华东师大版九年级数学下册第二十六章《二次函数》教案
文档属性
| 名称 | 华东师大版九年级数学下册第二十六章《二次函数》教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 243.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-07 17:44:49 | ||
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文档简介
第26章 二次函数
26．1 二次函数
1.认识二次函数，知道二次函数自变量的取值范围，并能熟练地列出二次函数关系式．
2.通过对实际问题的探索，熟练地掌握列二次函数关系式和求自变量的取值范围的方法．
3.培养学生探索新知识的能力，鼓励学生通过观察、猜想、验证，主动地获取知识．
4.能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围．
5.熟练地列出二次函数关系式．
一、情境导入，初步认识
1．什么叫函数？它有几种表示方法？
2．什么叫一次函数？(y＝kx＋b)自变量是什么？函数是什么？常量是什么？为什么要有k≠0的条件？ k值对函数性质有什么影响？
【教学说明】 复习这些问题是为了帮助学生弄清自变量、函数、常量等概念，加深对函数定义的理解．强调k≠0的条件，以备与二次函数中的a进行比较．
二、思考探究，获取新知
函数是研究两个变量在某变化过程中的相互关系，我们已学过正比例函数，反比例函数和一次函数．看下面两个例子中两个变量之间存在怎样的关系．
例1：教材P2问题1
可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想？(3)当AB＝xm时，面积y等于多少？写出它们之间的关系式．
例2：教材P3问题2
写出这个关系式．教师引导学生观察问题2、问题2中的函数关系式，提出以下问题让学生思考回答：
(1)这两个函数关系式的自变量各有几个？
(2)多项式－2x2＋20x和－100x2＋100x＋200分别是几次多项式？
(3)这两个函数关系式有什么共同特点？
(4)你能结合一次函数的概念，给这种函数下个概念吗？
【教学说明】 学生通过实际问题的分析，列出关系式，并观察、利用类比的思想总结出二次函数的概念．
【归纳结论】 形如y＝ax2＋bx＋c (a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数，a叫做二次项的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项．
三、运用新知，深化理解
1．下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)( )
A．y＝x2 B．y＝
C．y＝ D．y＝a2x2
解析：紧抓二次函数的概念．
答案：A
2．m取哪些值时，函数y＝(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)是以x为自变量的二次函数？
分析： 若函数y＝(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)是二次函数，须满足的条件是：m2－m≠0.
解： 若函数y＝(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)是二次函数，则m2－m≠0.解得m≠0 且m≠1.因此，当m≠0且m≠1时，函数y＝(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)是二次函数．
3．(1)写出正方体的表面积S(cm2)与正方体棱长a(cm)之间的函数关系；
(2)写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系．
分析：(1)根据正方体表面积公式可得．
(2)面积与半径有关，所以根据周长表示出半径就可求出面积．
解：(1)S＝6a2(a>0)
(2)y＝(x>0)
4．正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x(cm)的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．
(1)求盒子的表面积S(cm2)与小正方形边长x(cm)之间的函数关系式；
(2)当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积．
解：(1)S＝152－4x2＝225－4x2(0＜x＜)；(2)当x＝3cm时，S＝225－4×32＝189(cm2)．
【教学说明】 理论学习完二次函数的概念后，让学生在实践中感悟什么样的函数是二次函数，将理论知识应用到实践操作中．
四、师生互动、课堂小结
1．叙述二次函数的定义．
2．二次函数定义：形如y＝ax2＋bx＋c (a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数，a叫做二次项的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项．
1.布置作业：教材“习题26.1”中第1、2、4 题．
2．完成同步练习册中本课时的练习．
本节课通过简单的实际问题，学生会很容易列出函数关系式，也很容易分辨出哪个是二次函数．通过复习类比，大部分同学对于二次函数的理解都比较好，会找自变量，会列简单的函数关系式，总体效果良好。
26．2 二次函数的图象与性质
1． 二次函数y＝ax2的图象与性质
1.能够利用描点法作出y＝x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y＝x2的性质．
2.能作出二次函数y＝－x2的图象，并能够比较与y＝x2的图象的异同，初步建立二次函数表达式与图象之间的联系．
3.经历画二次函数y＝x2的图象和探索性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．
4.培养学生数形结合的思想，积累数学经验，为后续学习服务．
5.会画y＝ax2的图象，理解其性质．
6.结合图象理解抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标及基本性质，并归纳总结出来．
一、情境导入，初步认识
一次函数y＝kx＋b和反比例函数 y＝(k≠0)图象是什么形状？有哪些性质呢？ 那么二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象会是什么样？通常怎样画一个函数的图象呢？——引入课题
【教学说明】 通过创设问题情景，引导学生复习描点法，复习借助图象分析性质的过程中注意分类讨论、由特殊到一般的解决问题的方法，为学习二次函数的图象奠定基础．
二、思考探究，获取新知
探究1: 二次函数y＝x2 的图象
试着画出y＝x2 的图象，观察这个函数的图象，它有什么特点？
【教学说明】 让学生自己经历画 y＝x2 的图像的过程，进一步了解用描点法的方法画图象的基本步骤，为将来画其他函数的图象奠定基础，同时也培养了学生动手操作能力，经历了知识的形成过程．
【归纳总结】 抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线．顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点．
探究2：二次函数y＝x2的性质
在同一直角坐标系中，画出函数y＝x2与y＝－x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别？
在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝－2x2的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么？
【教学说明】 让学生自己去观察去分析，过程让学生自己去感受，结论让学生自己去总结，实现学生主动参与、探究新知的目的．
【归纳结论】 1.抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴是y轴，顶点是原点． 2.a＞0时，抛物线y＝ax2的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小． 3.a＜0时，抛物线y＝ax2的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大．
三、运用新知，深化理解
1．已知函数y＝(m－2)xm2－7是二次函数，且开口向下，则m＝____．
解析：它是二次函数，所以m2－7＝2，得m＝±3，且开口向下，所以m－2<0，得m<2.即：m＝－3.
答案：－3.
2．已知抛物线y＝ax2经过点A(－2，－8)．
(1)求此抛物线的函数解析式；
(2)判断点B(－1，－4)是否在此抛物线上．
分析：(1)把a的值求出即可．(2)把B的坐标代入，等式成立则是在此抛物线上，否则不在．
解：(1)把(－2，－8)代入y＝ax2中得：a＝－2.解析式为：y＝－2x2
(2)把(－1，－4)代入y＝－2x2，中等式不成立，点B(－1，－4)不在此抛物线上．
3．已知y＝(k＋2)xk2＋k－4是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而增大．
(1)求k的值；
(2)求顶点坐标和对称轴．
解：(1)由题意，得，
解得k＝2.
(2)二次函数为y＝4x2，则顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴．
4．已知正方形周长为Ccm，面积为Scm2.
(1)求S和C之间的函数关系式，并画出图象；
(2)根据图象，求出S＝1cm2时，正方形的周长；
(3)根据图象，求出C取何值时，S≥4cm2.
分析：此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C的取值应在取值范围内．
解：(1)由题意，得S＝C2(C＞0)．
列表：
C 2 4 6 8 …
S＝C2 1 4 …
描点、连线，图象如图
(2)根据图象得S＝1cm2时，正方形的周长是4cm.
(3)根据图象得，当C≥8cm时，S≥4cm2.
【教学说明】 学生独立完成以后，让他们发表自己的看法，教师更正、强调．
四、师生互动、课堂小结
1．抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴是y轴，顶点是原点．
2.a＞0时，抛物线y＝ax2的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小．
3.a＜0时，抛物线y＝ax2的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大．
1．布置作业：教材P7“练习”中第1 、2 、3题．
2．完成同步练习册中本课时的练习．
本节课的教学过程的设计符合新课程标准和课程改革的要求，通过教学情景创设和优化课堂教学设计，体现了在活动中学习数学，在活动中“做数学”的理念，并利用教具使教学内容形象、直观并具有亲和力，极大地调动了学生的学习积极性和热情，培养了学生学习数学的兴趣．教学过程始终坚持让学生自己去动脑、动手、动口，在分析、练习基础上掌握知识．整个教学过程都较好地落实了“学生的主体地位和教师的主导作用”，让学生体会到学习成功的乐趣．
2． 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
第1课时 二次函数y＝ax2＋c的图象与性质
1.使学生能利用描点法正确作出函数y＝x2＋2与y＝x2－2的图象．
2.理解二次函数y＝ax2＋c的性质及它与函数y＝ax2的关系．
3.让学生经历二次函数y＝ax2＋c性质探究及性质应用的过程．
4.培养学生动手操作的能力及归纳总结与灵活应用知识的能力．
5.理解二次函数y＝ax2＋c的性质及它与函数y＝ax2的关系．
6.理解二次函数y＝ax2＋c的性质及它与函数y＝ax2的关系．
一、情境导入，初步认识
1.二次函数y＝x2的图象是________，它的开口向________，顶点坐标是________，对称轴是________，在对称轴的左侧，y随x的增大而________；在对称轴的右侧，y随x的增大而________；当x＝________时，取最________值，其最________值是________．
2.二次函数y＝x2＋1的图象与二次函数y＝x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同？
【教学说明】 巩固旧知识，引出新知识．
二、思考探究，获取新知
问题1：对于前面提出的第2个问题，你将采取什么方法加以研究？
问题2：你能在同一直角坐标系中，画出函数y＝x2与y＝x2＋2的图象吗？
【教学说明】 1.先让学生回顾二次函数画图的三个步骤，按照画图步骤画出函数y＝x2的图象．
2．教师说明为什么两个函数自变量x可以取同一数值，为什么不必单独列出函数y＝x2＋2的对应值表，并让学生画出函数y＝x2＋2的图象．
3．教师写出解题过程，同学对所画图象进行比较．
问题3：观察所画图象，有什么异同？它们的开口方向、对称轴、顶点坐标是什么？
问题4：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？
函数y＝x2＋2的图象上的点都是由函数y＝x2的图象上的相应点向上移动了两个单位．
问题5：你能由函数y＝x2的性质，得到函数y＝x2＋1的一些性质吗？
【归纳结论】 当x________时，函数值y随x的增大而减小；当x________时，函数值y随x的增大而增大；当x________时，函数取得最________值，最________值y＝________．
完成下表：
函数 y＝ax2＋c (a＞0)
c＞0 c＜0
图例
开口方向
对称轴
最值
顶点坐标
函数性质
三、运用新知，深化理解
1．(1)函数y＝4x2＋5的图象可由y＝4x2的图象向 上 平移 5 个单位得到；
(2)y＝4x2－11的图象可由 y＝4x2的图象向下平移11个单位得到．
2．将函数y＝－3x2＋4的图象向下平移4个单位可得y＝－3x2的图象；将y＝2x2－7的图象向上平移7个单位可得到 y＝2x2的图象；将y＝x2－7的图象向上平移9个单位可得到 y＝x2＋2的图象．
3．抛物线y＝－3x2＋5的开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标是(0，5)，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而__减小__，当x＝0时，取得最__大__值，这个值等于5．
4．抛物线y＝7x2－3的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是(0，－3)，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，当x＝0时，取得最小值，这个值等于－3
5．抛物线y＝ax2＋c与y＝3x2的形状相同，且其顶点坐标是(0，1)，则其表达式为y＝3x2＋1或y＝－3x2＋1．
6．一条抛物线的开口方向、对称轴与y＝x2相同，顶点纵坐标是－2，且抛物线经过点(1，1)，求这条抛物线的函数关系式．
解：由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为(0，－2)，因此所求函数关系式可看作y＝ax2－2(a＞0)，又抛物线经过点(1，1)，所以1＝a－2，解得a＝3.故所求函数关系式为y＝3x2－2.
