华东师大版九年级数学下册第二十七章《圆》教案
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| 名称 | 华东师大版九年级数学下册第二十七章《圆》教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 767.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-07 18:27:03 | ||
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文档简介
第27章 圆
27．1 圆的认识
1． 圆的基本元素
1.了解圆的有关概念．
2.通过在生活中抽象圆和用圆的知识解决实际问题的过程，体验数学知识来源于生活及数学学习探究的方法．
3.经历形成圆的概念的过程，养成学生良好的学习习惯和独立思考的精神．
4.掌握圆的有关概念．
5.掌握圆的有关概念．
一、情境导入，初步认识
在小学，我们已经学过一些圆的知识，实际生活中，圆形物体的例子很多．请同学们欣赏图片(教师出示有关圆的图片)．生活离不开圆，圆是我们的好朋友。这一章我们将系统对圆进行研究，这节课我们一起来学习圆的有关概念．
【教学说明】 体验所学内容与现实世界的密切联系，引起学生对学习内容的注意，激发学生的学习兴趣．
二、思考探究，获取新知
探究1：圆是如何形成的？
1.请同学们画一个圆，并从画圆的过程中阐述圆是如何形成的．
2.圆的位置是由什么决定的？而大小又是由什么决定的？
【教学说明】 回顾圆的画法，感受圆的形成过程。为本节课的教学作铺垫．
探究2：圆的基本元素
问题：据统计，某个学校的同学上学方式是：有的同学步行上学，有的同学坐公共汽车上学，还有其他方式上学的同学，请你用扇形统计图反映这个学校学生的上学方式．
我们是用圆规画出一个圆，再将圆划分成一个个扇形，上图就是反映学校学生上学方式的扇形统计图．
如右图，线段OA、OB、OC都是圆的半径，线段AC为直径．这个以点O为圆心的圆叫作“圆O”，记为“⊙O”．线段AB、BC、AC都是圆O中的弦，曲线BC、BAC都是圆中的弧，分别记为、，其中像这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧，像这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧，称为等弧．∠AOB、∠AOC、∠BOC就是圆心角．半径相等的圆是等圆．结合上面的扇形统计图，同学们进一步阐述圆心角、优弧、劣弧等圆中的基本元素．
【教学说明】 结合图形，让学生对圆的有关概念理解更透彻．
三、运用新知，深化理解
1．判断：
(1)直径是弦．( )
(2)弦是直径．( )
(3)半圆是弧，但弧不一定是半圆．( )
(4)半径相等的两个半圆是等弧．( )
(5)长度相等的两条弧是等弧．( )
(6)周长相等的圆是等圆．( )
(7)面积相等的圆是等圆．( )
(8)优弧一定比劣弧长．( )
解析：根据圆的有关概念可得，(1)直径是弦；(2)弦不一定经过圆心，所以不一定是直径；(3)弧不一定是直径分成的弧，所以弧不一定是半圆；(4)半径相等就表明这两个圆是等圆，所以半径相等的两个半圆是等弧；(5)等弧指长度形状都相等，同圆或等圆中长度相等的两条弧是等弧；(6)根据周长公式，周长相等则直径相等，所以周长相等的圆是等圆；(7)根据面积公式，面积相等则半径相等，所以面积相等的圆是等圆；(8)必须在同圆或等圆中进行比较．
答案：√ × √ √ × √ √ ×
2．如图，在⊙O中，点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为 ( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案： B
3．如图，半圆的直径AB＝________．
解析：利用勾股定理可求出半圆的半径为，所以直径为2.
答案：2
【教学说明】 学生运用新知及时巩固，使每个学生都有收获；感受成功的喜悦，同时让自己肯定以前探索活动的意义．
四、师生互动、课堂小结
1．这节课你学习了哪些知识？学习了哪些数学思想方法？
2．你运用怎样的方法来获得这些知识的？
3．通过今天的学习你有什么收获？
1．布置作业：教材P37“练习”．
2．完成同步练习册中本课时的练习．
本节课的概念较多，从学生掌握的情况来看，有的概念弄混淆了。所以应在这方面多讲解、练习．
2． 圆的对称性
第1课时 圆的对称性
1.理解圆的旋转不变性，掌握圆心角、弧、弦之间的关系定理及其推论，会用这三者之间的关系进行简单的证明．
2.通过本节课的学习，培养学生观察、实验、探究、归纳和概括能力．
3.结合本课教学内容向学生渗透事物之间可相互转化的辩证唯物主义观点；渗透圆的内在美．
4.圆心角、弧、弦之间的关系定理及其推论．
5.对定理中“在同圆或等圆中”前提条件的理解，以及从感性到理性的认识，发现、归纳能力的培养．
一、情境导入，初步认识
问题1：什么是中心对称图形？中心对称图形有什么性质？
问题2：说出你所了解的中心对称图形．
【教学说明】 问题提出后，有些同学在列举时会举出圆是中心对称图形，但是对于圆具有旋转不变性缺乏感性认识．中心对称图形的复习目的是引起学生对图形对称性的关注，为圆旋转以后与原来图形重合从而得到弧、弦等相等关系作好认知上的准备．
二、思考探究，获取新知
1．圆是轴对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线．
2．圆是中心对称图形，对称中心是圆心．
3．在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等．
4．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中的一组量相等，那么他们对应的其余各组量都分别相等．
【教学说明】 鼓励学生用简练的语言叙述结论，进一步挖掘定理本身，得出定理的延伸．
三、运用新知，深化理解
1．见教材P38例题．
2．下列说法正确的是( )
A．相等的圆心角所对的弧相等
B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等
C．相等的弦所对的圆心到弦的距离相等
D．圆心到弦的距离相等，则弦相等
解析：A，C，D三项一定注意前提“在同圆和等圆中”．只有B正确，故选B.
答案： B
3．如图，AB、AC、BC都是⊙O的弦，∠AOC＝∠BOC，∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？
解：∵∠AOC＝∠BOC
∴AC＝BC(在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等)
∴∠ABC＝∠BAC
4．如图，在⊙O中，弦AB＝AC，AD是⊙O的直径．试判断弦BD和CD是否相等，并说明理由；
解：连接BO、CO
∵AB＝AC
∴∠AOB＝∠AOC(在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中的一组量相等，那么他们对应的其余各组量都分别相等)
∵∠BOD＝∠COD
∴BD＝CD(在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等)
【教学说明】 学生运用新知及时巩固，使每个学生都有收获．
四、师生互动、课堂小结
师生共同总结本节课所学的有关定理．
1．布置作业：教材P39“练习”．
2．完成同步练习册中本课时的练习．
本节课的设计完全采用学生小组合作探究的方式进行．《课标》要求学生“做数学”，在做的活动中通过小组合作的方式，尝试与他们交流中获益，并学会尊重他人的看法，在数学活动中感受他人的思维方式和思维过程，以改进自己在认知方面的单一性，促进每一个学生的发展．充分体现学生的课堂参与性与教师的指导性．
第2课时 垂径定理
1.掌握垂径定理及其推论．学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题．
2.经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及其推论的过程，锻炼学生的思维品质，学习证明的方法．
3.在学生通过观察、操作、变换和研究的过程中进一步培养学生的思维能力，创新意识和良好的运用数学的习惯和意识．
4.垂径定理及其推论的发现、记忆与证明．
5.垂径定理及其推论的运用．
一、情境导入，初步认识
1．将你手中的圆沿圆心对折，你会发现圆是一个什么图形？
2．将手中的圆沿直径向上折，你会发现折痕是圆的一条弦，这条弦被直径怎样了？
3．一个残缺的圆形物件，你能找到它的圆心吗？
4．赵州桥是我国古代桥梁史的骄傲，我们能求出主桥拱的半径吗？
【教学说明】 前两个问题可以由学生动手操作，并观察结果，得到初步结论。后两个问题作为问题情境，激发学生学习兴趣，引导学生进一步的学习．
二、思考探究，获取新知
探究1：垂径定理
(思考)如图 ：AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足E.
①这个图形是对称图形吗？
②你能发现图中有哪些相等的线段和弧？请说明理由．
③你能用一句话概括这些结论吗？
④你能用几何方法证明这些结论吗？
⑤你能用符号语言表达这个结论吗？
【归纳结论】 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
【教学说明】 教师循序渐进地将一个个的问题抛出，引导学生一步步地进行思考和总结，师生一起总结垂径定理．
探究2：垂径定理的推论
如上图，若直径CD平分弦AB则
①直径CD是否垂直弦且平分弦所对的两条弧？如何证明？
②你能用一句话总结这个结论吗？
③如果弦AB是直径，以上结论还成立吗？
【归纳结论】 垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径也垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦．
【教学说明】 教师提出问题，引导学生进行思考和讨论．学生尝试得出垂径定理推论，教师提醒学生此中的弦一定不能是直径．
三、运用新知，深化理解
1．如图，AB是⊙的直径，弦CD⊥AB，垂足为m，下列结论不成立的是( )
A．Cm＝Dm B.＝
C．∠ACD＝∠ADC D．Om＝mD
解析：根据垂径定理得：Cm＝Dm，＝，AC＝AD，由AC＝AD得∠ACD＝∠ADC，而Om＝mD不一定成立．
答案： D.
2．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C.若AB＝2 ，OC＝1，则半径OB的长为________．
解析：根据垂径定理“垂直于弦的直径平分弦，并且平方弦所对的两条弧”，可知BC＝AB＝，然后根据勾股定理，得OB＝＝2.
答案： 2.
3．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点O是的圆心，其中CD＝600m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF＝90m，求这段弯路的半径．
分析：利用垂径定理，解题过程中可以使用列方程的方法．
解：如图，连接OC
设弯路的半径为R，则OF＝(R－90)m
∵OE⊥CD
∴CF＝CD＝×600＝300(m)
根据勾股定理，得：OC2＝CF2＋OF2
即R2＝3002＋(R－90)2，解得R＝545m
∴这段弯路的半径为545m.
4．已知：AB交⊙O于C、D，且AC＝BD.请证明：OA＝OB.
证明：过O作OE⊥AB于E，
∵OE过圆心O, ∴CE＝DE，
∵AC＝BD, ∴AE＝BE，
∵OE⊥AB, ∴OA＝OB.
