2023-2024学年人教A版数学必修一综合测试第五章 5.4.2 第1课时正、余弦函数的周期性、奇偶性（附解析）

5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质
第1课时　正、余弦函数的周期性、奇偶性
一、单项选择题
1．已知函数f(x)＝sin－1，则下列命题正确的是(　　)
A．f(x)是周期为1的奇函数
B．f(x)是周期为2的偶函数
C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数
D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数
2．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)的值为(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
3．函数y＝sin(x－2φ)的图象关于y轴对称，则φ的一个取值是(　　)
A. B．－ C．π D．2π
4．函数f(x)＝x＋sinx，x∈R(　　)
A．是奇函数，但不是偶函数
B．是偶函数，但不是奇函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
5．定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sinx，则f等于 (　　)
A．－ B. C．－ D.
6．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象是(　　)
7．设函数f(x)＝sin3x＋|sin3x|，则f(x)为(　　)
A．周期函数，最小正周期为
B．周期函数，最小正周期为
C．周期函数，最小正周期为2π
D．非周期函数
8．如果函数f(x)＝cos(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为，那么ω的值为(　　)
A．3 B．6 C．12 D．24
二、多项选择题
9．下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是(　　)
A．y＝cos|2x| B．y＝sin2x
C．y＝sin D．y＝cos
10．若函数f(x)＝sin是偶函数，则φ的取值可以是(　　)
A．－ B. C. D.
11．定义在R上的函数f(x)满足 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)且f(x＋2)＝－f(x)，则下列四个命题中正确的为(　　)
A．f(x)为奇函数
B．f(x)是周期函数
C．f(x)的图象关于直线x＝1对称
D．f(2)＝f(0)
12．关于函数f(x)＝cosx＋|cosx|，下列四个结论中正确的是(　　)
A．f(x)是偶函数
B．f(x)在区间[0,2π]上有4个零点
C．f(x)为周期函数
D．f(x)的值域为[－1,1]
三、填空题
13．函数y＝sin的最小正周期为2，则ω的值为________．
14．若f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝sinx，则f(x)的解析式为________．
15．若函数f(x)＝2cos的最小正周期为T，且T∈(1,3)，则正整数ω的最大值是________．
16．设函数f(x)＝sinx，则f(x)的周期T＝________，f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2020)＝________.
四、解答题
17．已知函数y＝sinx＋|sinx|.
(1)画出函数的简图；
(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．
18．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称．
(1)证明：f(x)是周期函数；
(2)若当x∈[－2,2]时，f(x)＝－x2＋1，求当x∈[－6，－2]时，f(x)的解析式．
19．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝xcos(π＋x)；(2)f(x)＝sin(cosx)；
(3)f(x)＝lg (sinx＋)．
20．设函数f(x)＝sin(k∈N*)，若在区间[a，a＋3](a为实数)上存在不少于4个且不多于8个不同的x0，使f(x0)＝，求k的值．
5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质
第1课时　正、余弦函数的周期性、奇偶性
一、单项选择题
1．已知函数f(x)＝sin－1，则下列命题正确的是(　　)
A．f(x)是周期为1的奇函数
B．f(x)是周期为2的偶函数
C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数
D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数
答案　B
解析　f(x)＝sin－1＝－cosπx－1，是偶函数，周期T＝＝2，故选B.
2．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)的值为(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案　B
解析　∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.∵f(x＋4)＝f(x)，即f(x)的周期为4，故f(8)＝f(4)＝f(0)＝0.故选B.
3．函数y＝sin(x－2φ)的图象关于y轴对称，则φ的一个取值是(　　)
A. B．－ C．π D．2π
答案　B
解析　∵函数y＝sin(x－2φ)的图象关于y轴对称，∴－2φ＝＋kπ，k∈Z，∴φ＝－－，k∈Z，结合选项，φ的一个取值是－.故选B.
4．函数f(x)＝x＋sinx，x∈R(　　)
A．是奇函数，但不是偶函数
B．是偶函数，但不是奇函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
答案　A
解析　∵f(x)＝x＋sinx，∴f(－x)＝－x＋sin(－x)＝－x－sinx＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，但不是偶函数．故选A.
5．定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sinx，则f等于 (　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　D
解析　f＝f＝f＝f＝f＝f＝sin＝.
6．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象是(　　)
答案　B
解析　由f(－x)＝f(x)，得f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，排除A，C；由f(x＋2)＝f(x)，得f(x)的周期为2，排除D，故选B.
7．设函数f(x)＝sin3x＋|sin3x|，则f(x)为(　　)
A．周期函数，最小正周期为
B．周期函数，最小正周期为
C．周期函数，最小正周期为2π
D．非周期函数
答案　B
解析　f(x)＝的大致图象如图所示，由图可知f(x)为周期函数，最小正周期为.
8．如果函数f(x)＝cos(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为，那么ω的值为(　　)
A．3 B．6 C．12 D．24
答案　B
解析　设函数f(x)的最小正周期为T，由题意得＝，故T＝，即＝，即ω＝6.故选B.