【教学说明】 以上6题，是对本节课的知识点的复习巩固，让学生自主完成，教师做强调．
四、师生互动，课堂小结
本节课你有何收获？本节课你有何疑问？
1．布置作业： 教材P10“练习”中第1 、2 、3题．
2．完成同步练习册中本课时的练习．
函数的教学，尤其是二次函数是学生普遍感觉较为抽象难懂的知识．在教学过程中，除了让学生多动手画图象，加深学生对函数图象的了解，加深他们对函数性质的了解外，更重要的是让学生参与到函数图象和性质的探索中去．要利用一切可以利用的材料来帮助学生理解所学的知识．本节中通过表格上函数值的变化让学生猜想函数图象的位置变化，给学生留下较深刻的印象，普遍能较好的掌握图象的平移规律．
第2课时 二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质
1.使学生能利用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2的图象．
2.让学生经历二次函数y＝a(x－h)2性质探究的过程，理解函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系．
3.培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯．
4.会用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2的图象，理解二次函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系．
5.理解二次函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系．
一、情境导入，初步认识
我们已经了解到，函数y＝ax2＋c的图象，可以由函数y＝ax2的图象上下平移所得，那么函数y＝(x－2)2的图象，是否也可以由函数y＝x2平移而得呢？y＝a(x－h)2的图象是如何得到的呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？
【教学说明】 小组代表阐述本组的观点，全班交流，并提出本组的疑难问题，小组互助讨论．教师在学生发言的基础上补充并展示．
二、思考探究，获取新知
1．教师引导学生观察画出的y＝x2与y＝(x－2)2、y＝(x＋2)2三个函数图象．根据所画出的图象，完成以下填空：
函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y＝x2
y＝(x－2)2
y＝(x＋2)2
2.你可以由函数y＝x2的性质，得到函数y＝(x－2)2的性质吗？
【教学说明】 让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，达成共识．
【归纳结论】 函数y＝(x－2)2与y＝x2的图象开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同；函数y＝(x－2)2的图象可以看作是函数y＝x2的图象向右平移2个单位得到的，它的对称轴是直线x＝2，顶点坐标是(2，0)．
3．你能由函数y＝x2的性质，得到函数y＝(x＋2)2的性质吗？
4．在同一直角坐标系中，函数y＝－(x＋2)2的图象与函数y＝－x2的图象有什么关系？
5．你能说出函数y＝－(x＋2)2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？
6．你能得到函数y＝(x＋2)2的性质吗？
【归纳结论】 在函数y＝－(x＋2)2中，当x＜－2时，函数值y随x的增大而增大；当x＞－2时，函数值y随x的增大而减小；当x＝－2时，函数取得最大值，最大值y＝0.
三、运用新知，深化理解
1．二次函数y＝2(x－1)2的图象可由y＝2x2的图象( )得到．
A．向左平移1个单位长度
B．向左平移1个单位长度
C．向右平移1个单位长度
D．向右平移2个单位长度
答案： C
2．对于抛物线y＝x2＋2和y＝－x2的论断：(1)开口方向不同；(2)形状完全相同；(3)对称轴相同．其中正确的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
答案： D
3．不画出图象，你能说明抛物线y＝－3x2与y＝－3(x＋2)2之间的关系吗？
解：抛物线y＝－3x2的顶点坐标为(0，0)；抛物线y＝－3(x＋2)2的顶点坐标为(－2，0)．因此，抛物线y＝－3x2与y＝－3(x＋2)2形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是y轴和直线x＝－2.抛物线y＝－3(x＋2)2是由y＝－3x2向左平移2个单位而得的．
4．已知函数y＝4x2，y＝4(x＋1)2和y＝4(x－1)2.
(1)在同一直角坐标系中画出它们的图象；
(2)分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
(3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数y＝4x2的图象得到函数y＝4(x＋1)2和函数y＝4(x－1)2的图象．
(4)分别说出各个函数的性质．
解： 略
【教学说明】 应用所学，加深理解，巩固新知．
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获感想后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．
1．布置作业：教材P13“练习”中第1、2 题．
2．完成同步练习册中本课时的练习．
本节课，学生通过画图、观察、分析二次函数y＝a(x－h)2与y＝ax2之间的关系．总结出二次函数y＝(a－h)2的性质．在此过程中锻炼了学生分析问题、解决问题和总结概括的能力
第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质
1.使学生理解函数y＝a(x－h)2＋k的图象与函数y＝ax2的图象之间的关系．会确定函数y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
2.让学生经历函数y＝a(x－h)2＋k性质的探索过程，理解函数y＝a(x－h)2＋k的性质．
3.培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯．
4.确定函数y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数y＝a(x－h)2＋k的图象与函数y＝ax2的图象之间的关系，理解函数y＝a(x－h)2＋k的性质．
5.正确理解函数y＝a(x－h)2＋k的图象与函数y＝ax2的图象之间的关系以及函数y＝a(x－h)2＋k的性质．
一、情境导入，初步认识
1．函数y＝x2＋1的图象与函数y＝x2的图象有什么关系？
2．函数y＝(x－2)2的图象与函数y＝x2的图象有什么关系？
3．函数y＝(x－2)2＋1的图象与函数y＝(x－2)2的图象有什么关系？函数y＝(x－2)2＋1有哪些性质？
【教学说明】 通过提问的形式，对上节课的知识进行复习巩固，并且为本节课探究二次函数y＝a(x－h)2＋k的性质作铺垫．
二、思考探究，获取新知
1．在同一直角坐标系中，画出下列函数y＝x2、y＝(x－2)2、y＝(x－2)2＋1的图象．
2．观察它们的图象，回答：它们的开口方向都向________，对称轴分别为________、________、________，顶点坐标分别为________、________、________．请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系．
【归纳结论】 函数y＝(x－2)2＋1的图象可以看成是将函数y＝(x－2)2的图象向上平称1个单位得到的，也可以看成是将函数y＝x2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的．
二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数y＝a(x－h)2＋k中k的值；左右平移，只影响h的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关．
你能说出函数y＝a(x－h)2＋k(a、h、k是常数，a≠0)的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？
【归纳总结】 对于二次函数y＝a(x－h)2＋k.(1)开口方向由a决定，(2)对称轴是直线x＝h，当h<0时，在y轴左侧，当h>0时在y轴右侧，(3)顶点坐标为(h，k )，(4)最值：当a>0时，x＝h时y最小值＝k；当a<0时，x＝h时y最大值＝k.
形如y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的二次函数解析式称为顶点式，顶点式能直接反映出抛物线的顶点坐标．
三、运用新知，深化理解
1．抛物线y＝－3(x－2)2＋4的开口方向、对称轴、顶点坐标分别为( )
A．开口向下，对称轴为x＝－2，顶点坐标为(－2，4)
B．开口向上，对称轴为x＝2，顶点坐标为(2，4)
C．开口向上，对称轴为x＝2，顶点坐标为(2，－4)
D．开口向下，对称轴为x＝2，顶点坐标为(2，4)
答案： D
2．把抛物线y＝x2向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位，得抛物线为( )
A．y＝(x2＋2x＋2) B．y＝(x2＋2x－1)
C．y＝(x2－2x－1) D．y＝(x2－2x＋1)
答案： B
3．二次函数y＝a(x－m)2＋2m(a≠0)的顶点在( )
A．y＝2x B．y＝－2x
C.x轴上 D．y轴上
答案： A
4．把抛物线y＝x2＋bx＋c向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线y＝x2，求b、c的值．
分析：抛物线y＝x2的顶点为(0，0)，只要求出抛物线y＝x2＋bx＋c的顶点，根据顶点坐标的改变，确定平移后的函数关系式，从而求出b、c的值．
解：y＝x2＋bx＋c＝x2＋bx＋－＋c＝(x＋)2＋c－.向上平移2个单位，得到y＝(x＋)2＋c－＋2，再向左平移4个单位，得到y＝(x＋＋4)2＋c－＋2，其顶点坐标是(－－4，c－＋2)，而抛物线y＝x2的顶点为(0，0)，则，
解得
【教学说明】 应用所学，加深理解，巩固新知识．
四、师生互动，课堂小结
1．二次函数y＝a(x－h)2＋k的图像与性质．
2．平移的方法．
1．布置作业：教材P16“练习”中第1 、3 题．
2．完成同步练习册中本课时的练习．
本节课主要是通过让学生自主学习，动手操作获取经验，并从中获得知识，本节课教师主要处于引导地位，让学生充当学习的主人，较好地体现了学生学习的主动性．
第4课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
1.学生掌握用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象．
2.使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标的方法．
3.让学生通过绘画、观察二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口方向、对称轴和顶点坐标的性质．
4.通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生善用数学的意识．
5.通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标．
6.理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质．
一、情境导入，初步认识
由前面的知识，我们知道，函数y＝2x2的图象，向上平移2个单位，可以得到函数y＝2x2＋2的图象；函数y＝2x2的图象，向右平移3个单位，可以得到函数y＝2(x－3)2的图象，那么函数y＝2x2的图象如何平移才能得到函数y＝2(x－3)2＋2的图象呢？
函数y＝－4(x－2)2＋1具有哪些性质？
【教学说明】 通过这些练习题，使学生对以前的知识加以复习巩固，以便这节课的应用．这几个问题可找层次较低的学生回答，由其它同学给予评价．
二、思考探究，获取新知
你能确定y＝－2x2＋4x＋6的开口方向、对称轴、顶点坐标吗？具有哪些性质？
学生讨论得到：把二次函数y＝ax2＋bx＋c转化成y＝a(x－h)2＋k的形式再通过配方，确定抛物线y＝－2x2＋4x＋6的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．
解：y＝－2x2＋4x＋6
＝－2(x2－2x)＋6
＝－2(x2－2x＋1－2)＋6
＝－[2(x－1)2－2]＋6
＝－2(x－1)2＋8
因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x＝1，顶点坐标为(1，8)．
你能从上图中总结出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质吗？
【归纳结论】 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是x＝－，顶点坐标是(－，)．
【教学说明】 让学生仔细观察所画图形，相互交流得出结论．
三、运用新知，深化理解
1．函数y＝x2－2x＋3的图象的顶点坐标是( )
A．(1，－4) B．(－1，2)
C．(1，2) D．(0，3)
解析：法一，直接用二次函数顶点坐标公式求．法二，将二次函数解析式由一般形式转换为顶点式，即y＝a(x－h)2＋k的形式，顶点坐标即为(h，k)，y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，所以顶点坐标为(1，2)，故选C.
答案： C
2．抛物线y＝－x2＋x－4的对称轴是( )
A．x＝－2 B．x＝2 C．x＝－4 D．x＝4
解析：直接利用公式．
答案： B
3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是( )
A．ab>0，c>0
B．ab>0，c<0
C．ab<0，c>0
D. ab<0，c<0
解析：由图象知，抛物线开口方向向下，∴a＜0，抛物线对称轴在y轴右侧，－＞0，又∵a＜0，∴b＞0，ab＜0，抛物线与y轴交点坐标为(0，c)点，由图知，该点在x轴上方，故选C.
答案： C
4．把抛物线y＝－2x2＋4x＋1的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是( )
A．y＝－2(x－1)2＋6
B．y＝－2(x－1)2－6
C．y＝－2(x＋1)2＋6
D．y＝－2(x＋1)2－6
解析：二次函数图象的变化．抛物线y＝－2x2＋4x＋1＝－2(x－1)2＋3的图象向左平移2个单位得到y＝－2(x＋1)2＋3，再向上平移3个单位得到y＝－2(x＋1)2＋6.
答案： C
5．已知抛物线y＝x2－(a＋2)x＋9的顶点在坐标轴上，求a的值．
分析：顶点在坐标轴上有两种可能：(1)顶点在x轴上，则顶点的纵坐标等于0；(2)顶点在y轴上，则顶点的横坐标等于0.
解：y＝x2－(a＋2)x＋9
＝(x－)2＋9－，则抛物线的顶点坐标是[，9－]．当顶点在y轴上时，有＝0，解得：a＝－2.当顶点在x轴上时，有9－＝0，解得：a＝4或a＝－8.所以，当抛物线y＝x2－(a＋2)x＋9的顶点在坐标轴上时，a有三个值，分别是－2，4，8.
【教学说明】 应用所学，加深理解，巩固新知．
四、师生互动，课堂小结
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是x＝－，顶点坐标是(－，)
1．布置作业：教材P18“练习”中第1 、2、3 题．
2．完成同步练习册中本课时的练习．
本节课的重点是用配方法确定抛物线的顶点和对称轴．为了使学生能在较复杂的题中顺利应用配方法，教师首先出示了几个较简单的练习由学生完成，并来讨论做题思路．这样这个重点和难点也就自然地得到了突破．
第5课时 二次函数最值的应用
1.能根据实际问题列出函数关系式．
2.使学生能根据问题的实际情况，确定函数自变量x的取值范围．
3.通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生善用数学的意识．
4.会通过配方求出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最大或最小值．
5.在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值．
一、情境导入，初步认识
1．通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(1)y＝6x2＋12x； (2)y＝－4x2＋8x－10
2．以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值？说出两个函数的最大值、最小值分别是多少？
【教学说明】 通过配方，使学生能熟悉二次函数最值的求法，从而解决实际问题．
二、思考探究，获取新知
有了前面所学的知识，现在我们就可以应用二次函数的知识去解决第2页提出的两个实际问题．
1．要用总长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样的围法才能使围成的花圃的面积最大？
解：设矩形的宽AB为xm，则矩形的长BC为(20－2x)m，由于x＞0，且20－2x＞0，所以0＜x＜10.围成的花圃面积y与x的函数关系式是y＝x(20－2x)即y＝－2x2＋20x，配方得y＝－2(x－5)2＋50，所以当x＝5时，函数取得最大值，最大值y＝50.因为x＝5时，满足0＜x＜10，这时20－2x＝10.所以应围成宽5m，长10m的矩形，才能使围成的花圃的面积最大．
2．某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？
解：设每件商品降价x元(0≤x≤2)，该商品每天的利润为y元．
商品每天的利润y与x的函数关系式是：
y＝(10－x－8)(100＋100x)
即y＝－100x2＋100x＋200
配方得y＝－100(x－)2＋225
因为x＝时，满足0≤x≤2.
