需补充条件（ ）
A． B．或
C． D．以上都不正确
题型02 全等三角形的判定证明
【典例1】
17．如图，点在一条直线上，，求证：．
【典例2】
18．如图，在四边形中，平分，点E在线段上，，．求证．
【典例3】
19．如图，AB=AD，AC平分∠DAB，求证：△ABC≌△ADC
【典例4】
20．如图，，点D在边上，，．求证：．
【典例5】
21．已知：如图，，AE＝BE，，点D在AC边上．求证：．
题型03 全等三角形的判定与性质
【典例1】
22．已知锐角中，于点D，于点，交于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求线段的长度．
【典例2】
23．如图，四边形中，，，，与相交于点F．
(1)求证：
(2)判断线段与的位置关系，并说明理由．
【典例3】
24．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD=CD，
（1）求证：△ABD≌△CFD；
（2）已知BC=7，AD=5，求AF的长．
【典例4】
25．如图，点B，F，C，E在一条直线上，，交于点O，．
(1)请说明；
(2)若，请说明．
【典例5】
26．已知：△是等腰三角形，，．点在边上，点N在边上（点M、点N不与所在线段端点取合），．连接，，射线∥，延长交射线于点D，点E在直线上，且．
(1)如图，当时．
①求证：；
②求的度数：
(2)当，其它条件不变时，的度数是_______．（用含的代数式表示）
题型04 全等三角形的应用
【典例1】
27．王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合．则两堵木墙之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】
28．如图，要测量小金河两岸相对的A、B两点之间的距离，可以在与垂直的河岸上取C、D两点，且使．从点D出发沿与河岸垂直的方向移动到点E，使点A、C、E在一条直线上．若测量的长为28米，则A、B两点之间的距离为 米．
【典例3】
29．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
【典例4】
30．如图，一个等腰直角三角形零件放置在一凹槽内，顶点、、分别落在凹槽内壁上，测得，，则该零件的面积为（ ）
A．14 B．53 C．98 D．196
31．如图，已知，．则证明的理由是（ ）
A． B． C． D．
32．如图，点分别在上，与相交于点，，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
33．如图，在四边形中，对角线，相交于点，且，，下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
34．如图，在中，，按如下步骤操作：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于D，E两点；②以点C为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点F；③以点F为圆心，长为半径作弧，交②中所画的弧于点G；④作射线，若，则为（ ）
A． B． C． D．
35．在中，，，点D在边上，，点E、F在线段上，，若的面积为，则与的面积之和是（ ）
A．6 B．8 C．9 D．
36．如图，和是的高，交于点，且，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
37．在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
38．在学习完“探索三角形全等的条件”一节后，一同学总结出很多全等三角形的模型，他设计了以下问题给同桌解决：如图，做一个“U”字形框架PABQ，其中AB＝42cm，AP，BQ足够长，PA⊥AB于A，QB⊥AB于点B，点M从B出发向A运动，同时点N从B出发向Q运动，使M，N运动的速度之比3：4，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线AP上取点C，使△ACM与△BMN全等，则线段AC的长为（ ）
A．18cm B．24cm C．18cm或28cm D．18cm或24cm
39．如图，已知与交于点，，要使，添加一个你认为合适的条件为 ．
40．在测量一个小口圆形容器的壁厚(厚度均匀)时，小明用“型转动钳”按如图方法进行测量，其中，，测得，，圆形容器的壁厚是 ．
41．如图，中，，平分交于点D，交的延长线于点E，交于点F．若，，则的长为 ．
42．如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线上运动速度为，它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束），当点P，Q运动到某处时，有与全等，此时 ．
43．如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
44．如图，和都是等腰三角形，，，，点E在上，点F在射线上，连结，若．求证：
(1)．
(2)．
45．如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=12，点D从B出发以每秒2个单位的速度在线段BC上从点B向点C运动，点E同时从C出发以每秒2个单位的速度在线段CA上向点A运动，连接AD、DE，设D、E两点运动时间为t秒（0(1)运动 秒时，AE=DC；
(2)运动多少秒时，△ABD≌△DCE能成立，并说明理由；
(3)若△ABD≌△DCE，∠BAC=α，则∠ADE= （用含α的式子表示）．
试卷第2页，共16页
试卷第1页，共16页
参考答案：
1．B
【分析】由于，则需添加第三边对应相等时可以利用“”判断，从而可对各选项进行判断．
【详解】解：∵，
∴当添加时，可利用“”判断．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等会三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件．
2．证明见详解
【分析】利用证明即可解决问题．
【详解】证明：在和中，
，
∴，
