第十二章 第03讲角平分线的性质 同步学与练（含解析）2023-2024学年八年级数学上册人教版

第03讲 角平分线的性质
课程标准 学习目标
①角平分线的定义 ②角平分线的性质 ③角平分线的尺规作图 1. 掌握角平分的定义以及基本性质． 2. 掌握角平分线的性质并能够证明． 3. 掌握角平分线尺规作图的基本原理，并能够利用直尺和圆规进行角平分线作图．
知识点01 角平分线的定义及其性质
1. 角平分线的定义：
角的内部把角分成两个相等的角的射线这是个角的角平分线．
2. 角平分线的性质：
（1）性质1：平分角．
即若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC＝∠BOC．且他们都等于∠AOB的一半．
（2）性质2：角平分线上任意一点到角的两边的距离相等．
即若OC是∠AOB的平分线，P是0C上一点，且PD⊥OB于点D，PE⊥OA于点E，则有 PD＝PE．
题型考点：①利用角平分线的性质求线段长度或距离．②利用角平分线的性质求面积．
【即学即练1】
1．如图，在中，，，，平分，则点D到的距离为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【即学即练2】
2．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
【即学即练3】
3．如图，是中的平分线，，交于点E，，交于点F，若，则的面积是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【即学即练4】
4．如图，中，，平分，交于点D，，，则的面积为（　　）
A．60 B．30 C．15 D．10
知识点02 角平分线的尺规作图
1. 作已知角的角平分线：
步骤一：以角的顶点为圆心，一定长度为半径画圆弧，交角的两边与点M和点N．
步骤二：以点M和点N为圆心， 大于MN的长度为半径画圆弧，两弧交于点P．
步骤三：连接OP即为角平分线
步骤一 步骤二 步骤三
2. 证明上图中的OP是角平分线：
连接MP，NP
由作图过程可知，OM＝ON，MP＝NP．
在△OMP与△ONP中
∴△OMP≌△ONP
∴∠MOP＝∠NOP
∴OP是∠AOB的角平分线．
题型考点：①尺规作图为角平分线的依据．
②尺规作图后的有关计算．
③作图及其实际应用．
【即学即练1】
5．数学课上陈老师要求学生利用尺规作图，作一个已知角的角平分线，并保留作图痕迹．学生小敏的作法是：如图，是已知角，以O为圆心，任意长为半径作弧，与OA、OB分别交于N、M；再分别以N、M为圆心，大于的长为半径作弧，交于点C；作射线OC；则射线OC是的角平分线．小敏作图的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【即学即练2】
6．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（ ）

A． B． C． D．
【即学即练3】
7．如图，、交于A点，请确定M点，使它到、的距离相等．（用直尺和圆规）

【即学即练4】
8．如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库．
（1）如果要求油库到两条公路的距离都相等，那么如何选择油库的位置？
（2）如果要求油库到这三条公路的距离都相等，那么如何选择油库的位置？
知识点03 角平分线的判定
1. 角平分线的判定的内容：
角的内部到角两边距离相等的点一定在角平分线上．
2. 数学语言：
点P在∠AOB的内部，PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD，则点P在∠AOB的平分线上．
即：∵PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD
∴∠AOC＝∠BOC
题型考点：角平分线的判定证明．
【即学即练1】
9．如图，在四边形中，，点E为的中点，且平分．求证：是的平分线．

【即学即练2】
10． 已知：如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF；求证：AD平分∠BAC．
知识点04 三角形的角平分线性质
1. 三角形角平分线的性质：
三角形一个角的角平分线分得的两个三角形的面积比等于这个角的两边的比，也等于这个角对边分得的两条线段的比．
即如图：AD是△ABC的平分线．
则＝＝．
特别提示：分别以AB和AC为底、BD和CD为底表示出两个三角形的面积，然后比即可得出．
题型考点：利用三角形角平分线的性质进行面积有关的计算．
【即学即练1】
11．如图，在中，，，是的平分线，设和的面积分别是，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【即学即练2】
12．如图，的三边AC、BC、AB的长分别是8、12、16，点O是三条角平分线的交点，则的值为（　　）
A． B． C． D．
题型01 角平分线的性质
【典例1】
13．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（　　）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【典例2】
14．如图，在中，，平分，过点D作，若，，则的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【典例3】
15．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠1=∠2，BC=16cm，点D到AB的距离为6cm，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
【典例4】
16．如图，点是的三个内角平分线的交点，若的周长为，面积为，则点到边的距离是（ ）
A． B． C． D．
【典例5】
17．如图，的周长为12，，的平分线相交于点O，于点D，且，则 ．
【典例6】
18．如图，是的角平分线，，，且，则的面积是 ．