所以当x＝时，函数取得最大值，最大值y＝225.
所以将这种商品的售价降低0.5元时，能使销售利润最大．
【教学说明】 解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所得的函数，得出结果．
三、运用新知，深化理解
1．见教材P19例5
2．求下列函数的最大值或最小值．
(1)y＝2x2－3x－5.
(2)y＝－x2－3x＋4.
解：(1)二次函数y＝2x2－3x－5中的二次项系数2＞0，因此抛物线y＝2x2－3x－5有最低点，即函数有最小值．因为y＝2x2－3x－5＝2(x－)2－，所以当x＝时，函数y＝2x2－3x－5有最小值是－.
(2)二次函数y＝－x2－3x＋4中的二次项系数－1＜0，因此抛物线y＝－x2－3x＋4有最高点，即函数有最大值．因为y＝－x2－3x＋4＝－(x＋)2＋，所以当x＝－时，函数y＝－x2－3x＋4有最大值是.
3．某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间关系如下表：
x(元) 130 150 165
y(件) 70 50 35
若日销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？
解：由表可知x＋y＝200，因此，所求的一次函数的关系式为y＝－x＋200.
设每日销售利润为s元，
则有s＝y(x－120)＝－(x－160)2＋1600，因为－x＋200≥0，x－120≥0，
所以120≤x≤200.x＝160满足条件．
所以，当每件产品的销售价定为160元时，销售利润最大，最大销售利润为1600元．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，设DE＝x，DF＝y.
(1)用含y的代数式表示AE；
(2)求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；
(3)设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数关系，并求出S的最大值．
解：(1)由题意可知，四边形DECF为矩形，因此AE＝AC－DF＝8－y.
(2)由DE∥BC，得＝，即＝，所以y＝8－2x，x的取值范围是0＜x＜4.
(3)S＝xy＝x(8－2x)＝－2x2＋8x＝－2(x－2)2＋8所以，当x＝2时，S有最大值8.
【教学说明】 应用所学知识解决实际问题，使学生明白数学来源于生活，适用于生活．
四、师生互动，课堂小结
让学生回顾解题过程，讨论、交流，归纳解题步骤：
(1)先分析问题中的数量关系，列出函数关系式；
(2)研究自变量的取值范围；
(3)研究所得的函数；
(4)检验x的取值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值；
(5)解决提出的实际问题．
1．布置作业：教材P20“练习”中第2、3 题．
2．完成同步练习册中本课时的练习．
本节课只要是通过配方，使学生能熟悉二次函数最值的求法，从而解决实际问题．使学生明白数学来源于生活，适用于生活．提高学生学习兴趣．
3． 求二次函数的表达式
1.使学生掌握用待定系数法由已知图象上一个点的坐标求二次函数y＝ax2的关系式．
2.使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式．
3.让学生体验二次函数的函数关系式的应用，提高学生运用数学的意识．
4.已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数y＝ax2、y＝ax2＋bx＋c的关系式是教学的重点．
5.已知图象上三个点坐标求二次函数的关系式是教学的难点．
一、情境导入，初步认识
一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式．例如：我们在确定一次函数y＝kx＋b(k≠0)的关系式时，通常需要两个独立的条件；确定反比例函数y＝(k≠0)的关系式时，通常只需要一个条件；如果要确定二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的关系式，又需要几个条件呢？
【教学说明】 通过类比的思想，使学生明白二次函数的解析式所需要的独立条件．
二、思考探究，获取新知
1．如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线AOB)的薄壳屋顶．它的拱宽AB为4m，拱高CO为0.8m.施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？
分析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的平面直角坐标系，再写出函数关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图．
解：如图所示，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O作y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系。这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为：
y＝ax2(a＜0) (1)
因为y轴垂直平分AB，并交AB于点C，所以CB＝＝2(m)，又CO＝0.8m，所以点B的坐标为(2，－0.8)．
因为点B在抛物线上，将它的坐标代入(1)，得－0.8＝a×22，所以a＝－0.2，因此，所求函数关系式是y＝－0.2x2.
2．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．
(1)已知二次函数的图象经过点A(0，－1)、B(1，0)、C(－1，2)；
(2)已知抛物线的顶点为(1，－3)，且与y轴交于点(0，1)；
解：(1)设二次函数关系式为y＝ax2＋bx＋c，由已知，这个函数的图象过(0，－1)，可以得到c＝－1.又由于其图象过点(1，0)、(－1，2)两点，可以得到，解这个方程组，得：a＝2，b＝－1.所以，所求二次函数的关系式是y＝2x2－x－1.
(2)因为抛物线的顶点为(1，－3)，所以设二此函数的关系式为y＝a(x－1)2－3，又由于抛物线与y轴交于点(0，1)，可以得到：1＝a(0－1)2－3，解得：a＝4.所以，所求二次函数的关系式是y＝4(x－1)2－3＝4x2－8x＋1.
【教学说明】 二次函数的关系式有几种形式，函数的关系式y＝ax2＋bx＋c就是其中一种常见的形式．二次函数关系式的确定，关键在于求出三个待定系数a、b、c，由于已知三点坐标必须适合所求的函数关系式，故可列出三个方程，求出三个待定系数．
【归纳结论】 确定二次函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下二种形式：
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，给出三点坐标可利用此式来求．
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求．
三、运用新知，深化理解
1．见教材P22例6、例7.
2．已知：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(－1，0)，点C(0，5)，另抛物线经过点(1，8)，求抛物线的解析式．
分析：应用待定系数法求出a，b，c的值．
解：依题意：，解得，抛物线的解析式为y＝－x2＋4x＋5.
3．已知抛物线对称轴是直线x＝2，且经过(3，1)和(0，－5)两点，求二次函数的关系式．
分析：可设二次函数y＝ax2＋bx＋c，已知两点的坐标，可列两个方程，再根据对称轴x＝2列出一个方程，则可求出a，b，c的值．
解法1：设所求二次函数的解析式是y＝ax2＋bx＋c，因为二次函数的图象过点(0，－5)，可求得c＝－5，又由于二次函数的图象过点(3，1)，且对称轴是直线x＝2，可以得解这个方程组，得：，所以所求的二次函数的关系式为y＝－2x2＋8x－5.
解法2：设所求二次函数的关系式为y＝a(x－2)2＋k，由于二次函数的图象经过(3，1)和(0，－5)两点，可以得到解这个方程组，得：所以，所求二次函数的关系式为y＝－2(x－2)2＋3，即y＝－2x2＋8x－5.
4．已知抛物线的顶点是(2，－4)，它与y轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式．
分析：根据顶点坐标公式可列出两个方程．
解法1：设所求的函数关系式为y＝a(x＋h)2＋k，依题意，得y＝a(x－2)2－4，因为抛物线与y轴的一个交点的纵坐标为4，所以抛物线过点(0，4)，于是a(0－2)2－4＝4，解得a＝2.所以，所求二次函数的关系式为y＝2(x－2)2－4，即y＝2x2－8x＋4.
解法2：设所求二次函数的关系式为y＝ax2＋bx＋c依题意，得，解这个方程组，得：，所以，所求二次函数关系式为y＝2x2－8x＋4.
5．已知二次函数，当x＝－3时，有最大值－1，且当x＝0时，y＝3，求二次函数的关系式．
解法1：设所求二次函数关系式为y＝ax2＋bx＋c，因为图象过点(0，3)，所以c＝3，又由于二次函数当x＝－3时，有最大值－1，可以得到： 解这个方程组，得：所以，所求二次函数的关系式为y＝x2＋x＋3.
解法2：所求二次函数关系式为y＝a(x＋h)2＋k，依题意，得y＝a(x＋3)2－1，因为二次函数图象过点(0，3)，所以有3＝a(0＋3)2－1解得a＝，所以，所求二次函数的关系为y＝(x＋3)2－1，即y＝x2＋x＋3.
【教学说明】 凡是能用“顶点式”确定的，一定可用“一般式 ”确定，进一步明确两种表达式只是形式的不同和没有本质的区别；在做题时，不仅会使用已知条件，同时要养成挖掘和运用隐含条件的习惯．
四、师生互动，课堂小结
求二次函数解析式的一般步骤是什么？有哪几种求法？
1．布置作业：教材“习题26.2”中第4 、5 题．
2．完成同步练习册中本课时的练习．
确定二次函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．
26．3 实践与探索
第1课时 二次函数与实际问题
1.会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实际意义．
2.通过对实际问题的分析，使学生掌握如何利用二次函数解决实际问题．
3.在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值．
4.会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式．
5.在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求生活中的实际问题．
一、情境导入，初步认识
在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如拱桥跨度、拱高计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义．本节课，请同学们共同研究，尝试解决以下几个问题．
【教学说明】 使学生明白二次函数的重要性．
二、思考探究，获取新知
问题1：(P26，问题1)
让学生讨论、交流，如何将文学语言转化为数学语言，得出问题(1)就是求函数y＝－x2＋2x＋最大值，问题(2)就是求图中B点的横坐标；
【教学说明】 学生解答，教师巡视指导；让一两位同学板书，教师讲评．
问题2：(P27.问题2)
解：以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系．这时，涵洞的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为：y＝ax2，(a＜0)，(1)，因为AB与y轴相交于C点，所以CB＝＝0.8m，又OC＝2.4m，所以点B的坐标是(0.8，－2.4)．因为点B在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得－2.4＝a×0.82，所以：a＝－，因此，函数关系式是y＝－x2，(2)，因为OF＝1.5m，设FD＝x1m(x1＞0)，则点D坐标为(x1，－1.5)．因为点D的坐标在抛物线上，将它的坐标代人(2)，得－1.5＝－x12，x12＝，x1＝±，x1＝－不符合假设，舍去，所以x1＝.ED＝2FD＝2×x1＝2×＝≈×3.162≈1.26(m)，所以涵洞ED是m，会超过1m.
三、运用新知，深化理解
1．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20米，如果水位上升3米，则水面CD的宽是10米．
(1)建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；
(2)当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6米的长方体货物(货物与货船同宽)．问：此船能否顺利通过这座拱桥？
解：(1)设抛物线解析式为y＝ax2设点B(10，n)，点D(5，n＋3)，由题意：，解得，∴y＝－x2.
(2)方法一：当x＝3时，y＝－×9，∵－－(－4)＞3.6，∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．
方法二：当y＝3.6－4＝－时，－＝－x2，∴x＝±，∵＞3∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．
2．某公司生产的某种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x(十万元)时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：
x(十万元) 0 1 2 …
y 1 1.5 1.8 …
(1)求y与x的函数关系式；
(2)如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S(十万元)与广告费x(十万元)的函数关系式；
(3)如果投入的年广告费为10～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？
解：(1)设二次函数关系式为y＝ax2＋bx＋c.由表中数据，得.解得，所以所求二次函数关系式为y＝－x2＋x＋1
(2)根据题意，得S＝10y×(3－2)－x＝－x2＋5x＋10.
