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1.5.1全称量词与存在量词
第 1 章集合与常用逻辑用语
人教A版2019必修第一册
1.理解全称量词、全称量词命题的含义.
2.理解存在量词、存在量词命题的含义.
3.判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题,会判断真假.
教学目标
重点、难点
1.重点:全称量词、存在量词、全称量词命题、存在量词命题的含义.
2.判断全称量词命题、存在量词命题及真假.
同学们,生活中,我们经常听到“全体起立,所有人到操场集合,全都不许说话”;我们还经常听到“有的同学考上了清华大学,有的同学没有交作业”.而这里出现了一些在我们数学中非常重要的量词,“全体,所有的,任意的,有的,存在”等,今天我们就对含有这些量词的命题展开讨论.
新知讲解
问题 下列语句是命题吗?比较(1)和(3),(2)和(4),它们之间有什么关系?
(1);
(2)是整数;
(3)对所有的;
(4)对任意一个是整数.
语句命题(1)(2)中含有变量,由于不知道变量代表什么数,无法判断它们的真假,所以它们不是命题.语句(3)在(1)的基础上,用短语“所有的”对变量进行限定;语句(4)在(2)的基础上,用短语“任意一个”对变量进行限定,从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句,因此语句(3)(4)是命题.
概念生成
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并且用符号“”表示.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.
例如,命题“对任意的是奇数”“所有的正方形都是矩形”都是全称量词命题.
常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”“所有的”等.
一般形式:通常,将含有变量的语句用表示,变量的取值范围用表示.那么,全称量词命题“对中任意一个,成立”
符号简记为
结构特点:集合中的任意一个元素,都满足条件.
【例】判断下列全称量词命题的真假.
(1)所有的素数都是奇数;
(2) x∈R,|x|+1≥1;
(3)对每一个无理数x,x2也是无理数.
∵2是素数,但不是奇数, ∴命题(1)是假命题;
∵|x|≥0,∴|x|+≥1,∴命题(2)是真命题;
∵ 是无理数,但 是有理数,∴命题(3)是假命题;
思考:如何判断全称量词命题的真假?
若判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证P(x)成立;
若判定一个全称量词命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x=x0 ,使得P(x0 )不成立即可.
存在量词
探究 下列语句是命题吗?比较(1)和(3),(2)和(4),它们之间有什么关系?
(1);
(2)能被2和3整除
(3)存在一个;
(4)至少有一个
√
√
×
×
(3)(4)在(1)(2)的基础上对变量进行了限定,用了 条件,所以(3)(4)可以判断真假,它们是命题。
“存在”“至少有一个”
存在量词
存在量词与存在量词命题
1. 存在量词及表示:
短语“存在一个”“至少有一个”“有些” “有一个” “对某
些”“有的”在逻辑中一般叫做存在量词。
定义:
表示:
2. 存在量词命题及表示:
定义:
含有存在量词的命题,叫存在量词命题。
表示:
读作:“存在一个x属于M,有p(x)成立”。
用符号“ ”表示
存在量词命题“对M中任意一个x,有含变量x的语句p(x)都成立”表示为:
x∈M,p(x)
典型例题
例 下列特称命题是假命题的是 ( )
A.存在x∈Q,使2x2=5
B.存在x∈R,使x2+x+1=0
C.有的质数是偶数
D.有的有理数没有倒数
A
典型例题
例 将下列命题用“ ”或“ ”表示.
(1)实数的平方是不小于0;
(2)方程 x2+3x-5=0至少存在一个为正根;
解: x∈R,x2≥0.
解: x0>0,x0+3x0-5=0
典型例题
例、下列命题中,是全称命题的是 ;是特称命题的是 .
①存在一个偶数为质数;
②存在一个实数,既是有理数又是无理数;
③对任何实数a,b,c,方程ax2+bx+c=0都有实数根;
④对于所有的正比例函数,都是一次函数;
①②
③④
练习
2 判断下列语句是全称量词命题,还是存在量词命题.
(1)对任意的n∈Z,2n+1是奇数;
(2)有些三角形不是等腰三角形;
(3)有的实数是无限不循环小数;
(4)所有的正方形都是矩形.
练习
[解析]
(1)含有全称量词“任意”,故为全称量词命题.
(2)含有存在量词“有些”,故为存在量词命题.
(3)含有存在量词“有的”,故为存在量词命题.
(4)含有全称量词“所有”,故为全称量词命题.
练习
3判断下列命题的真假
(1) x∈R,x2+1> ;
(2) α,β∈R,(α-β)2=(α+β)2;
(3)存在一个数既是偶数又是负数;
(4)每一条线段的长度都能用正有理数表示;
(5)存在一个实数x,使等式x2+x+8=0成立.
练习
4.用量词符号“ ”“ ”表述下列命题,并判断真假.
(1)一定有整数x0,y0,使得3x0-2y0=10成立.
(2)所有的有理数x都能使 x2+ x+1是有理数.
(3)存在一对实数(x,y),使2x-y+1<0成立.
练习
练习
解:
(1) x0,y0∈Z,3x0-2y0=10;真命题.
(2) x∈Q, x2+ x+1是有理数;真命题.
(3) (x,y),x∈R,y∈R,2x-y+1<0,是真命题.
如x=0,y=2时,2x-y+1=0-2+1=-1<0成立
5有下列四个命题:
① x∈R,2x2-3x+4>0;② x∈{1,-1,0},2x+1>0;
③ x0∈N,x0 ≤x0; ④ x0∈N*,x0为29的约数.
其中真命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
练习
解析:①,这是全称量词命题,∵Δ=9-32=-23<0,∴ x∈R,2x2-3x+4>0是真命题;
②,这是全称量词命题,当x=-1时,2x+1<0,故该命题为假命题;
③,这是存在量词命题,当x0=0时,x0 ≤x0成立,该命题为真命题;
④,这是存在量词命题,当x0=1时,x0为29的约数,该命题为真命题.故选C.
课堂小结
谢谢!