题型02 角平分线的作图
【典例1】
19．如图,观察图中尺规作图痕迹,下列说法错误的是( )
A．是的平分线 B． C．点C,D到的距离不相等 D．
【典例2】
20．如图，已知，按照以下步骤作图：①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D；②分别以点C，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点E；③连接，，，．下列结论错误的是（ ）

A． B．
C． D．
【典例3】
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，按如下步骤作图：以点A为圆心、适当长度为半径作弧，分别交AB、AC于点M、N；分别以点M、N为圆心、大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点F，连接AF并延长，交BC于点E．下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠ABC＝∠ACB B．BE＝CE C．AE⊥BC D．∠BAE＝∠B
【典例4】
22．如图，在△ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交边AC、AB于点M、N；②分别以点M和点N为圆心、大于MN的长为半径作圆弧，在∠BAC内，两弧交于点P；③作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
题型03 角平分线的性质的实际应用
【典例1】
23．疫情控期间，为了管理方便，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个临时隔离点，如图所示，若要使隔离点到三条公路的距离相等，则这个隔离点应修建在（　　）
A．三条高线的交点处 B．三条中线的交点处
C．三条角平分线的交点处 D．三边垂直分线的交点处
【典例2】
24．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果要在三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场可选的位置有（ ）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
25．到三角形的三条边距离相等的点（　　）
A．是三条角平分线的交点 B．是三条中线的交点
C．是三条高的交点 D．以上答案都不对
26．如图，是的角平分线，，垂足为E．若的面积为26，，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
27．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD＝3，则△ABD的面积为（　　）
A．15 B．30 C．12 D．10
28．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA 2，则PQ的长不可能是（ ）
A．4 B．3.5
C．2 D．1.5
29．如图，在中，，BE平分，，交AB于点F，交BE于点D，若，．则的面积为（ ）．
A． B． C． D．
30．如图，，点C是内一点，于点D，于点E．且，则的度数是（　　）

A． B． C． D．
31．如图，，的平分线与的平分线相交于点P，作于点E，若，则点P到与的距离之和为（ ）

A．4 B．6 C．8 D．10
32．如图，中，交于点，平分交于点．过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，连接，下列结论：
①；
②；
③；
④，
其中正确结论的个数是（ ）

A． B． C． D．
33．随着人们生活水平的不断提高,汽车逐步进入到千家万户,小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路(如图所示),建一个加油站,要求它到三条公路的距离相等,这样可供选择的地址有 处.
34．如图，是的平分线，于点E，，，，则 cm．
35．如图，O是内一点，且O到三边、、的距离，若， ．
36．如图所示，已知的周长是20，分别平分和于D，且，则的面积是 ．
37．已知：如图，平分，点在上，点在上，连接、，与相交于点，．

(1)证明：；
(2)若，，求．
38．如图，在中，平分，平分，于点．

(1)若，，求的度数；
(2)若，，求的面积．
39．已知直线与直线分别交于E、F两点，和的角平分线交于点P，且．

(1)求证：；
(2)如图2，和的角平分线交于点Q，求的度数；
(3)如图3，若，延长线段得射线，延长线段得射线，射线绕点E以每秒的速度逆时针旋转后停止，射线绕点F以每秒的速度顺时针旋转以后停止．设它们同时开始旋转，当射线时，求满足条件的t的值为多少．
试卷第2页，共14页
试卷第1页，共14页
参考答案：
1．C
【分析】过点D作，垂足为H，，根据角平分线的性质，可以得到，利用，可以求出线段的长度，问题即可解决．
【详解】解：如图，过点D作，垂足为H，

