1.4充分条件与必要条件 同步练习（含解析）

1.4充分条件与必要条件同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．《墨子·经上说》：“小故：有之不必然，无之必不然.体也，若有端.大故：有之必然，若见之成见也”.则“有之必然”表述的数学关系是（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，那么p的一个充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知a为非零实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知向量，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．“”是“不等式与同解”的（ ）条件.
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
8．已知均为不等于0的实数，则“”是“，”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
9．下列选项中p是q的必要不充分条件的有（ ）
A．p：，q：
B．p：，q：
C．p：两个三角形全等，q：两个三角形面积相等
D．p：，q：
10．对任意实数a，b，c，下列命题中真命题是（　　）
A．是的充要条件
B．“是无理数”是“a是无理数”的充要条件
C．是的充要条件
D．是的必要条件
11．下列命题正确的是（ ）
A．“”是“”的充要条件
B．“”是“”的必要不充分条件
C．若集合，，则
D．对任意表示不大于x的最大整数，例如，那么“”是“”的必要不充分条件
12．在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，给出如下四个结论，正确结论为（ ）
A．
B．
C．
D．整数，属于同一“类”的充要条件是“”
三、填空题
13．若不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数a的取值范围是 ．
14．已知命题，命题，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值集合是 ．
15．祖暅原理的内容为“幂势既同，则积不容异”，其意思是夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等．设A，B为夹在两个平行平面间的两个几何体，p：A，B的体积相等，q：A，B在同一高处的截面积总相等．根据祖暅原理可知，p是q的 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）
16．若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为 ；若“”是“”的充分条件但“”不是“”的必要条件, 则实数的取值范围为 .
四、解答题
17．已知集合
(1)判断8，9，10是否属于集合A；
(2)已知集合，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件；
(3)写出所有满足集合A的偶数.
18．已知集合，，.
(1)当时，是的充分条件，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.
19．指出下列各组命题中，p是q的什么条件？q是p的什么条件？（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选一种作答）
(1)p：x为自然数，q：x为整数；
(2)p：，q：；
(3)p：同位角相等，q：两直线平行；
(4)p：四边形的两条对角线相等，q：四边形是平行四边形．
20．已知命题p:关于的方程有实根；命题q: ；
(1)若是真命题，求的范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求m的范围.
21．在①；②“”是“”的充分条件：③“”是“”的必要条件，在这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题．
问题：已知集合，．
(1)当时，求；
(2)若________，求实数的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
22．设集合，B＝{x|2(a＋1)x＋a2－1＝0}.
(1)若－1∈B，求a的值；
(2)设条件p：x∈A，条件q：x∈B，若q是p的充分条件，求a的取值范围.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．A
【分析】读懂古文的含义，根据充分条件和必要条件的定义分析判断
【详解】由题意可知“大故”必然有其原因，有其原因必然会发生，
所以“有之必然”表述的数学关系是充分条件，
故选：A
2．D
【分析】求解命题“”为真命题时，即可根据真子集求解.
【详解】命题“”为真命题,则对恒成立，所以，故，
所以命题“”为真命题的充分不必要条件需要满足是的真子集即可，由于是的真子集，故符合，
故选：D
3．C
【分析】判断各选项中不等式能否推出成立，即可得出答案.
【详解】因为推不出，故不是的充分条件，A错误；
因为推不出，故不是的充分条件，B错误；
因为一定能推出，故是的充分条件，C正确；
因为推不出，故不是的充分条件，D错误；
故选：C
4．A
【分析】首先解绝对值不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】由，即或，解得或，
所以由“” 可以推出“”，故充分性成立，
由“”不能推出“”，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
5．A
【分析】根据不等式的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由不等式，可得，可得，即充分性成立；
反之：由，可得，又因为，所以，所以必要性不成立，
所以是的充分不必要条件.
故选：A.
6．A
【分析】若，由得出，若，由平行向量的坐标公式得出，从而得出答案.
【详解】若，则，所以；
若，则，解得，得不出．
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
7．D
【分析】取特殊值，即可得出充分性和必要性均不满足.
【详解】取，，满足，
所以即为，即为，
两不等式的解集不同，故充分性不满足；
不等式与不等式的解集相同，均为R，
但不满足，故必要性不满足.
所以“”是“不等式与同解”的既不充分又不必要条件.
故选：D.
8．B
【分析】判断“”和“，”之间的逻辑推理关系，可得答案.
【详解】由，得，
于是，则，或，，所以充分性不成立；
反之，当，时，（当且仅当时，取等号），
则必要性成立,
故选：B．
9．AD
【分析】根据充分、必要条件的定义分别判断各选项中两个命题的逻辑推理关系即可．
【详解】A：∵成立，则必有，而当时，不一定有，
∴p是q的必要不充分条件，∴A正确，
B：∵p：，∴，∵q：，∴，
∴p是q的充要条件，∴B错误，
C：∵两个三角形全等，则两个三角形面积相等，
但两个三角形面积相等不一定推出两个三角形全等，
∴p是q的充分不必要条件，∴C错误，
D：当时，则，
反之，当时，不一定成立，
∴p是q的必要不充分条件，∴D正确，
故选：AD．
10．BD
【分析】根据不等式的性质，结合充要条件的判断即可判.
【详解】∵若则，但当c＝0时，“” “”为假命题，故“”是“”的充分不必要条件，故A为假命题；
∵“是无理数” “a是无理数”为真命题，“a是无理数” “是无理数”也为真命题，故“是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故B为真命题；
∵“”不一定得到“”，“”也不一定得到“”，故“”是“”的既不充分又不必要条件，故C为假命题；
∵，故“”是“”的必要不充分条件，故D为真命题．
故选：BD.
