24.3正多边形和圆 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
24.3　正多边形和圆
人教版九年级上册
知识回顾
圆内接四边形的性质：
1.对角 ；
2.四个内角的和是 ；
3.任一外角与其相邻的内角的对角 (即外角等于 )．
互补
360°
相等
内对角
教学目标
1.了解正多边形和圆的有关概念.
2.理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系.
3.会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题.
新知导入
下面这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的.你能从这些图案中找出类似的图形吗
新知探究
什么叫做正多边形？
各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.
矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？
不是，因为矩形不符合各边相等；
不是，因为菱形不符合各角相等；
正多边形
各边相等
各角相等
缺一不可
新知探究
正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？
新知探究
正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？
新知探究
O
A
B
C
D
思考：三角形有外接圆和内切圆，正多边形是否也有呢？
以正四边形为例，根据对称轴的性质，是否有外接圆呢？
E
F
G
H
EF是边AB，CD的垂直平分线，∴OA=OB，OD=OC.
GH是边AD，BC的垂直平分线，
∴OA=OD，OB=OC.
∴OA=OB=OC=OD.
∴正方形ABCD有一个以点O为圆心的外接圆.
新知探究
O
A
B
C
D
E
F
G
H
AC平分∠DAB及∠DCB，BD平分∠ABC及∠ADC，
∴OE=OH=OF=OG.
∴正方形ABCD还有一个以点O为圆心的内切圆.
思考：正四边形为例是否有内切圆呢？
新知探究
思考：所有的正多边形是不是都有一个外接圆和一个内切圆？
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.
思考：能否借助圆画正n边形呢？
(1)如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这个n边形一定是正n边形吗？
新知探究
如图，在⊙O中，A，B，C，D，E是⊙O的五等分点．依次连接ABCDE形成五边形．
例1
解：五边形ABCDE是正五边形．证明如下：
在⊙O中，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA，
∴∠A＝∠B；
同理∠B＝∠C＝∠D＝∠E.
又∵五边形ABCDE的顶点都在⊙O上，
问：五边形ABCDE是正五边形吗？如果是，请证明你的结论．
∴五边形ABCDE是正五边形．
问：各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形是正多边形吗？
新知练习
1.如图所示，△AOB是正三角形，以点O为圆心，OA为半径作☉O，直径FC//AB，AO,BO的延长线分别交☉O于点D,E.求证：六边形ABCDEF为圆内接正六边形.
解： ∵ △AOB是正三角形，
∴ ∠AOB=∠OAB=∠OBA =60° ,OB=OA,∴点B在☉O上.
∵FC//AB,∴ ∠FOA= ∠OAB =60°,∠COB=∠OBA= 60°,
∴ ∠AOB=∠BOC=∠COD= ∠DOE=∠EOF=∠FOA=60°.
∴ .
∴六边形ABCDEF为圆内接正六边形.
新知小结
1、任意三角形都有外接圆和内切圆，但是只有正三角形的外接圆和内切圆是同心圆；
2、任意多边形不一定有外接圆和内切圆，但当多边形是正多边形时，一定有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆.
新知小结
把圆分成n(n≥3)等份，依次连接各分点得到的多边形就是这个圆的内接正n边形，这个圆就是这个正n边形的外接圆.
圆内接正多边形
圆的外切正n边形
把圆分成n(n≥3)等份，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.一定要注意正多边形的半径是指外接圆的半径，而不是内切圆的半径.
新知探究
1．一个正多边形的各个顶点都在一个圆上，则这个正多边形就是这个圆的 ，圆叫做这个多边形的 ．
2．一个正多边形的外接圆的______叫做正多边形的中心．
3．外接圆的______叫做正多边形的半径．
4．正多边形每一边所对的 叫做正多边形的中心角．
5．中心到正多边形的一边的 叫做正多边形的边心距
半径R
边心距r
中心角
内接多边形
外接圆
圆心
半径
圆心角
距离
新知探究
已知正六边形的半径为R，求正六边形的边长、边心距和面积．
例2
解：如图，∵正六边形的中心角为60°，
∴∠AOB＝60°.