∵，，
∴，
∵平分，，，
∴，
∴点到的距离等于3，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，点到的距离指的是过点作的垂线段的长度，是解决此题的突破口．
2．C
【详解】过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，PA⊥AB，
∴PD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，
∴PA=PE，PD=PE，
∴PE=PA=PD，
∵PA+PD=AD=8，
∴PA=PD=4，
∴PE=4．
故选：C．
3．A
【分析】先根据角平分线的性质得到，再利用三角形面积公式即可求解．
【详解】解：∵是的平分线，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
4．C
【分析】过点D作，根据角平分线的性质即可得到的长度，再根据三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：过点D作，
∵平分，，，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线上的点到两边的距离相等．
5．D
【分析】根据SSS证明三角形全等，可得结论．
【详解】解：由作图可知OM=ON，MC=NC，
又∵OC=OC，
∴△OMC≌△ONC，（SSS）
∴∠MOC=∠NOC，
∴OC平分∠AOB，
故选：D．
【点睛】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
6．B
【分析】过点作于点，根据角平分线的性质可得，根据三角形的面积公式进行求解即可．
【详解】解：过点作于点，

根据题意得，是的角平分线，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
7．见解析
【分析】作的平分线，做出的平分线，即可得出答案．
【详解】解：如图，用直尺和圆规作的平分线，并延长；同理做出的平分线，并延长，点M在直线或直线上即可．

【点睛】本题考查作图----角平分线，正确理解题意是解题的关键．
8．（1）油库的位置在直线MN或直线EF上；（2）见解析
【分析】（1）作∠BAC角平分线AN，作∠BAD的角平分线AE，直线MN，直线EF上的点满足条件．
（2）根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，分别作出三个内角的平分线、相邻两个外角的平分线，共有四个点．
【详解】解：（1）如图，油库的位置在直线MN或直线EF上；
（2）如图，点P1，P2，P3，P4即为所求．
【点睛】此题是考查对角平分线的性质的灵活应用，注意：三角形的外角平分线不要漏掉，思考问题要全面．
9．见解析
【分析】过点E作于点F，根据角平分线的性质，得到，根据中点，得到，进而得到，即可得证．
【详解】证明：如图，过点E作于点F，

∴，平分，
∴．
∴点E是BC的中点，
∴，
∴．
又∵，，
∴是的平分线．
【点睛】本题考查角平分线的判定．熟练掌握到角两边相等的点在角的角平分线上，是解题的关键．
10．见解析
【分析】根据已知条件证明△BDE≌△CDF，得到DE=DF，再根据角平分线的判定定理即可得到结论.
【详解】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴DE=DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC.
【点睛】此题考查三角形全等的判定及性质，角平分线的判定定理，正确理解题意证明∴Rt△BDE≌Rt△CDF是解题的关键.
11．B
【分析】过D点作于E，根据角平分线的性质得到，然后利用三角形的面积公式求的值．
【详解】解：过D点作于E，如图，
∵是的平分线，，，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
12．A
【分析】过点O作于点D，于点E，于点F，根据角平分线的性质定理可知．再由三角形的面积公式计算，作比即可．
【详解】如图，过点O作于点D，于点E，于点F，
∵点是三条角平分线的交点，
∴．
∵，
，
，
∴．
故选A．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理．正确作出辅助线，由角平分线的性质定理得出是解题关键．
13．C
【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝∠FAP，即可得出答案.
【详解】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
设∠PCD＝x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，
∴PF＝PM，
∵∠BPC＝40°，
∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣40）°，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°，
∴∠CAF＝100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，
，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），
∴∠FAP＝∠PAC＝50°．
故选C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM＝PN＝PF是解题的关键．
14．C
【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，，，
∴，
故选：C．
【点睛】此题考查角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
15．D
【分析】∠1=∠2，则AD是∠CAB的角平分线，根据角平分线的性质即可求出CD，然后进一步求得BD．
【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵DE⊥AB，
∴DE=6cm，
∵∠1=∠2，
∴AD是∠CAB的角平分线，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=6cm，
∵BC=16cm，
∴BD=10cm．
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的性质以及点到直线的距离，解题的关键是掌握角平分线的性质定理并灵活运用．
16．B
【分析】过点P作于D，于E，于F，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：过点P作于D，于E，于F，如图，
∵点P是的内角平分线的交点，
∴，
又的周长为，面积为，
∴，
∴
∴
故选：B．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
17．12
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点O到AB、BC、AC的距离相等，然后利用三角形的面积公式列方程求解即可．
【详解】解：如图，过点O作于点E，作于点F，连接OA．
，OC分别平分和，，，，．
∵
．
故答案为12．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，掌握性质是解题的关键．
18．12
【分析】过点D作于E，于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，然根据的面积列式求出的长，再根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解．
【详解】解：如图，过点D作于E，于F，