【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．
3．A
【分析】先根据得到，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可．
【详解】解：∵，
∴，
即，
A选项，因为，，，满足“”判定，符合题意；
B选项，因为，，，是用“”判定，不符合题意；
C选项，因为，，，是用“”判定，不符合题意；
D选项，因为，，，不能判定，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．
4．，理由见解析
【分析】先根据平行线的性质得到，再利用证明即可得到结论．
【详解】解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟知边角边证明三角形全等是解题的关键．
5．B
【分析】利用全等三角形的判定方法，“”即角边角对应相等，只需找出一对对应角相等即可，进而得出答案．
【详解】解：需要补充的条件是，
在和中，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
6．见解析
【分析】根据平行线的性质求出，，根据推出两三角形全等即可．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角．
7．C
【分析】根据已知，，添加条件，即可用“”证明，即可求解．
【详解】解：补充条件，
在与中
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
8．见解析
【分析】根据，得到，即可得到即可得到证明；
【详解】证明：∵，，
∴，
∵，，，
∴，
在和中，
，
∴；
【点睛】本题考查三角形全等的判定，解题的关键是根据三角形内角和定理得到．
9．B
【分析】根据“”的判定方法进行判定即可．
【详解】解：，
理由是：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查了根据“”判定三角形全等，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
10．见解析
【分析】先证明为等腰直角三角形，推出，利用“”即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
在和中，，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解题的关键．
11．B
【分析】根据三角形全等的判定方法求解即可．
【详解】解：A、∵，，添加，
∴不能利用判定，本选项不符合题意；
B、∵，，添加，
∴利用能判定，本选项符合题意；
C、∵，，添加，
∴不能利用判定，本选项不符合题意；
D、∵，，添加，则，
∴不能判定，本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了三角形全等的判定方法，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．判定三角形全等的方法有：，，，，(直角三角形)．
12．A
【分析】根据等式的性质可得，然后再结合判定两个三角形全等的方法、、、和分别进行分析即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
A、添加不能判定，故此选项符合题意；
B、添加可利用判定，故此选项符合题意；
C、添加可利用判定，故此选项符合题意；
D、添加可利用判定，故此选项符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角．
13．D
【分析】根据条件和图形可得∠1=∠2，AD=AD，再根据全等三角形的判定定理分别添加四个选项所给条件进行分析即可．
【详解】解：根据条件和图形可得∠1=∠2，AD=AD，
A、添加可利用SAS定理判定，故此选项不合题意；
B、添加可利用AAS定理判定，故此选项不合题意；
C、添加 可利用ASA定理判定△ABD≌△ACD，故此选项不合题意；
D、添加不能判定，故此选项符合题意；
故选D ．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
14．D
【分析】由全等三角形的判定依次判断可求解．
【详解】A、添加，由“”可证，故选项A不符合题意；
B、添加，由“”可证，故选项B不符合题意；
C、添加，由“”可证，故选项C不符合题意；
D、添加，不能证明，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是本题的关键．
15．B
【分析】根据三角形全等的判定定理（定理和定理）即可得出答案．
【详解】解：A、利用定理可得，则此项不符合题意；
B、此项是，不能得出，则此项符合题意；
C、，
，
则利用定理可得，此项不符合题意；
D、利用定理可得，则此项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理、平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．
16．B
【分析】图形中已有条件，只缺一对直角边对应相等，因此添加一对直角边对应相等即可．
【详解】解：∵图形中已有条件，
∴若要用“”证明，则还需补充条件或，
故选：B．
【点睛】此题考查了直角三角形全等的判定，关键是掌握斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“”）．
17．见解析
【分析】根据题意，运用“边边边”的方法证明三角形全等．
【详解】证明：∵，
∴，即，
在和中
∴．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，掌握全等三角形的判定方法解题的关键．
18．见解析
【分析】根据角平分线定义得出，利用即可证明．
【详解】证明：∵平分，
∴，
在和中，
，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角．
19．见解析
【详解】试题分析：首先根据角平分线的定义得到 再利用定理便可证明其全等．
试题解析：
证明：平分
在和中，
点睛：判定两个三角形全等的一般方法有：AAS、ASA、SSS、SAS、HL.
