2023-2024学年人教A版数学必修一综合测试第五章 5.4.1正弦函数、余弦函数的图象（附解析）

5.4　三角函数的图象与性质
5．4.1　正弦函数、余弦函数的图象
一、单项选择题
1．要得到函数y＝－sinx的图象，只需将函数y＝cosx的图象(　　)
A．向右平移个单位长度
B．向右平移π个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移π个单位长度
2．函数y＝的定义域为(　　)
A．[0，π]
B．{第一或第二象限的角}
C．{x|2kπ≤x≤(2k＋1)π，k∈Z}
D．(0，π)
3．已知点在余弦曲线上，则m＝(　　)
A. B．－
C. D．－
4．在[0,2π]上，满足sinx≥的x的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
5．如图所示，函数y＝cosx|tanx|的图象是(　　)
6．方程sinx＝的根的个数是(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
7．函数y＝ln cosx的大致图象是(　　)
8．若函数y＝2cosx(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是(　　)
A．4 B．8
C．2π D．4π
二、多项选择题
9．对于余弦函数y＝cosx的图象，下列说法正确的是(　　)
A．向左右无限延伸
B．与y＝sinx的图象形状相同，只是位置不同
C．与x轴有无数个交点
D．关于x轴对称
10．下列函数的图象相同的是(　　)
A．y＝sinx与y＝sin(π＋x)
B．y＝cos与y＝cos
C．y＝sinx与y＝cos(－x)
D．y＝sin(2π＋x)与y＝sinx
11．已知f(x)＝sin，g(x)＝cos，h(x)＝－sinx，下列结论正确的是(　　)
A．f(x)与g(x)的图象相同
B．g(x)与h(x)的图象关于x轴对称
C．将f(x)的图象向左平移个单位长度，得到h(x)的图象
D．将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到g(x)的图象
12．关于函数f(x)＝1＋cosx，x∈的图象与直线y＝t(t为常数)的交点情况，下列说法正确的是(　　)
A．当t<0或t≥2时，有0个交点
B．当t＝0或≤t<2时，有1个交点
C．当0D．当0三、填空题
13．若sinx＝2m＋1且x∈R，则m的取值范围是________．
14．函数y＝cosx＋4，x∈[0,2π]的图象与直线y＝4的交点坐标为________．
15．函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝________，|x2－x1|＝________.
16．已知函数f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是________．
四、解答题
17．根据y＝cosx的图象解不等式：－≤cosx≤，x∈[0,2π]．
18．已知0≤x≤2π，试探索sinx与cosx的大小关系．
19．在同一坐标系中，作出函数y＝sinx和y＝lg x的图象，根据图象判断出方程sinx＝lg x的解的个数．
20．已知函数f(x)＝
(1)作出该函数的图象；
(2)若f(x)＝，求x的值．
5.4　三角函数的图象与性质
5．4.1　正弦函数、余弦函数的图象
一、单项选择题
1．要得到函数y＝－sinx的图象，只需将函数y＝cosx的图象(　　)
A．向右平移个单位长度
B．向右平移π个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移π个单位长度
答案　C
解析　因为y＝cos＝－sinx，由图象平移变换可知，将y＝cosx的图象向左平移个单位长度即可得到y＝－sinx的图象，故选C.
2．函数y＝的定义域为(　　)
A．[0，π]
B．{第一或第二象限的角}
C．{x|2kπ≤x≤(2k＋1)π，k∈Z}
D．(0，π)
答案　C
解析　要使函数y＝有意义，则需sinx≥0，由y＝sinx的图象可得定义域为{x|2kπ≤x≤(2k＋1)π，k∈Z}．
3．已知点在余弦曲线上，则m＝(　　)
A. B．－
C. D．－
答案　B
解析　m＝cos＝－.
4．在[0,2π]上，满足sinx≥的x的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　y＝与y＝sinx的图象的两个交点为，，∴x的取值范围为.
5．如图所示，函数y＝cosx|tanx|的图象是(　　)
答案　C
解析　当0≤x<时，y＝cosx·|tanx|＝sinx；当6．方程sinx＝的根的个数是(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
答案　A
解析　在同一坐标系内画出y＝和y＝sinx的图象如图所示：
根据图象可知方程有7个根．
7．函数y＝ln cosx的大致图象是(　　)
答案　A
解析　由余弦函数的图象，可知当－8．若函数y＝2cosx(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是(　　)
A．4 B．8
C．2π D．4π
答案　D
解析　作出函数y＝2cosx，x∈[0,2π]的图象，函数y＝2cosx，x∈[0，2π]的图象与直线y＝2围成的平面图形为如图所示的阴影部分．
利用图象的对称性可知该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积，又∵OA＝2，OC＝2π，∴S阴影部分＝S矩形OABC＝2×2π＝4π.