(3)S＝－x2＋5x＋10＝－(x－)2＋.由于1≤x≤3，所以当1≤x≤2.5时，S随x的增大而增大．
【教学说明】 通过练习的过程，前后呼应，巩固已学知识，并让学生体会二次函数是解决实际问题的一类重要数学模型．
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获感想，再以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．
1．布置作业：教材P28“练习”
2．完成同步练习册中本课时的练习．
在本课教学中，应关注学生能否将实际问题表示为函数模型；是否能运用二次函数知识解决实际问题并对结果进行合理解释；课堂中学生是否在教师引导下进行了独立思考和积极讨论．并注意整个教学过程中给予学生适当的评价和鼓励．
第2课时 二次函数和一元二次方程(不等式)的关系
1.通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系．
2.使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高学生运用数学的意识．
3.进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合思想．
4.使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题．
5.了解二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系．
一、情境导入，初步认识
我们学习了一元一次方程kx＋b＝0(k≠0)和一次函数y＝kx＋b(k≠0)后，讨论了它们之间的关系．当一次函数中的函数值y＝0时，一次函数y＝kx＋b就转化成了一元一次方程kx＋b＝0，且一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx＋b＝0的解．
现在我们学习了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，它们之间是否也存在一定的关系呢？本节课我们将探索有关问题．
【教学说明】 让学生通过对旧知识的回顾及对新知识的思考，梳理旧知识，起到承上启下之效，同时通过老师的引导，培养学生形成解决一类问题的通用方法的思维．
二、思考探究，获取新知
问题3：(P28.问题3)
(1)先让学生回顾函数y＝ax2＋bx＋c图象的画法，按列表、描点、连线等步骤画出函数y＝x2－x－的图象．
教师引导学生观察函数图象，回答(1)提出的问题，得到图象与x轴交点的坐标分别是(－，0)和(，0)．
(2)让学生完成(2)的解答．教师巡视指导并讲评．
(3)对于问题(3)，教师组织学生分组讨论、交流，各组选派代表发表意见，全班交流，达成共识：从“形”的方面看，函数y＝x2－x－的图象与x轴交点的横坐标，即为方程x2－x－＝0的解；从“数”的方面看，当二次函数y＝x2－x－的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程x2－x－＝0的解．更一般地，函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2＋bx＋c＝0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax2＋bx＋c＝0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系．
(4)根据问题3的图象回答下列问题．
①当x取何值时，y＜0；当x取何值时，y＞0？(当－＜x＜时，y＜0；当x＜－或x＞时，y＞0)
②能否用含有x的不等式来描述(1)中的问题？(能用含有x的不等式来描述(1)中的问题，即x2－x－＜0的解集是什么？x2－x－＞0的解集是什么？)
想一想：二次函数与一元二次不等式有什么关系？
让学生类比二次函数与一元二次不等式方程的关系，讨论、交流，达成共识：
(1)从“形”的方面看，二次函数y＝ax2＋bx＋c在x轴上方的图象上的点的横坐标，即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；在x轴下方的图象上的点的横坐标，即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解．
(2)从“数”的方面看，当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值小于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解．这一结论反映了二次函数与一元二次不等式的关系．
问题4：(P29问题4)
提问：
(1)这两种解法的结果一样吗？
(2)小刘解法的理由是什么？
(3)函数y＝x2和y＝bx＋c的图象一定相交于两点吗？你能否举出例子加以说明？
(4)函数y＝x2和y＝bx＋c的图象的交点横坐标一定是一元二次方程x2＝bx＋c的解吗？
(5)如果函数y＝x2和y＝bx＋c图象没有交点，一元二次方程x2＝bx＋c的解怎样？
【教学说明】 让学生讨论、交流，发表不同意见，并进行归纳．
【归纳总结】 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x 轴交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点．当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y＝0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．
三、运用新知，深化理解
1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，则下列结论正确的是( )
A．ac＞0
B．方程ax2＋bx＋c＝0的两根是x1＝－1，x2＝3
C．2a－b＝0
D．当x＞0时，y随x的增大而减小
答案： B
2．如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是x1＝1.6，x2＝( )
A．－1.6 B．3.2
C．4.4 D．以上都不对
解析：由抛物线图象可知其对称轴为x＝3，又抛物线是轴对称图形，∴抛物线与x轴的两个交点关于x＝3对称，而关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是x1，x2，那么两根满足2×3＝x1＋x2，而x1＝1.6，∴x2＝4.4.故选C.
答案： C
3．(1)已知抛物线y＝2(k＋1)x2＋4kx＋2k－3，当________时，抛物线与x轴相交于两点．
(2)已知二次函数y＝(a－1)x2＋2ax＋3a－2的图象的最低点在x轴上，则a＝____．
解析：(1)抛物线y＝2(k＋1)x2＋4kx＋2k－3与x轴相交于两点，相当于方程2(k＋1)x2＋4kx＋2k－3＝0有两个不相等的实数根，即根的判别式Δ＞0.
(2)二次函数y＝(a－1)x2＋2ax＋3a－2的图象的最低点在x轴上，也就是说，方程(a－1)x2＋2ax＋3a－2＝0的两个实数根相等，即Δ＝0.
答案： (1)k＞－3 (2)2
4．利用函数的图象，求下列方程组的解：
(1)
(2)
分析：(1)可以通过直接画出函数y＝－x＋和y＝x2的图象，得到它们的交点，从而得到方程组的解；(2)也可以同样解决．
解：(1)在同一直角坐标系中画出函数y＝x2和y＝－x＋的图象，如图：
得到它们的交点(－，)、(1，1)，则方程组的解为，.
(2)在同一直角坐标系中画出函数y＝x2＋2x和y＝3x＋6的图象，如图：
得到它们的交点(－2，0)、(3，15)．则方程组的解为，.
【教学说明】 小组交流所得结果，练习巩固，加深理解．
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．
1．布置作业：教材“习题26.3”中第3 、4 题．
2．完成同步练习册中本课时的练习．
本节课主要是向学生渗透两种思想：函数与方程、不等式互相转化的思想；数形结合思想．难度较大，学生不容易理解，应多加练习．
章末复习
1.掌握二次函数的图象及其性质，能灵活运用抛物线的知识解决一些实际问题．
2.通过观察、猜想、验证、推理、交流等数学活动进一步发展学生的演绎推理能力和发散思维能力．
3.经历探索二次函数相关题目的过程，体会数形结合思想、化归思想在数学中的广泛应用，同时感受数学知识来源于实际生活，反之，又服务于实际生活的理念．
4.二次函数图象及其性质，应用二次函数分析和解决简单的实际问题．
5.二次函数性质的灵活运用，能把相关应用问题转化为数学问题．
一、知识结构
【教学说明】 根据教材的结构特点，紧紧抓住新旧知识的内在联系，运用类比、联想、转化的思想，突破难点．
二、释疑解惑，加深理解
1．二次函数解析式的二种表示方法：
(1)顶点式：____________________
(2)一般式：____________________
2．填表：
抛物线 对称轴 顶点坐标 开口方向
y＝ax2
y＝ax2＋k
y＝a(x－h)2
y＝a(x－h)2＋k
y＝ax2＋bx＋c 当a＞0时，开口________ 当a＜0时，开口________
3.二次函数y＝ax2＋bx＋c，当a＞0时，在对称轴右侧，y随x的增大而________，在对称轴左侧，y随x的增大而________；当a＜0时，在对称轴右侧，y随x的增大而________，在对称轴左侧，y随x的增大而________．
4．抛物线y＝ax2＋bx＋c，当a＞0时图象有最________点，此时函数有最____值________；当a＜0时图象有最________点，此时函数有最________值________．
【教学说明】 让学生回忆二次函数有关基础知识．同学们之间可以相互补充，体现团结协作精神．同时发展了学生的探究意识，培养了学生思维的广阔性．
三、典例精析，复习新知
1．(1)y＝－x2，y＝2x2－，y＝100－5x2，y＝3x2－2x3＋5，其中是二次函数的有____个．(2)当m＝____时，函数y＝(m＋1)x(m2－m)－2x＋1是二次函数？
答案：(1)2 (2)2
2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的最大值是2，图象顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点(3，－6)．求a、b、c.
解：∵二次函数的最大值是2
∴抛物线的顶点纵坐标为2
又∵抛物线的顶点在直线y＝x＋1上
∴当y＝2时，x＝1
∴顶点坐标为(1，2)
∴设二次函数的解析式为y＝a(x－1)2＋2
又∵图象经过点(3，－6)
∴－6＝a(3－1)2＋2 ∴a＝－2
∴二次函数的解析式为y＝－2(x－1)2＋2
即：y＝－2x2＋4x
3．(1)抛物线y＝2(x－1)2＋3是由抛物线y＝2x2怎样平移得到的？(2)若抛物线y＝－x2向左平移2个单位，再向下平移4个单位，求所得抛物线的解析式．
解：由抛物线平移时，形状和开口方向不变．(1)抛物线y＝2x2的顶点是(0，0)，抛物线y＝2(x－1)2＋3的顶点是(1，3)，∴抛物线y＝2(x－1)2＋3是由y＝2x2向右平移一个单位，再向上平移3个单位得到的．(2)抛物线y＝－x2的顶点是(0，0)，把它向左平移2个单位，再向下平移4个单位后，顶点是(－2，－4)，∴平移后的抛物线解析式为y＝－(x＋2)2－4
4．求抛物线y＝－x2－x＋的顶点坐标，写出对称轴与坐标轴交点坐标，当x取何值时，y随x的增大而增大，当x取何值时，y随x的增大而减小？
解：y＝－x2－x＋＝－(x2＋2x＋1－4)＝－(x＋1)2＋2
∴抛物线的顶点坐标是(－1，2)，对称轴是直线x＝－1
令x＝0，y＝，∴抛物线与y轴交点(0，)
令y＝0，－x2－x＋＝0的解为x1＝－3，x2＝1，∴抛物线与x轴交于点(－3，0)，(1，0)，当x≤－1时，y随x的增大而增大，当x＞－1时，y随x的增大而减小．
【教学说明】 通过精心的选题让学生演练，教师引导下完成，达到巩固知识的作用．
四、复习训练，巩固提高
1．下列各图是在同一直角坐标系内，二次函数y＝ax2＋(a＋c)x＋c与一次函数y＝ax＋c的大致图象，有且只有一个是正确的，正确是( )
解析：由y＝ax2＋(a＋c)x＋c与y＝ax＋c常数项均为c，所以两个图象与y轴交点应是一个点(0，c)，∴A、B不对，当y＝0时，ax2＋(a＋c)x＋c＝0的解为x1＝－1，x2＝－，∴抛物线与x轴的交点为(－1，0)，(－，0)，当y＝0时，ax＋c＝0的解为x＝－，∴直线与x轴的交点为(－，0)，∴抛物线与直线另一交点在x轴上，∴应选D.
答案： D
2．某商场以每台2500元进口一批彩电，如每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则少卖出50台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？
解：设提高x个单位价格时，总获利为y元，则y＝(2700＋100x－2500)(400－50x)(0≤x≤8)整理，得y＝－5000(x－3)2＋125000，当x＝3时，即定价为3000元时，可获最大利润125000元．
3．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元，物价部门规定其销售单位不得高于每千克70元，也不得低于30元，市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克，在销售过程中，每天还要支出其它费用500元(天数不足一天时，按整天计算)，设销售单价为x元，日均获利为y元．
(1)求y与x的二次函数关系式，并注明x的取值范围．
(2)将(1)中所求出的二次函数配方成y＝a(x＋)2＋的形式，写出顶点坐标，在如图所示的坐标系中画出草图，观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？
(3)若将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高这两种销售方式，哪一种获总利较多，多多少？
分析：首先明确获利的含义，即每千克获利＝销售单价－购进单价，其次注意自变量的取值范围由此在画图象时只能是原函数图象的一部分．在(3)中必须分别计算这两种销售方式的总获利，通过比较大小作答：
解：(1)若销售单价为x元，则每千克降低了(70－x)元，日均多售出2(70－x)千克，日均销售量为[60＋2(70－x)]千克，每千克获利(x－30)元．
依题意得：y＝(x－30)[60＋2(70－x)]－500＝－2x2＋260x－6500(30≤x≤70)
(2)由(1)有y＝－2x2＋260x－6500＝－2(x－65)2＋1950，∴顶点坐标为(65，1950)，其图象如图所示．
经观察可知，当单价为65元时，日均获利最多是1950元．
(3)当日均获利最多时：单价为65元，日均销售量为60＋2(70－65)＝70kg，那么获总利为195000元；当销售单价最高时：单价为70元，日均销售60kg，将这批化工原料全部售完需≈117天，那么获总利为(70－30)×7000－117×500＝221500元，而221500＞195000时且221500－195000＝26500元．∴销售单价最高时获总利最多，且多获利26500元．
【教学说明】 根据不同层次的学生，同时配有两个由低到高、层次不同的巩固性习题，体现渐进性原则，希望学生能将知识转化为技能．让每一个学生获得成功，感受成功的喜悦．
五、师生互动，课堂小结
师生共同总结，对于本章的知识，你掌握了多少？还存在哪些疑惑？同学之间可以相互交流．
1．教材“复习题”中第3、7、11、14题．
2．完成同步练习册中本课时的练习．
让学生在复习中温故而知新，在应用中获得发展，从而使知识转化为能力．引导学生对学习内容进行梳理，将知识系统化、条理化、网络化，使学生更好地理解数学知识；贯穿整个课堂教学的活动设计，让学生在活动、合作、开放、探究、交流中，愉悦地参与数学活动的数学教学．
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26．1 二次函数
1.认识二次函数，知道二次函数自变量的取值范围，并能熟练地列出二次函数关系式．
2.通过对实际问题的探索，熟练地掌握列二次函数关系式和求自变量的取值范围的方法．
3.培养学生探索新知识的能力，鼓励学生通过观察、猜想、验证，主动地获取知识．
4.能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围．
5.熟练地列出二次函数关系式．
一、情境导入，初步认识
1．什么叫函数？它有几种表示方法？
2．什么叫一次函数？(y＝kx＋b)自变量是什么？函数是什么？常量是什么？为什么要有k≠0的条件？ k值对函数性质有什么影响？
【教学说明】 复习这些问题是为了帮助学生弄清自变量、函数、常量等概念，加深对函数定义的理解．强调k≠0的条件，以备与二次函数中的a进行比较．
二、思考探究，获取新知
函数是研究两个变量在某变化过程中的相互关系，我们已学过正比例函数，反比例函数和一次函数．看下面两个例子中两个变量之间存在怎样的关系．
例1：教材P2问题1
可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想？(3)当AB＝xm时，面积y等于多少？写出它们之间的关系式．
例2：教材P3问题2
写出这个关系式．教师引导学生观察问题2、问题2中的函数关系式，提出以下问题让学生思考回答：
(1)这两个函数关系式的自变量各有几个？
(2)多项式－2x2＋20x和－100x2＋100x＋200分别是几次多项式？
(3)这两个函数关系式有什么共同特点？
(4)你能结合一次函数的概念，给这种函数下个概念吗？
【教学说明】 学生通过实际问题的分析，列出关系式，并观察、利用类比的思想总结出二次函数的概念．
【归纳结论】 形如y＝ax2＋bx＋c (a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数，a叫做二次项的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项．
三、运用新知，深化理解
1．下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)( )
A．y＝x2 B．y＝
C．y＝ D．y＝a2x2
解析：紧抓二次函数的概念．
答案：A
2．m取哪些值时，函数y＝(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)是以x为自变量的二次函数？
分析： 若函数y＝(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)是二次函数，须满足的条件是：m2－m≠0.