【教学说明】 简单应用由学生独立完成，教师可让学生自己进行评判．
四、师生互动、课堂小结
1．本节课你学到了哪些数学知识？
2.在利用垂径定理解决问题时，你掌握了哪些数学方法？
3.这些方法中你又用到了哪些数学思想？
1．布置作业：教材P40“练习”．
2．完成同步练习册中本课时的练习．
这节课我们主要学习了垂径定理(学生回答)，它是这节课的重点，要求大家分清楚定理的条件和结论，并熟练掌握定理的简单应用，会推知它的逆定理．
3.圆周角
1.理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用．
2．理解圆周角定理及其推论，熟练掌握圆周角的定理及其推论的灵活运用．
3.运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推论解决问题．
4.激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望．
5. 运用圆周角定理及其推论解决问题．
6.运用圆周角定理及其推论解决问题．
一、情境导入，初步认识
1.圆心角定义？
2.弦、弧、圆心角的三者关系？
3.外角的性质？
刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，而在其它的位置上，如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．
【教学说明】 复习相关知识，为本节课作准备．
二、思考探究，获取新知
探究1：圆周角的概念
观察∠ACB、∠ADB、∠AEB，这样的角有什么特点？
分析讨论：点C，D，E在什么位置？
【归纳结论】 通过观察，我们可以发现∠ADB、∠ACB、∠AEB的顶点都在圆上，并且两边都与圆相交，这样的角叫做圆周角．
探究2：半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°
(1)如左图，BC是⊙O的直径，那么它所对的圆周角有什么特点？你能证明吗？
(2)如右图∠BAC＝90°，弦BC是直径吗？为什么？
【归纳结论】 半圆或直径所对的圆周角是都相等，都等于90°(直角)，90°的圆周角所对的弦是直径．
探究3：圆周角定理
在圆上任取一个圆周角，观察圆心角顶点与圆周角的位置关系有几种情况？
共有三种情况：①圆心在圆周角的一边上； ②圆心在圆周角的内部； ③圆心在圆周角的外部．如下图：
弧所对的圆周角与圆心角有什么关系？你能证明吗？
【归纳结论】 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半．相等的圆周角所对的弧相等．
推论：90°的圆周角所对的弦是直径．
【教学说明】 引导学生对图形的观察，发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心．
探究4：外接圆、内接多边形
如图，AC为直径，∠B与∠D有什么关系？为什么？
【归纳结论】 一个圆经过一个多边形的各顶点，这个圆叫做这个多边形的外接圆。这个多边形叫做圆内接多边形．圆内接四边形的对角互补．
【教学说明】 教师提出问题，学生领会半圆作为特殊的弧，直径作为特殊的弦，进行思考，得到推论．
三、运用新知，深化理解
1．见教材P44例2
2．如图，已知BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，＝，∠AOB＝60°，则∠BDC的度数是( )
A．20° B．25° C．30° D．40°
解析：由BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，＝，∠AOB＝60°，利用在同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等且圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠BDC的度数．∵＝，∠AOB＝60°，∴∠BDC＝∠AOB＝30°.故选C.
答案： C
3．如图，已知A，B，C在⊙O上，为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是( )
A．2∠C B．4∠B C.4∠A D．∠B＋∠C
解析：如图，由圆周角定理可得：∠AOB＝2∠C，故选A.
答案： A
4．如图，⊙O的两弦AD，BC相交于点E，连接AC，BD，AO，BO.若∠ACB＝60°，则下列结论正确的是( )
A．∠AOB＝60°
B．∠ADB＝60°
C．∠AEB＝60°
D．∠AEB＝30°
解析：(1)由圆周角定理及推论可知，∠ACB＝∠AOB，∠ACB＝∠ADB. ∵∠ACB＝60°，∴∠AOB＝120°，∠ADB＝60°，故选B.
答案： B
5．如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A＝50° ，则∠OCD的度数是( )
A．40° B．45° C．50° D．60°
解析：连接OB，由垂径定理得BD＝DC，
∴∠BOD＝∠COD＝∠COB.
再由圆周角定理得2∠A＝∠COB＝2∠COD，
∴∠COD＝50°＝∠A.
∴∠OCD＝90°－∠COD＝40°.
答案： A
6．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是( )
A．80° B．160° C．100° D．80°或100°
解析：当点B在优弧上时，∠ABC＝∠AOC＝×160°＝80°；当点B在劣弧上时，∠AB′C＝180°－∠ABC＝180°－80°＝100°.所以∠ABC的度数是80°或100°.
答案：D
7．⊙O半径OA⊥OB，弦AC⊥BD于E.求证：AD∥BC.
证明：∵OA⊥OB, ∴∠AOB＝90°， ∴∠C＝∠D＝45°. ∵AC⊥BD, ∴∠AED＝90°， ∴∠DAE＝45°. ∴∠C＝∠DAE.∴AD∥BC
【教学说明】 运用所学知识进行应用，巩固知识，形成做题技巧让学生通过练习进一步理解，培养学生的应用意识和能力．
四、师生互动、课堂小结
1．圆周角的概念及定理和推论
2．圆内接多边形与多边形的外接圆的概念和圆内接四边形的性质
3．应用本节定理解决相关问题
1．布置作业：教材P44“练习”
2．完成同步练习册中本课时的练习．
本节课教师应组织学生先自主探究，再小组合作交流，总结出圆周角定理及其推论，再运用所学知识进行应用，巩固知识．
27．2 与圆有关的位置关系
1． 点与圆的位置关系
1.掌握点和圆的三种位置关系
2.了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三个点作圆的方法
3.经历不在同一直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力．
4.形成解决问题的基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神．
5.掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法；了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念．
6.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的三个点作圆．
一、情境导入，初步认识
你玩过飞镖吗？它的靶子是由一些圆组成的，你知道击中靶子上不同位置的成绩是如何计算的吗？
这其中体现了平面内点与圆的位置关系．
【教学说明】 由实际情景导入，提高学生学习兴趣．
二、思考探究，获取新知
探究1：点与圆的位置关系．
如上图所示，设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d.
则有：点P在圆外d>r; 点P在圆上d＝r；点P在圆内d探究2：确定圆的条件
探索一： (1)经过一个已知点A能确定一个圆吗？
(2)这时圆心和半径都是确定的吗？
探索二： (1)经过两个已知点A，B能确定一个圆吗？
(2)如何确定圆心才能使圆心到两个点的距离相等？
(3)这时圆心和半径都是确定的吗？
探索三： (1)经过三个已知点A，B，C能确定一个圆吗？
(2)如何确定圆心才能使圆心到三个点的距离相等？能否受到上一个探究的启发呢？
(3)这时圆心和半径都是确定的吗？
【归纳结论】 不在同一直线上的三点确定一个圆．经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆．外接圆的圆心叫做三角形的外心．这个三角形叫做圆的内接三角形．
探索四：过不在同一直线上的三个点作圆
作法：
(1)作线段AB、BC的垂直平分线，其交点O即为圆心．
(2)以点O为圆心，OC长为半径作圆．
则⊙O即为所求．
【教学说明】 重视学生的课堂参与．让学生在活动中自主探究以及与同伴交流，有条理地进行思考和表达思考的过程，获得分析问题和解决问题的能力．
三、运用新知，深化理解
1．点A在以O为圆心，3cm为半径的⊙O内，则点A到圆心O的距离d的范围是________.
解析：根据点和圆的位置关系判定．
答案：0≤d＜3cm
2．⊙O的半径为5，圆心O的坐标为(0，0)，点P的坐标为(4，2)，则点P与⊙O的位置关系是( )
A．点P在⊙O内
B．点P在⊙O上
C．点P在⊙O外
D．点P在⊙O上或⊙O外
解析：比较OP与半径r的关系．∵OP＝＝2，OP2＝20，r2＝25，∴OP＜r. ∴点P在⊙O内．
答案：A
3．下列命题中，错误的命题是( )
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．等弧所对的圆周角相等
C．经过三点一定可作圆
D．若一个梯形内接于圆，则它是等腰梯形
解析：A.对角线互相平分的四边形是平行四边形，此选项正确；B.等弧所对的圆周角相等，此选项正确；C.经过不在同一直线的三点一定可作圆，故此选项错误；D.若一个梯形内接于圆，则它是等腰梯形，此选项正确．故选C.
答案：C
4．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是( )
A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块
答案：A
5．判断题：
(1)经过三点一定可以作圆．( )
(2)任意一个三角形有且只有一个外接圆．( )
(3)三角形的外心是三角形三边中线的交点．( )
(4)三角形外心到三角形三个顶点的距离相等．( )
答案：× √ × √
6．如图所示，残破的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D.已知：AB＝24cm，CD＝8cm.
(1)求作此残片所在的圆(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)求(1)中所作圆的半径．
解：(1)连接AC，作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点，以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆，如图．
(2)连接OA，设OA＝xcm，AD＝12cm，OD＝(x－8)cm，则根据勾股定理列方程：x2＝122＋(x－8)2，解得：x＝13.
答：圆的半径为13cm.
【教学说明】 进一步巩固所学知识．
四、师生互动、课堂小结
这节课的学习让你有哪些收获呢？
可以分别从知识角度，思想方法角度来谈一谈．
1.布置作业：教材P48“练习”．
2．完成同步练习册中本课时的练习．
本节课需要注意改进的方面：
1.学生的探究活动时间要得到保证，让学生真正成为学习的主人，教师只是组织者、引导者，不要用教师的讲来代替学生的做．
2．教学过程中发现少数困难生在探究活动中态度欠积极，教师要及时给予指导和引导，唤起他们学习的积极性．
2． 直线与圆的位置关系
1.理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系．
2.通过读图分析、培养学生观察能力．
3.通过学生自主学习，让学生主动去探究问题的本质，唤醒学生的主体意识，使学生获得积极的情感体验．
4.理解直线与圆的三种位置关系．
5.理解直线与圆的三种位置关系．
一、情境导入，初步认识
1．我们在前面学过点和圆的位置关系，请大家回忆它们的位置关系有哪些？
2．本节课我们将类比地学习直线和圆的位置关系．
【教学说明】 由旧知识引入新知识，过渡自然，符合学生的认知规律．
二、思考探究，获取新知
探究：直线和圆的位置关系
1．你看过日出吗？你知道太阳升起过程中，太阳和地平线会有几种不同位置关系吗？
2．如图，在纸上画一条直线L，把钥匙环看作一个圆，在纸上移动钥匙环，你能发现在钥匙环移动的过程中，它与直线L的公共点的个数吗？
【归纳结论】 直线和圆有一个公共点，直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．
3．设⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，在直线和圆的不同位置关系中，d和r具有怎样的大小关系？反过来，你能根据d和r的大小关系来确定直线和圆的位置关系吗？
【归纳结论】 直线l和⊙O相交→dr，如图(c)所示．
【教学说明】 由图形观察直线与圆的位置关系，直观形象．
三、运用新知，深化理解
1．见教材P50例1
2．已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是( )
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断
解析：∵⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为5，∵6＞5，即：d＜r，∴直线l与⊙O的位置关系是相交．故选C.
