2023-2024学年人教A版数学必修一综合测试第五章 5.4.2 第2课时正、余弦函数的单调性与最值(附解析)

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名称 2023-2024学年人教A版数学必修一综合测试第五章 5.4.2 第2课时正、余弦函数的单调性与最值(附解析)
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文件大小 129.5KB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2023-10-06 14:47:50

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文档简介

5.4.25.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第2课时 正、余弦函数的单调性与最值
一、单项选择题
1.函数y=sinx和y=cosx都是单调递增的一个区间是(  )
A. B.
C. D.
2.下列函数中,周期为π,且在上为减函数的是(  )
A.y=sin B.y=cos
C.y=sin D.y=cos
3.当-≤x≤时,函数f(x)=2sin有(  )
A.最大值为1,最小值为-1
B.最大值为1,最小值为-
C.最大值为2,最小值为-2
D.最大值为2,最小值为-1
4.若函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间上单调递增,在区间上单调递减,则ω=(  )
A.3 B.2 C. D.
5.函数f(x)=cos(ω>0)在[0,π]内的值域为,则ω的取值范围是(  )
A. B.
C. D.
6.已知ω>0,函数f(x)=sin在上单调递减,则ω的取值范围是(  )
A. B.
C. D.(0,2]
7.设a>0,对于函数f(x)=(0A.有最大值而无最小值 B.有最小值而无最大值
C.有最大值且有最小值 D.既无最大值又无最小值
8.函数y=sinx的定义域为[a,b],值域为,则b-a的最大值和最小值之和等于(  )
A. B. C.2π D.4π
二、多项选择题
9.下列结论正确的是(  )
A.sin103°15′>sin164°30′ B.sin508°>sin144°
C.cos>cos D.cos>cos
10.已知函数f(x)=-cos2x,则下列说法正确的是(  )
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)的最大值为2
C.f(x)的图象关于y轴对称
D.f(x)在区间上单调递增
11.对于函数f(x)=下列四个结论正确的是(  )
A.f(x)是以π为周期的函数
B.当且仅当x=π+kπ(k∈Z)时,f(x)取得最小值-1
C.f(x)图象的对称轴为直线x=+kπ(k∈Z)
D.当且仅当2kπ12.设函数f(x)=sin(ω>0),已知f(x)在[0,π]有且仅有3个零点,对于下列四个说法正确的是(  )
A.在(0,π)上存在x1,x2,满足f(x1)-f(x2)=2
B.ω的取值范围是
C.f(x)在(0,π)有且仅有1个最大值点
D.f(x)在单调递增
三、填空题
13.函数y=cos在上的单调递增区间为________.
14.sin1,sin2,sin3按从小到大排列的顺序为________.
15.若f(x)=2sinωx(0<ω<1)在区间上的最大值是 ,则ω=________.
16.已知函数f(x)=sin+,ω>0,x∈R,且f(α)=-,f(β)=.若|α-β|的最小值为,则f=________,函数f(x)的单调递增区间为________.
四、解答题
17.比较下列各组数的大小:
(1)sin与sin;
(2)sin与cos.
18.求函数y=cos2x+4sinx的最大值和最小值,及取到最大值和最小值时的x的取值集合.
19.求下列函数的值域:
(1)y=cos,x∈;
(2)y=cos2x-4cosx+5.
20.设函数f(x)=asin+b.
(1)若a>0,求f(x)的单调递增区间;
(2)当x∈时,f(x)的值域为[1,3],求a,b的值.
5.4.25.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第2课时 正、余弦函数的单调性与最值
一、单项选择题
1.函数y=sinx和y=cosx都是单调递增的一个区间是(  )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 结合函数y=sinx和y=cosx的图象可得,它们在区间上都是单调递增的.
2.下列函数中,周期为π,且在上为减函数的是(  )
A.y=sin B.y=cos
C.y=sin D.y=cos
答案 A
解析 因为函数周期为π,所以排除C,D.又因为y=cos=-sin2x在上为增函数,故B不符合.故选A.