20．见解析
【分析】先证明，然后根据“”判断．
【详解】证明：∵，
而，
∴，
在和中，
，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角．
21．见解析
【分析】利用等式的性质可证，然后利用证明即可．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．
22．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证明，由余角的性质可得，由可证；
（2）根据（1）的结论可得，由，求得，利用勾股定理求出，再利用面积法求出的长即可得到答案+．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，，
∴．
在和中，
，
∴．
（2）解：∵，，，
∴，，，，
在中，由勾股定理得，
∴，
∵，
∴，
∴
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据即可证明．
（2）根据得到，结合得到，即可得结论．
【详解】（1）解：
在和中，
∴．
（2）解：．理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，常用的判定方法有：、、、、等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
24．（1）证明见解析；（2）3．
【分析】（1）利用ASA，可证△ABD≌△CFD；
（2）由△ABD≌△CFD，得BD=DF，所以BD=BC﹣CD=2，所以AF=AD﹣DF=5﹣2．
【详解】（1）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CDF=∠CEB=90°，
∴∠BAD+∠B=∠FCD+∠B=90°，
∴∠BAD=∠ECD，
在△ABD和CFD中，
，
∴△ABD≌△CFD（AAS），
（2）∵△ABD≌△CFD，
∴BD=DF，
∵BC=7，AD=DC=5，
∴BD=BC﹣CD=2，
∴AF=AD﹣DF=5﹣2=3．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键点证明两个三角形全等.
25．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）平行线的性质得出，进而利用证明即可；
（2）根据全等三角形的判定和性质得出与全等，进而利用全等三角形的性质和平行线的判定解答即可．
【详解】（1）证明：，
，
在与中
，
；
（2），
，
，
，
在与中
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．
26．(1)①见解析；②
(2)
【分析】（1）①首先证明CM=CN，再利用SAS证明△BCM≌△CAN；
②由平行线的性质和等腰三角形的性质可知∠BDE=∠CAN+∠EAD，从而解决问题；
（2）由②同理可解决问题．
【详解】（1）解：①，
，即
在△和中
②，
；
，
，
；
，
，
，即，
，
，
．
（2）解：由②同理可得∠BDE=∠CAN+∠EAD，
∵∠ACB=，
∴∠CAG=，
∴∠BDE=∠CAN+∠EAD=．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，运用从特殊到一般的方法是解题的关键．
27．C
【分析】由题意易得，则有，进而可证，然后根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵，，，，
∴，
∴，，
∴，
∵在和中，
∴；
∴，，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形全等的判定条件是解题的关键．
28．28
【分析】由垂直的定义得，根据ASA证明，得出米即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴米．
故答案为：28．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
29．D
【分析】利用全等三角形判定，证得与全等，根据全等三角形性质可求出和的值，进而求出的值，最后根据，即可求出问题答案．
【详解】解：，
，
，，
，，
，，
又，
，
，，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了利用三角形全等测距离的问题，理解题意及熟知三角形的性质与判定是解题关键．
30．B
【分析】首先证明，根据全等三角形的性质可得，再利用勾股定理计算出长，然后利用三角形的面积公式计算出该零件的面积即可．
【详解】解：∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，
∴，
∴，
∴该零件的面积为．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，以及勾股定理的应用，关键是掌握全等三角形的判定方法．
31．D
【分析】根据题意得到两个三角形是直角三角形，结合给出的条件：直角边和斜边分别相等，从而得出结论．
【详解】∵，
∴和是直角三角形，
∵，，
∴，
故选：．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法及其应用．
32．D
【分析】根据条件证明，利用全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：，，，
∴，
∴，
∵，，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查了几何问题，涉及到全等三角形的判定与性质等，灵活运用所学知识是关键．
33．D
【分析】根据性质可以推出此四边形为平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可判断．
【详解】解：四边形的对角线，相交于点，且，，
四边形为平行四边形，
，，，．
∴
所以、、三项均成立，D不一定成立．
故选：D．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，关键在于根据：若四边形的对角线互相平分，则此四边形为平行四边形这一判定定理判定四边形为平行四边形．
34．B
【分析】连接，，首先根据直角三角形的性质，可求得，再根据作法可知：，，根据全等三角形的判定与性质，即可求解．
【详解】解：如图：连接，，
在中，，，
，
由作法可知：，，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了基本作图，全等三角形判定和性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握基本作图．
35．A
【分析】根据得到，，从而得到，即可得到，结合的面积为，即可得到答案；
【详解】解：∵，，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵的面积为，，
∴，
∴与的面积之和是6，
