2023-2024学年人教A版数学必修一综合测试第五章 5.5.1 第1课时两角差的余弦公式（附解析）

5.5　三角恒等变换
5．5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第1课时　两角差的余弦公式
一、单项选择题
1．cos165°等于(　　)
A. B.
C．－ D．－
2．cos295°sin70°－sin115°cos110°的值为(　　)
A. B．－ C. D．－
3. 如图，在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，若点A，B的坐标分别为和，则cos(α－β)的值为(　　)
A．－ B．－ C．0 D.
4．已知cos＝－，则cosx＋cos＝(　　)
A．－ B．± C．－1 D．±1
5．若sinα＝，α∈，则cos的值为(　　)
A．－ B．－ C．－ D．－
6．设α，β是锐角，且cosα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ＝(　　)
A. B.
C.或 D.或
7．若cos(α－β)＝，cos2α＝，并且α，β均为锐角，且α<β，则α＋β的值为(　　)
A. B. C. D.
8．若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，则cos＝(　　)
A. B．－ C. D．－
二、多项选择题
9．下列说法正确的是(　　)
A．存在这样的α，β，使得cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
B．存在有限多个α，β，使得cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
C．对任意的α，β，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
D．不存在这样的α，β，使得cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
10．下列各式化简正确的是(　　)
A．cos80°cos20°＋sin80°sin20°＝cos60°
B．cos15°＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°
C．sin(α＋45°)sinα＋cos(α＋45°)cosα＝cos30°
D．cos＝cosα＋sinα
11．满足cosαcosβ＝－sinαsinβ的α，β的可能值为(　　)
A．α＝，β＝ B．α＝，β＝
C．α＝，β＝ D．α＝，β＝
12．已知sinα＝，α∈[0，π]，则cos的值可能为(　　)
A. B.
C. D.
三、填空题
13．已知α，β均为锐角，且cosα＝，cosβ＝，则α－β＝________.
14．已知sin(α－2β)＝－，cos(2α－β)＝，其中0<α<，<β<，则cos(α＋β)＝________.
15．已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，则cos(α－β)的值是________．
16．已知sinα＝，0<α<，则cosα＝________，sin＝________.
四、解答题
17．若x∈，且sinx＝，求2cos＋2cosx的值．
18．已知sin＝，且＜α＜，求cosα的值．
19．若sin＝，cos＝，且0<α<<β<，求sin(α＋β)的值．
20．已知A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)，其中α，β为锐角，且AB＝.
(1)求cos(α－β)的值；
(2)若cosα＝，求cosβ的值．
5.5　三角恒等变换
5．5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第1课时　两角差的余弦公式
一、单项选择题
1．cos165°等于(　　)
A. B.
C．－ D．－
答案　C
解析　cos165°＝cos(180°－15°)＝－cos15°＝－cos(45°－30°)＝－(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝－.
2．cos295°sin70°－sin115°cos110°的值为(　　)
A. B．－ C. D．－
答案　A
解析　原式＝－cos115°cos20°＋sin115°sin20°＝cos65°cos20°＋sin65°sin20°＝cos(65°－20°)＝cos45°＝.
3. 如图，在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，若点A，B的坐标分别为和，则cos(α－β)的值为(　　)
A．－ B．－ C．0 D.
答案　C
解析　由sinα＝，cosα＝，sinβ＝，cosβ＝－，可得cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝0.
4．已知cos＝－，则cosx＋cos＝(　　)
A．－ B．± C．－1 D．±1
答案　C
解析　因为cos＝－，所以cosx＋cos＝cosx＋cosxcos＋sinxsin＝cosx＋sinx＝＝cos＝×＝－1.故选C.
5．若sinα＝，α∈，则cos的值为(　　)
A．－ B．－ C．－ D．－
答案　B
解析　由sinα＝，α∈，可得cosα＝－.cos＝coscosα＋sinαsin＝cosα＋sinα＝(cosα＋sinα)，将sinα＝，cosα＝－代入上式可得cos＝－.
6．设α，β是锐角，且cosα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ＝(　　)
A. B.
C.或 D.或
答案　A
解析　∵α，β都是锐角，且cosα＝<，∴<α<.又sin(α＋β)＝>，∴<α＋β<π，∴cos(α＋β)＝－＝－，sinα＝＝，则cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝.故选A.
7．若cos(α－β)＝，cos2α＝，并且α，β均为锐角，且α<β，则α＋β的值为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　∵0<α<β<，∴－<α－β<0,0<2α<π.由cos(α－β)＝，得sin(α－β)＝－.由cos2α＝，得sin2α＝.
∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos2αcos(α－β)＋sin2αsin(α－β)＝×＋×＝－.又∵α＋β∈(0，π)，
∴α＋β＝.
