2023-2024学年人教A版数学必修一综合测试第五章 5.5.1 第2课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式（附解析）

5.5.1第2课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式
一、单项选择题
1.＝(　　)
A．－ B．－ C. D.
2．已知sinα＝，α为第二象限的角，且tan(α＋β)＝－，则tanβ的值为(　　)
A．－ B. C．－ D.
3．已知α为钝角，且sin＝，则cos的值为(　　)
A. B.
C．－ D．－
4．已知cos＋sinα＝，则sin的值是(　　)
A．－ B. C．－ D.
5．已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，那么β等于(　　)
A. B. C. D.
6．已知α为锐角，且tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则角α等于 (　　)
A. B. C. D.
7．在△ABC中，3sinA＋4cosB＝6,3cosA＋4sinB＝1，则C的大小为(　　)
A. B.
C.或 D.或
8．设α∈，β∈，且tanα＝，则(　　)
A．3α－β＝ B．2α－β＝
C．3α＋β＝ D．2α＋β＝
二、多项选择题
9．cosα－sinα化简的结果可以是(　　)
A.cos B．2cos
C.sin D．2sin
10．若sinx＋cosx＝4－m，则实数m的值可能是(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
11．已知cosα＝－，则tan的值可以为(　　)
A．－ B．－7 C. D．7
12．在△ABC中，三个内角分别是A，B，C，则下列条件中可证得△ABC是等腰三角形的是(　　)
A．sinC＝2cosAsinB
B．sin(B＋C)＝2sinBcosC
C．sinC＝2sin(B＋C)cosB
D．sin(A－B)cosB＋cos(A－B)sinB≥1
三、填空题
13．sin＝________.
14．已知sin＋cosα＝－，则cos＝________.
15．若tan(α＋2β)＝2，tanβ＝－3，则tan(α＋β)＝________，tanα＝________.
16．定义运算＝ad－bc.若cosα＝，＝，0<β<α<，则β＝________.
四、解答题
17．证明：sin(α＋β)sin(α－β)＝sin2α－sin2β，并利用该式计算sin220°＋sin80°sin40°的值．
18．已知＜α＜，0＜β＜，cos＝－，sin＝，求sin(α＋β)的值．
19．已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，求tan的值．
20．已知△ABC中，tanB＋tanC＋tanBtanC＝，且tanA＋tanB＝tanAtanB－1，试判断△ABC的形状．
5.5.1第2课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式
一、单项选择题
1.＝(　　)
A．－ B．－ C. D.
答案　C
解析　＝
＝＝
＝sin30°＝.
2．已知sinα＝，α为第二象限的角，且tan(α＋β)＝－，则tanβ的值为(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　C
解析　∵α为第二象限角，∴cosα＜0，cosα＝－，∴tanα＝－.tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝－.
3．已知α为钝角，且sin＝，则cos的值为(　　)
A. B.
C．－ D．－
答案　C
解析　∵α为钝角，且sin＝，∴cos＝－.∴cos＝cos＝coscos－sinsin＝×－×＝－.
4．已知cos＋sinα＝，则sin的值是(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　C
解析　∵cos＋sinα＝，∴cosαcos＋sinαsin＋sinα＝，即cosα＋sinα＝，∴sin＝，∴sin＝，∴sin＝－sin＝－.故选C.
5．已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，那么β等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　∵0<β<α<，∴0<α－β<，由cosα＝得sinα＝，由cos(α－β)＝得sin(α－β)＝，∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×＝＝，∴β＝.
6．已知α为锐角，且tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则角α等于 (　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　∵tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]
＝＝＝－1，
∴2α＝－＋kπ(k∈Z)，∴α＝－＋(k∈Z)．
又α为锐角，∴α＝－＝.
7．在△ABC中，3sinA＋4cosB＝6,3cosA＋4sinB＝1，则C的大小为(　　)
A. B.
C.或 D.或
答案　A
解析　由题意知
①2＋②2得9＋16＋24sin(A＋B)＝37，则sin(A＋B)＝.∴在△ABC中，sinC＝，∴C＝或C＝.由1－3cosA＝4sinB>0，得cosA<.又<，∴A>.若C＝，则A＋B＝，不符合题意，∴C≠，若C＝，则A＋B＝，符合题意，∴C＝.
8．设α∈，β∈，且tanα＝，则(　　)
A．3α－β＝ B．2α－β＝
C．3α＋β＝ D．2α＋β＝
答案　B
解析　由条件得＝，即sinαcosβ＝cosα(1＋sinβ)，所以sin(α－β)＝cosα＝sin.因为α∈，β∈，所以－<α－β<，0<－α<，所以α－β＝－α，所以2α－β＝.