故选：A．
【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，解题的关键是得到．
36．A
【分析】欲求的长，需求得的长，观测图中可放在中，而可放在中，结合已知条件可证两三角形全等，问题迎刃而解．
【详解】∵和是的高，
∴，，
∴．
在与中，
∴．
∴，
则．
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是找准全等三角形的对应边角．
37．C
【详解】∵S1左侧和S2右侧部分的两个直角三角形是全等三角形，根据勾股定理的几何意义可知
∴S1+S2=1
∴S2+S3=2
∴S3+S4=3
∴S1+S2+S3+S4=4
故选C
38．C
【分析】在PA⊥AB于A，QB⊥AB条件下，使△ACM与△BMN全等，需要分类讨论．
【详解】解：设：BM＝3x，则BN＝4x，
∵∠A＝∠B＝90°，
当△ACM≌△BNM时，有BM＝AM，BN＝AC，
又AM+BM＝42，
∴3x+3x＝42，
∴x＝7．
∴AC＝BN＝4x＝28（cm）；
当△ACM≌△BMN时，有AM＝BN，BM＝AC，
又AM+BM＝42，
∴4x+3x＝42，
∴x＝6，
∴AC＝BM＝18（cm）；
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形及分类讨论思想，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
39．（答案不唯一）
【分析】可以是，根据可证明，从而得到答案．
【详解】解：，
理由是：
在和中，
，
，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握证明三角形全等的方法有：、、、、是解题的关键．
40．
【分析】由题证明，由全等三角形的性质可得，，即可解决问题．
【详解】在和中，
，
，
，
，
圆柱形容器的壁厚是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是利用全等三角形的性质解决实际问题．
41．8
【分析】根据角平分线的性质可，利用勾股定理求出，再证明，可得，即可求出的长．
【详解】解：∵平分，，，
∴；
∴；
∵，
∴；
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
故答案为：8．
【点睛】本题考查角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
42．或
【分析】根据题意分两种情况讨论：①，②，然后分别列出方程求解即可．
【详解】解：由题意，则，
分两种情况：
①若，则，可得
，
解得，
②若，则，
，
解得．
故答案为：或．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是分两种情况讨论．
43．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由，得，根据 “”即可证明；
（2）根据全等三角形的性质得，则，然后根据即可求解．
【详解】（1）∵，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
44．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据三角形内角和定理可得结论；
（2）在上截取，连接，利用证明，得，再利用SAS证明，得，从而证明结论．
【详解】（1）∵，，，
∴；
（2）如图，在上截取，连接，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
45．(1)3
(2)2秒，理由见解析
(3)
【分析】（1）依据BD=CE=2t，可得CD=12-2t，AE=8-2t．再根据当时，，解出t的值即可；
（2）当△ABD≌△DCE成立时，AB=CD=8，即得出12-2t=8，解出t的值即可；
（3）由三角形全等的性质可知∠CDE=∠BAD．由∠ADE=180°-∠CDE-∠ADB，∠B=∠180°-∠BAD-∠ADB，即可得到∠ADE=∠B，再根据∠BAC=α，AB=AC，即可得出∠ADE的大小．
【详解】（1）由题可得，BD=CE=2t，
∴CD=12-2t，AE=8-2t，
∴当时，即，
解得t=3，
故答案为：3；
（2）当△ABD≌△DCE成立时，AB=CD=8，
∴12-2t=8，
解得t=2，
∴运动2秒时，△ABD≌△DCE能成立；
（3）当△ABD≌△DCE时，
∴∠CDE=∠BAD，
又∵∠ADE=180°-∠CDE-∠ADB，∠B=∠180°-∠BAD-∠ADB，
∴∠ADE=∠B，
又∵∠BAC=α，AB=AC，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点的综合运用．利用全等三角形的对应边相等得出方程是解题关键．
答案第4页，共24页
答案第3页，共24页
课程标准 学习目标
①全等三角形的判定 ②直角三角形的全等判定 1. 掌握全等三角形的几种判定方法． 2. 掌握直角三角形的判定方法． 3. 能够熟练运用全等三角形的判定方法判定全等． 4. 对全等三角形的应用
知识点01 边边边（SSS）判定全等
1.概念：
三条边分别对应相等的两个三角形全等．
2. 数学语言：
如图：在△ABC与△DEF中：
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
题型考点：①添加全等判定条件．
②全等判定．
【即学即练1】
1．如图，已知，若用定理证明，则需要添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练2】
2．如图，在和中，，．求证：．
知识点02 边角边（SAS）判定全等
1. 概念：
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．
2. 数学语言：
如图：在△ABC与△DEF中：
∴△ABC≌△DEF．
题型考点：①添加全等判定条件．
②全等判定．
【即学即练1】
3．如图，在和中，点E、F在上，，，添加下列一个条件后能用“”判定的是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练2】
4．如图，点D在线段上，，，．和全等吗？为什么？
知识点03 角边角（ASA）判定全等
1. 概念：
两角及其夹边对应相等的两个三角形全等．
2. 数学语言：
如图，在△ABC与△DEF中：
∴△ABC≌△DEF．
题型考点：①添加全等判定条件．
②全等判定．
【即学即练1】
5．如图，点B，F，C，E在同一直线上，，，如果根据“”判断，那么需要补充的条件是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练2】
（2023春 东明县期末）
6．如图，点F、C是上的两点，且，，，求证：．
知识点04 角角边（AAS）判定全等
3.概念：
两角及其其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