二、多项选择题
9．下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是(　　)
A．y＝cos|2x| B．y＝sin2x
C．y＝sin D．y＝cos
答案　BD
解析　y＝cos|2x|是偶函数；y＝sin2x是奇函数，其最小正周期为π；y＝sin＝cos2x是偶函数；y＝cos＝－sin2x是奇函数，其最小正周期为π.故选BD.
10．若函数f(x)＝sin是偶函数，则φ的取值可以是(　　)
A．－ B. C. D.
答案　AC
解析　∵f(x)＝sin是偶函数，∴f(0)＝±1.∴sin＝±1.∴＝kπ＋(k∈Z)．∴φ＝3kπ＋(k∈Z)．∴当k＝0时，φ＝；当k＝－1时，φ＝－.故选AC.
11．定义在R上的函数f(x)满足 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)且f(x＋2)＝－f(x)，则下列四个命题中正确的为(　　)
A．f(x)为奇函数
B．f(x)是周期函数
C．f(x)的图象关于直线x＝1对称
D．f(2)＝f(0)
答案　ABCD
解析　因为f(x＋y)＝f(x)＋f(y)对任意x，y∈R恒成立，令x＝y＝0，所以f(0)＝0.令x＋y＝0，所以y＝－x，所以f(0)＝f(x)＋f(－x)．所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，A正确．由f(x＋2)＝－f(x) f(x＋4)＝－f(x＋2) f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)为周期函数，周期T＝4，B正确．f(x＋2)＝－f(x) f(－x＋2)＝－f(－x)．又因为f(x)为奇函数，所以f(2－x)＝f(x)，所以函数图象关于直线x＝1对称，C正确．由f(x＋2)＝－f(x)，令x＝0得f(2)＝－f(0)＝f(0)，D正确．故选ABCD.
12．关于函数f(x)＝cosx＋|cosx|，下列四个结论中正确的是(　　)
A．f(x)是偶函数
B．f(x)在区间[0,2π]上有4个零点
C．f(x)为周期函数
D．f(x)的值域为[－1,1]
答案　AC
解析　∵f(x)＝cosx＋|cosx|，∴f(－x)＝cos(－x)＋|cos(－x)|＝cosx＋|cosx|＝f(x)，∴f(x)是偶函数，A正确；f(x)＝cosx＋|cosx|
＝
作出其函数图象如图所示，
由图可知，f(x)在区间[0,2π]上有2个零点，B错误；f(x)为周期函数，C正确；f(x)的值域为[0,2]，D错误．故选AC.
三、填空题
13．函数y＝sin的最小正周期为2，则ω的值为________．
答案　±π
解析　T＝＝2，∴|ω|＝π，∴ω＝±π.
14．若f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝sinx，则f(x)的解析式为________．
答案　f(x)＝
解析　当x＜0时，－x＞0，所以f(－x)＝sin(－x)＝－sinx.又f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝－sinx，即f(x)＝
15．若函数f(x)＝2cos的最小正周期为T，且T∈(1,3)，则正整数ω的最大值是________．
答案　6
解析　∵1<<3，∴<ω<2π.又∵ω为正整数，∴ω的最大值为6.
16．设函数f(x)＝sinx，则f(x)的周期T＝________，f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2020)＝________.
答案　6　
解析　∵f(x)＝sinx的周期T＝＝6，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2020)＝336[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＋f(2017)＋f(2018)＋f(2019)＋f(2020)
＝336＋f(2017)＋f(2018)＋f(2019)＋f(2020)＝336×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝sin＋sin＋sinπ＋sin＝.
四、解答题
17．已知函数y＝sinx＋|sinx|.
(1)画出函数的简图；
(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．
解　(1)y＝sinx＋|sinx|
＝
图象如下：
(2)由图象知该函数是周期函数，且周期是2π.
18．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称．
(1)证明：f(x)是周期函数；
(2)若当x∈[－2,2]时，f(x)＝－x2＋1，求当x∈[－6，－2]时，f(x)的解析式．
解　(1)证明：∵f(－x)＝f(x)，f(2＋x)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝f[2－(x＋2)]＝f(－x)＝f(x)，故f(x)是以4为周期的周期函数．
(2)当x∈[－6，－2]时，x＋4∈[－2,2]．
∴f(x)＝f(x＋4)＝－(x＋4)2＋1＝－x2－8x－15.
19．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝xcos(π＋x)；(2)f(x)＝sin(cosx)；
(3)f(x)＝lg (sinx＋)．
解　(1)∵f(x)＝－xcosx，
∴f(－x)＝－(－x)cos(－x)＝xcosx＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(2)∵f(－x)＝sin[cos(－x)]＝sin(cosx)＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(3)∵f(－x)＋f(x)＝lg [sin(－x)＋]＋
lg (sinx＋)＝lg (sin2x＋1－sin2x)＝0，
即f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
20．设函数f(x)＝sin(k∈N*)，若在区间[a，a＋3](a为实数)上存在不少于4个且不多于8个不同的x0，使f(x0)＝，求k的值．
解　∵f(x)在一个周期内有且只有2个不同的x0，使f(x0)＝，
∴f(x)在区间[a，a＋3]上至少有2 个周期，至多有4个周期．而这个区间的长度为3个单位长度，
∴即≤T≤.∴≤≤，
解得≤k≤.∵k∈N*，∴k＝2或3.