二、多项选择题
9．cosα－sinα化简的结果可以是(　　)
A.cos B．2cos
C.sin D．2sin
答案　BD
解析　因为cosα－sinα＝2，所以cosα－sinα＝2＝2cos或cosα－sinα＝2＝2sin.故选BD.
10．若sinx＋cosx＝4－m，则实数m的值可能是(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
答案　ABC
解析　因为sinx＋cosx＝cossinx＋sincosx＝sin，－1≤sin≤1，所以－1≤4－m≤1，解得3≤m≤5.故选ABC.
11．已知cosα＝－，则tan的值可以为(　　)
A．－ B．－7 C. D．7
答案　CD
解析　因为cosα＝－，所以sinα＝或sinα＝－，所以tanα＝－或tanα＝.因为tan＝＝，所以tan＝7或tan＝.故选CD.
12．在△ABC中，三个内角分别是A，B，C，则下列条件中可证得△ABC是等腰三角形的是(　　)
A．sinC＝2cosAsinB
B．sin(B＋C)＝2sinBcosC
C．sinC＝2sin(B＋C)cosB
D．sin(A－B)cosB＋cos(A－B)sinB≥1
答案　ABC
解析　对于A，因为sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝2cosAsinB，所以sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0，所以A＝B，故A可证；对于B，因为sin(B＋C)＝sinBcosC＋sinCcosB＝2sinBcosC，所以sinBcosC－sinCcosB＝0，即sin(B－C)＝0，所以B＝C，故B可证；对于C，因为sinC＝2sin(B＋C)cosB，所以sin(A＋B)＝2sinAcosB，所以sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0，所以A＝B，故C可证；对于D，因为sin(A－B)cosB＋cos(A－B)sinB＝sinA≥1，所以sinA＝1，所以A＝90°，故D不可证．故选ABC.
三、填空题
13．sin＝________.
答案　
解析　sin＝－sin＝－sin＝sin＝sin＝sincos－cossin＝.
14．已知sin＋cosα＝－，则cos＝________.
答案　－
解析　由sin＋cosα＝－，得sin＝－，所以cos＝cos＝sin＝－.
15．若tan(α＋2β)＝2，tanβ＝－3，则tan(α＋β)＝________，tanα＝________.
答案　－1　
解析　因为tan(α＋2β)＝2，tanβ＝－3，所以tan(α＋β)＝tan(α＋2β－β)＝＝＝－1.tanα＝tan(α＋β－β)＝＝.
16．定义运算＝ad－bc.若cosα＝，＝，0<β<α<，则β＝________.
答案　
解析　依题设，得＝sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β)＝.
∵0<β<α<，∴0<α－β<，∴cos(α－β)＝.
又cosα＝，∴sinα＝，
∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×＝，
∴β＝.
四、解答题
17．证明：sin(α＋β)sin(α－β)＝sin2α－sin2β，并利用该式计算sin220°＋sin80°sin40°的值．
解　左边＝sin(α＋β)sin(α－β)
＝(sinαcosβ＋cosαsinβ)(sinαcosβ－cosαsinβ)
＝sin2αcos2β－cos2αsin2β
＝sin2α(1－sin2β)－(1－sin2α)sin2β
＝sin2α－sin2αsin2β－sin2β＋sin2αsin2β
＝sin2α－sin2β＝右边．
∴sin(α＋β)sin(α－β)＝sin2α－sin2β.
∴sin220°＋sin80°sin40°
＝sin220°＋sin(60°＋20°)sin(60°－20°)
＝sin220°＋sin260°－sin220°＝sin260°＝.
18．已知＜α＜，0＜β＜，cos＝－，sin＝，求sin(α＋β)的值．
解　因为＜α＜，所以＜＋α＜π.
因为cos＝－，所以sin＝.
因为0＜β＜，所以＜＋β＜π.
因为sin＝，
所以cos＝－.
因为＋＝π＋α＋β，
所以sin(α＋β)＝－sin[π＋(α＋β)]
＝－sin
＝－sincos－cossin
＝－×－×＝.
19．已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，求tan的值．
解　∵α，β∈，
∴α＋β∈，β－∈.
又sin(α＋β)＝－，sin＝，
∴cos(α＋β)＝＝，
cos＝－＝－.
∴tan(α＋β)＝＝－，
tan＝＝－.
∴tan＝tan
＝
＝＝.
20．已知△ABC中，tanB＋tanC＋tanBtanC＝，且tanA＋tanB＝tanAtanB－1，试判断△ABC的形状．
解　∵tanA＋tanB＝tanAtanB－1，
∴(tanA＋tanB)＝tanAtanB－1，
∴＝－，∴tan(A＋B)＝－.
又0∵tanB＋tanC＋tanBtanC＝，tanC＝，
∴tanB＋＋tanB＝，
∴tanB＝，∴B＝，∴A＝，
∴△ABC为等腰钝角三角形．