2023-2024学年人教A版数学必修一综合测试第五章5.4.3正切函数的性质与图象（附解析）

5.4.3　正切函数的性质与图象
一、单项选择题
1．函数y＝tan的定义域是(　　)
A.
B.
C.
D.
2．函数f(x)＝tan与函数g(x)＝sin的最小正周期相同，则ω＝(　　)
A．±1 B．1 C．±2 D．2
3．方程x－tanx＝0的实根有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．无穷多个
4．函数f(x)＝tan的单调增区间是(　　)
A.，k∈Z
B．(kπ，kπ＋π)，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
5．函数y＝tanx＋(　　)
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
6．观察正切曲线，满足条件|tanx|≤1的x的范围是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
7．在下列函数中，同时满足：①在上单调递增；②以2π为周期；③是奇函数的是(　　)
A．y＝tan B．y＝cosx
C．y＝tan D．y＝－tanx
答案　C
8．函数y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|在区间内的图象是(　　)
二、多项选择题
9．下列各式中正确的是(　　)
A．tan735°C．tan10．关于函数f(x)＝tan，以下命题正确的为(　　)
A．函数f(x)的周期是
B．函数f(x)的定义域是
C．y＝f(x)是奇函数
D．y＝f(x)的一个单调递增区间为
11．下列四个命题中正确的为(　　)
A．若f(x)＝atanx＋bcosx是偶函数，则a＝0
B．当x＝2kπ＋，k∈Z时，y＝cos(x－)取得最大值
C．函数y＝4cos的图象关于直线x＝－对称
D．函数y＝2tan＋1的图象的对称中心为，k∈Z
12．关于函数f(x)＝|tanx|的性质，下列叙述正确的是(　　)
A．f(x)的最小正周期为
B．f(x)是偶函数
C．f(x)的图象关于直线x＝(k∈Z)对称
D．f(x)在每一个区间(k∈Z)内单调递增
三、填空题
13．比较大小：tan________tan.
14．满足tan≥－的x的集合是________．
15．函数y＝tan，x∈∪的值域为________．
16. 已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)，y＝f(x)的部分图象如图所示，则ω＝________，f＝________.
四、解答题
17．求函数y＝tan的定义域、最小正周期、单调区间和图象的对称中心．
18．有两个函数f(x)＝asin，g(x)＝btan(k>0)，它们的周期之和为，且f＝g，f＝－·g＋1.求这两个函数，并求g(x)的单调递增区间．
19．已知函数f(x)＝x2＋2xtanθ－1，x∈[－1，]，其中θ∈.
(1)当θ＝－时，求函数f(x)的最大值与最小值；
(2)求θ的取值范围，使y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数．
20．设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)求不等式－1≤f(x)≤的解集．
5.4.3　正切函数的性质与图象
一、单项选择题
1．函数y＝tan的定义域是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　D
解析　y＝tan＝－tan，由x－≠kπ＋，k∈Z，得x≠kπ＋，k∈Z.
2．函数f(x)＝tan与函数g(x)＝sin的最小正周期相同，则ω＝(　　)
A．±1 B．1 C．±2 D．2
答案　A
解析　由题意可得＝，解得|ω|＝1，即ω＝±1.
3．方程x－tanx＝0的实根有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．无穷多个
答案　D
解析　画出图象利用数形结合思想处理，画出正切曲线和直线y＝x，它们有无数个交点，所以方程x＝tanx有无穷多个解，即方程x－tanx＝0的实根有无穷多个，故选D.
4．函数f(x)＝tan的单调增区间是(　　)
A.，k∈Z
B．(kπ，kπ＋π)，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
答案　C
解析　由－＋kπ＜x＋＜＋kπ，k∈Z，得－＋kπ＜x＜＋kπ，k∈Z，故f(x)的单调增区间是，k∈Z.
5．函数y＝tanx＋(　　)
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
答案　A
解析　函数的定义域是，且tan(－x)＋＝－tanx－＝－，所以函数y＝tanx＋是奇函数．
6．观察正切曲线，满足条件|tanx|≤1的x的范围是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案　C
解析　∵|tanx|≤1，∴－1≤tanx≤1.∴x∈(k∈Z)．
7．在下列函数中，同时满足：①在上单调递增；②以2π为周期；③是奇函数的是(　　)
A．y＝tan B．y＝cosx
C．y＝tan D．y＝－tanx
答案　C
解析　选项A，y＝tan的最小正周期为3π，不满足②；选项B，y＝cosx为偶函数，不满足③；选项D，y＝－tanx不满足①；选项C，①②③均满足，故选C.
8．函数y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|在区间内的图象是(　　)
答案　D
解析　当x∈时，sinx>0，tanx<0，y＝tanx＋sinx－(sinx－tanx)＝2tanx；当x∈时，sinx<0，tanx>0，y＝tanx＋sinx－(tanx－sinx)＝2sinx.当x＝π时，y＝0，故选D.
二、多项选择题
9．下列各式中正确的是(　　)
A．tan735°C．tan答案　AD
解析　tan735°＝tan(180°×4＋15°)＝tan15°，tan800°＝tan(180°×4＋80°)＝tan80°，又tan15°0，tan2<0，tan1>tan2，B错误；因为<<<π，所以tan10．关于函数f(x)＝tan，以下命题正确的为(　　)
A．函数f(x)的周期是
B．函数f(x)的定义域是
C．y＝f(x)是奇函数
D．y＝f(x)的一个单调递增区间为
答案　AD
解析　f(x)＝tan的周期T＝，故A正确；f(x)的定义域为，故B不正确；f(x)是非奇非偶函数，故C不正确；f(x)的单调递增区间为，k∈Z，令k＝0，得y＝f(x)的一个单调递增区间为，故D正确．故选AD.