答案： C
3．若∠OAB＝30°，OA＝10cm，则以O为圆心，6cm为半径的圆与射线AB的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C.相离 D．不能确定
答案： A
4．⊙O内最长弦长为m，直线l与⊙O相离，设点O到l的距离为d，则d与m的关系是( )
A．d＝m B．d＞m
C．d＞ D．d＜
答案： C
5．菱形对角线的交点为O，以O为圆心，以O到菱形一边的距离为半径的圆与其他几边的关系为( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
答案： B
6．⊙O的半径为6，⊙O的一条弦AB为6，以3为半径的同心圆与直线AB的位置关系是( )
A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定
答案： C
【教学说明】 通过知识的及时应用，使学生知识掌握得牢固．
四、师生互动、课堂小结
直线与圆的位置关系有哪些？
1.布置作业：教材P50“练习”
2．完成同步练习册中本课时的练习．
本节课是让学生由图形，观察直线与圆的位置关系，从而直观形象地得出直线与圆的位置关系，教学效果较好．
3.切线
第1课时 切线的性质定理与判定定理
1.理解切线的性质定理．
2.通过学生动手实践，使学生理解切线的判定定理．
3.经历探索切线的判定的过程，培养学生的观察能力、说理意识、逻辑思维能力．
4.在探索学习的过程中，让学生体验数学学习活动充满探索性、逻辑性、趣味性，培养学生学习数学的热情和自信心．
5.理解切线的判定定理．
6.切线的性质定理、判定定理的综合应用．
一、情境导入，初步认识
当你在下雨天快速转动雨伞(圆)时雨水飞出，让你感受到直线与圆的哪种位置关？
上节课我们学习了直线与圆的三种位置关系．这节课我们来学习切线的判定定理和性质定理．
【教学说明】 借助情景，创设轻松地学习氛围．
二、思考探究，获取新知
探究1：切线的判定定理
(1)已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线l？(请你自己动手完成)
(2)观察①圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么数量关系？
②二者位置有什么关系？为什么？
(3)由此你发现了什么？
【归纳结论】 切线的判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【教学说明】 培养学生的归纳及语言表达能力；使学生准确掌握定理的内涵及外延．
探究2：切线的性质定理：如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？
【归纳结论】 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
【教学说明】 由图形观察直线与圆的位置关系，直观形象．
三、运用新知，深化理解
1．见教材P52例2
2．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r的值为( )
A．2cm B．2.4cm C．3cm D．4cm
解析：r的长即为斜边AB上的高，由勾股定理易求得AB的长，根据直角三角形面积的不同表示方法，即可求出r的值．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
AC＝3cm，BC＝4cm；
由勾股定理，得：AB2＝32＋42＝25，
∴AB＝5；
又∵AB是⊙C的切线，切点为D.
∴CD⊥AB，∴CD＝r；
∵S△ABC＝AC·BC＝AB·r；
∴r＝2.4cm，故选B
答案： B
3．已知Rt△ABC的斜边AB＝8cm，AC＝4cm以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB与⊙C相切？
解：由勾股定理可知：BC＝4(cm)
∵S△ABC＝AC·BC＝AB·CD；
∴CD＝2(cm)
因此，当半径长为2cm时，AB与⊙C相切．
4．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB＝∠A.
(1)CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．
(2)若CD与⊙O相切，且∠D＝30°，BD＝10，求⊙O的半径．
分析：(1)要说明CD是否是⊙O的切线，只要说明OC是否垂直于CD，垂足为C，因为C点已在圆上．由已知易得：∠A＝30°，又由∠DCB＝∠A＝30°，得：BC＝BD＝10
解：(1)CD与⊙O相切，理由：①C点在⊙O上(已知)，②∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，即∠ACO＋∠OCB＝90°，∵∠A＝∠OCA且∠DCB＝∠A，∴∠OCA＝∠DCB，∴∠OCD＝90°，综上：CD是⊙O的切线．(2)在Rt△OCD中，∠D＝30°，∴∠COD＝60°，∴∠A＝30°，∴∠BCD＝30°，∴BC＝BD＝10，∴AB＝20，∴r＝10.答：(1)CD是⊙O的切线，(2)⊙O的半径是10.
【教学说明】 通过知识的及时应用，使学生知识掌握得牢固．
四、师生互动、课堂小结
1．切线的判定定理是什么？
2．切线的性质定理是什么？
1．布置作业：教材P52“练习”
2．完成同步练习册中本课时的练习．
本节课是让学生由图形，观察直线与圆的位置关系，从而直观形象地得出直线与圆相切时切线的判定定理和切线的性质定理．教学效果较好．
第2课时 切线长定理与三角形的内切圆
1.掌握切线长定理及其应用
2.理解三角形内切圆的有关概念
3.学会作三角形的内切圆
4.通过经历探索切线长定理的过程，发展探究意识和体会并实践“实验几何——论证几何”的探究方法．探究三角形的内切圆知识，逐步培养学生研究问题的能力；
5.通过应用内切圆相关知识解题，体会把复杂问题转化为简单问题后易于解决，从而树立解决问题的信心．
6.切线长定理及应用．
7.切线长定理及应用．
一、情境导入，初步认识
1.已知△ABC，作三个内角平分线，说说它具有什么性质？
2.直线和圆有什么位置关系？切线的判定定理和性质定理，它们如何？
【教学说明】 由旧知识引入新知识，过渡自然，符合学生的认知规律．
二、思考探究，获取新知
探究1：切线长定理
如图：PA、PB为⊙O的两条切线，A、B为切点．
【归纳结论】 我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．
如图，纸上有一⊙O，PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO将纸对折，设圆上与点A重合的点为B，这时，OB是⊙O的一条半径吗？PB是⊙O的切线吗？说明图中的PA和PB、∠APO与∠BPO有什么关系？你能证明吗？
证明：如上图，PA、PB是⊙O的两条切线，∴OA⊥AP, OB⊥BP.又OA＝OB, OP＝OP，∴Rt△AOP≌Rt△BOP∴PA＝PB ∠APO＝∠BPO
【归纳结论】 切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等．这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．
【教学说明】 发展学生探究知识的意识和“实验几何——论证几何”探究方法．
探究2：三角形的内切圆
(1)如果最大的圆存在，它与三角形的各边有怎样的位置关系？
其位置关系与三角形三边的情况，有如下四种：
哪种情况圆的面积最大？
(2)如何作出这个圆呢？
分析：确定一个圆需要什么条件，我们如何去确定这些条件？
作法：略
【归纳结论】 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．这个三角形叫做这个圆的外切三角形．
【教学说明】 从上面的探究过程中，我们发现：一切事物都依据一定的规律运动存在着，揭示一件事物，必须揭示其本质，才能从根本上认识它．
三、运用新知，深化理解
1．下列说法中，正确的是( )
A．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线
B．圆有且只有一个外切三角形
C．三角形有且只有一个内切圆
D．三角形的内心到三角形的3个顶点的距离相等
答案： C
2．如图，⊙O内切Rt△ABC，切点分别是D、E、F，则四边形OECF是________．
解析：根据切线的性质可得∠OFC＝∠OEC＝90°，且∠ACB＝90°，所以四边形OECF是矩形．再根据切线长定理可得EC＝FC，所以四边形OECF是正方形．
答案：正方形
3．如图，△ABC中，O是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.求证：DO＝DB.
证明：连接OB，
∵点O是△ABC的内心，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
∵∠2＝∠5,
∴ ∠ 1＝∠5
∵ ∠BOD＝ ∠1＋ ∠3,
∠OBD＝ ∠5＋ ∠4
∴ ∠BOD＝ ∠OBD
∴DO＝DB
4．如图，AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F，若AD＝20，求△ABC的周长．
解：∵AD，AE切于⊙O于D，E
∴AD＝AE＝20
∵AD，BF切于⊙O于D，F
∴BD＝BF，同理：CF＝CE
∴C△ABC＝AB＋BC＋AC＝AB＋BF＋FC＋AC＝AB＋BD＋EC＋AC＝AD＋AE＝40
5．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为点A、B，若直径AC＝ 12，∠P＝60°，求弦AB的长．
解：连接BC，∵PA，PB切⊙O于A，B，∴PA＝PB，∵∠P＝60°，∴△PAB是正三角形
∵∠PAB＝60°，∵PA是⊙O切线
∴CA⊥AP，∴∠CAP＝90° ∴∠CAB＝30°
∵直径AC，∴∠ABC＝90°
∴cos30°＝，∴AB＝6.
6．如图，在△ABC中，已知∠ABC＝90°，在AB上取一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D，若AE＝2cm，AD＝4cm.
(1)求⊙O的直径BE的长；
(2)计算△ABC的面积．
解：(1)连接OD，∴OD⊥AC
∴△ODA是Rt△，设半径为r
∴AO＝r＋2，∴(r＋2)2－r2＝16
解之得：r＝3，∴BE＝6
(2)∵∠ABC＝90°，∴OB⊥BC
∴BC是⊙O的切线
∵CD切⊙O于D
∴CB＝CD，令CB＝x
∴AC＝x＋4，AB＝x，AB＝8
∵x2＋82＝(x＋4)2
∴x＝6，∴S△ABC＝×8×6＝24
【教学说明】 通过习题巩固课堂教学成果，思考题使学生保持继续探究的欲望加深对知识的深入思考．
四、师生互动、课堂小结
通过本节课的学习你学会了哪些知识？学会了哪些方法？还有哪些疑惑？
1．布置作业：教材P55“练习”．
2．完成同步练习册中本课时的练习．
本节课是在学习了切线的性质和判定的基础之上，继续对切线的性质的研究，是在垂径定理之后对圆的对称性又一次的认识．体现了图形的认识、图形的变换、图形的证明的有机结合．在习题和内切圆的计算中体现了把复杂问题转化为简单问题后解决问题，从而渗透转化思想和方程思想，提高应用意识．
27．3 圆中的计算问题
第1课时 弧长和扇形面积的计算
1.理解弧长公式和扇形面积公式的推导过程，掌握公式并能正确、熟练地运用两个公式进行相关计算．
2.经历用类比、联想的方法探索公式推导过程，培养学生的数学应用意识，分析问题和解决问题的能力．
3.通过联系和运动发展的观点，渗透辩证唯物主义思想方法．
4.弧长及扇形面积计算公式．
5.应用公式解决问题．
一、情境导入，初步认识
在小学我们已经学习过有关圆的周长和面积公式，弧是圆周的一部分，扇形是圆的一部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算？它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢？本节课我们将进行探索．
【教学说明】 教师确立延伸目标，让学生独立思考，为本课学习做好准备．
二、思考探究，获取新知
探究1：弧长的计算公式
(1)已知⊙O半径为2，这个圆的周长是________，面积是________．
当圆心角为180°时，弧长是________，弧为圆周的________分之________；
当圆心角为360°时，弧长是________，弧为圆周的________分之________；
当圆心角为90°时，弧长是________，弧为圆周的________分之________；
当圆心角为60°时，弧长是________；弧为圆周的________分之________；
当圆心角为30°时，弧长是________；弧为圆周的________分之________；
……
当圆心角为1°时，弧长是________；弧为圆周的________分之________；
(2)你能推导出半径为R，圆心角为n°时，弧长是多少吗？
【归纳结论】 如果弧长为l，圆心角的度数为n，圆的半径为r，那么，弧长为l＝·2πr＝
探究2：扇形面积公式
如图所示的各扇形面积分别是圆面积的几分之几？
(1) 圆心角是180°，占整个周角的，因此圆心角是180°的扇形面积是圆面积的________．
(2)圆心角是90°，占整个周角的________，因此圆心角是90°的扇形面积是圆面积的________．
(3)圆心角是45°，占整个周角的________，因此圆心角是45°扇形面积是圆面积的________．
(4)圆心角是1°，占整个周角的________，因此圆心角是1°的扇形面积是圆面积的________．
(5)圆心角是n°，占整个周角的________，因此圆心角是n°的扇形面积是圆面积的________．
【归纳结论】 扇形面积的计算公式为S＝或S＝lr
【教学说明】 学生交流讨论；在老师的指引下，在热烈的讨论中互相启发、质疑、争辩、补充，自己得出几个公式．
三、运用新知，深化理解
1．见教材P61例1
2．制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1mm)
分析：要求管道的展直长度，即求的长，根根弧长公式l＝可求得的长，其中n为圆心角，R为半径．
解：R＝40mm，n＝110.∴的长＝πR＝×40π≈76.8mm.因此，管道的展直长度约为76.8mm.