3.当-≤x≤时,函数f(x)=2sin有(  )
A.最大值为1,最小值为-1
B.最大值为1,最小值为-
C.最大值为2,最小值为-2
D.最大值为2,最小值为-1
答案 D
解析 ∵-≤x≤,∴-≤x+≤,∴sin∈,∴2sin∈[-1,2].故函数f(x)的最大值为2,最小值为-1.
4.若函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间上单调递增,在区间上单调递减,则ω=(  )
A.3 B.2 C. D.
答案 C
解析 因为当0≤ωx≤时,函数f(x)为增函数,当≤ωx≤时,函数f(x)为减函数,即当0≤x≤时,函数f(x)为增函数,当≤x≤时,函数f(x)为减函数,所以=,所以ω=.
5.函数f(x)=cos(ω>0)在[0,π]内的值域为,则ω的取值范围是(  )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 由题意得-1≤cos≤,画出函数y=cosx的图象,如图所示,则π≤ωπ+≤,解得≤ω≤,故ω的取值范围是.
6.已知ω>0,函数f(x)=sin在上单调递减,则ω的取值范围是(  )
A. B.
C. D.(0,2]
答案 A
解析 令2kπ+≤ωx+≤2kπ+,k∈Z,则f(x)的单调递减区间为,k∈Z,又f(x)在上单调递减,所以解得≤ω≤.
7.设a>0,对于函数f(x)=(0A.有最大值而无最小值 B.有最小值而无最大值
C.有最大值且有最小值 D.既无最大值又无最小值
答案 B
解析 令t=sinx,t∈(0,1],f(x)=(00,∴y=1+在t∈(0,1]上单调递减.∴y有最小值而无最大值.
8.函数y=sinx的定义域为[a,b],值域为,则b-a的最大值和最小值之和等于(  )
A. B. C.2π D.4π
答案 C
解析 作出函数y=sinx的一个简图,如图所示,∵函数的值域为,
且sin=sin=,sin=-1,
∴定义域[a,b]中b-a的最小值为-=,
定义域[a,b]中b-a的最大值为2π+-=,
故可得,最大值和最小值之和为2π.
二、多项选择题
9.下列结论正确的是(  )
A.sin103°15′>sin164°30′ B.sin508°>sin144°
C.cos>cos D.cos>cos
答案 AC
解析 因为正弦函数在区间上为减函数,且90°<103°15′<164°30′<180°,所以sin103°15′>sin164°30′,故A正确;因为sin508°=sin(360°+148°)=sin148°,且正弦函数在区间上为减函数,故sin148°cos,故cos>cos,故C正确;cos=cos=cos,cos=cos=cos.因为<<<π,故cos10.已知函数f(x)=-cos2x,则下列说法正确的是(  )
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)的最大值为2
C.f(x)的图象关于y轴对称
D.f(x)在区间上单调递增
答案 ACD
解析 因为f(x)=-cos2x,所以函数f(x)的最小正周期T=π,f(x)的最大值为1.因为f(-x)=-cos(-2x)=-cos2x=f(x),所以f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称.因为y=cos2x在上单调递减,所以f(x)=-cos2x在上单调递增,故选ACD.