11．BD
【分析】A选项，可举出反例；B选项，解方程，得到，故B正确；C选项，根据集合间的关系得到；D选项，举出反例得到充分性不成立，推理出必要性成立，得到答案.
【详解】当时，满足，但不满足，故A错误；
，解得：，因为，但，故“”是“”的必要不充分条件，B正确；
，其中为偶数，故，C错误；
令，满足，但，，充分性不成立，
由得：，故，必要性成立，
故“”是“”的必要不充分条件，D正确.
故选：BD
12．ACD
【分析】根据“类”的定义分别进行判断即可．
【详解】由，，故A正确；
，，故B错误；
因为整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故，故C正确；
整数，属于同一“类”， 整数，被5除的余数相同，从而被5除的余数为0，
反之也成立，故“整数，属于同一“类”的充要条件是“”．故D正确．
故选：ACD．
13．
【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论.
【详解】解：由得，
∵不等式成立的充分非必要条件是，
∴且等号不能同时取，即，解得．
故答案为： .
14．．
【分析】根据充分条件、必要条件的定义可得是的真子集，即可求解.
【详解】由题意知，
，p是q的充分不必要条件，
所以集合是集合的真子集，
当时，集合为空集，符合题意；
当时，，得，
综上，.
故答案为：.
15．必要不充分
【分析】根据题意，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由祖暅原理可知，由在同一高处的截面积总相等，可得的体积相等，
即，所以必要性成立；
反之：若两几何体的体积相等，但两几何体的体积不一定相等，
即，所以充分性不成立,
所以是的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分
16．
【分析】根据充分条件以及必要条件的定义集合的包含关系得出实数的取值范围.
【详解】∵若“”是“”的充分条件，∴，∴
∵若“”是“”的充分条件但“”不是“”的必要条件,
∴ ，∴
故答案为：，
【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于将充分条件以及必要条件的问题转化为集合的包含关系，由集合的知识进行求解.
17．(1)，，
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由，即可证，若，而，列方程组判断是否存在整数解，即可判断10是否属于A.
（2）由，结合集合A的描述知，由（1），而，即可证结论；
（3）由集合A的描述：，讨论m，n同奇或同偶、一奇一偶，即可确定的奇偶性，进而写出所有满足集合A的偶数.
【详解】（1），，故，，
假设，，则，且，
由，得或，显然均无整数解，
∴，
综上，有：，，；
（2）集合，则恒有，
∴，即一切奇数都属于A，即，则必有；
又，而，即，推不出，
∴“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件；
（3）集合，，
①当m，n同奇或同偶时，均为偶数，为4的倍数；
②当m，n一奇一偶时，均为奇数，为奇数，
综上，所有满足集合A的偶数为．
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于根据集合的性质，应用因式分解、恒等转化、代数式的奇偶性讨论，判断元素与集合的关系，证明条件间的充分、必要关系，确定满足条件的数集.
18．(1)；
(2).
【分析】（1）由题意可得，，再根据，列出不等式组求解即可；
（2）由（1）得或，分、分别求解后再取并集即可.
【详解】（1）解:因为，，
又因为，所以，
因为是的充分条件，
所以，
所以，解得，
所以实数的取值范围为：；
（2）解：由（1）或，
又因为，
所以当时，有，解得；
当时，或，或或
解得或或或，
综上所述，实数的取值范围为.
19．(1)p是q的充分不必要条件；q是p的必要不充分条件
(2)p是q的必要不充分条件；q是p的充分不必要条件
(3)p是q的充要条件；q是p的充要条件
(4)p是q的既不充分也不必要条件；q是p的既不充分也不必要条件
【分析】（1）由自然数和整数的概念作出判断；
（2），而，得到结论；
（3）两者可互相推出，故可得到结论；
（4）举出反例，得到结论.
【详解】（1）x为自然数，则为整数，但为整数，不妨令，则不是自然数，
故p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；
（2），而，
故p是q的必要不充分条件；q是p的充分不必要条件；
（3）同位角相等，可得到两直线平行，反之，两直线平行，可得到同位角相等，
p是q的充要条件；q是p的充要条件；
（4）若四边形的两条对角线相等，则四边形可能为等腰梯形，故充分性不成立，
若四边形是平行四边形但不是矩形，则两条对角线不相等，故必要性不成立.
故p是q的既不充分也不必要条件；q是p的既不充分也不必要条件.
20．(1)；
(2).
【分析】(1)根据命题的否定为真命题，进行转化求解即可；
(2)根据充分条件和必要条件的定义和关系建立不等式，解之即可.
【详解】（1）当命题为真命题时，满足，
解得或，
因为为真命题，则为假命题，
即，所以a的取值范围为；
（2）因为是的必要不充分条件，
所以 ，
即或，
解得或，
所以m的取值范围为.
21．(1)
(2)
【分析】（1）首先解一元二次不等式得到集合，再求出集合，最后根据交集的定义计算可得；
（2）根据所选条件均可得到，即可得到不等式，解得即可；
【详解】（1）解：由，解得，所以，当时，，所以
（2）解：若选①，则，所以，解得，即；
若选②“”是“”的充分条件，所以，所以，解得，即；
若选③“”是“”的必要条件，所以，所以，解得，即；
22．(1)
(2)
【分析】（1）将代入方程即可求解.
（2）求出集合，由题意可得，根据集合的包含关系即可求解.
【详解】（1）因为－1∈B，所以，
解得
（2），
由题意可得，
当时，，解得，
当时，或或，
当时，，此时无解；
当时，，解得；
当，，解得，
综上所述， a的取值范围为.
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