3．扇形AOB的半径为12cm，∠AOB＝120°，求的长(结果精确到0.1cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1cm2)
分析：要求弧长和扇形面积，根据公式需要知道半径R和圆心角n即可，本题中这些条件已经告诉了，因此这个问题就解决了．
解：的长＝π×12≈25.1cm.
S扇形＝π×122≈150.7cm2.
因此，的长约为25.1cm，扇形AOB的面积约为150.7cm2.
4．如图，两个同心圆被两条半径截得的的长为6πcm，的长为10πcm，又AC＝12cm，求阴影部分ABDC的面积．
分析：要求阴影部分的面积，需求扇形COD的面积与扇形AOB的面积之差．根据扇形面积S＝lR，l已知，则需要求两个半径OC与OA，因为OC＝OA＋AC，AC已知，所以只要能求出OA即可．
解：设OA＝R，OC＝R＋12，∠O＝n°，根据已知条件有：
得＝.
∴3(R＋12)＝5R，∴R＝18.
∴OC＝18＋12＝30.
∴S＝S扇形COD－S扇形AOB＝×10π×30－×6π×18＝96πcm2.
所以阴影部分的面积为96πcm2.
【教学说明】 通过这几道例题教学，巩固两个公式，并学习规范的书写步骤．
四、师生互动、课堂小结
本节课你有哪些收获和体会？
1．布置作业：教材P62“练习”
2．完成同步练习册中本课时的练习．
我们的学生大部分学习比较被动，他们所掌握的知识就局限于老师上课讲的内容，没做过、没讲过的题目基本不会做，一节课所学的内容不能多、不能快，宁可慢点，小步伐地带领学生逐一突破难关．
第2课时 圆锥的相关计算
1.了解圆锥的有关概念．
2.知道圆锥的侧面展开图．
3.理解圆锥的侧面积计算方法．
4.经历探索圆锥侧面积计算方法的过程，发展学生的实践探索能力．
5.让学生观察和操作模型，发现结论，获得探究的经验，体验学习的乐趣．
6.了解圆锥侧面积的计算方法．
7.运用圆锥侧面积的计算方法解决问题．
一、情境导入，初步认识
1.弧长的计算公式l＝×2πr＝πr
2．扇形面积计算公式：S扇形＝πr2＝×πr×r ＝lr
3.动手做一做：直角三角板绕其中的一条直角边旋转一周会得到什么样的几何体？—圆锥
【教学说明】 复习扇形的相关计算，为本节课的学习做准备．
二、思考探究，获取新知
1．我们知道圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，如图，我们把圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线，连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高．
2．如图，沿着圆锥的母线，把圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，而扇形的半径等于圆锥的母线的长．
3．根据上面的分析，你能总结出圆锥的全面积公式吗？
【归纳结论】 圆锥的全面积公式：S全＝S侧 ＋S底＝πrl＋πr2
4．类比圆锥的全面积计算方法，你能总结出圆柱的全面积的计算方法吗？
【归纳结论】 圆柱的全面积的计算公式：S全＝S侧＋S底×2＝2πrh＋2πr2
【教学说明】 学生通过观察、分析，总结出计算公式．
三、运用新知，深化理解
1．见教材P63例2
2．圆锥的侧面积为6πcm2，底面圆的半径为2cm，则这个圆锥的母线长为____cm.
解析：设母线长为R，底面半径是2cm，则底面周长＝4π，侧面积＝2πR＝6π，∴R＝3
答案： 3
3．如图，要制作一个母线长为8cm，底面圆周长是12πcm的圆锥形小漏斗，若不计损耗，则所需纸板的面积是____．
解析：圆锥形小漏斗的侧面积＝×12π×8＝48πcm2.
答案：48πcm2.
4．底面半径为1，母线长为2的圆锥的侧面积等于____．
解析：圆锥的侧面积＝πrl＝2π.
答案： 2π
5．如果从半径为5cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高是____cm.
解析：∵从半径为5cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，∴留下的扇形的弧长＝＝8π，根据底面圆的周长等于扇形弧长，∴圆锥的底面半径r＝＝4cm，∴圆锥的高为＝3cm
答案： 3.
6．圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽．已知纸帽的底面周长为58cm，高为20cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？(结果精确到0.1cm)2
分析：根据题意，要求纸帽的面积，即求圆锥的侧面积．现在已知底面圆的周长，从中可求出底面圆的半径，从而可求出扇形的母线长．在高h、底面圆的半径r、母线l组成的直角三角形中，根据勾股定理求出母线l，代入S侧＝πrl中即可．
解：设纸帽的底面半径为rcm，母线长为lcm，则r＝，l＝≈22.03cm，
S圆锥侧＝πrl≈×58×22.03＝638.87cm2.
638．87×20＝12777.4cm2.
所以，至少需要12777.4cm2的纸．
【教学说明】 分层作业，巩固公式，掌握教材．
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．
1．布置作业：教材“习题27.3”中第1 、2 、3题．
2．完成同步练习册中本课时的练习．
通过本节课的教学发现以下几点是不足之处：
1.课堂节奏把握得不够准确，讲解例题时所花时间过多，导致最后的练习不够充分．
2．鼓励性语言使用得还不够多。在以后的教学中，不但要利用口头语言，还要利用肢体语言进行对学生的鼓励．
27．4 正多边形和圆
1.掌握圆内接正多边形、外接圆、边心距、中心角的概念．
2.正多边形的画法．
3.通过作图的过程，提高学生的几何语言表达能力和推理能力．
4.在学生动手操作的过程中，增强学生的数学应用意识，提高学生学习数学的兴趣和积极性，培养学生主动探索的精神，培养学生合作交流和创新意识．
5.圆内接正多边形、外接圆、边心距、中心角的概念．
6.圆内接正多边形、外接圆、边心距、中心角的概念．
一、情境导入，初步认识
正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( )
A．3∶2∶1 B．4∶3∶2 C．4∶2∶1 D．6∶4∶3
解析：设正三角形的边长为a，则高a，外接圆半径a，边心距a，所以它们之比为3∶2∶1.
答案：A
【教学说明】 复习旧知识，为本节课的学习作准备．
二、思考探究，获取新知
1．如果我们以正多边形的所有对称轴的交点作为圆心，这个点到顶点的连线为半径，能够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上，如图．
因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．
例如：以正五边形为例，这些对称轴也是正五边形各内角的平分线，根据角平分线的性质，点O到各边的距离都相等，记为r.那么以点O为圆心，r为半径的圆就与正五边形的各条边都相切，它是正五边形的内切圆．
由此我们得到：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆．
这两个圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距．正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角．
【教学说明】 学生观察圆的内接正五边形，从而得出相关概念．
2．怎样画特殊的正多边形？
【归纳结论】 利用同圆中相等的圆心角所对的弧相等，作相等的圆心角就可以等分圆．从而作出相应的正多边形．
三、运用新知，深化理解
1．下列命题不正确的有____(填所有正确答案的序号)．
①将一个圆分成4份，依次连接各分点所得的四边形是正方形
②正三角形外接圆的圆心叫做正三角形的中心
③正方形外接圆的半径等于其边长
④正五边形的中心角等于72°
答案：①③
2．若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为________．
A．6，3 B．3，3
C．6，3 D．6，3
答案： B
3．已知⊙O上的一点A.
(1)作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；
(2)在(1)题的作图中，如果点E在弧AD上，求证：DE是⊙O内接正十二边形的一边．
分析：求作⊙O的内接正六边形和正方形，依据定理应将⊙O的圆周六等分、四等分，而正六边形的边长等于半径；互相垂直的两条直径由垂径定理知把圆四等分．要证明DE是⊙O内接正十二边形的一边，由定理知，只需证明DE所对圆心角等于360°÷12＝30°.
解：(1)作法：
①作直径AC；
②作直径BD⊥AC；
③依次连结A、B、C、D四点，四边形ABCD即为⊙O的内接正方形；
④分别以A、C为圆心，OA长为半径作弧，交⊙O于E、H、F、G；
⑤顺次连结A、E、F、C、G、H各点．
六边形AEFCGH即为⊙O的内接正六边形．
(2)证明：连结OE、DE.
∵∠AOD＝＝90°，∠AOE＝＝60°.
∴∠DOE＝∠AOD－∠AOE＝30°.
∴DE为⊙O的内接正十二边形的一边．
【教学说明】 教师出示问题，学生可独立完成，也可小组合作完成．
四、师生互动、课堂小结
谈谈你本节课的收获或体会：知识、方法、反思、猜想、交流、愉快、困惑、生活．
1.布置作业：教材“习题27.4”中第1 、2、3 题．
2．完成同步练习册中本课时的练习．
本节课的教学坚持“教与学、知识与能力的辩证统一”和“使每个学生都得到充分发展”的原则，以“引导——探究——发现教学法为主，辅之直观演示、讨论交流，让学生真正动手操作，动脑思考，动口交流，动心关注．
章末复习
1.掌握圆的相关概念和定理．
2.圆的相关概念和定理的应用．
3.通过对本章知识的系统复习，使学生对本章知识能够全面的了解，掌握．
4.在整理知识点的过程中发展学生的独立思考习惯，让学生感受成功，并找到解决圆的相关问题的一般方法．
5.掌握圆的相关概念和定理．
6.圆的相关概念和定理的应用．
一、知识结构
圆
【教学说明】 引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系．
二、释疑解惑，加深理解
1．圆的定义
2．与圆相关的概念：
①弦和直径；②弧、半圆、优弧、劣弧； ③等圆； ④等弧； ⑤圆心角；
3．圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴．
4．垂径定理及垂径定理推论．
5．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
6．圆周角的定义
7．圆周角定理及讨论
8．确定圆的条件
9．直线与圆的位置关系
10．点与圆的位置关系
11．切线的性质定理及推论
12．三角形的内切圆、内心
13．弧长及扇形的面积
14．圆锥、圆柱的相关计算
15．正多边形与圆的关系
【教学说明】 让学生对知识进行回忆，进一步理解本章知识．
三、典例精析，复习新知
1．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，∠BAC＝70°，则∠OCB＝____．
答案： 20°
2．如图，若AB是⊙O的直径，AB＝10cm，∠CAB＝30°，则BC＝____cm.
答案： 5
3．如图AB是⊙O的直径，∠BAC＝42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是____度．
答案： 48
4．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD，点O是弧CD的圆心)，其中CD＝600米，E为弧CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，OF＝300米，则这段弯路的长度为( )
A．200π米 B．100π米
C．400π米 D．300π米
答案： A
5．如图，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为( )
A．4cm B．3cm C．5cm D．4cm
答案： A
6．用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽(如图所示)，则这个纸帽的高是( )
A.cm B．3cm C．4cm D．4cm
答案： C
【教学说明】 通过上面的解题，再对整个学习过程进行总结，能够促进理解，提高认识水平．
四、复习训练，巩固提高
1．如图，扇形DOE的半径为3，边长为的菱形OABC的顶点A，C，B分别在OD，OE，上，若把扇形DOE围成一个圆锥，则此圆锥的高为( )
A. B．2 C. D.
解析：连结AC、OB，相交于点G，则AC⊥OB，OG＝GB，在Rt△OGA，AG＝＝，所以AC＝，即∠AOC＝60°，根据求得2πr＝求得r＝，所以圆锥的高为＝.
答案： D
2．已知AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，AD的延长线交BC于点C.