8．若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，则cos＝(　　)
A. B．－ C. D．－
答案　C
解析　cos＝cos＝coscos＋sinsin，∵0<α<，则<＋α<，∴sin＝.又－<β<0，则<－<，则sin＝.故cos＝×＋×＝，故选C.
二、多项选择题
9．下列说法正确的是(　　)
A．存在这样的α，β，使得cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
B．存在有限多个α，β，使得cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
C．对任意的α，β，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
D．不存在这样的α，β，使得cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
答案　AC
解析　对于A，当α＝0，β＝0时，有cos(α－β)＝cos(0－0)＝1，cosαcosβ－sinαsinβ＝cos0cos0－sin0sin0＝1，满足cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，故A正确；对于B，cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，即cosαcosβ＋sinαsinβ＝cosαcosβ－sinαsinβ，则有sinαsinβ＝0，因此sinα＝0或sinβ＝0，所以α＝kπ或β＝nπ(k，n∈Z)，所以存在无限个α，β，使得cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，故B错误；对于C，D，由两角差的余弦公式知C正确，D错误．
10．下列各式化简正确的是(　　)
A．cos80°cos20°＋sin80°sin20°＝cos60°
B．cos15°＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°
C．sin(α＋45°)sinα＋cos(α＋45°)cosα＝cos30°
D．cos＝cosα＋sinα
答案　AB
解析　对于A，cos80°cos20°＋sin80°sin20°＝cos(80°－20°)＝cos60°，故A正确；对于B，cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°，故B正确；对于C，sin(α＋45°)sinα＋cos(α＋45°)cosα＝cos[(α＋45°)－α]＝cos45°，故C错误；对于D，cos＝cosα＋sinα，故D错误．故选AB.
11．满足cosαcosβ＝－sinαsinβ的α，β的可能值为(　　)
A．α＝，β＝ B．α＝，β＝
C．α＝，β＝ D．α＝，β＝
答案　BD
解析　原式可化为cosαcosβ＋sinαsinβ＝，即cos(α－β)＝，经检验，B，D符合，故选BD.
12．已知sinα＝，α∈[0，π]，则cos的值可能为(　　)
A. B.
C. D.
答案　AD
解析　当α∈时，因为sinα＝，所以cosα＝，所以cos＝coscosα＋sinsinα＝×＋×＝.当α∈时，cosα＝－，所以cos＝coscosα＋sinsinα＝×＋×＝.
三、填空题
13．已知α，β均为锐角，且cosα＝，cosβ＝，则α－β＝________.
答案　－
解析　由条件得sinα＝，sinβ＝.∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝.又α－β∈，∴α－β＝±.又cosα＞cosβ，∴α＜β，则α－β＝－.
14．已知sin(α－2β)＝－，cos(2α－β)＝，其中0<α<，<β<，则cos(α＋β)＝________.
答案　
解析　因为0<α<，<β<，所以－<α－2β<－，－<2α－β<0，所以由sin(α－2β)＝－，得cos(α－2β)＝－＝－，由cos(2α－β)＝，得sin(2α－β)＝－＝－，则cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)＝×＋×＝.
15．已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，则cos(α－β)的值是________．
答案　－
解析　由题意，得
①2＋②2 2＋2(sinαsinβ＋cosαcosβ)＝1 cos(α－β)＝－.
16．已知sinα＝，0<α<，则cosα＝________，sin＝________.
答案　　
解析　因为sinα＝，0<α<，所以cosα＝ ＝.所以sin＝sin＝sin＝cos＝coscosα＋sinsinα＝×＋×＝.
四、解答题
17．若x∈，且sinx＝，求2cos＋2cosx的值．
解　因为x∈，sinx＝，所以cosx＝－.
所以2cos＋2cosx＝2＋2cosx＝2＋2cosx＝sinx＋cosx＝－＝.
18．已知sin＝，且＜α＜，求cosα的值．
解　因为sin＝，且＜α＜，所以＜α＋＜π.
所以cos＝－ ＝－.
所以cosα＝cos＝coscos＋sinsin＝－×＋×＝.
19．若sin＝，cos＝，且0<α<<β<，求sin(α＋β)的值．
解　因为0<α<<β<，
所以<＋α<π，－<－β<0.
又sin＝，cos＝，
所以cos＝－，sin＝－.
所以sin(α＋β)＝－cos
＝－cos
＝－
＝－＝.
20．已知A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)，其中α，β为锐角，且AB＝.
(1)求cos(α－β)的值；
(2)若cosα＝，求cosβ的值．
解　(1)由AB＝，得
＝，
∴2－2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝，∴cos(α－β)＝.
(2)∵cosα＝，∴sinα＝，sin(α－β)＝±.
当sin(α－β)＝时，
cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝.
当sin(α－β)＝－时，
cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝0.
∵β为锐角，∴cosβ＝.