11．下列四个命题中正确的为(　　)
A．若f(x)＝atanx＋bcosx是偶函数，则a＝0
B．当x＝2kπ＋，k∈Z时，y＝cos(x－)取得最大值
C．函数y＝4cos的图象关于直线x＝－对称
D．函数y＝2tan＋1的图象的对称中心为，k∈Z
答案　AC
解析　f(x)＝atanx＋bcosx为偶函数，则有f(－x)＝f(x)，即atan(－x)＋bcos(－x)＝atanx＋bcosx，即2atanx＝0，故a＝0，A正确；当x＝2kπ＋，k∈Z时，y＝cos＝cos＝，显然不是最大值，B不正确；当x＝－时，y＝4cos＝4cos(－π)＝－4，显然取到最小值，故x＝－是该函数图象的一条对称轴，C正确；令－2x＋＝，k∈Z，得x＝－，k∈Z，故对称中心为，k∈Z，D不正确．故选AC.
12．关于函数f(x)＝|tanx|的性质，下列叙述正确的是(　　)
A．f(x)的最小正周期为
B．f(x)是偶函数
C．f(x)的图象关于直线x＝(k∈Z)对称
D．f(x)在每一个区间(k∈Z)内单调递增
答案　BCD
解析　由题意得，f(x)＝|tanx|
＝
根据正切函数的特点作出函数f(x)＝|tanx|的简图，如图所示．
由函数f(x)＝|tanx|的图象知，f(x)的最小正周期为π， 故A不正确；函数f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)是偶函数，故B正确；函数f(x)的图象关于直线x＝(k∈Z)对称，故C正确；由f(x)的图象知，f(x)在每一个区间(k∈Z)内单调递增，故D正确．故选BCD.
三、填空题
13．比较大小：tan________tan.
答案　＜
解析　tan＝tan，tan＝tan，
又y＝tanx在内单调递增，
所以tan＜tan，即tan＜tan.
14．满足tan≥－的x的集合是________．
答案　
解析　把x＋看作一个整体，利用正切函数的图象可得kπ－≤x＋k∈Z，∴kπ－≤x15．函数y＝tan，x∈∪的值域为________．
答案　∪[，＋∞)
解析　∵x∈∪，
∴＋∈∪，
令t＝＋，
由y＝tant，t∈∪的图象(如图所示)可得，所求函数的值域为∪[，＋∞)．
16. 已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)，y＝f(x)的部分图象如图所示，则ω＝________，f＝________.
答案　2　
解析　由图象可知，此函数的半个周期等于－＝＝，故周期为，所以ω＝2.又图象过点，所以0＝Atan，即＋φ＝kπ(k∈Z)，所以φ＝kπ－(k∈Z)，又|φ|<，所以φ＝.再由图象过点(0,1)可知A＝1.综上，f(x)＝tan.故f＝tan＝tan＝.
四、解答题
17．求函数y＝tan的定义域、最小正周期、单调区间和图象的对称中心．
解　①由－≠kπ＋，k∈Z，
得x≠2kπ＋，k∈Z.
∴函数的定义域为.
②T＝＝2π，
∴函数的最小正周期为2π.
③由kπ－<－解得2kπ－∴函数的单调递增区间为，k∈Z，无单调递减区间．
④由－＝，k∈Z，得x＝kπ＋，k∈Z.
∴函数图象的对称中心是，k∈Z.
18．有两个函数f(x)＝asin，g(x)＝btan(k>0)，它们的周期之和为，且f＝g，f＝－·g＋1.求这两个函数，并求g(x)的单调递增区间．
解　根据题意，得
解得
故f(x)＝sin，g(x)＝tan.
当kπ－＜2x－＜kπ＋(k∈Z)时g(x)单调递增，
即－＜x＜＋，k∈Z时，函数g(x)单调递增．
所以g(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
19．已知函数f(x)＝x2＋2xtanθ－1，x∈[－1，]，其中θ∈.
(1)当θ＝－时，求函数f(x)的最大值与最小值；
(2)求θ的取值范围，使y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数．
解　(1)当θ＝－时，
f(x)＝x2－x－1＝2－，x∈[－1，]．
∴当x＝时，f(x)取得最小值－；
当x＝－1时，f(x)取得最大值.
(2)函数f(x)＝(x＋tanθ)2－1－tan2θ的图象的对称轴为直线x＝－tanθ.
∵y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数，
∴－tanθ≤－1或－tanθ≥，
即tanθ≥1或tanθ≤－.
又θ∈，
∴θ的取值范围是∪.
20．设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)求不等式－1≤f(x)≤的解集．
解　(1)由题意，知函数f(x)的最小正周期T＝，
即＝.
因为ω>0，所以ω＝2.从而f(x)＝tan(2x＋φ)．
因为函数y＝f(x)的图象关于点M对称，
所以2×＋φ＝，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z.
因为0<φ<，所以φ＝.
故f(x)＝tan.
(2)令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z，得－＋kπ<2x所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z，无单调递减区间．
(3)由(1)，知f(x)＝tan.
由－1≤tan≤ ，得
－＋kπ≤2x＋≤＋kπ，k∈Z，
即－＋≤x≤＋，k∈Z.
所以不等式－1≤f(x)≤的解集为
.