(1)求∠BAC的度数；
(2)求证：AD＝CD.
解：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，
∴∠CDB＝90°，BD⊥AC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△CBD中
∴△ABD≌△CBD(ASA)，
∴AB＝CB，
∵直线BC与⊙O相切于点B，
∴∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠C＝45°；
(2)证明：∵AB＝CB，BD⊥AC，
∴AD＝CD.
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F.求证：EF是⊙O的切线．
证明：连结OD，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴AD平分BC，即DB＝DC，∵OA＝OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴EF是⊙O的切线．
4．如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB＝1，那么曲线CDEF的长是多少？
分析：弧CD，弧DE，弧EF的圆心角都是120度，半径分别是1，2，3，利用弧长的计算公式可以求得三条弧长，三条弧的和就是所求曲线的长．
解：弧CD的长是＝，
弧DE的长是：＝，
弧EF的长是：＝2π，
则曲线CDEF的长是：＋＋2π＝4π
5．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝AC.
(1)求证：PA是⊙O的切线；
(2)若PD＝，求⊙O的直径．
解：(1)证明：连接OA，∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°，
又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
又∵AP＝AC，
∴∠P＝∠ACP＝30°，
∴∠OAP＝∠AOC－∠P＝90°，
∴OA⊥PA，∴PA是⊙O的切线．
(2)在Rt△OAP中，∵∠P＝30°，
∴PO＝2OA＝OD＋PD，
又∵OA＝OD，∴PD＝OA，
∵PD＝，∴2OA＝2PD＝2.
∴⊙O的直径为2
【教学说明】 应采用分层教学，教师适当提示．
五、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．
1．布置作业：教材“复习题”中第4、7、13、15、18、19题．
2．完成同步练习册中本课时的练习．
本章由于概念、定理、性质较多，导致学生掌握的不够好，很多定理都混淆不清，所以对本章知识应该多加讲解、练习。使学生能够熟练的应用圆的相关知识解决问题．
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27．1 圆的认识
1． 圆的基本元素
1.了解圆的有关概念．
2.通过在生活中抽象圆和用圆的知识解决实际问题的过程，体验数学知识来源于生活及数学学习探究的方法．
3.经历形成圆的概念的过程，养成学生良好的学习习惯和独立思考的精神．
4.掌握圆的有关概念．
5.掌握圆的有关概念．
一、情境导入，初步认识
在小学，我们已经学过一些圆的知识，实际生活中，圆形物体的例子很多．请同学们欣赏图片(教师出示有关圆的图片)．生活离不开圆，圆是我们的好朋友。这一章我们将系统对圆进行研究，这节课我们一起来学习圆的有关概念．
【教学说明】 体验所学内容与现实世界的密切联系，引起学生对学习内容的注意，激发学生的学习兴趣．
二、思考探究，获取新知
探究1：圆是如何形成的？
1.请同学们画一个圆，并从画圆的过程中阐述圆是如何形成的．
2.圆的位置是由什么决定的？而大小又是由什么决定的？
【教学说明】 回顾圆的画法，感受圆的形成过程。为本节课的教学作铺垫．
探究2：圆的基本元素
问题：据统计，某个学校的同学上学方式是：有的同学步行上学，有的同学坐公共汽车上学，还有其他方式上学的同学，请你用扇形统计图反映这个学校学生的上学方式．
我们是用圆规画出一个圆，再将圆划分成一个个扇形，上图就是反映学校学生上学方式的扇形统计图．
如右图，线段OA、OB、OC都是圆的半径，线段AC为直径．这个以点O为圆心的圆叫作“圆O”，记为“⊙O”．线段AB、BC、AC都是圆O中的弦，曲线BC、BAC都是圆中的弧，分别记为、，其中像这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧，像这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧，称为等弧．∠AOB、∠AOC、∠BOC就是圆心角．半径相等的圆是等圆．结合上面的扇形统计图，同学们进一步阐述圆心角、优弧、劣弧等圆中的基本元素．
【教学说明】 结合图形，让学生对圆的有关概念理解更透彻．
三、运用新知，深化理解
1．判断：
(1)直径是弦．( )
(2)弦是直径．( )
(3)半圆是弧，但弧不一定是半圆．( )
(4)半径相等的两个半圆是等弧．( )
(5)长度相等的两条弧是等弧．( )
(6)周长相等的圆是等圆．( )
(7)面积相等的圆是等圆．( )
(8)优弧一定比劣弧长．( )
解析：根据圆的有关概念可得，(1)直径是弦；(2)弦不一定经过圆心，所以不一定是直径；(3)弧不一定是直径分成的弧，所以弧不一定是半圆；(4)半径相等就表明这两个圆是等圆，所以半径相等的两个半圆是等弧；(5)等弧指长度形状都相等，同圆或等圆中长度相等的两条弧是等弧；(6)根据周长公式，周长相等则直径相等，所以周长相等的圆是等圆；(7)根据面积公式，面积相等则半径相等，所以面积相等的圆是等圆；(8)必须在同圆或等圆中进行比较．
答案：√ × √ √ × √ √ ×
2．如图，在⊙O中，点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为 ( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案： B
3．如图，半圆的直径AB＝________．
解析：利用勾股定理可求出半圆的半径为，所以直径为2.
答案：2
【教学说明】 学生运用新知及时巩固，使每个学生都有收获；感受成功的喜悦，同时让自己肯定以前探索活动的意义．
四、师生互动、课堂小结
1．这节课你学习了哪些知识？学习了哪些数学思想方法？
2．你运用怎样的方法来获得这些知识的？
3．通过今天的学习你有什么收获？
1．布置作业：教材P37“练习”．
2．完成同步练习册中本课时的练习．
本节课的概念较多，从学生掌握的情况来看，有的概念弄混淆了。所以应在这方面多讲解、练习．
2． 圆的对称性
第1课时 圆的对称性
1.理解圆的旋转不变性，掌握圆心角、弧、弦之间的关系定理及其推论，会用这三者之间的关系进行简单的证明．
2.通过本节课的学习，培养学生观察、实验、探究、归纳和概括能力．
3.结合本课教学内容向学生渗透事物之间可相互转化的辩证唯物主义观点；渗透圆的内在美．
4.圆心角、弧、弦之间的关系定理及其推论．
5.对定理中“在同圆或等圆中”前提条件的理解，以及从感性到理性的认识，发现、归纳能力的培养．
一、情境导入，初步认识
问题1：什么是中心对称图形？中心对称图形有什么性质？
问题2：说出你所了解的中心对称图形．
【教学说明】 问题提出后，有些同学在列举时会举出圆是中心对称图形，但是对于圆具有旋转不变性缺乏感性认识．中心对称图形的复习目的是引起学生对图形对称性的关注，为圆旋转以后与原来图形重合从而得到弧、弦等相等关系作好认知上的准备．
二、思考探究，获取新知
1．圆是轴对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线．
2．圆是中心对称图形，对称中心是圆心．
3．在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等．
4．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中的一组量相等，那么他们对应的其余各组量都分别相等．
【教学说明】 鼓励学生用简练的语言叙述结论，进一步挖掘定理本身，得出定理的延伸．
三、运用新知，深化理解
1．见教材P38例题．
2．下列说法正确的是( )
A．相等的圆心角所对的弧相等
B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等
C．相等的弦所对的圆心到弦的距离相等
D．圆心到弦的距离相等，则弦相等
解析：A，C，D三项一定注意前提“在同圆和等圆中”．只有B正确，故选B.
答案： B
3．如图，AB、AC、BC都是⊙O的弦，∠AOC＝∠BOC，∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？
解：∵∠AOC＝∠BOC
∴AC＝BC(在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等)
∴∠ABC＝∠BAC
4．如图，在⊙O中，弦AB＝AC，AD是⊙O的直径．试判断弦BD和CD是否相等，并说明理由；
解：连接BO、CO
∵AB＝AC
∴∠AOB＝∠AOC(在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中的一组量相等，那么他们对应的其余各组量都分别相等)
∵∠BOD＝∠COD
∴BD＝CD(在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等)
【教学说明】 学生运用新知及时巩固，使每个学生都有收获．
四、师生互动、课堂小结
师生共同总结本节课所学的有关定理．
1．布置作业：教材P39“练习”．
2．完成同步练习册中本课时的练习．
本节课的设计完全采用学生小组合作探究的方式进行．《课标》要求学生“做数学”，在做的活动中通过小组合作的方式，尝试与他们交流中获益，并学会尊重他人的看法，在数学活动中感受他人的思维方式和思维过程，以改进自己在认知方面的单一性，促进每一个学生的发展．充分体现学生的课堂参与性与教师的指导性．
第2课时 垂径定理
1.掌握垂径定理及其推论．学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题．
2.经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及其推论的过程，锻炼学生的思维品质，学习证明的方法．
3.在学生通过观察、操作、变换和研究的过程中进一步培养学生的思维能力，创新意识和良好的运用数学的习惯和意识．
4.垂径定理及其推论的发现、记忆与证明．
5.垂径定理及其推论的运用．
一、情境导入，初步认识
1．将你手中的圆沿圆心对折，你会发现圆是一个什么图形？
2．将手中的圆沿直径向上折，你会发现折痕是圆的一条弦，这条弦被直径怎样了？
3．一个残缺的圆形物件，你能找到它的圆心吗？
4．赵州桥是我国古代桥梁史的骄傲，我们能求出主桥拱的半径吗？
【教学说明】 前两个问题可以由学生动手操作，并观察结果，得到初步结论。后两个问题作为问题情境，激发学生学习兴趣，引导学生进一步的学习．
二、思考探究，获取新知
探究1：垂径定理
(思考)如图 ：AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足E.
①这个图形是对称图形吗？
②你能发现图中有哪些相等的线段和弧？请说明理由．
③你能用一句话概括这些结论吗？
④你能用几何方法证明这些结论吗？
⑤你能用符号语言表达这个结论吗？
【归纳结论】 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
【教学说明】 教师循序渐进地将一个个的问题抛出，引导学生一步步地进行思考和总结，师生一起总结垂径定理．
探究2：垂径定理的推论
如上图，若直径CD平分弦AB则
①直径CD是否垂直弦且平分弦所对的两条弧？如何证明？
②你能用一句话总结这个结论吗？
③如果弦AB是直径，以上结论还成立吗？
【归纳结论】 垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径也垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦．
【教学说明】 教师提出问题，引导学生进行思考和讨论．学生尝试得出垂径定理推论，教师提醒学生此中的弦一定不能是直径．
三、运用新知，深化理解
1．如图，AB是⊙的直径，弦CD⊥AB，垂足为m，下列结论不成立的是( )
A．Cm＝Dm B.＝
C．∠ACD＝∠ADC D．Om＝mD
解析：根据垂径定理得：Cm＝Dm，＝，AC＝AD，由AC＝AD得∠ACD＝∠ADC，而Om＝mD不一定成立．
答案： D.
2．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C.若AB＝2 ，OC＝1，则半径OB的长为________．
解析：根据垂径定理“垂直于弦的直径平分弦，并且平方弦所对的两条弧”，可知BC＝AB＝，然后根据勾股定理，得OB＝＝2.
答案： 2.