∵是的一条角平分线，
∴，
∵，，
∴，
解得，
∴．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，三角形的面积，作辅助线是利用角平分线的性质的关键，也是本题难点．
19．C
【详解】分析：根据图形的画法得出是的平分线，再根据尺规作图的画法结合角平分线的性质逐项分析四个选项即可得出结论．
详解：根据尺规作图的画法可知：OE是∠AOB的角平分线．
A. OE是∠AOB的平分线，A正确；
B. OC=OD，B正确；
C. 点C. D到OE的距离相等，C不正确；
D. ∠AOE=∠BOE，D正确.
故选C.
点睛：考查尺规作图-角平分线，根据角平分线的性质回答即可.
20．B
【分析】利用基本作图可知，为的平分线，又，，可得出，从而可得出；由，，得出垂直平分，根据已知条件不能判断，进而可以解决问题．
【详解】解：由作图步骤可得：是的角平分线，则，故C选项正确，不合题意；
又，，
，
，故A正确，不合题意；
，，
垂直平分，则，故D选项正确，不合题意；
没有条件能得出，故B选项错误，符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了作图基本作图，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握基本作图的步骤是解题的关键．
21．D
【分析】根据作图可知AF是∠BAC的角平分线，再根据等腰三角形的性质逐项判断即可．
【详解】根据作图可知AF是∠BAC的角平分线，
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴AE⊥BC，BE=EC，∠ABC=∠ACB，即可知A、B、C选项正确，
D选项则不一定正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图以及等腰三角形的性质等知识，掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键．
22．B
【分析】作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：作于，
由基本作图可知，平分
平分，，，
，
的面积，
故选：B．
【点睛】本题考查基本作图、角平分线的性质定理、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
23．C
【分析】根据角平分线的性质进行判断即可．
【详解】∵隔离点到三条公路的距离相等，
∴这个隔离点为的角平分线的交点，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，理解并掌握角平分线的的性质是解题的关键．
24．A
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．
【详解】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，集贸市场应建在、、的角平分线的交点处，
故这个集贸市场可选的位置只有1处，
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用角平分线的性质解答．
25．A
【分析】到三角形三条边距离相等的点是三角形的内心，是三角形内角角平分线的交点．
【详解】解：到三角形三条边距离相等的点是三角形的内心，即三个内角平分线的交点．
故选A．
【点睛】本题主要考查的是角平分线的性质，掌握角的三角形角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
26．D
【分析】过点D作于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用的面积列出方程求解即可．
【详解】解：如图，过点D作于F，
是的角平分线，，
，
，
所以，，解得．
故选D．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、解一元一次方程等知识点，掌握角平分线的点到角的两边距离相等是解题的关键．
27．A
【分析】根据角平分线的性质可得DE=DC，然后用三角形面积公式算出结果即可．
【详解】过D点作DE⊥AB于E，如图，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC＝3，
∴S△ABD＝10×3＝15．
故选：A．
【点睛】本题考查角平分线性质，正确作出辅助线是解题的关键．
28．D
【分析】根据垂线段最短得出当PQ⊥OM时，PQ的值最小，此时根据角平分线性质得出PQ=PA，再逐一判断即可．
【详解】解：当PQ⊥OM时，PQ的值最小，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=2，
∴PQ=PA=2，
所以的最小值为2，
所以A，B，D不符合题意，D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线性质，垂线段最短的应用，求解PQ最小值是解此题的关键．
29．A
【分析】过点作，根据角平分线的性质可得，，求解即可．
【详解】解：过点作，如下图：
∵BE平分，，
∴
故选A
【点睛】此题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等．
30．B
【分析】根据角平分线的判定定理可得平分，再计算角度．
【详解】解：∵，，，
∴平分，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了角平分线的判定，注意：到角的两边距离相等的点在角平分线上．
31．C
【分析】如图所示，过点P作与F，延长交于G，先证明，由角平分线的定义得到，进而证明得到，同理可得，则，由此即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点P作与F，延长交于G，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴点P到与的距离之和为8，
故选C．