4.数学语言：
如图，在△ABC与△DEF中：
∴△ABC≌△DEF．
题型考点：①添加全等判定条件．
②全等判定．
【即学即练1】
7．如图，已知，若用“”证明，还需加上条件（ ）
A． B．
C． D．
【即学即练2】
8．如图，在中，于点D，于E．与交于F，若，求证：．
知识点05 直角三角形的直角边与斜边（HL）判定全等
5.概念：
直角三角形的斜边与其中一条斜边对应相等的两个三角形全等．
6.数学语言：
如图：在Rt△ABC与Rt△DEF中：
∴Rt△ABC≌Rt△DEF．
题型考点：①添加全等判定条件．
②全等判定．
【即学即练1】
9．如图，，垂足为C，且，若用“”证明，则需添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练2】
10．如图所示，在中，，，F是延长线上一点，点E在上，且．求证：．
寻找全等判定条件的方法总结：
题型01 补充判定全等的条件
【典例1】
11．如图，，，要得到，只需添加（ ）
A． B． C． D．
【典例2】
12．如图，已知，增加下列条件：不能使的条件（ ）
A． B． C． D．
【典例3】
13．如图，，下列条件中不能使的是（ ）
A． B． C． D．
【典例4】
14．如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
【典例5】
15．如图，在△ABC和△DEF中，如果AB＝DE，BC＝EF．在下列条件中不能保证△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠B＝∠DEF B．∠A＝∠D C．AB∥DE D．AC＝DF
【典例6】
16．如图，若要用“”证明，则还需补充条件（ ）
A． B．或
C． D．以上都不正确
题型02 全等三角形的判定证明
【典例1】
17．如图，点在一条直线上，，求证：．
【典例2】
18．如图，在四边形中，平分，点E在线段上，，．求证．
【典例3】
19．如图，AB=AD，AC平分∠DAB，求证：△ABC≌△ADC
【典例4】
20．如图，，点D在边上，，．求证：．
【典例5】
21．已知：如图，，AE＝BE，，点D在AC边上．求证：．
题型03 全等三角形的判定与性质
【典例1】
22．已知锐角中，于点D，于点，交于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求线段的长度．
【典例2】
23．如图，四边形中，，，，与相交于点F．
(1)求证：
(2)判断线段与的位置关系，并说明理由．
【典例3】
24．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD=CD，
（1）求证：△ABD≌△CFD；
（2）已知BC=7，AD=5，求AF的长．
【典例4】
25．如图，点B，F，C，E在一条直线上，，交于点O，．
(1)请说明；
(2)若，请说明．
【典例5】
26．已知：△是等腰三角形，，．点在边上，点N在边上（点M、点N不与所在线段端点取合），．连接，，射线∥，延长交射线于点D，点E在直线上，且．
(1)如图，当时．
①求证：；
②求的度数：
(2)当，其它条件不变时，的度数是_______．（用含的代数式表示）
题型04 全等三角形的应用
【典例1】
27．王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合．则两堵木墙之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】
28．如图，要测量小金河两岸相对的A、B两点之间的距离，可以在与垂直的河岸上取C、D两点，且使．从点D出发沿与河岸垂直的方向移动到点E，使点A、C、E在一条直线上．若测量的长为28米，则A、B两点之间的距离为 米．
【典例3】
29．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
【典例4】
30．如图，一个等腰直角三角形零件放置在一凹槽内，顶点、、分别落在凹槽内壁上，测得，，则该零件的面积为（ ）
A．14 B．53 C．98 D．196
31．如图，已知，．则证明的理由是（ ）
A． B． C． D．
32．如图，点分别在上，与相交于点，，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
33．如图，在四边形中，对角线，相交于点，且，，下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
34．如图，在中，，按如下步骤操作：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于D，E两点；②以点C为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点F；③以点F为圆心，长为半径作弧，交②中所画的弧于点G；④作射线，若，则为（ ）
A． B． C． D．
35．在中，，，点D在边上，，点E、F在线段上，，若的面积为，则与的面积之和是（ ）
A．6 B．8 C．9 D．
36．如图，和是的高，交于点，且，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
37．在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
38．在学习完“探索三角形全等的条件”一节后，一同学总结出很多全等三角形的模型，他设计了以下问题给同桌解决：如图，做一个“U”字形框架PABQ，其中AB＝42cm，AP，BQ足够长，PA⊥AB于A，QB⊥AB于点B，点M从B出发向A运动，同时点N从B出发向Q运动，使M，N运动的速度之比3：4，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线AP上取点C，使△ACM与△BMN全等，则线段AC的长为（ ）
A．18cm B．24cm C．18cm或28cm D．18cm或24cm
39．如图，已知与交于点，，要使，添加一个你认为合适的条件为 ．
40．在测量一个小口圆形容器的壁厚(厚度均匀)时，小明用“型转动钳”按如图方法进行测量，其中，，测得，，圆形容器的壁厚是 ．
41．如图，中，，平分交于点D，交的延长线于点E，交于点F．若，，则的长为 ．
42．如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线上运动速度为，它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束），当点P，Q运动到某处时，有与全等，此时 ．
43．如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
44．如图，和都是等腰三角形，，，，点E在上，点F在射线上，连结，若．求证：
(1)．
(2)．
45．如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=12，点D从B出发以每秒2个单位的速度在线段BC上从点B向点C运动，点E同时从C出发以每秒2个单位的速度在线段CA上向点A运动，连接AD、DE，设D、E两点运动时间为t秒（0
