2023-2024学年人教A版数学必修一综合测试第五章 5.4.2 第2课时正、余弦函数的单调性与最值（附解析）

5.4.25.4.2　正弦函数、余弦函数的性质
第2课时　正、余弦函数的单调性与最值
一、单项选择题
1．函数y＝sinx和y＝cosx都是单调递增的一个区间是(　　)
A. B.
C. D.
2．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是(　　)
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝cos
3．当－≤x≤时，函数f(x)＝2sin有(　　)
A．最大值为1，最小值为－1
B．最大值为1，最小值为－
C．最大值为2，最小值为－2
D．最大值为2，最小值为－1
4．若函数f(x)＝sinωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝(　　)
A．3 B．2 C. D.
5．函数f(x)＝cos(ω>0)在[0，π]内的值域为，则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
6．已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D．(0,2]
7．设a>0，对于函数f(x)＝(0A．有最大值而无最小值 B．有最小值而无最大值
C．有最大值且有最小值 D．既无最大值又无最小值
8．函数y＝sinx的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的最大值和最小值之和等于(　　)
A. B. C．2π D．4π
二、多项选择题
9．下列结论正确的是(　　)
A．sin103°15′>sin164°30′ B．sin508°>sin144°
C．cos>cos D．cos>cos
10．已知函数f(x)＝－cos2x，则下列说法正确的是(　　)
A．f(x)的最小正周期为π
B．f(x)的最大值为2
C．f(x)的图象关于y轴对称
D．f(x)在区间上单调递增
11．对于函数f(x)＝下列四个结论正确的是(　　)
A．f(x)是以π为周期的函数
B．当且仅当x＝π＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值－1
C．f(x)图象的对称轴为直线x＝＋kπ(k∈Z)
D．当且仅当2kπ12．设函数f(x)＝sin(ω>0)，已知f(x)在[0，π]有且仅有3个零点，对于下列四个说法正确的是(　　)
A．在(0，π)上存在x1，x2，满足f(x1)－f(x2)＝2
B．ω的取值范围是
C．f(x)在(0，π)有且仅有1个最大值点
D．f(x)在单调递增
三、填空题
13．函数y＝cos在上的单调递增区间为________．
14．sin1，sin2，sin3按从小到大排列的顺序为________．
15．若f(x)＝2sinωx(0＜ω＜1)在区间上的最大值是 ，则ω＝________.
16．已知函数f(x)＝sin＋，ω>0，x∈R，且f(α)＝－，f(β)＝.若|α－β|的最小值为，则f＝________，函数f(x)的单调递增区间为________．
四、解答题
17．比较下列各组数的大小：
(1)sin与sin；
(2)sin与cos.
18．求函数y＝cos2x＋4sinx的最大值和最小值，及取到最大值和最小值时的x的取值集合．
19．求下列函数的值域：
(1)y＝cos，x∈；
(2)y＝cos2x－4cosx＋5.
20．设函数f(x)＝asin＋b.
(1)若a>0，求f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈时，f(x)的值域为[1,3]，求a，b的值．
5.4.25.4.2　正弦函数、余弦函数的性质
第2课时　正、余弦函数的单调性与最值
一、单项选择题
1．函数y＝sinx和y＝cosx都是单调递增的一个区间是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　结合函数y＝sinx和y＝cosx的图象可得，它们在区间上都是单调递增的．
2．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是(　　)
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝cos
答案　A
解析　因为函数周期为π，所以排除C，D.又因为y＝cos＝－sin2x在上为增函数，故B不符合．故选A.
3．当－≤x≤时，函数f(x)＝2sin有(　　)
A．最大值为1，最小值为－1
B．最大值为1，最小值为－
C．最大值为2，最小值为－2
D．最大值为2，最小值为－1
答案　D
解析　∵－≤x≤，∴－≤x＋≤，∴sin∈，∴2sin∈[－1,2]．故函数f(x)的最大值为2，最小值为－1.
4．若函数f(x)＝sinωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝(　　)
A．3 B．2 C. D.
答案　C
解析　因为当0≤ωx≤时，函数f(x)为增函数，当≤ωx≤时，函数f(x)为减函数，即当0≤x≤时，函数f(x)为增函数，当≤x≤时，函数f(x)为减函数，所以＝，所以ω＝.
5．函数f(x)＝cos(ω>0)在[0，π]内的值域为，则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　由题意得－1≤cos≤，画出函数y＝cosx的图象，如图所示，则π≤ωπ＋≤，解得≤ω≤，故ω的取值范围是.
6．已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D．(0,2]
答案　A
解析　令2kπ＋≤ωx＋≤2kπ＋，k∈Z，则f(x)的单调递减区间为，k∈Z，又f(x)在上单调递减，所以解得≤ω≤.
7．设a>0，对于函数f(x)＝(0A．有最大值而无最小值 B．有最小值而无最大值
C．有最大值且有最小值 D．既无最大值又无最小值
答案　B
解析　令t＝sinx，t∈(0,1]，f(x)＝(00，∴y＝1＋在t∈(0,1]上单调递减．∴y有最小值而无最大值．
8．函数y＝sinx的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的最大值和最小值之和等于(　　)
A. B. C．2π D．4π
答案　C
解析　作出函数y＝sinx的一个简图，如图所示，∵函数的值域为，
且sin＝sin＝，sin＝－1，
∴定义域[a，b]中b－a的最小值为－＝，
定义域[a，b]中b－a的最大值为2π＋－＝，
故可得，最大值和最小值之和为2π.