3．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点O是的圆心，其中CD＝600m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF＝90m，求这段弯路的半径．
分析：利用垂径定理，解题过程中可以使用列方程的方法．
解：如图，连接OC
设弯路的半径为R，则OF＝(R－90)m
∵OE⊥CD
∴CF＝CD＝×600＝300(m)
根据勾股定理，得：OC2＝CF2＋OF2
即R2＝3002＋(R－90)2，解得R＝545m
∴这段弯路的半径为545m.
4．已知：AB交⊙O于C、D，且AC＝BD.请证明：OA＝OB.
证明：过O作OE⊥AB于E，
∵OE过圆心O, ∴CE＝DE，
∵AC＝BD, ∴AE＝BE，
∵OE⊥AB, ∴OA＝OB.
【教学说明】 简单应用由学生独立完成，教师可让学生自己进行评判．
四、师生互动、课堂小结
1．本节课你学到了哪些数学知识？
2.在利用垂径定理解决问题时，你掌握了哪些数学方法？
3.这些方法中你又用到了哪些数学思想？
1．布置作业：教材P40“练习”．
2．完成同步练习册中本课时的练习．
这节课我们主要学习了垂径定理(学生回答)，它是这节课的重点，要求大家分清楚定理的条件和结论，并熟练掌握定理的简单应用，会推知它的逆定理．
3.圆周角
1.理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用．
2．理解圆周角定理及其推论，熟练掌握圆周角的定理及其推论的灵活运用．
3.运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推论解决问题．
4.激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望．
5. 运用圆周角定理及其推论解决问题．
6.运用圆周角定理及其推论解决问题．
一、情境导入，初步认识
1.圆心角定义？
2.弦、弧、圆心角的三者关系？
3.外角的性质？
刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，而在其它的位置上，如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．
【教学说明】 复习相关知识，为本节课作准备．
二、思考探究，获取新知
探究1：圆周角的概念
观察∠ACB、∠ADB、∠AEB，这样的角有什么特点？
分析讨论：点C，D，E在什么位置？
【归纳结论】 通过观察，我们可以发现∠ADB、∠ACB、∠AEB的顶点都在圆上，并且两边都与圆相交，这样的角叫做圆周角．
探究2：半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°
(1)如左图，BC是⊙O的直径，那么它所对的圆周角有什么特点？你能证明吗？
(2)如右图∠BAC＝90°，弦BC是直径吗？为什么？
【归纳结论】 半圆或直径所对的圆周角是都相等，都等于90°(直角)，90°的圆周角所对的弦是直径．
探究3：圆周角定理
在圆上任取一个圆周角，观察圆心角顶点与圆周角的位置关系有几种情况？
共有三种情况：①圆心在圆周角的一边上； ②圆心在圆周角的内部； ③圆心在圆周角的外部．如下图：
弧所对的圆周角与圆心角有什么关系？你能证明吗？
【归纳结论】 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半．相等的圆周角所对的弧相等．
推论：90°的圆周角所对的弦是直径．
【教学说明】 引导学生对图形的观察，发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心．
探究4：外接圆、内接多边形
如图，AC为直径，∠B与∠D有什么关系？为什么？
【归纳结论】 一个圆经过一个多边形的各顶点，这个圆叫做这个多边形的外接圆。这个多边形叫做圆内接多边形．圆内接四边形的对角互补．
【教学说明】 教师提出问题，学生领会半圆作为特殊的弧，直径作为特殊的弦，进行思考，得到推论．
三、运用新知，深化理解
1．见教材P44例2
2．如图，已知BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，＝，∠AOB＝60°，则∠BDC的度数是( )
A．20° B．25° C．30° D．40°
解析：由BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，＝，∠AOB＝60°，利用在同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等且圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠BDC的度数．∵＝，∠AOB＝60°，∴∠BDC＝∠AOB＝30°.故选C.
答案： C
3．如图，已知A，B，C在⊙O上，为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是( )
A．2∠C B．4∠B C.4∠A D．∠B＋∠C
解析：如图，由圆周角定理可得：∠AOB＝2∠C，故选A.
答案： A
4．如图，⊙O的两弦AD，BC相交于点E，连接AC，BD，AO，BO.若∠ACB＝60°，则下列结论正确的是( )
A．∠AOB＝60°
B．∠ADB＝60°
C．∠AEB＝60°
D．∠AEB＝30°
解析：(1)由圆周角定理及推论可知，∠ACB＝∠AOB，∠ACB＝∠ADB. ∵∠ACB＝60°，∴∠AOB＝120°，∠ADB＝60°，故选B.
答案： B
5．如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A＝50° ，则∠OCD的度数是( )
A．40° B．45° C．50° D．60°
解析：连接OB，由垂径定理得BD＝DC，
∴∠BOD＝∠COD＝∠COB.
再由圆周角定理得2∠A＝∠COB＝2∠COD，
∴∠COD＝50°＝∠A.
∴∠OCD＝90°－∠COD＝40°.
答案： A
6．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是( )
A．80° B．160° C．100° D．80°或100°
解析：当点B在优弧上时，∠ABC＝∠AOC＝×160°＝80°；当点B在劣弧上时，∠AB′C＝180°－∠ABC＝180°－80°＝100°.所以∠ABC的度数是80°或100°.
答案：D
7．⊙O半径OA⊥OB，弦AC⊥BD于E.求证：AD∥BC.
证明：∵OA⊥OB, ∴∠AOB＝90°， ∴∠C＝∠D＝45°. ∵AC⊥BD, ∴∠AED＝90°， ∴∠DAE＝45°. ∴∠C＝∠DAE.∴AD∥BC
【教学说明】 运用所学知识进行应用，巩固知识，形成做题技巧让学生通过练习进一步理解，培养学生的应用意识和能力．
四、师生互动、课堂小结
1．圆周角的概念及定理和推论
2．圆内接多边形与多边形的外接圆的概念和圆内接四边形的性质
3．应用本节定理解决相关问题
1．布置作业：教材P44“练习”
2．完成同步练习册中本课时的练习．
本节课教师应组织学生先自主探究，再小组合作交流，总结出圆周角定理及其推论，再运用所学知识进行应用，巩固知识．
27．2 与圆有关的位置关系
1． 点与圆的位置关系
1.掌握点和圆的三种位置关系
2.了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三个点作圆的方法
3.经历不在同一直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力．
4.形成解决问题的基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神．
5.掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法；了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念．
6.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的三个点作圆．
一、情境导入，初步认识
你玩过飞镖吗？它的靶子是由一些圆组成的，你知道击中靶子上不同位置的成绩是如何计算的吗？
这其中体现了平面内点与圆的位置关系．
【教学说明】 由实际情景导入，提高学生学习兴趣．
二、思考探究，获取新知
探究1：点与圆的位置关系．
如上图所示，设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d.
则有：点P在圆外d>r; 点P在圆上d＝r；点P在圆内d
探索一： (1)经过一个已知点A能确定一个圆吗？
(2)这时圆心和半径都是确定的吗？
探索二： (1)经过两个已知点A，B能确定一个圆吗？
(2)如何确定圆心才能使圆心到两个点的距离相等？
(3)这时圆心和半径都是确定的吗？
探索三： (1)经过三个已知点A，B，C能确定一个圆吗？
(2)如何确定圆心才能使圆心到三个点的距离相等？能否受到上一个探究的启发呢？
(3)这时圆心和半径都是确定的吗？
【归纳结论】 不在同一直线上的三点确定一个圆．经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆．外接圆的圆心叫做三角形的外心．这个三角形叫做圆的内接三角形．
探索四：过不在同一直线上的三个点作圆
作法：
(1)作线段AB、BC的垂直平分线，其交点O即为圆心．
(2)以点O为圆心，OC长为半径作圆．
则⊙O即为所求．
【教学说明】 重视学生的课堂参与．让学生在活动中自主探究以及与同伴交流，有条理地进行思考和表达思考的过程，获得分析问题和解决问题的能力．
三、运用新知，深化理解
1．点A在以O为圆心，3cm为半径的⊙O内，则点A到圆心O的距离d的范围是________.
解析：根据点和圆的位置关系判定．
答案：0≤d＜3cm
2．⊙O的半径为5，圆心O的坐标为(0，0)，点P的坐标为(4，2)，则点P与⊙O的位置关系是( )
A．点P在⊙O内
B．点P在⊙O上
C．点P在⊙O外
D．点P在⊙O上或⊙O外
解析：比较OP与半径r的关系．∵OP＝＝2，OP2＝20，r2＝25，∴OP＜r. ∴点P在⊙O内．
答案：A
3．下列命题中，错误的命题是( )
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．等弧所对的圆周角相等
C．经过三点一定可作圆
D．若一个梯形内接于圆，则它是等腰梯形
解析：A.对角线互相平分的四边形是平行四边形，此选项正确；B.等弧所对的圆周角相等，此选项正确；C.经过不在同一直线的三点一定可作圆，故此选项错误；D.若一个梯形内接于圆，则它是等腰梯形，此选项正确．故选C.
答案：C
4．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是( )
A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块
答案：A
5．判断题：
(1)经过三点一定可以作圆．( )
(2)任意一个三角形有且只有一个外接圆．( )
(3)三角形的外心是三角形三边中线的交点．( )
(4)三角形外心到三角形三个顶点的距离相等．( )
答案：× √ × √
6．如图所示，残破的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D.已知：AB＝24cm，CD＝8cm.
(1)求作此残片所在的圆(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)求(1)中所作圆的半径．
解：(1)连接AC，作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点，以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆，如图．
(2)连接OA，设OA＝xcm，AD＝12cm，OD＝(x－8)cm，则根据勾股定理列方程：x2＝122＋(x－8)2，解得：x＝13.
答：圆的半径为13cm.
【教学说明】 进一步巩固所学知识．
四、师生互动、课堂小结
这节课的学习让你有哪些收获呢？
可以分别从知识角度，思想方法角度来谈一谈．
1.布置作业：教材P48“练习”．
2．完成同步练习册中本课时的练习．
本节课需要注意改进的方面：
1.学生的探究活动时间要得到保证，让学生真正成为学习的主人，教师只是组织者、引导者，不要用教师的讲来代替学生的做．
2．教学过程中发现少数困难生在探究活动中态度欠积极，教师要及时给予指导和引导，唤起他们学习的积极性．
2． 直线与圆的位置关系
1.理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系．
2.通过读图分析、培养学生观察能力．
3.通过学生自主学习，让学生主动去探究问题的本质，唤醒学生的主体意识，使学生获得积极的情感体验．
4.理解直线与圆的三种位置关系．
5.理解直线与圆的三种位置关系．
一、情境导入，初步认识
1．我们在前面学过点和圆的位置关系，请大家回忆它们的位置关系有哪些？
2．本节课我们将类比地学习直线和圆的位置关系．
【教学说明】 由旧知识引入新知识，过渡自然，符合学生的认知规律．
二、思考探究，获取新知
探究：直线和圆的位置关系
1．你看过日出吗？你知道太阳升起过程中，太阳和地平线会有几种不同位置关系吗？
2．如图，在纸上画一条直线L，把钥匙环看作一个圆，在纸上移动钥匙环，你能发现在钥匙环移动的过程中，它与直线L的公共点的个数吗？
【归纳结论】 直线和圆有一个公共点，直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．
3．设⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，在直线和圆的不同位置关系中，d和r具有怎样的大小关系？反过来，你能根据d和r的大小关系来确定直线和圆的位置关系吗？
【归纳结论】 直线l和⊙O相交→d
【教学说明】 由图形观察直线与圆的位置关系，直观形象．
三、运用新知，深化理解
1．见教材P50例1
2．已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是( )
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断
解析：∵⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为5，∵6＞5，即：d＜r，∴直线l与⊙O的位置关系是相交．故选C.