(2)运动多少秒时，△ABD≌△DCE能成立，并说明理由；
(3)若△ABD≌△DCE，∠BAC=α，则∠ADE= （用含α的式子表示）．
试卷第2页，共16页
试卷第1页，共16页
参考答案：
1．B
【分析】由于，则需添加第三边对应相等时可以利用“”判断，从而可对各选项进行判断．
【详解】解：∵，
∴当添加时，可利用“”判断．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等会三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件．
2．证明见详解
【分析】利用证明即可解决问题．
【详解】证明：在和中，
，
∴，
【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．
3．A
【分析】先根据得到，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可．
【详解】解：∵，
∴，
即，
A选项，因为，，，满足“”判定，符合题意；
B选项，因为，，，是用“”判定，不符合题意；
C选项，因为，，，是用“”判定，不符合题意；
D选项，因为，，，不能判定，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．
4．，理由见解析
【分析】先根据平行线的性质得到，再利用证明即可得到结论．
【详解】解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟知边角边证明三角形全等是解题的关键．
5．B
【分析】利用全等三角形的判定方法，“”即角边角对应相等，只需找出一对对应角相等即可，进而得出答案．
【详解】解：需要补充的条件是，
在和中，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
6．见解析
【分析】根据平行线的性质求出，，根据推出两三角形全等即可．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角．
7．C
【分析】根据已知，，添加条件，即可用“”证明，即可求解．
【详解】解：补充条件，
在与中
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
8．见解析
【分析】根据，得到，即可得到即可得到证明；
【详解】证明：∵，，
∴，
∵，，，
∴，
在和中，
，
∴；
【点睛】本题考查三角形全等的判定，解题的关键是根据三角形内角和定理得到．
9．B
【分析】根据“”的判定方法进行判定即可．
【详解】解：，
理由是：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查了根据“”判定三角形全等，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
10．见解析
【分析】先证明为等腰直角三角形，推出，利用“”即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
在和中，，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解题的关键．
11．B
【分析】根据三角形全等的判定方法求解即可．
【详解】解：A、∵，，添加，
∴不能利用判定，本选项不符合题意；
B、∵，，添加，
∴利用能判定，本选项符合题意；
C、∵，，添加，
∴不能利用判定，本选项不符合题意；
D、∵，，添加，则，
∴不能判定，本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了三角形全等的判定方法，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．判定三角形全等的方法有：，，，，(直角三角形)．
12．A
【分析】根据等式的性质可得，然后再结合判定两个三角形全等的方法、、、和分别进行分析即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
A、添加不能判定，故此选项符合题意；
B、添加可利用判定，故此选项符合题意；
C、添加可利用判定，故此选项符合题意；
D、添加可利用判定，故此选项符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角．
13．D
【分析】根据条件和图形可得∠1=∠2，AD=AD，再根据全等三角形的判定定理分别添加四个选项所给条件进行分析即可．
【详解】解：根据条件和图形可得∠1=∠2，AD=AD，
A、添加可利用SAS定理判定，故此选项不合题意；
B、添加可利用AAS定理判定，故此选项不合题意；
C、添加 可利用ASA定理判定△ABD≌△ACD，故此选项不合题意；
D、添加不能判定，故此选项符合题意；
故选D ．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
14．D
【分析】由全等三角形的判定依次判断可求解．
【详解】A、添加，由“”可证，故选项A不符合题意；
B、添加，由“”可证，故选项B不符合题意；
C、添加，由“”可证，故选项C不符合题意；
D、添加，不能证明，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是本题的关键．
15．B
【分析】根据三角形全等的判定定理（定理和定理）即可得出答案．
【详解】解：A、利用定理可得，则此项不符合题意；
B、此项是，不能得出，则此项符合题意；
C、，
，
则利用定理可得，此项不符合题意；
D、利用定理可得，则此项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理、平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．
16．B
【分析】图形中已有条件，只缺一对直角边对应相等，因此添加一对直角边对应相等即可．
【详解】解：∵图形中已有条件，
∴若要用“”证明，则还需补充条件或，
故选：B．
【点睛】此题考查了直角三角形全等的判定，关键是掌握斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“”）．
17．见解析
【分析】根据题意，运用“边边边”的方法证明三角形全等．
【详解】证明：∵，
∴，即，
在和中
∴．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，掌握全等三角形的判定方法解题的关键．
18．见解析
【分析】根据角平分线定义得出，利用即可证明．
【详解】证明：∵平分，
∴，
在和中，
，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角．
19．见解析
【详解】试题分析：首先根据角平分线的定义得到 再利用定理便可证明其全等．
试题解析：
证明：平分
在和中，
点睛：判定两个三角形全等的一般方法有：AAS、ASA、SSS、SAS、HL.