解： 若函数y＝(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)是二次函数，则m2－m≠0.解得m≠0 且m≠1.因此，当m≠0且m≠1时，函数y＝(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)是二次函数．
3．(1)写出正方体的表面积S(cm2)与正方体棱长a(cm)之间的函数关系；
(2)写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系．
分析：(1)根据正方体表面积公式可得．
(2)面积与半径有关，所以根据周长表示出半径就可求出面积．
解：(1)S＝6a2(a>0)
(2)y＝(x>0)
4．正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x(cm)的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．
(1)求盒子的表面积S(cm2)与小正方形边长x(cm)之间的函数关系式；
(2)当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积．
解：(1)S＝152－4x2＝225－4x2(0＜x＜)；(2)当x＝3cm时，S＝225－4×32＝189(cm2)．
【教学说明】 理论学习完二次函数的概念后，让学生在实践中感悟什么样的函数是二次函数，将理论知识应用到实践操作中．
四、师生互动、课堂小结
1．叙述二次函数的定义．
2．二次函数定义：形如y＝ax2＋bx＋c (a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数，a叫做二次项的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项．
1.布置作业：教材“习题26.1”中第1、2、4 题．
2．完成同步练习册中本课时的练习．
本节课通过简单的实际问题，学生会很容易列出函数关系式，也很容易分辨出哪个是二次函数．通过复习类比，大部分同学对于二次函数的理解都比较好，会找自变量，会列简单的函数关系式，总体效果良好。
26．2 二次函数的图象与性质
1． 二次函数y＝ax2的图象与性质
1.能够利用描点法作出y＝x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y＝x2的性质．
2.能作出二次函数y＝－x2的图象，并能够比较与y＝x2的图象的异同，初步建立二次函数表达式与图象之间的联系．
3.经历画二次函数y＝x2的图象和探索性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．
4.培养学生数形结合的思想，积累数学经验，为后续学习服务．
5.会画y＝ax2的图象，理解其性质．
6.结合图象理解抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标及基本性质，并归纳总结出来．
一、情境导入，初步认识
一次函数y＝kx＋b和反比例函数 y＝(k≠0)图象是什么形状？有哪些性质呢？ 那么二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象会是什么样？通常怎样画一个函数的图象呢？——引入课题
【教学说明】 通过创设问题情景，引导学生复习描点法，复习借助图象分析性质的过程中注意分类讨论、由特殊到一般的解决问题的方法，为学习二次函数的图象奠定基础．
二、思考探究，获取新知
探究1: 二次函数y＝x2 的图象
试着画出y＝x2 的图象，观察这个函数的图象，它有什么特点？
【教学说明】 让学生自己经历画 y＝x2 的图像的过程，进一步了解用描点法的方法画图象的基本步骤，为将来画其他函数的图象奠定基础，同时也培养了学生动手操作能力，经历了知识的形成过程．
【归纳总结】 抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线．顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点．
探究2：二次函数y＝x2的性质
在同一直角坐标系中，画出函数y＝x2与y＝－x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别？
在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝－2x2的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么？
【教学说明】 让学生自己去观察去分析，过程让学生自己去感受，结论让学生自己去总结，实现学生主动参与、探究新知的目的．
【归纳结论】 1.抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴是y轴，顶点是原点． 2.a＞0时，抛物线y＝ax2的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小． 3.a＜0时，抛物线y＝ax2的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大．
三、运用新知，深化理解
1．已知函数y＝(m－2)xm2－7是二次函数，且开口向下，则m＝____．
解析：它是二次函数，所以m2－7＝2，得m＝±3，且开口向下，所以m－2<0，得m<2.即：m＝－3.
答案：－3.
2．已知抛物线y＝ax2经过点A(－2，－8)．
(1)求此抛物线的函数解析式；
(2)判断点B(－1，－4)是否在此抛物线上．
分析：(1)把a的值求出即可．(2)把B的坐标代入，等式成立则是在此抛物线上，否则不在．
解：(1)把(－2，－8)代入y＝ax2中得：a＝－2.解析式为：y＝－2x2
(2)把(－1，－4)代入y＝－2x2，中等式不成立，点B(－1，－4)不在此抛物线上．
3．已知y＝(k＋2)xk2＋k－4是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而增大．
(1)求k的值；
(2)求顶点坐标和对称轴．
解：(1)由题意，得，
解得k＝2.
(2)二次函数为y＝4x2，则顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴．
4．已知正方形周长为Ccm，面积为Scm2.
(1)求S和C之间的函数关系式，并画出图象；
(2)根据图象，求出S＝1cm2时，正方形的周长；
(3)根据图象，求出C取何值时，S≥4cm2.
分析：此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C的取值应在取值范围内．
解：(1)由题意，得S＝C2(C＞0)．
列表：
C 2 4 6 8 …
S＝C2 1 4 …
描点、连线，图象如图
(2)根据图象得S＝1cm2时，正方形的周长是4cm.
(3)根据图象得，当C≥8cm时，S≥4cm2.
【教学说明】 学生独立完成以后，让他们发表自己的看法，教师更正、强调．
四、师生互动、课堂小结
1．抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴是y轴，顶点是原点．
2.a＞0时，抛物线y＝ax2的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小．
3.a＜0时，抛物线y＝ax2的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大．
1．布置作业：教材P7“练习”中第1 、2 、3题．
2．完成同步练习册中本课时的练习．
本节课的教学过程的设计符合新课程标准和课程改革的要求，通过教学情景创设和优化课堂教学设计，体现了在活动中学习数学，在活动中“做数学”的理念，并利用教具使教学内容形象、直观并具有亲和力，极大地调动了学生的学习积极性和热情，培养了学生学习数学的兴趣．教学过程始终坚持让学生自己去动脑、动手、动口，在分析、练习基础上掌握知识．整个教学过程都较好地落实了“学生的主体地位和教师的主导作用”，让学生体会到学习成功的乐趣．
2． 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
第1课时 二次函数y＝ax2＋c的图象与性质
1.使学生能利用描点法正确作出函数y＝x2＋2与y＝x2－2的图象．
2.理解二次函数y＝ax2＋c的性质及它与函数y＝ax2的关系．
3.让学生经历二次函数y＝ax2＋c性质探究及性质应用的过程．
4.培养学生动手操作的能力及归纳总结与灵活应用知识的能力．
5.理解二次函数y＝ax2＋c的性质及它与函数y＝ax2的关系．
6.理解二次函数y＝ax2＋c的性质及它与函数y＝ax2的关系．
一、情境导入，初步认识
1.二次函数y＝x2的图象是________，它的开口向________，顶点坐标是________，对称轴是________，在对称轴的左侧，y随x的增大而________；在对称轴的右侧，y随x的增大而________；当x＝________时，取最________值，其最________值是________．
2.二次函数y＝x2＋1的图象与二次函数y＝x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同？
【教学说明】 巩固旧知识，引出新知识．
二、思考探究，获取新知
问题1：对于前面提出的第2个问题，你将采取什么方法加以研究？
问题2：你能在同一直角坐标系中，画出函数y＝x2与y＝x2＋2的图象吗？
【教学说明】 1.先让学生回顾二次函数画图的三个步骤，按照画图步骤画出函数y＝x2的图象．
2．教师说明为什么两个函数自变量x可以取同一数值，为什么不必单独列出函数y＝x2＋2的对应值表，并让学生画出函数y＝x2＋2的图象．
3．教师写出解题过程，同学对所画图象进行比较．
问题3：观察所画图象，有什么异同？它们的开口方向、对称轴、顶点坐标是什么？
问题4：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？
函数y＝x2＋2的图象上的点都是由函数y＝x2的图象上的相应点向上移动了两个单位．
问题5：你能由函数y＝x2的性质，得到函数y＝x2＋1的一些性质吗？
【归纳结论】 当x________时，函数值y随x的增大而减小；当x________时，函数值y随x的增大而增大；当x________时，函数取得最________值，最________值y＝________．
完成下表：
函数 y＝ax2＋c (a＞0)
c＞0 c＜0
图例
开口方向
对称轴
最值
顶点坐标
函数性质
三、运用新知，深化理解
1．(1)函数y＝4x2＋5的图象可由y＝4x2的图象向 上 平移 5 个单位得到；
(2)y＝4x2－11的图象可由 y＝4x2的图象向下平移11个单位得到．
2．将函数y＝－3x2＋4的图象向下平移4个单位可得y＝－3x2的图象；将y＝2x2－7的图象向上平移7个单位可得到 y＝2x2的图象；将y＝x2－7的图象向上平移9个单位可得到 y＝x2＋2的图象．
3．抛物线y＝－3x2＋5的开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标是(0，5)，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而__减小__，当x＝0时，取得最__大__值，这个值等于5．
4．抛物线y＝7x2－3的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是(0，－3)，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，当x＝0时，取得最小值，这个值等于－3
5．抛物线y＝ax2＋c与y＝3x2的形状相同，且其顶点坐标是(0，1)，则其表达式为y＝3x2＋1或y＝－3x2＋1．
6．一条抛物线的开口方向、对称轴与y＝x2相同，顶点纵坐标是－2，且抛物线经过点(1，1)，求这条抛物线的函数关系式．
解：由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为(0，－2)，因此所求函数关系式可看作y＝ax2－2(a＞0)，又抛物线经过点(1，1)，所以1＝a－2，解得a＝3.故所求函数关系式为y＝3x2－2.