二、多项选择题
9．对于余弦函数y＝cosx的图象，下列说法正确的是(　　)
A．向左右无限延伸
B．与y＝sinx的图象形状相同，只是位置不同
C．与x轴有无数个交点
D．关于x轴对称
答案　ABC
解析　由余弦函数y＝cosx的图象可知A，B，C正确，y＝cosx的图象关于y轴对称，D错误．故选ABC.
10．下列函数的图象相同的是(　　)
A．y＝sinx与y＝sin(π＋x)
B．y＝cos与y＝cos
C．y＝sinx与y＝cos(－x)
D．y＝sin(2π＋x)与y＝sinx
答案　BD
解析　y＝sin(π＋x)＝－sinx，故A中两函数的图象不同；y＝cos＝sinx，y＝cos＝sinx，故B中两函数的图象相同；y＝cos(－x)＝cosx，故C中两函数图象不同；y＝sin(2π＋x)＝sinx，故D中两函数的图象相同．故选BD.
11．已知f(x)＝sin，g(x)＝cos，h(x)＝－sinx，下列结论正确的是(　　)
A．f(x)与g(x)的图象相同
B．g(x)与h(x)的图象关于x轴对称
C．将f(x)的图象向左平移个单位长度，得到h(x)的图象
D．将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到g(x)的图象
答案　BCD
解析　f(x)＝sin＝cosx，g(x)＝cos＝sinx，故f(x)与g(x)的图象不同，A错误；g(x)＝sinx，h(x)＝－sinx，则g(x)与h(x)的图象关于x轴对称，B正确；f＝sin＝－sinx，故将f(x)的图象向左平移个单位长度，得到h(x)的图象，C正确；f＝sinx＝g(x)，故将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到g(x)的图象，D正确．故选BCD.
12．关于函数f(x)＝1＋cosx，x∈的图象与直线y＝t(t为常数)的交点情况，下列说法正确的是(　　)
A．当t<0或t≥2时，有0个交点
B．当t＝0或≤t<2时，有1个交点
C．当0D．当0答案　AB
解析　画出函数f(x)在上的图象，如图所示．对于A，当t<0或t≥2时，有0个交点，故正确；对于B，当t＝0或≤t<2时，有1个交点，故正确；对于C，当t＝时，只有1个交点，故错误；对于D，当≤t<2时，只有1个交点，故错误．故选AB.
三、填空题
13．若sinx＝2m＋1且x∈R，则m的取值范围是________．
答案　[－1,0]
解析　∵sinx∈[－1,1]，∴－1≤2m＋1≤1，故－1≤m≤0.
14．函数y＝cosx＋4，x∈[0,2π]的图象与直线y＝4的交点坐标为________．
答案　，
解析　作出函数y＝cosx＋4，x∈[0,2π]的图象(图略)，容易发现它与直线y＝4的交点坐标为，.
15．函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝________，|x2－x1|＝________.
答案　3π　
解析　作出函数y＝sinx与y＝－在[0,2π]上的图象，如图所示．则x1＋x2＝2×＝3π.令sinx＝－，由x∈[0,2π]，得x1＝，x2＝或x1＝，x2＝，故|x2－x1|＝＝.
16．已知函数f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是________．
答案　(1,3)
解析　f(x)＝sinx＋2|sinx|＝的图象如图．若使f(x)的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，根据图象可得k的取值范围是(1,3)．
四、解答题
17．根据y＝cosx的图象解不等式：－≤cosx≤，x∈[0,2π]．
解　函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象如图所示：
根据图象可得不等式的解集为.
18．已知0≤x≤2π，试探索sinx与cosx的大小关系．
解　用“五点法”作出y＝sinx，y＝cosx(0≤x≤2π)的简图．
由图象可知，①当x＝或x＝时，sinx＝cosx；
②当cosx；
③当0≤x<或19．在同一坐标系中，作出函数y＝sinx和y＝lg x的图象，根据图象判断出方程sinx＝lg x的解的个数．
解　建立平面直角坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象，再向右连续平移2π个单位，得到y＝sinx的图象．
描出点(1,0)，(10,1)，并用光滑曲线连接得到y＝lg x的图象，如图所示．
由图象可知方程sinx＝lg x的解有3个．
20．已知函数f(x)＝
(1)作出该函数的图象；
(2)若f(x)＝，求x的值．
解　(1)作出函数f(x)＝的图象，如图①所示．
(2)因为f(x)＝，所以在图①基础上再作直线y＝，如图②所示，由图象知当－π≤x<0时，x＝－，
当0≤x≤π时，x＝或x＝.
综上，可知x的值为－或或.