20．见解析
【分析】先证明，然后根据“”判断．
【详解】证明：∵，
而，
∴，
在和中，
，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角．
21．见解析
【分析】利用等式的性质可证，然后利用证明即可．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．
22．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证明，由余角的性质可得，由可证；
（2）根据（1）的结论可得，由，求得，利用勾股定理求出，再利用面积法求出的长即可得到答案+．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，，
∴．
在和中，
，
∴．
（2）解：∵，，，
∴，，，，
在中，由勾股定理得，
∴，
∵，
∴，
∴
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据即可证明．
（2）根据得到，结合得到，即可得结论．
【详解】（1）解：
在和中，
∴．
（2）解：．理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，常用的判定方法有：、、、、等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
24．（1）证明见解析；（2）3．
【分析】（1）利用ASA，可证△ABD≌△CFD；
（2）由△ABD≌△CFD，得BD=DF，所以BD=BC﹣CD=2，所以AF=AD﹣DF=5﹣2．
【详解】（1）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CDF=∠CEB=90°，
∴∠BAD+∠B=∠FCD+∠B=90°，
∴∠BAD=∠ECD，
在△ABD和CFD中，
，
∴△ABD≌△CFD（AAS），
（2）∵△ABD≌△CFD，
∴BD=DF，
∵BC=7，AD=DC=5，
∴BD=BC﹣CD=2，
∴AF=AD﹣DF=5﹣2=3．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键点证明两个三角形全等.
25．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）平行线的性质得出，进而利用证明即可；
（2）根据全等三角形的判定和性质得出与全等，进而利用全等三角形的性质和平行线的判定解答即可．
【详解】（1）证明：，
，
在与中
，
；
（2），
，
，
，
在与中
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．
26．(1)①见解析；②
(2)
【分析】（1）①首先证明CM=CN，再利用SAS证明△BCM≌△CAN；
②由平行线的性质和等腰三角形的性质可知∠BDE=∠CAN+∠EAD，从而解决问题；
（2）由②同理可解决问题．
【详解】（1）解：①，
，即
在△和中
②，
；
，
，
；
，
，
，即，
，
，
．
（2）解：由②同理可得∠BDE=∠CAN+∠EAD，
∵∠ACB=，
∴∠CAG=，
∴∠BDE=∠CAN+∠EAD=．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，运用从特殊到一般的方法是解题的关键．
27．C
【分析】由题意易得，则有，进而可证，然后根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵，，，，
∴，
∴，，
∴，
∵在和中，
∴；
∴，，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形全等的判定条件是解题的关键．
28．28
【分析】由垂直的定义得，根据ASA证明，得出米即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴米．
故答案为：28．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
29．D
【分析】利用全等三角形判定，证得与全等，根据全等三角形性质可求出和的值，进而求出的值，最后根据，即可求出问题答案．
【详解】解：，
，
，，
，，
，，
又，
，
，，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了利用三角形全等测距离的问题，理解题意及熟知三角形的性质与判定是解题关键．
30．B
【分析】首先证明，根据全等三角形的性质可得，再利用勾股定理计算出长，然后利用三角形的面积公式计算出该零件的面积即可．
【详解】解：∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，
∴，
∴，
∴该零件的面积为．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，以及勾股定理的应用，关键是掌握全等三角形的判定方法．
31．D
【分析】根据题意得到两个三角形是直角三角形，结合给出的条件：直角边和斜边分别相等，从而得出结论．
【详解】∵，
∴和是直角三角形，
∵，，
∴，
故选：．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法及其应用．
32．D
【分析】根据条件证明，利用全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：，，，
∴，
∴，
∵，，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查了几何问题，涉及到全等三角形的判定与性质等，灵活运用所学知识是关键．
33．D
【分析】根据性质可以推出此四边形为平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可判断．
【详解】解：四边形的对角线，相交于点，且，，
四边形为平行四边形，