【教学说明】 以上6题，是对本节课的知识点的复习巩固，让学生自主完成，教师做强调．
四、师生互动，课堂小结
本节课你有何收获？本节课你有何疑问？
1．布置作业： 教材P10“练习”中第1 、2 、3题．
2．完成同步练习册中本课时的练习．
函数的教学，尤其是二次函数是学生普遍感觉较为抽象难懂的知识．在教学过程中，除了让学生多动手画图象，加深学生对函数图象的了解，加深他们对函数性质的了解外，更重要的是让学生参与到函数图象和性质的探索中去．要利用一切可以利用的材料来帮助学生理解所学的知识．本节中通过表格上函数值的变化让学生猜想函数图象的位置变化，给学生留下较深刻的印象，普遍能较好的掌握图象的平移规律．
第2课时 二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质
1.使学生能利用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2的图象．
2.让学生经历二次函数y＝a(x－h)2性质探究的过程，理解函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系．
3.培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯．
4.会用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2的图象，理解二次函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系．
5.理解二次函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系．
一、情境导入，初步认识
我们已经了解到，函数y＝ax2＋c的图象，可以由函数y＝ax2的图象上下平移所得，那么函数y＝(x－2)2的图象，是否也可以由函数y＝x2平移而得呢？y＝a(x－h)2的图象是如何得到的呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？
【教学说明】 小组代表阐述本组的观点，全班交流，并提出本组的疑难问题，小组互助讨论．教师在学生发言的基础上补充并展示．
二、思考探究，获取新知
1．教师引导学生观察画出的y＝x2与y＝(x－2)2、y＝(x＋2)2三个函数图象．根据所画出的图象，完成以下填空：
函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y＝x2
y＝(x－2)2
y＝(x＋2)2
2.你可以由函数y＝x2的性质，得到函数y＝(x－2)2的性质吗？
【教学说明】 让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，达成共识．
【归纳结论】 函数y＝(x－2)2与y＝x2的图象开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同；函数y＝(x－2)2的图象可以看作是函数y＝x2的图象向右平移2个单位得到的，它的对称轴是直线x＝2，顶点坐标是(2，0)．
3．你能由函数y＝x2的性质，得到函数y＝(x＋2)2的性质吗？
4．在同一直角坐标系中，函数y＝－(x＋2)2的图象与函数y＝－x2的图象有什么关系？
5．你能说出函数y＝－(x＋2)2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？
6．你能得到函数y＝(x＋2)2的性质吗？
【归纳结论】 在函数y＝－(x＋2)2中，当x＜－2时，函数值y随x的增大而增大；当x＞－2时，函数值y随x的增大而减小；当x＝－2时，函数取得最大值，最大值y＝0.
三、运用新知，深化理解
1．二次函数y＝2(x－1)2的图象可由y＝2x2的图象( )得到．
A．向左平移1个单位长度
B．向左平移1个单位长度
C．向右平移1个单位长度
D．向右平移2个单位长度
答案： C
2．对于抛物线y＝x2＋2和y＝－x2的论断：(1)开口方向不同；(2)形状完全相同；(3)对称轴相同．其中正确的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
答案： D
3．不画出图象，你能说明抛物线y＝－3x2与y＝－3(x＋2)2之间的关系吗？
解：抛物线y＝－3x2的顶点坐标为(0，0)；抛物线y＝－3(x＋2)2的顶点坐标为(－2，0)．因此，抛物线y＝－3x2与y＝－3(x＋2)2形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是y轴和直线x＝－2.抛物线y＝－3(x＋2)2是由y＝－3x2向左平移2个单位而得的．
4．已知函数y＝4x2，y＝4(x＋1)2和y＝4(x－1)2.
(1)在同一直角坐标系中画出它们的图象；
(2)分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
(3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数y＝4x2的图象得到函数y＝4(x＋1)2和函数y＝4(x－1)2的图象．
(4)分别说出各个函数的性质．
解： 略
【教学说明】 应用所学，加深理解，巩固新知．
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获感想后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．
1．布置作业：教材P13“练习”中第1、2 题．
2．完成同步练习册中本课时的练习．
本节课，学生通过画图、观察、分析二次函数y＝a(x－h)2与y＝ax2之间的关系．总结出二次函数y＝(a－h)2的性质．在此过程中锻炼了学生分析问题、解决问题和总结概括的能力
第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质
1.使学生理解函数y＝a(x－h)2＋k的图象与函数y＝ax2的图象之间的关系．会确定函数y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
2.让学生经历函数y＝a(x－h)2＋k性质的探索过程，理解函数y＝a(x－h)2＋k的性质．
3.培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯．
4.确定函数y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数y＝a(x－h)2＋k的图象与函数y＝ax2的图象之间的关系，理解函数y＝a(x－h)2＋k的性质．
5.正确理解函数y＝a(x－h)2＋k的图象与函数y＝ax2的图象之间的关系以及函数y＝a(x－h)2＋k的性质．
一、情境导入，初步认识
1．函数y＝x2＋1的图象与函数y＝x2的图象有什么关系？
2．函数y＝(x－2)2的图象与函数y＝x2的图象有什么关系？
3．函数y＝(x－2)2＋1的图象与函数y＝(x－2)2的图象有什么关系？函数y＝(x－2)2＋1有哪些性质？
【教学说明】 通过提问的形式，对上节课的知识进行复习巩固，并且为本节课探究二次函数y＝a(x－h)2＋k的性质作铺垫．
二、思考探究，获取新知
1．在同一直角坐标系中，画出下列函数y＝x2、y＝(x－2)2、y＝(x－2)2＋1的图象．
2．观察它们的图象，回答：它们的开口方向都向________，对称轴分别为________、________、________，顶点坐标分别为________、________、________．请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系．
【归纳结论】 函数y＝(x－2)2＋1的图象可以看成是将函数y＝(x－2)2的图象向上平称1个单位得到的，也可以看成是将函数y＝x2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的．
二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数y＝a(x－h)2＋k中k的值；左右平移，只影响h的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关．
你能说出函数y＝a(x－h)2＋k(a、h、k是常数，a≠0)的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？
【归纳总结】 对于二次函数y＝a(x－h)2＋k.(1)开口方向由a决定，(2)对称轴是直线x＝h，当h<0时，在y轴左侧，当h>0时在y轴右侧，(3)顶点坐标为(h，k )，(4)最值：当a>0时，x＝h时y最小值＝k；当a<0时，x＝h时y最大值＝k.
形如y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的二次函数解析式称为顶点式，顶点式能直接反映出抛物线的顶点坐标．
三、运用新知，深化理解
1．抛物线y＝－3(x－2)2＋4的开口方向、对称轴、顶点坐标分别为( )
A．开口向下，对称轴为x＝－2，顶点坐标为(－2，4)
B．开口向上，对称轴为x＝2，顶点坐标为(2，4)
C．开口向上，对称轴为x＝2，顶点坐标为(2，－4)
D．开口向下，对称轴为x＝2，顶点坐标为(2，4)
答案： D
2．把抛物线y＝x2向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位，得抛物线为( )
A．y＝(x2＋2x＋2) B．y＝(x2＋2x－1)
C．y＝(x2－2x－1) D．y＝(x2－2x＋1)
答案： B
3．二次函数y＝a(x－m)2＋2m(a≠0)的顶点在( )
A．y＝2x B．y＝－2x
C.x轴上 D．y轴上
答案： A
4．把抛物线y＝x2＋bx＋c向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线y＝x2，求b、c的值．
分析：抛物线y＝x2的顶点为(0，0)，只要求出抛物线y＝x2＋bx＋c的顶点，根据顶点坐标的改变，确定平移后的函数关系式，从而求出b、c的值．
解：y＝x2＋bx＋c＝x2＋bx＋－＋c＝(x＋)2＋c－.向上平移2个单位，得到y＝(x＋)2＋c－＋2，再向左平移4个单位，得到y＝(x＋＋4)2＋c－＋2，其顶点坐标是(－－4，c－＋2)，而抛物线y＝x2的顶点为(0，0)，则，
解得
【教学说明】 应用所学，加深理解，巩固新知识．
四、师生互动，课堂小结
1．二次函数y＝a(x－h)2＋k的图像与性质．
2．平移的方法．
1．布置作业：教材P16“练习”中第1 、3 题．
2．完成同步练习册中本课时的练习．
本节课主要是通过让学生自主学习，动手操作获取经验，并从中获得知识，本节课教师主要处于引导地位，让学生充当学习的主人，较好地体现了学生学习的主动性．
第4课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
1.学生掌握用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象．
2.使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标的方法．
3.让学生通过绘画、观察二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口方向、对称轴和顶点坐标的性质．
4.通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生善用数学的意识．
5.通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标．
6.理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质．
一、情境导入，初步认识
由前面的知识，我们知道，函数y＝2x2的图象，向上平移2个单位，可以得到函数y＝2x2＋2的图象；函数y＝2x2的图象，向右平移3个单位，可以得到函数y＝2(x－3)2的图象，那么函数y＝2x2的图象如何平移才能得到函数y＝2(x－3)2＋2的图象呢？
函数y＝－4(x－2)2＋1具有哪些性质？
【教学说明】 通过这些练习题，使学生对以前的知识加以复习巩固，以便这节课的应用．这几个问题可找层次较低的学生回答，由其它同学给予评价．
二、思考探究，获取新知
你能确定y＝－2x2＋4x＋6的开口方向、对称轴、顶点坐标吗？具有哪些性质？
学生讨论得到：把二次函数y＝ax2＋bx＋c转化成y＝a(x－h)2＋k的形式再通过配方，确定抛物线y＝－2x2＋4x＋6的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．
解：y＝－2x2＋4x＋6
＝－2(x2－2x)＋6
＝－2(x2－2x＋1－2)＋6
＝－[2(x－1)2－2]＋6
＝－2(x－1)2＋8
因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x＝1，顶点坐标为(1，8)．
你能从上图中总结出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质吗？
【归纳结论】 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是x＝－，顶点坐标是(－，)．
【教学说明】 让学生仔细观察所画图形，相互交流得出结论．
三、运用新知，深化理解
1．函数y＝x2－2x＋3的图象的顶点坐标是( )
A．(1，－4) B．(－1，2)
C．(1，2) D．(0，3)
解析：法一，直接用二次函数顶点坐标公式求．法二，将二次函数解析式由一般形式转换为顶点式，即y＝a(x－h)2＋k的形式，顶点坐标即为(h，k)，y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，所以顶点坐标为(1，2)，故选C.
答案： C
2．抛物线y＝－x2＋x－4的对称轴是( )
A．x＝－2 B．x＝2 C．x＝－4 D．x＝4
解析：直接利用公式．
答案： B
3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是( )
A．ab>0，c>0
B．ab>0，c<0
C．ab<0，c>0
D. ab<0，c<0
解析：由图象知，抛物线开口方向向下，∴a＜0，抛物线对称轴在y轴右侧，－＞0，又∵a＜0，∴b＞0，ab＜0，抛物线与y轴交点坐标为(0，c)点，由图知，该点在x轴上方，故选C.
答案： C
4．把抛物线y＝－2x2＋4x＋1的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是( )
A．y＝－2(x－1)2＋6
B．y＝－2(x－1)2－6
C．y＝－2(x＋1)2＋6
D．y＝－2(x＋1)2－6
解析：二次函数图象的变化．抛物线y＝－2x2＋4x＋1＝－2(x－1)2＋3的图象向左平移2个单位得到y＝－2(x＋1)2＋3，再向上平移3个单位得到y＝－2(x＋1)2＋6.
答案： C
5．已知抛物线y＝x2－(a＋2)x＋9的顶点在坐标轴上，求a的值．
分析：顶点在坐标轴上有两种可能：(1)顶点在x轴上，则顶点的纵坐标等于0；(2)顶点在y轴上，则顶点的横坐标等于0.
解：y＝x2－(a＋2)x＋9
＝(x－)2＋9－，则抛物线的顶点坐标是[，9－]．当顶点在y轴上时，有＝0，解得：a＝－2.当顶点在x轴上时，有9－＝0，解得：a＝4或a＝－8.所以，当抛物线y＝x2－(a＋2)x＋9的顶点在坐标轴上时，a有三个值，分别是－2，4，8.
【教学说明】 应用所学，加深理解，巩固新知．
四、师生互动，课堂小结
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是x＝－，顶点坐标是(－，)
1．布置作业：教材P18“练习”中第1 、2、3 题．
2．完成同步练习册中本课时的练习．
本节课的重点是用配方法确定抛物线的顶点和对称轴．为了使学生能在较复杂的题中顺利应用配方法，教师首先出示了几个较简单的练习由学生完成，并来讨论做题思路．这样这个重点和难点也就自然地得到了突破．
第5课时 二次函数最值的应用
1.能根据实际问题列出函数关系式．
2.使学生能根据问题的实际情况，确定函数自变量x的取值范围．
3.通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生善用数学的意识．
4.会通过配方求出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最大或最小值．
5.在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值．
一、情境导入，初步认识
1．通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(1)y＝6x2＋12x； (2)y＝－4x2＋8x－10
2．以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值？说出两个函数的最大值、最小值分别是多少？
【教学说明】 通过配方，使学生能熟悉二次函数最值的求法，从而解决实际问题．
二、思考探究，获取新知
有了前面所学的知识，现在我们就可以应用二次函数的知识去解决第2页提出的两个实际问题．
1．要用总长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样的围法才能使围成的花圃的面积最大？
解：设矩形的宽AB为xm，则矩形的长BC为(20－2x)m，由于x＞0，且20－2x＞0，所以0＜x＜10.围成的花圃面积y与x的函数关系式是y＝x(20－2x)即y＝－2x2＋20x，配方得y＝－2(x－5)2＋50，所以当x＝5时，函数取得最大值，最大值y＝50.因为x＝5时，满足0＜x＜10，这时20－2x＝10.所以应围成宽5m，长10m的矩形，才能使围成的花圃的面积最大．
2．某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？
解：设每件商品降价x元(0≤x≤2)，该商品每天的利润为y元．
商品每天的利润y与x的函数关系式是：
y＝(10－x－8)(100＋100x)
即y＝－100x2＋100x＋200
配方得y＝－100(x－)2＋225
因为x＝时，满足0≤x≤2.