答案： C
3．若∠OAB＝30°，OA＝10cm，则以O为圆心，6cm为半径的圆与射线AB的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C.相离 D．不能确定
答案： A
4．⊙O内最长弦长为m，直线l与⊙O相离，设点O到l的距离为d，则d与m的关系是( )
A．d＝m B．d＞m
C．d＞ D．d＜
答案： C
5．菱形对角线的交点为O，以O为圆心，以O到菱形一边的距离为半径的圆与其他几边的关系为( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
答案： B
6．⊙O的半径为6，⊙O的一条弦AB为6，以3为半径的同心圆与直线AB的位置关系是( )
A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定
答案： C
【教学说明】 通过知识的及时应用，使学生知识掌握得牢固．
四、师生互动、课堂小结
直线与圆的位置关系有哪些？
1.布置作业：教材P50“练习”
2．完成同步练习册中本课时的练习．
本节课是让学生由图形，观察直线与圆的位置关系，从而直观形象地得出直线与圆的位置关系，教学效果较好．
3.切线
第1课时 切线的性质定理与判定定理
1.理解切线的性质定理．
2.通过学生动手实践，使学生理解切线的判定定理．
3.经历探索切线的判定的过程，培养学生的观察能力、说理意识、逻辑思维能力．
4.在探索学习的过程中，让学生体验数学学习活动充满探索性、逻辑性、趣味性，培养学生学习数学的热情和自信心．
5.理解切线的判定定理．
6.切线的性质定理、判定定理的综合应用．
一、情境导入，初步认识
当你在下雨天快速转动雨伞(圆)时雨水飞出，让你感受到直线与圆的哪种位置关？
上节课我们学习了直线与圆的三种位置关系．这节课我们来学习切线的判定定理和性质定理．
【教学说明】 借助情景，创设轻松地学习氛围．
二、思考探究，获取新知
探究1：切线的判定定理
(1)已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线l？(请你自己动手完成)
(2)观察①圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么数量关系？
②二者位置有什么关系？为什么？
(3)由此你发现了什么？
【归纳结论】 切线的判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【教学说明】 培养学生的归纳及语言表达能力；使学生准确掌握定理的内涵及外延．
探究2：切线的性质定理：如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？
【归纳结论】 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
【教学说明】 由图形观察直线与圆的位置关系，直观形象．
三、运用新知，深化理解
1．见教材P52例2
2．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r的值为( )
A．2cm B．2.4cm C．3cm D．4cm
解析：r的长即为斜边AB上的高，由勾股定理易求得AB的长，根据直角三角形面积的不同表示方法，即可求出r的值．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
AC＝3cm，BC＝4cm；
由勾股定理，得：AB2＝32＋42＝25，
∴AB＝5；
又∵AB是⊙C的切线，切点为D.
∴CD⊥AB，∴CD＝r；
∵S△ABC＝AC·BC＝AB·r；
∴r＝2.4cm，故选B
答案： B
3．已知Rt△ABC的斜边AB＝8cm，AC＝4cm以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB与⊙C相切？
解：由勾股定理可知：BC＝4(cm)
∵S△ABC＝AC·BC＝AB·CD；
∴CD＝2(cm)
因此，当半径长为2cm时，AB与⊙C相切．
4．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB＝∠A.
(1)CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．
(2)若CD与⊙O相切，且∠D＝30°，BD＝10，求⊙O的半径．
分析：(1)要说明CD是否是⊙O的切线，只要说明OC是否垂直于CD，垂足为C，因为C点已在圆上．由已知易得：∠A＝30°，又由∠DCB＝∠A＝30°，得：BC＝BD＝10
解：(1)CD与⊙O相切，理由：①C点在⊙O上(已知)，②∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，即∠ACO＋∠OCB＝90°，∵∠A＝∠OCA且∠DCB＝∠A，∴∠OCA＝∠DCB，∴∠OCD＝90°，综上：CD是⊙O的切线．(2)在Rt△OCD中，∠D＝30°，∴∠COD＝60°，∴∠A＝30°，∴∠BCD＝30°，∴BC＝BD＝10，∴AB＝20，∴r＝10.答：(1)CD是⊙O的切线，(2)⊙O的半径是10.
【教学说明】 通过知识的及时应用，使学生知识掌握得牢固．
四、师生互动、课堂小结
1．切线的判定定理是什么？
2．切线的性质定理是什么？
1．布置作业：教材P52“练习”
2．完成同步练习册中本课时的练习．
本节课是让学生由图形，观察直线与圆的位置关系，从而直观形象地得出直线与圆相切时切线的判定定理和切线的性质定理．教学效果较好．
第2课时 切线长定理与三角形的内切圆
1.掌握切线长定理及其应用
2.理解三角形内切圆的有关概念
3.学会作三角形的内切圆
4.通过经历探索切线长定理的过程，发展探究意识和体会并实践“实验几何——论证几何”的探究方法．探究三角形的内切圆知识，逐步培养学生研究问题的能力；
5.通过应用内切圆相关知识解题，体会把复杂问题转化为简单问题后易于解决，从而树立解决问题的信心．
6.切线长定理及应用．
7.切线长定理及应用．
一、情境导入，初步认识
1.已知△ABC，作三个内角平分线，说说它具有什么性质？
2.直线和圆有什么位置关系？切线的判定定理和性质定理，它们如何？
【教学说明】 由旧知识引入新知识，过渡自然，符合学生的认知规律．
二、思考探究，获取新知
探究1：切线长定理
如图：PA、PB为⊙O的两条切线，A、B为切点．
【归纳结论】 我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．
如图，纸上有一⊙O，PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO将纸对折，设圆上与点A重合的点为B，这时，OB是⊙O的一条半径吗？PB是⊙O的切线吗？说明图中的PA和PB、∠APO与∠BPO有什么关系？你能证明吗？
证明：如上图，PA、PB是⊙O的两条切线，∴OA⊥AP, OB⊥BP.又OA＝OB, OP＝OP，∴Rt△AOP≌Rt△BOP∴PA＝PB ∠APO＝∠BPO
【归纳结论】 切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等．这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．
【教学说明】 发展学生探究知识的意识和“实验几何——论证几何”探究方法．
探究2：三角形的内切圆
(1)如果最大的圆存在，它与三角形的各边有怎样的位置关系？
其位置关系与三角形三边的情况，有如下四种：
哪种情况圆的面积最大？
(2)如何作出这个圆呢？
分析：确定一个圆需要什么条件，我们如何去确定这些条件？
作法：略
【归纳结论】 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．这个三角形叫做这个圆的外切三角形．
【教学说明】 从上面的探究过程中，我们发现：一切事物都依据一定的规律运动存在着，揭示一件事物，必须揭示其本质，才能从根本上认识它．
三、运用新知，深化理解
1．下列说法中，正确的是( )
A．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线
B．圆有且只有一个外切三角形
C．三角形有且只有一个内切圆
D．三角形的内心到三角形的3个顶点的距离相等
答案： C
2．如图，⊙O内切Rt△ABC，切点分别是D、E、F，则四边形OECF是________．
解析：根据切线的性质可得∠OFC＝∠OEC＝90°，且∠ACB＝90°，所以四边形OECF是矩形．再根据切线长定理可得EC＝FC，所以四边形OECF是正方形．
答案：正方形
3．如图，△ABC中，O是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.求证：DO＝DB.
证明：连接OB，
∵点O是△ABC的内心，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
∵∠2＝∠5,
∴ ∠ 1＝∠5
∵ ∠BOD＝ ∠1＋ ∠3,
∠OBD＝ ∠5＋ ∠4
∴ ∠BOD＝ ∠OBD
∴DO＝DB
4．如图，AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F，若AD＝20，求△ABC的周长．
解：∵AD，AE切于⊙O于D，E
∴AD＝AE＝20
∵AD，BF切于⊙O于D，F
∴BD＝BF，同理：CF＝CE
∴C△ABC＝AB＋BC＋AC＝AB＋BF＋FC＋AC＝AB＋BD＋EC＋AC＝AD＋AE＝40
5．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为点A、B，若直径AC＝ 12，∠P＝60°，求弦AB的长．
解：连接BC，∵PA，PB切⊙O于A，B，∴PA＝PB，∵∠P＝60°，∴△PAB是正三角形
∵∠PAB＝60°，∵PA是⊙O切线
∴CA⊥AP，∴∠CAP＝90° ∴∠CAB＝30°
∵直径AC，∴∠ABC＝90°
∴cos30°＝，∴AB＝6.
6．如图，在△ABC中，已知∠ABC＝90°，在AB上取一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D，若AE＝2cm，AD＝4cm.
(1)求⊙O的直径BE的长；
(2)计算△ABC的面积．
解：(1)连接OD，∴OD⊥AC
∴△ODA是Rt△，设半径为r
∴AO＝r＋2，∴(r＋2)2－r2＝16
解之得：r＝3，∴BE＝6
(2)∵∠ABC＝90°，∴OB⊥BC
∴BC是⊙O的切线
∵CD切⊙O于D
∴CB＝CD，令CB＝x
∴AC＝x＋4，AB＝x，AB＝8
∵x2＋82＝(x＋4)2
∴x＝6，∴S△ABC＝×8×6＝24
【教学说明】 通过习题巩固课堂教学成果，思考题使学生保持继续探究的欲望加深对知识的深入思考．
四、师生互动、课堂小结
通过本节课的学习你学会了哪些知识？学会了哪些方法？还有哪些疑惑？
1．布置作业：教材P55“练习”．
2．完成同步练习册中本课时的练习．
本节课是在学习了切线的性质和判定的基础之上，继续对切线的性质的研究，是在垂径定理之后对圆的对称性又一次的认识．体现了图形的认识、图形的变换、图形的证明的有机结合．在习题和内切圆的计算中体现了把复杂问题转化为简单问题后解决问题，从而渗透转化思想和方程思想，提高应用意识．
27．3 圆中的计算问题
第1课时 弧长和扇形面积的计算
1.理解弧长公式和扇形面积公式的推导过程，掌握公式并能正确、熟练地运用两个公式进行相关计算．
2.经历用类比、联想的方法探索公式推导过程，培养学生的数学应用意识，分析问题和解决问题的能力．
3.通过联系和运动发展的观点，渗透辩证唯物主义思想方法．
4.弧长及扇形面积计算公式．
5.应用公式解决问题．
一、情境导入，初步认识
在小学我们已经学习过有关圆的周长和面积公式，弧是圆周的一部分，扇形是圆的一部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算？它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢？本节课我们将进行探索．
【教学说明】 教师确立延伸目标，让学生独立思考，为本课学习做好准备．
二、思考探究，获取新知
探究1：弧长的计算公式
(1)已知⊙O半径为2，这个圆的周长是________，面积是________．
当圆心角为180°时，弧长是________，弧为圆周的________分之________；
当圆心角为360°时，弧长是________，弧为圆周的________分之________；
当圆心角为90°时，弧长是________，弧为圆周的________分之________；
当圆心角为60°时，弧长是________；弧为圆周的________分之________；
当圆心角为30°时，弧长是________；弧为圆周的________分之________；
……
当圆心角为1°时，弧长是________；弧为圆周的________分之________；
(2)你能推导出半径为R，圆心角为n°时，弧长是多少吗？
【归纳结论】 如果弧长为l，圆心角的度数为n，圆的半径为r，那么，弧长为l＝·2πr＝
探究2：扇形面积公式
如图所示的各扇形面积分别是圆面积的几分之几？
(1) 圆心角是180°，占整个周角的，因此圆心角是180°的扇形面积是圆面积的________．
(2)圆心角是90°，占整个周角的________，因此圆心角是90°的扇形面积是圆面积的________．
(3)圆心角是45°，占整个周角的________，因此圆心角是45°扇形面积是圆面积的________．
(4)圆心角是1°，占整个周角的________，因此圆心角是1°的扇形面积是圆面积的________．
(5)圆心角是n°，占整个周角的________，因此圆心角是n°的扇形面积是圆面积的________．
【归纳结论】 扇形面积的计算公式为S＝或S＝lr
【教学说明】 学生交流讨论；在老师的指引下，在热烈的讨论中互相启发、质疑、争辩、补充，自己得出几个公式．
三、运用新知，深化理解
1．见教材P61例1
2．制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1mm)
分析：要求管道的展直长度，即求的长，根根弧长公式l＝可求得的长，其中n为圆心角，R为半径．
解：R＝40mm，n＝110.∴的长＝πR＝×40π≈76.8mm.因此，管道的展直长度约为76.8mm.