，，，．
∴
所以、、三项均成立，D不一定成立．
故选：D．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，关键在于根据：若四边形的对角线互相平分，则此四边形为平行四边形这一判定定理判定四边形为平行四边形．
34．B
【分析】连接，，首先根据直角三角形的性质，可求得，再根据作法可知：，，根据全等三角形的判定与性质，即可求解．
【详解】解：如图：连接，，
在中，，，
，
由作法可知：，，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了基本作图，全等三角形判定和性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握基本作图．
35．A
【分析】根据得到，，从而得到，即可得到，结合的面积为，即可得到答案；
【详解】解：∵，，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵的面积为，，
∴，
∴与的面积之和是6，
故选：A．
【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，解题的关键是得到．
36．A
【分析】欲求的长，需求得的长，观测图中可放在中，而可放在中，结合已知条件可证两三角形全等，问题迎刃而解．
【详解】∵和是的高，
∴，，
∴．
在与中，
∴．
∴，
则．
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是找准全等三角形的对应边角．
37．C
【详解】∵S1左侧和S2右侧部分的两个直角三角形是全等三角形，根据勾股定理的几何意义可知
∴S1+S2=1
∴S2+S3=2
∴S3+S4=3
∴S1+S2+S3+S4=4
故选C
38．C
【分析】在PA⊥AB于A，QB⊥AB条件下，使△ACM与△BMN全等，需要分类讨论．
【详解】解：设：BM＝3x，则BN＝4x，
∵∠A＝∠B＝90°，
当△ACM≌△BNM时，有BM＝AM，BN＝AC，
又AM+BM＝42，
∴3x+3x＝42，
∴x＝7．
∴AC＝BN＝4x＝28（cm）；
当△ACM≌△BMN时，有AM＝BN，BM＝AC，
又AM+BM＝42，
∴4x+3x＝42，
∴x＝6，
∴AC＝BM＝18（cm）；
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形及分类讨论思想，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
39．（答案不唯一）
【分析】可以是，根据可证明，从而得到答案．
【详解】解：，
理由是：
在和中，
，
，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握证明三角形全等的方法有：、、、、是解题的关键．
40．
【分析】由题证明，由全等三角形的性质可得，，即可解决问题．
【详解】在和中，
，
，
，
，
圆柱形容器的壁厚是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是利用全等三角形的性质解决实际问题．
41．8
【分析】根据角平分线的性质可，利用勾股定理求出，再证明，可得，即可求出的长．
【详解】解：∵平分，，，
∴；
∴；
∵，
∴；
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
故答案为：8．
【点睛】本题考查角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
42．或
【分析】根据题意分两种情况讨论：①，②，然后分别列出方程求解即可．
【详解】解：由题意，则，
分两种情况：
①若，则，可得
，
解得，
②若，则，
，
解得．
故答案为：或．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是分两种情况讨论．
43．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由，得，根据 “”即可证明；
（2）根据全等三角形的性质得，则，然后根据即可求解．
【详解】（1）∵，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
44．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据三角形内角和定理可得结论；
（2）在上截取，连接，利用证明，得，再利用SAS证明，得，从而证明结论．
【详解】（1）∵，，，
∴；
（2）如图，在上截取，连接，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
45．(1)3
(2)2秒，理由见解析
(3)
【分析】（1）依据BD=CE=2t，可得CD=12-2t，AE=8-2t．再根据当时，，解出t的值即可；
（2）当△ABD≌△DCE成立时，AB=CD=8，即得出12-2t=8，解出t的值即可；
（3）由三角形全等的性质可知∠CDE=∠BAD．由∠ADE=180°-∠CDE-∠ADB，∠B=∠180°-∠BAD-∠ADB，即可得到∠ADE=∠B，再根据∠BAC=α，AB=AC，即可得出∠ADE的大小．
【详解】（1）由题可得，BD=CE=2t，
∴CD=12-2t，AE=8-2t，
∴当时，即，
解得t=3，
故答案为：3；
（2）当△ABD≌△DCE成立时，AB=CD=8，
∴12-2t=8，
解得t=2，
∴运动2秒时，△ABD≌△DCE能成立；
（3）当△ABD≌△DCE时，
∴∠CDE=∠BAD，
又∵∠ADE=180°-∠CDE-∠ADB，∠B=∠180°-∠BAD-∠ADB，
∴∠ADE=∠B，
又∵∠BAC=α，AB=AC，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点的综合运用．利用全等三角形的对应边相等得出方程是解题关键．
答案第4页，共24页
答案第3页，共24页