所以当x＝时，函数取得最大值，最大值y＝225.
所以将这种商品的售价降低0.5元时，能使销售利润最大．
【教学说明】 解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所得的函数，得出结果．
三、运用新知，深化理解
1．见教材P19例5
2．求下列函数的最大值或最小值．
(1)y＝2x2－3x－5.
(2)y＝－x2－3x＋4.
解：(1)二次函数y＝2x2－3x－5中的二次项系数2＞0，因此抛物线y＝2x2－3x－5有最低点，即函数有最小值．因为y＝2x2－3x－5＝2(x－)2－，所以当x＝时，函数y＝2x2－3x－5有最小值是－.
(2)二次函数y＝－x2－3x＋4中的二次项系数－1＜0，因此抛物线y＝－x2－3x＋4有最高点，即函数有最大值．因为y＝－x2－3x＋4＝－(x＋)2＋，所以当x＝－时，函数y＝－x2－3x＋4有最大值是.
3．某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间关系如下表：
x(元) 130 150 165
y(件) 70 50 35
若日销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？
解：由表可知x＋y＝200，因此，所求的一次函数的关系式为y＝－x＋200.
设每日销售利润为s元，
则有s＝y(x－120)＝－(x－160)2＋1600，因为－x＋200≥0，x－120≥0，
所以120≤x≤200.x＝160满足条件．
所以，当每件产品的销售价定为160元时，销售利润最大，最大销售利润为1600元．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，设DE＝x，DF＝y.
(1)用含y的代数式表示AE；
(2)求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；
(3)设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数关系，并求出S的最大值．
解：(1)由题意可知，四边形DECF为矩形，因此AE＝AC－DF＝8－y.
(2)由DE∥BC，得＝，即＝，所以y＝8－2x，x的取值范围是0＜x＜4.
(3)S＝xy＝x(8－2x)＝－2x2＋8x＝－2(x－2)2＋8所以，当x＝2时，S有最大值8.
【教学说明】 应用所学知识解决实际问题，使学生明白数学来源于生活，适用于生活．
四、师生互动，课堂小结
让学生回顾解题过程，讨论、交流，归纳解题步骤：
(1)先分析问题中的数量关系，列出函数关系式；
(2)研究自变量的取值范围；
(3)研究所得的函数；
(4)检验x的取值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值；
(5)解决提出的实际问题．
1．布置作业：教材P20“练习”中第2、3 题．
2．完成同步练习册中本课时的练习．
本节课只要是通过配方，使学生能熟悉二次函数最值的求法，从而解决实际问题．使学生明白数学来源于生活，适用于生活．提高学生学习兴趣．
3． 求二次函数的表达式
1.使学生掌握用待定系数法由已知图象上一个点的坐标求二次函数y＝ax2的关系式．
2.使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式．
3.让学生体验二次函数的函数关系式的应用，提高学生运用数学的意识．
4.已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数y＝ax2、y＝ax2＋bx＋c的关系式是教学的重点．
5.已知图象上三个点坐标求二次函数的关系式是教学的难点．
一、情境导入，初步认识
一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式．例如：我们在确定一次函数y＝kx＋b(k≠0)的关系式时，通常需要两个独立的条件；确定反比例函数y＝(k≠0)的关系式时，通常只需要一个条件；如果要确定二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的关系式，又需要几个条件呢？
【教学说明】 通过类比的思想，使学生明白二次函数的解析式所需要的独立条件．
二、思考探究，获取新知
1．如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线AOB)的薄壳屋顶．它的拱宽AB为4m，拱高CO为0.8m.施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？
分析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的平面直角坐标系，再写出函数关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图．
解：如图所示，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O作y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系。这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为：
y＝ax2(a＜0) (1)
因为y轴垂直平分AB，并交AB于点C，所以CB＝＝2(m)，又CO＝0.8m，所以点B的坐标为(2，－0.8)．
因为点B在抛物线上，将它的坐标代入(1)，得－0.8＝a×22，所以a＝－0.2，因此，所求函数关系式是y＝－0.2x2.
2．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．
(1)已知二次函数的图象经过点A(0，－1)、B(1，0)、C(－1，2)；
(2)已知抛物线的顶点为(1，－3)，且与y轴交于点(0，1)；
解：(1)设二次函数关系式为y＝ax2＋bx＋c，由已知，这个函数的图象过(0，－1)，可以得到c＝－1.又由于其图象过点(1，0)、(－1，2)两点，可以得到，解这个方程组，得：a＝2，b＝－1.所以，所求二次函数的关系式是y＝2x2－x－1.
(2)因为抛物线的顶点为(1，－3)，所以设二此函数的关系式为y＝a(x－1)2－3，又由于抛物线与y轴交于点(0，1)，可以得到：1＝a(0－1)2－3，解得：a＝4.所以，所求二次函数的关系式是y＝4(x－1)2－3＝4x2－8x＋1.
【教学说明】 二次函数的关系式有几种形式，函数的关系式y＝ax2＋bx＋c就是其中一种常见的形式．二次函数关系式的确定，关键在于求出三个待定系数a、b、c，由于已知三点坐标必须适合所求的函数关系式，故可列出三个方程，求出三个待定系数．
【归纳结论】 确定二次函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下二种形式：
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，给出三点坐标可利用此式来求．
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求．
三、运用新知，深化理解
1．见教材P22例6、例7.
2．已知：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(－1，0)，点C(0，5)，另抛物线经过点(1，8)，求抛物线的解析式．
分析：应用待定系数法求出a，b，c的值．
解：依题意：，解得，抛物线的解析式为y＝－x2＋4x＋5.
3．已知抛物线对称轴是直线x＝2，且经过(3，1)和(0，－5)两点，求二次函数的关系式．
分析：可设二次函数y＝ax2＋bx＋c，已知两点的坐标，可列两个方程，再根据对称轴x＝2列出一个方程，则可求出a，b，c的值．
解法1：设所求二次函数的解析式是y＝ax2＋bx＋c，因为二次函数的图象过点(0，－5)，可求得c＝－5，又由于二次函数的图象过点(3，1)，且对称轴是直线x＝2，可以得解这个方程组，得：，所以所求的二次函数的关系式为y＝－2x2＋8x－5.
解法2：设所求二次函数的关系式为y＝a(x－2)2＋k，由于二次函数的图象经过(3，1)和(0，－5)两点，可以得到解这个方程组，得：所以，所求二次函数的关系式为y＝－2(x－2)2＋3，即y＝－2x2＋8x－5.
4．已知抛物线的顶点是(2，－4)，它与y轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式．
分析：根据顶点坐标公式可列出两个方程．
解法1：设所求的函数关系式为y＝a(x＋h)2＋k，依题意，得y＝a(x－2)2－4，因为抛物线与y轴的一个交点的纵坐标为4，所以抛物线过点(0，4)，于是a(0－2)2－4＝4，解得a＝2.所以，所求二次函数的关系式为y＝2(x－2)2－4，即y＝2x2－8x＋4.
解法2：设所求二次函数的关系式为y＝ax2＋bx＋c依题意，得，解这个方程组，得：，所以，所求二次函数关系式为y＝2x2－8x＋4.
5．已知二次函数，当x＝－3时，有最大值－1，且当x＝0时，y＝3，求二次函数的关系式．
解法1：设所求二次函数关系式为y＝ax2＋bx＋c，因为图象过点(0，3)，所以c＝3，又由于二次函数当x＝－3时，有最大值－1，可以得到： 解这个方程组，得：所以，所求二次函数的关系式为y＝x2＋x＋3.
解法2：所求二次函数关系式为y＝a(x＋h)2＋k，依题意，得y＝a(x＋3)2－1，因为二次函数图象过点(0，3)，所以有3＝a(0＋3)2－1解得a＝，所以，所求二次函数的关系为y＝(x＋3)2－1，即y＝x2＋x＋3.
【教学说明】 凡是能用“顶点式”确定的，一定可用“一般式 ”确定，进一步明确两种表达式只是形式的不同和没有本质的区别；在做题时，不仅会使用已知条件，同时要养成挖掘和运用隐含条件的习惯．
四、师生互动，课堂小结
求二次函数解析式的一般步骤是什么？有哪几种求法？
1．布置作业：教材“习题26.2”中第4 、5 题．
2．完成同步练习册中本课时的练习．
确定二次函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．
26．3 实践与探索
第1课时 二次函数与实际问题
1.会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实际意义．
2.通过对实际问题的分析，使学生掌握如何利用二次函数解决实际问题．
3.在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值．
4.会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式．
5.在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求生活中的实际问题．
一、情境导入，初步认识
在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如拱桥跨度、拱高计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义．本节课，请同学们共同研究，尝试解决以下几个问题．
【教学说明】 使学生明白二次函数的重要性．
二、思考探究，获取新知
问题1：(P26，问题1)
让学生讨论、交流，如何将文学语言转化为数学语言，得出问题(1)就是求函数y＝－x2＋2x＋最大值，问题(2)就是求图中B点的横坐标；
【教学说明】 学生解答，教师巡视指导；让一两位同学板书，教师讲评．
问题2：(P27.问题2)
解：以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系．这时，涵洞的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为：y＝ax2，(a＜0)，(1)，因为AB与y轴相交于C点，所以CB＝＝0.8m，又OC＝2.4m，所以点B的坐标是(0.8，－2.4)．因为点B在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得－2.4＝a×0.82，所以：a＝－，因此，函数关系式是y＝－x2，(2)，因为OF＝1.5m，设FD＝x1m(x1＞0)，则点D坐标为(x1，－1.5)．因为点D的坐标在抛物线上，将它的坐标代人(2)，得－1.5＝－x12，x12＝，x1＝±，x1＝－不符合假设，舍去，所以x1＝.ED＝2FD＝2×x1＝2×＝≈×3.162≈1.26(m)，所以涵洞ED是m，会超过1m.
三、运用新知，深化理解
1．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20米，如果水位上升3米，则水面CD的宽是10米．
(1)建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；
(2)当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6米的长方体货物(货物与货船同宽)．问：此船能否顺利通过这座拱桥？
解：(1)设抛物线解析式为y＝ax2设点B(10，n)，点D(5，n＋3)，由题意：，解得，∴y＝－x2.
(2)方法一：当x＝3时，y＝－×9，∵－－(－4)＞3.6，∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．
方法二：当y＝3.6－4＝－时，－＝－x2，∴x＝±，∵＞3∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．
2．某公司生产的某种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x(十万元)时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：
x(十万元) 0 1 2 …
y 1 1.5 1.8 …
(1)求y与x的函数关系式；
(2)如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S(十万元)与广告费x(十万元)的函数关系式；
(3)如果投入的年广告费为10～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？
解：(1)设二次函数关系式为y＝ax2＋bx＋c.由表中数据，得.解得，所以所求二次函数关系式为y＝－x2＋x＋1
(2)根据题意，得S＝10y×(3－2)－x＝－x2＋5x＋10.