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，平行线间的距离等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
32．C
【分析】根据题意和三角形内角和定理可得，根据已知条件无法判定与相等，即无法判定与相等，故推得①不正确；设，可得，设，根据角平分线的性质可得，推得，根据三角形的外角性质可得，根据根据题意和三角形内角和定理可得，，推得，即，故②正确；根据角平分线的性质可得，根据三角形的外角性质可得，根据题意和三角形内角和定理可推得，即可得到，故③正确；根据三角形的面积公式分别求出，，，，求得，，即可得到，④正确．
【详解】解：①∵，，
∴，，
∵，，
∴，
根据已知条件无法判定与相等，
∴无法判定与相等，
故结论①不正确；
②设，即，
由①可知：，即，
设，
∵平分，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
即，，
∴，
∴，
∴，
故结论②正确；
③∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
即，
故结论③正确；
④∵，
∴，，，，
∴，，
∴，
故结论④正确．
综上所述：结论②③④正确，共3个．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，三角形的外角性质，三角形的面积公式，熟练掌握以上性质是解题的关键．
33．4
【分析】分析：根据角平分线上的点到角的两边的距离相等作出图形即可得解．
【详解】如图所示，
加油站站的地址有四处．
故选D．
【点睛】考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并是解题的关键，作出图形更形象直观．
34．1.5
【分析】首先过点D作于点F，由是的平分线，，根据角平分线的性质，可得，然后由，即求得答案．
【详解】解：过点D作于点F，
∵是的平分线，，
，
∵，，
，
∴，
故答案为：1.5．
【点睛】此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
35．##125度
【分析】先根据角平分线的判定定理得出平分，平分，然后根据三角形内角和定理求出，进而求出的度数，最后根据三角形内角和定理求出的度数即可．
【详解】解：∵O到三边、、的距离，
∴平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分的判定，三角形内角和定理等知识，掌握在角的内部到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上是解题的关键．
36．
【分析】连接，过作，根据角平分线的性质，利用 进行计算即可．
【详解】解：如图，连接，过作，
则：，
∴
即：
∵的周长是20，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查角平分线的性质和割补法求三角形面积．熟练掌握角平分线的点到角两边的距离相等，是解题的关键．
37．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据，得出，则，即可求证；
（2）根据平分，可得，最后根据三角形的外角定理得出，即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
，
；
（2）解：平分，，
，
，
，
是的外角，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握三角形的外角等于与它不相等两个内角之和，以及平行线的判定：同旁内角互补，两直线平行；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．
38．(1)
(2)
【分析】（1）根据角平分线的性质可得，，根据三角形内角和定理求解即可；
（2）根据角平分线的性质可得，根据三角形的面积公式进行求解即可．
【详解】（1）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在中，．
（2）解：过点作于点，

∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
39．(1)见解析
(2)
(3)5或15
【分析】（1）由角平分线的定义，可知，再由已知可求，根据同旁内角互补两直线平行即可证明；
（2）设，根据角平分线性质可得，再根据即可表示出，根据即可求出；
(3) 分两种情况讨论：时，，，则；时，，，则，分别求出t即可．
【详解】（1）证明：∵和的角平分线交于点P，且，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：设，
∵平分，
∴，，
∵和的角平分线交于点P，且，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图所示：

由题意可得：，，
∵，平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，解得：；
如图所示：

由题意可得：，，
∵，平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，解得：；
综上，的值为5或15．
【点睛】本题考查平行线的性质，熟练两直线平行角之间的关系，根据射线的运动情况画出符合题意的图是解题的关键．
答案第6页，共24页
答案第5页，共24页