11.对于函数f(x)=下列四个结论正确的是(  )
A.f(x)是以π为周期的函数
B.当且仅当x=π+kπ(k∈Z)时,f(x)取得最小值-1
C.f(x)图象的对称轴为直线x=+kπ(k∈Z)
D.当且仅当2kπ答案 CD
解析 函数f(x)=的最小正周期为2π.画出f(x)在一个周期内的图象,可得当2kπ+0,f(x)的最大值为f=,即012.设函数f(x)=sin(ω>0),已知f(x)在[0,π]有且仅有3个零点,对于下列四个说法正确的是(  )
A.在(0,π)上存在x1,x2,满足f(x1)-f(x2)=2
B.ω的取值范围是
C.f(x)在(0,π)有且仅有1个最大值点
D.f(x)在单调递增
答案 AB
解析 因为f(x)在[0,π]有且仅有3个零点,且f(0)<0,则函数f(x)的最小正周期T<π,所以在(0,π)上存在x1,x2,使得f(x1)=1,f(x2)=-1,所以f(x1)-f(x2)=2可以成立,故A正确;函数y=sin在y轴右侧的前4个零点分别是,,,,则函数f(x)=sin(ω>0)在y轴右侧的前4个零点分别是,,,,因为f(x)在[0,π]有且仅有3个零点,所以 ω∈,故B正确;因为前4个零点分别是,,,,则x0==可使函数f(x)取得最大值,因为ω∈,所以<≤,所以f(x)在(0,π)可能存在2个最大值点,故C错误;因为ω∈,所以当x∈时,-<ωx-<,结合正弦函数的单调性可知D错误.故选AB.
三、填空题
13.函数y=cos在上的单调递增区间为________.
答案 
解析 由2kπ-π≤x-≤2kπ(k∈Z),得2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z).∵x∈,∴0≤x≤.即所求的单调递增区间为.
14.sin1,sin2,sin3按从小到大排列的顺序为________.
答案 sin3<sin1<sin2
解析 ∵sin(π-2)=sin2,sin(π-3)=sin3,y=sinx在上单调递增,且0<π-3<1<π-2<,
∴sin(π-3)<sin1<sin(π-2),即sin3<sin1<sin2.
15.若f(x)=2sinωx(0<ω<1)在区间上的最大值是 ,则ω=________.
答案 
解析 ∵x∈,即0≤x≤,且0<ω<1,
∴0≤ωx≤<.∵f(x)max=2sin=,
∴sin=,=,即ω=.
16.已知函数f(x)=sin+,ω>0,x∈R,且f(α)=-,f(β)=.若|α-β|的最小值为,则f=________,函数f(x)的单调递增区间为________.
答案  ,k∈Z
解析 函数f(x)=sin+,ω>0,x∈R,由f(α)=-,f(β)=,且|α-β|的最小值为,得=,即T=3π=,所以ω=.所以f(x)=sin+.
则f=sin+=.由-+2kπ≤x-≤+2kπ,k∈Z,得-+3kπ≤x≤π+3kπ,k∈Z,即函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
四、解答题
17.比较下列各组数的大小:
(1)sin与sin;
(2)sin与cos.
解 (1)因为-<-<-<0,正弦函数y=sinx在区间上是增函数,
所以sin>sin.
(2)因为cos=sin,又<<+<,而y=sinx在上是减函数,所以sin>sin,即sin>cos.
18.求函数y=cos2x+4sinx的最大值和最小值,及取到最大值和最小值时的x的取值集合.
解 函数y=cos2x+4sinx=1-sin2x+4sinx=-sin2x+4sinx+1=-(sinx-2)2+5.
∵-1≤sinx≤1,∴当sinx=1,即x=2kπ+,k∈Z时,ymax=4;
当sinx=-1,即x=2kπ-,k∈Z时,ymin=-4.
∴ymax=4,此时x的取值集合是;
ymin=-4,此时x的取值集合是.
19.求下列函数的值域:
(1)y=cos,x∈;
(2)y=cos2x-4cosx+5.
解 (1)由x∈可得x+∈,
函数y=cosx在区间上单调递减,所以函数的值域为.
(2)y=cos2x-4cosx+5,令t=cosx,则-1≤t≤1,
y=t2-4t+5=(t-2)2+1.
当t=-1时,函数取得最大值10;
当t=1时,函数取得最小值2.
所以函数的值域为[2,10].
20.设函数f(x)=asin+b.
(1)若a>0,求f(x)的单调递增区间;
(2)当x∈时,f(x)的值域为[1,3],求a,b的值.
解 (1)由于a>0,
令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间是,k∈Z.
(2)当x∈时,≤2x+≤,
则≤sin≤1,
由f(x)的值域为[1,3]知,解得
或解得
综上得或