(3)S＝－x2＋5x＋10＝－(x－)2＋.由于1≤x≤3，所以当1≤x≤2.5时，S随x的增大而增大．
【教学说明】 通过练习的过程，前后呼应，巩固已学知识，并让学生体会二次函数是解决实际问题的一类重要数学模型．
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获感想，再以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．
1．布置作业：教材P28“练习”
2．完成同步练习册中本课时的练习．
在本课教学中，应关注学生能否将实际问题表示为函数模型；是否能运用二次函数知识解决实际问题并对结果进行合理解释；课堂中学生是否在教师引导下进行了独立思考和积极讨论．并注意整个教学过程中给予学生适当的评价和鼓励．
第2课时 二次函数和一元二次方程(不等式)的关系
1.通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系．
2.使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高学生运用数学的意识．
3.进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合思想．
4.使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题．
5.了解二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系．
一、情境导入，初步认识
我们学习了一元一次方程kx＋b＝0(k≠0)和一次函数y＝kx＋b(k≠0)后，讨论了它们之间的关系．当一次函数中的函数值y＝0时，一次函数y＝kx＋b就转化成了一元一次方程kx＋b＝0，且一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx＋b＝0的解．
现在我们学习了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，它们之间是否也存在一定的关系呢？本节课我们将探索有关问题．
【教学说明】 让学生通过对旧知识的回顾及对新知识的思考，梳理旧知识，起到承上启下之效，同时通过老师的引导，培养学生形成解决一类问题的通用方法的思维．
二、思考探究，获取新知
问题3：(P28.问题3)
(1)先让学生回顾函数y＝ax2＋bx＋c图象的画法，按列表、描点、连线等步骤画出函数y＝x2－x－的图象．
教师引导学生观察函数图象，回答(1)提出的问题，得到图象与x轴交点的坐标分别是(－，0)和(，0)．
(2)让学生完成(2)的解答．教师巡视指导并讲评．
(3)对于问题(3)，教师组织学生分组讨论、交流，各组选派代表发表意见，全班交流，达成共识：从“形”的方面看，函数y＝x2－x－的图象与x轴交点的横坐标，即为方程x2－x－＝0的解；从“数”的方面看，当二次函数y＝x2－x－的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程x2－x－＝0的解．更一般地，函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2＋bx＋c＝0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax2＋bx＋c＝0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系．
(4)根据问题3的图象回答下列问题．
①当x取何值时，y＜0；当x取何值时，y＞0？(当－＜x＜时，y＜0；当x＜－或x＞时，y＞0)
②能否用含有x的不等式来描述(1)中的问题？(能用含有x的不等式来描述(1)中的问题，即x2－x－＜0的解集是什么？x2－x－＞0的解集是什么？)
想一想：二次函数与一元二次不等式有什么关系？
让学生类比二次函数与一元二次不等式方程的关系，讨论、交流，达成共识：
(1)从“形”的方面看，二次函数y＝ax2＋bx＋c在x轴上方的图象上的点的横坐标，即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；在x轴下方的图象上的点的横坐标，即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解．
(2)从“数”的方面看，当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值小于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解．这一结论反映了二次函数与一元二次不等式的关系．
问题4：(P29问题4)
提问：
(1)这两种解法的结果一样吗？
(2)小刘解法的理由是什么？
(3)函数y＝x2和y＝bx＋c的图象一定相交于两点吗？你能否举出例子加以说明？
(4)函数y＝x2和y＝bx＋c的图象的交点横坐标一定是一元二次方程x2＝bx＋c的解吗？
(5)如果函数y＝x2和y＝bx＋c图象没有交点，一元二次方程x2＝bx＋c的解怎样？
【教学说明】 让学生讨论、交流，发表不同意见，并进行归纳．
【归纳总结】 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x 轴交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点．当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y＝0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．
三、运用新知，深化理解
1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，则下列结论正确的是( )
A．ac＞0
B．方程ax2＋bx＋c＝0的两根是x1＝－1，x2＝3
C．2a－b＝0
D．当x＞0时，y随x的增大而减小
答案： B
2．如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是x1＝1.6，x2＝( )
A．－1.6 B．3.2
C．4.4 D．以上都不对
解析：由抛物线图象可知其对称轴为x＝3，又抛物线是轴对称图形，∴抛物线与x轴的两个交点关于x＝3对称，而关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是x1，x2，那么两根满足2×3＝x1＋x2，而x1＝1.6，∴x2＝4.4.故选C.
答案： C
3．(1)已知抛物线y＝2(k＋1)x2＋4kx＋2k－3，当________时，抛物线与x轴相交于两点．
(2)已知二次函数y＝(a－1)x2＋2ax＋3a－2的图象的最低点在x轴上，则a＝____．
解析：(1)抛物线y＝2(k＋1)x2＋4kx＋2k－3与x轴相交于两点，相当于方程2(k＋1)x2＋4kx＋2k－3＝0有两个不相等的实数根，即根的判别式Δ＞0.
(2)二次函数y＝(a－1)x2＋2ax＋3a－2的图象的最低点在x轴上，也就是说，方程(a－1)x2＋2ax＋3a－2＝0的两个实数根相等，即Δ＝0.
答案： (1)k＞－3 (2)2
4．利用函数的图象，求下列方程组的解：
(1)
(2)
分析：(1)可以通过直接画出函数y＝－x＋和y＝x2的图象，得到它们的交点，从而得到方程组的解；(2)也可以同样解决．
解：(1)在同一直角坐标系中画出函数y＝x2和y＝－x＋的图象，如图：
得到它们的交点(－，)、(1，1)，则方程组的解为，.
(2)在同一直角坐标系中画出函数y＝x2＋2x和y＝3x＋6的图象，如图：
得到它们的交点(－2，0)、(3，15)．则方程组的解为，.
【教学说明】 小组交流所得结果，练习巩固，加深理解．
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．
1．布置作业：教材“习题26.3”中第3 、4 题．
2．完成同步练习册中本课时的练习．
本节课主要是向学生渗透两种思想：函数与方程、不等式互相转化的思想；数形结合思想．难度较大，学生不容易理解，应多加练习．
章末复习
1.掌握二次函数的图象及其性质，能灵活运用抛物线的知识解决一些实际问题．
2.通过观察、猜想、验证、推理、交流等数学活动进一步发展学生的演绎推理能力和发散思维能力．
3.经历探索二次函数相关题目的过程，体会数形结合思想、化归思想在数学中的广泛应用，同时感受数学知识来源于实际生活，反之，又服务于实际生活的理念．
4.二次函数图象及其性质，应用二次函数分析和解决简单的实际问题．
5.二次函数性质的灵活运用，能把相关应用问题转化为数学问题．
一、知识结构
【教学说明】 根据教材的结构特点，紧紧抓住新旧知识的内在联系，运用类比、联想、转化的思想，突破难点．
二、释疑解惑，加深理解
1．二次函数解析式的二种表示方法：
(1)顶点式：____________________
(2)一般式：____________________
2．填表：
抛物线 对称轴 顶点坐标 开口方向
y＝ax2
y＝ax2＋k
y＝a(x－h)2
y＝a(x－h)2＋k
y＝ax2＋bx＋c 当a＞0时，开口________ 当a＜0时，开口________
3.二次函数y＝ax2＋bx＋c，当a＞0时，在对称轴右侧，y随x的增大而________，在对称轴左侧，y随x的增大而________；当a＜0时，在对称轴右侧，y随x的增大而________，在对称轴左侧，y随x的增大而________．
4．抛物线y＝ax2＋bx＋c，当a＞0时图象有最________点，此时函数有最____值________；当a＜0时图象有最________点，此时函数有最________值________．
【教学说明】 让学生回忆二次函数有关基础知识．同学们之间可以相互补充，体现团结协作精神．同时发展了学生的探究意识，培养了学生思维的广阔性．
三、典例精析，复习新知
1．(1)y＝－x2，y＝2x2－，y＝100－5x2，y＝3x2－2x3＋5，其中是二次函数的有____个．(2)当m＝____时，函数y＝(m＋1)x(m2－m)－2x＋1是二次函数？
答案：(1)2 (2)2
2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的最大值是2，图象顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点(3，－6)．求a、b、c.
解：∵二次函数的最大值是2
∴抛物线的顶点纵坐标为2
又∵抛物线的顶点在直线y＝x＋1上
∴当y＝2时，x＝1
∴顶点坐标为(1，2)
∴设二次函数的解析式为y＝a(x－1)2＋2
又∵图象经过点(3，－6)
∴－6＝a(3－1)2＋2 ∴a＝－2
∴二次函数的解析式为y＝－2(x－1)2＋2
即：y＝－2x2＋4x
3．(1)抛物线y＝2(x－1)2＋3是由抛物线y＝2x2怎样平移得到的？(2)若抛物线y＝－x2向左平移2个单位，再向下平移4个单位，求所得抛物线的解析式．
解：由抛物线平移时，形状和开口方向不变．(1)抛物线y＝2x2的顶点是(0，0)，抛物线y＝2(x－1)2＋3的顶点是(1，3)，∴抛物线y＝2(x－1)2＋3是由y＝2x2向右平移一个单位，再向上平移3个单位得到的．(2)抛物线y＝－x2的顶点是(0，0)，把它向左平移2个单位，再向下平移4个单位后，顶点是(－2，－4)，∴平移后的抛物线解析式为y＝－(x＋2)2－4
4．求抛物线y＝－x2－x＋的顶点坐标，写出对称轴与坐标轴交点坐标，当x取何值时，y随x的增大而增大，当x取何值时，y随x的增大而减小？
解：y＝－x2－x＋＝－(x2＋2x＋1－4)＝－(x＋1)2＋2
∴抛物线的顶点坐标是(－1，2)，对称轴是直线x＝－1
令x＝0，y＝，∴抛物线与y轴交点(0，)
令y＝0，－x2－x＋＝0的解为x1＝－3，x2＝1，∴抛物线与x轴交于点(－3，0)，(1，0)，当x≤－1时，y随x的增大而增大，当x＞－1时，y随x的增大而减小．
【教学说明】 通过精心的选题让学生演练，教师引导下完成，达到巩固知识的作用．
四、复习训练，巩固提高
1．下列各图是在同一直角坐标系内，二次函数y＝ax2＋(a＋c)x＋c与一次函数y＝ax＋c的大致图象，有且只有一个是正确的，正确是( )
解析：由y＝ax2＋(a＋c)x＋c与y＝ax＋c常数项均为c，所以两个图象与y轴交点应是一个点(0，c)，∴A、B不对，当y＝0时，ax2＋(a＋c)x＋c＝0的解为x1＝－1，x2＝－，∴抛物线与x轴的交点为(－1，0)，(－，0)，当y＝0时，ax＋c＝0的解为x＝－，∴直线与x轴的交点为(－，0)，∴抛物线与直线另一交点在x轴上，∴应选D.
答案： D
2．某商场以每台2500元进口一批彩电，如每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则少卖出50台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？
解：设提高x个单位价格时，总获利为y元，则y＝(2700＋100x－2500)(400－50x)(0≤x≤8)整理，得y＝－5000(x－3)2＋125000，当x＝3时，即定价为3000元时，可获最大利润125000元．
3．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元，物价部门规定其销售单位不得高于每千克70元，也不得低于30元，市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克，在销售过程中，每天还要支出其它费用500元(天数不足一天时，按整天计算)，设销售单价为x元，日均获利为y元．
(1)求y与x的二次函数关系式，并注明x的取值范围．
(2)将(1)中所求出的二次函数配方成y＝a(x＋)2＋的形式，写出顶点坐标，在如图所示的坐标系中画出草图，观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？
(3)若将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高这两种销售方式，哪一种获总利较多，多多少？
分析：首先明确获利的含义，即每千克获利＝销售单价－购进单价，其次注意自变量的取值范围由此在画图象时只能是原函数图象的一部分．在(3)中必须分别计算这两种销售方式的总获利，通过比较大小作答：
解：(1)若销售单价为x元，则每千克降低了(70－x)元，日均多售出2(70－x)千克，日均销售量为[60＋2(70－x)]千克，每千克获利(x－30)元．
依题意得：y＝(x－30)[60＋2(70－x)]－500＝－2x2＋260x－6500(30≤x≤70)
(2)由(1)有y＝－2x2＋260x－6500＝－2(x－65)2＋1950，∴顶点坐标为(65，1950)，其图象如图所示．
经观察可知，当单价为65元时，日均获利最多是1950元．
(3)当日均获利最多时：单价为65元，日均销售量为60＋2(70－65)＝70kg，那么获总利为195000元；当销售单价最高时：单价为70元，日均销售60kg，将这批化工原料全部售完需≈117天，那么获总利为(70－30)×7000－117×500＝221500元，而221500＞195000时且221500－195000＝26500元．∴销售单价最高时获总利最多，且多获利26500元．
【教学说明】 根据不同层次的学生，同时配有两个由低到高、层次不同的巩固性习题，体现渐进性原则，希望学生能将知识转化为技能．让每一个学生获得成功，感受成功的喜悦．
五、师生互动，课堂小结
师生共同总结，对于本章的知识，你掌握了多少？还存在哪些疑惑？同学之间可以相互交流．
1．教材“复习题”中第3、7、11、14题．
2．完成同步练习册中本课时的练习．
让学生在复习中温故而知新，在应用中获得发展，从而使知识转化为能力．引导学生对学习内容进行梳理，将知识系统化、条理化、网络化，使学生更好地理解数学知识；贯穿整个课堂教学的活动设计，让学生在活动、合作、开放、探究、交流中，愉悦地参与数学活动的数学教学．
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