二、多项选择题
9．下列结论正确的是(　　)
A．sin103°15′>sin164°30′ B．sin508°>sin144°
C．cos>cos D．cos>cos
答案　AC
解析　因为正弦函数在区间上为减函数，且90°<103°15′<164°30′<180°，所以sin103°15′>sin164°30′，故A正确；因为sin508°＝sin(360°＋148°)＝sin148°，且正弦函数在区间上为减函数，故sin148°cos，故cos>cos，故C正确；cos＝cos＝cos，cos＝cos＝cos.因为<<<π，故cos10．已知函数f(x)＝－cos2x，则下列说法正确的是(　　)
A．f(x)的最小正周期为π
B．f(x)的最大值为2
C．f(x)的图象关于y轴对称
D．f(x)在区间上单调递增
答案　ACD
解析　因为f(x)＝－cos2x，所以函数f(x)的最小正周期T＝π，f(x)的最大值为1.因为f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos2x＝f(x)，所以f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称．因为y＝cos2x在上单调递减，所以f(x)＝－cos2x在上单调递增，故选ACD.
11．对于函数f(x)＝下列四个结论正确的是(　　)
A．f(x)是以π为周期的函数
B．当且仅当x＝π＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值－1
C．f(x)图象的对称轴为直线x＝＋kπ(k∈Z)
D．当且仅当2kπ答案　CD
解析　函数f(x)＝的最小正周期为2π.画出f(x)在一个周期内的图象，可得当2kπ＋0，f(x)的最大值为f＝，即012．设函数f(x)＝sin(ω>0)，已知f(x)在[0，π]有且仅有3个零点，对于下列四个说法正确的是(　　)
A．在(0，π)上存在x1，x2，满足f(x1)－f(x2)＝2
B．ω的取值范围是
C．f(x)在(0，π)有且仅有1个最大值点
D．f(x)在单调递增
答案　AB
解析　因为f(x)在[0，π]有且仅有3个零点，且f(0)<0，则函数f(x)的最小正周期T<π，所以在(0，π)上存在x1，x2，使得f(x1)＝1，f(x2)＝－1，所以f(x1)－f(x2)＝2可以成立，故A正确；函数y＝sin在y轴右侧的前4个零点分别是，，，，则函数f(x)＝sin(ω>0)在y轴右侧的前4个零点分别是，，，，因为f(x)在[0，π]有且仅有3个零点，所以 ω∈，故B正确；因为前4个零点分别是，，，，则x0＝＝可使函数f(x)取得最大值，因为ω∈，所以<≤，所以f(x)在(0，π)可能存在2个最大值点，故C错误；因为ω∈，所以当x∈时，－<ωx－<，结合正弦函数的单调性可知D错误．故选AB.
三、填空题
13．函数y＝cos在上的单调递增区间为________．
答案　
解析　由2kπ－π≤x－≤2kπ(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．∵x∈，∴0≤x≤.即所求的单调递增区间为.
14．sin1，sin2，sin3按从小到大排列的顺序为________．
答案　sin3＜sin1＜sin2
解析　∵sin(π－2)＝sin2，sin(π－3)＝sin3，y＝sinx在上单调递增，且0＜π－3＜1＜π－2＜，
∴sin(π－3)＜sin1＜sin(π－2)，即sin3＜sin1＜sin2.
15．若f(x)＝2sinωx(0＜ω＜1)在区间上的最大值是 ，则ω＝________.
答案　
解析　∵x∈，即0≤x≤，且0＜ω＜1，
∴0≤ωx≤＜.∵f(x)max＝2sin＝，
∴sin＝，＝，即ω＝.
16．已知函数f(x)＝sin＋，ω>0，x∈R，且f(α)＝－，f(β)＝.若|α－β|的最小值为，则f＝________，函数f(x)的单调递增区间为________．
答案　　，k∈Z
解析　函数f(x)＝sin＋，ω>0，x∈R，由f(α)＝－，f(β)＝，且|α－β|的最小值为，得＝，即T＝3π＝，所以ω＝.所以f(x)＝sin＋.
则f＝sin＋＝.由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋3kπ≤x≤π＋3kπ，k∈Z，即函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
四、解答题
17．比较下列各组数的大小：
(1)sin与sin；
(2)sin与cos.
解　(1)因为－<－<－<0，正弦函数y＝sinx在区间上是增函数，
所以sin>sin.
(2)因为cos＝sin，又<<＋<，而y＝sinx在上是减函数，所以sin>sin，即sin>cos.
18．求函数y＝cos2x＋4sinx的最大值和最小值，及取到最大值和最小值时的x的取值集合．
解　函数y＝cos2x＋4sinx＝1－sin2x＋4sinx＝－sin2x＋4sinx＋1＝－(sinx－2)2＋5.
∵－1≤sinx≤1，∴当sinx＝1，即x＝2kπ＋，k∈Z时，ymax＝4；
当sinx＝－1，即x＝2kπ－，k∈Z时，ymin＝－4.
∴ymax＝4，此时x的取值集合是；
ymin＝－4，此时x的取值集合是.
19．求下列函数的值域：
(1)y＝cos，x∈；
(2)y＝cos2x－4cosx＋5.
解　(1)由x∈可得x＋∈，
函数y＝cosx在区间上单调递减，所以函数的值域为.
(2)y＝cos2x－4cosx＋5，令t＝cosx，则－1≤t≤1，
y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1.
当t＝－1时，函数取得最大值10；
当t＝1时，函数取得最小值2.
所以函数的值域为[2,10]．
20．设函数f(x)＝asin＋b.
(1)若a>0，求f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈时，f(x)的值域为[1,3]，求a，b的值．
解　(1)由于a>0，
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间是，k∈Z.
(2)当x∈时，≤2x＋≤，
则≤sin≤1，
由f(x)的值域为[1,3]知，解得
或解得
综上得或