∵OA＝OB，
∴AB＝OA＝R.
过点O作OM⊥AB于点M，
则AM＝
在Rt△OAM中，OM＝
∴S正六边形＝6S△OBA＝6× AB·OM＝
M
o
A
B
∴△OBA是等边三角形．
新知练习
2.有一个亭子，它的地基是半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面积 (结果保留小数点后一位).
抽象成
新知练习
利用勾股定理，可得边心距 r ==2
亭子地基的面积
在Rt△OPB中，OB＝4 m, PB＝ = =2（m）,
过点O作OP⊥BC于P.
解:如图，连接OB, OC.因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于=60°，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.
因此亭子地基的周长 l=6×4=24(m)，
新知小结
正n边形的中心角怎么计算？
正n边形的边长a，半径R，边心距r之间有什么关系？
边长为a，边心距为r的正n边形的面积如何计算？
其中l为正n边形的周长.
新知小结
正多边形的有关结论
1.正六边形的边长等于其外接圆的半径；正三角形的边长等于其外接圆半径的倍；正方形的边长等于其外接圆半径的倍.
2.若已知正n边形的边长、周长、边心距、面积中的任意一项，则可求出其他各项.
3.正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形，所以在进行与正多边形有关的计算时，可以把正多边形的计算转化到直角三角形中，利用勾股定理等知识解决.
4.由正多边形的内角与外角互补，正多边形的中心角等于外角，可得正多边形的中心角和内角互补.
新知小结
2.作边心距，构造直角三角形.
1.连半径，得中心角；
O
A
B
C
D
E
F
R
M
r
·
圆内接正多边形的辅助线
O
边心距r
边长一半
半径R
B
M
中心角一半
课堂总结
正多边形的性质
正多边形的
有关概念
正多边形的
有关计算
添加辅助线的方法：
连半径，作边心距
中心
半径
边心距
中心角
正多边形的对称性
课堂练习
1.下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是( )
A
A.正三角形 B.正方形
C.正五边形 D.正六边形
解：∵正三角形一条边所对的圆心角是360°÷3=120°，
正方形一条边所对的圆心角是360°÷4=90°，
正五边形一条边所对的圆心角是360°÷5=72°，
正六边形一条边所对的圆心角是360°÷6=60°，
∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形.
课堂练习
2．正三角形的边心距、半径和高的比为(　　)
　A．1∶2∶　　　　　 　B．1: :3
　C．1∶ ∶　 D．1∶2：3
3．如图，正六边形的内切圆的半径OD＝ cm，则它的中心角∠AOB＝____，边长AB＝____cm，正六边形的面积S＝ cm2.
D
60°
2
课堂练习
解：(1) 正多边形必有外接圆，作出正五边形的外接圆☉O，如图，
则所对的圆心角的度数均为,
∵∠EAC的度数等于所对的圆心角的度数的一半，
∴∠EAC= .
同理∠AED= .
∴∠EAC+∠AED=180°，∴AC//ED.
4.如图，正五边形ABCDE的对角线AC和BE相交于点M.
求证：(1) AC//ED；(2) ME=AE.
课堂练习
5.已知边长为4的等边三角形ABC,求△ABC的中心角、半径、边心距、面积.
解：如图所示，过点A作AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC于点E,
AD,BE交于点O，连接CO.
由题意得BD=CD=2，AE=EC=2,
AD垂直平分BC,BE垂直平分AC,
∴AO=CO,CO=BO，∴AO=CO=BO,
∴点O为等边三角形ABC的中心.
∵ ∠BOC=2∠BAC,∠BAC= 60°, ∴ △ABC的中心角∠BOC = 120°.
∵OB=OC, ∴ ∠OBC=∠OCB=.
课堂练习
设OD=x,则OB =2x.
在Rt△BOD中，根据勾股定理得(2x)2-x2 =22,∴x=,
∴等边三角形ABC的边心距为,半径为.
∴ S△ABC= BC·AD= ×4×(+ )=4.
5.已知边长为4的等边三角形ABC,求△ABC的中心角、半径、边心距、面积.
谢谢
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