3．扇形AOB的半径为12cm，∠AOB＝120°，求的长(结果精确到0.1cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1cm2)
分析：要求弧长和扇形面积，根据公式需要知道半径R和圆心角n即可，本题中这些条件已经告诉了，因此这个问题就解决了．
解：的长＝π×12≈25.1cm.
S扇形＝π×122≈150.7cm2.
因此，的长约为25.1cm，扇形AOB的面积约为150.7cm2.
4．如图，两个同心圆被两条半径截得的的长为6πcm，的长为10πcm，又AC＝12cm，求阴影部分ABDC的面积．
分析：要求阴影部分的面积，需求扇形COD的面积与扇形AOB的面积之差．根据扇形面积S＝lR，l已知，则需要求两个半径OC与OA，因为OC＝OA＋AC，AC已知，所以只要能求出OA即可．
解：设OA＝R，OC＝R＋12，∠O＝n°，根据已知条件有：
得＝.
∴3(R＋12)＝5R，∴R＝18.
∴OC＝18＋12＝30.
∴S＝S扇形COD－S扇形AOB＝×10π×30－×6π×18＝96πcm2.
所以阴影部分的面积为96πcm2.
【教学说明】 通过这几道例题教学，巩固两个公式，并学习规范的书写步骤．
四、师生互动、课堂小结
本节课你有哪些收获和体会？
1．布置作业：教材P62“练习”
2．完成同步练习册中本课时的练习．
我们的学生大部分学习比较被动，他们所掌握的知识就局限于老师上课讲的内容，没做过、没讲过的题目基本不会做，一节课所学的内容不能多、不能快，宁可慢点，小步伐地带领学生逐一突破难关．
第2课时 圆锥的相关计算
1.了解圆锥的有关概念．
2.知道圆锥的侧面展开图．
3.理解圆锥的侧面积计算方法．
4.经历探索圆锥侧面积计算方法的过程，发展学生的实践探索能力．
5.让学生观察和操作模型，发现结论，获得探究的经验，体验学习的乐趣．
6.了解圆锥侧面积的计算方法．
7.运用圆锥侧面积的计算方法解决问题．
一、情境导入，初步认识
1.弧长的计算公式l＝×2πr＝πr
2．扇形面积计算公式：S扇形＝πr2＝×πr×r ＝lr
3.动手做一做：直角三角板绕其中的一条直角边旋转一周会得到什么样的几何体？—圆锥
【教学说明】 复习扇形的相关计算，为本节课的学习做准备．
二、思考探究，获取新知
1．我们知道圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，如图，我们把圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线，连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高．
2．如图，沿着圆锥的母线，把圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，而扇形的半径等于圆锥的母线的长．
3．根据上面的分析，你能总结出圆锥的全面积公式吗？
【归纳结论】 圆锥的全面积公式：S全＝S侧 ＋S底＝πrl＋πr2
4．类比圆锥的全面积计算方法，你能总结出圆柱的全面积的计算方法吗？
【归纳结论】 圆柱的全面积的计算公式：S全＝S侧＋S底×2＝2πrh＋2πr2
【教学说明】 学生通过观察、分析，总结出计算公式．
三、运用新知，深化理解
1．见教材P63例2
2．圆锥的侧面积为6πcm2，底面圆的半径为2cm，则这个圆锥的母线长为____cm.
解析：设母线长为R，底面半径是2cm，则底面周长＝4π，侧面积＝2πR＝6π，∴R＝3
答案： 3
3．如图，要制作一个母线长为8cm，底面圆周长是12πcm的圆锥形小漏斗，若不计损耗，则所需纸板的面积是____．
解析：圆锥形小漏斗的侧面积＝×12π×8＝48πcm2.
答案：48πcm2.
4．底面半径为1，母线长为2的圆锥的侧面积等于____．
解析：圆锥的侧面积＝πrl＝2π.
答案： 2π
5．如果从半径为5cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高是____cm.
解析：∵从半径为5cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，∴留下的扇形的弧长＝＝8π，根据底面圆的周长等于扇形弧长，∴圆锥的底面半径r＝＝4cm，∴圆锥的高为＝3cm
答案： 3.
6．圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽．已知纸帽的底面周长为58cm，高为20cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？(结果精确到0.1cm)2
分析：根据题意，要求纸帽的面积，即求圆锥的侧面积．现在已知底面圆的周长，从中可求出底面圆的半径，从而可求出扇形的母线长．在高h、底面圆的半径r、母线l组成的直角三角形中，根据勾股定理求出母线l，代入S侧＝πrl中即可．
解：设纸帽的底面半径为rcm，母线长为lcm，则r＝，l＝≈22.03cm，
S圆锥侧＝πrl≈×58×22.03＝638.87cm2.
638．87×20＝12777.4cm2.
所以，至少需要12777.4cm2的纸．
【教学说明】 分层作业，巩固公式，掌握教材．
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．
1．布置作业：教材“习题27.3”中第1 、2 、3题．
2．完成同步练习册中本课时的练习．
通过本节课的教学发现以下几点是不足之处：
1.课堂节奏把握得不够准确，讲解例题时所花时间过多，导致最后的练习不够充分．
2．鼓励性语言使用得还不够多。在以后的教学中，不但要利用口头语言，还要利用肢体语言进行对学生的鼓励．
27．4 正多边形和圆
1.掌握圆内接正多边形、外接圆、边心距、中心角的概念．
2.正多边形的画法．
3.通过作图的过程，提高学生的几何语言表达能力和推理能力．
4.在学生动手操作的过程中，增强学生的数学应用意识，提高学生学习数学的兴趣和积极性，培养学生主动探索的精神，培养学生合作交流和创新意识．
5.圆内接正多边形、外接圆、边心距、中心角的概念．
6.圆内接正多边形、外接圆、边心距、中心角的概念．
一、情境导入，初步认识
正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( )
A．3∶2∶1 B．4∶3∶2 C．4∶2∶1 D．6∶4∶3
解析：设正三角形的边长为a，则高a，外接圆半径a，边心距a，所以它们之比为3∶2∶1.
答案：A
【教学说明】 复习旧知识，为本节课的学习作准备．
二、思考探究，获取新知
1．如果我们以正多边形的所有对称轴的交点作为圆心，这个点到顶点的连线为半径，能够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上，如图．
因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．
例如：以正五边形为例，这些对称轴也是正五边形各内角的平分线，根据角平分线的性质，点O到各边的距离都相等，记为r.那么以点O为圆心，r为半径的圆就与正五边形的各条边都相切，它是正五边形的内切圆．
由此我们得到：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆．
这两个圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距．正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角．
【教学说明】 学生观察圆的内接正五边形，从而得出相关概念．
2．怎样画特殊的正多边形？
【归纳结论】 利用同圆中相等的圆心角所对的弧相等，作相等的圆心角就可以等分圆．从而作出相应的正多边形．
三、运用新知，深化理解
1．下列命题不正确的有____(填所有正确答案的序号)．
①将一个圆分成4份，依次连接各分点所得的四边形是正方形
②正三角形外接圆的圆心叫做正三角形的中心
③正方形外接圆的半径等于其边长
④正五边形的中心角等于72°
答案：①③
2．若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为________．
A．6，3 B．3，3
C．6，3 D．6，3
答案： B
3．已知⊙O上的一点A.
(1)作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；
(2)在(1)题的作图中，如果点E在弧AD上，求证：DE是⊙O内接正十二边形的一边．
分析：求作⊙O的内接正六边形和正方形，依据定理应将⊙O的圆周六等分、四等分，而正六边形的边长等于半径；互相垂直的两条直径由垂径定理知把圆四等分．要证明DE是⊙O内接正十二边形的一边，由定理知，只需证明DE所对圆心角等于360°÷12＝30°.
解：(1)作法：
①作直径AC；
②作直径BD⊥AC；
③依次连结A、B、C、D四点，四边形ABCD即为⊙O的内接正方形；
④分别以A、C为圆心，OA长为半径作弧，交⊙O于E、H、F、G；
⑤顺次连结A、E、F、C、G、H各点．
六边形AEFCGH即为⊙O的内接正六边形．
(2)证明：连结OE、DE.
∵∠AOD＝＝90°，∠AOE＝＝60°.
∴∠DOE＝∠AOD－∠AOE＝30°.
∴DE为⊙O的内接正十二边形的一边．
【教学说明】 教师出示问题，学生可独立完成，也可小组合作完成．
四、师生互动、课堂小结
谈谈你本节课的收获或体会：知识、方法、反思、猜想、交流、愉快、困惑、生活．
1.布置作业：教材“习题27.4”中第1 、2、3 题．
2．完成同步练习册中本课时的练习．
本节课的教学坚持“教与学、知识与能力的辩证统一”和“使每个学生都得到充分发展”的原则，以“引导——探究——发现教学法为主，辅之直观演示、讨论交流，让学生真正动手操作，动脑思考，动口交流，动心关注．
章末复习
1.掌握圆的相关概念和定理．
2.圆的相关概念和定理的应用．
3.通过对本章知识的系统复习，使学生对本章知识能够全面的了解，掌握．
4.在整理知识点的过程中发展学生的独立思考习惯，让学生感受成功，并找到解决圆的相关问题的一般方法．
5.掌握圆的相关概念和定理．
6.圆的相关概念和定理的应用．
一、知识结构
圆
【教学说明】 引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系．
二、释疑解惑，加深理解
1．圆的定义
2．与圆相关的概念：
①弦和直径；②弧、半圆、优弧、劣弧； ③等圆； ④等弧； ⑤圆心角；
3．圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴．
4．垂径定理及垂径定理推论．
5．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
6．圆周角的定义
7．圆周角定理及讨论
8．确定圆的条件
9．直线与圆的位置关系
10．点与圆的位置关系
11．切线的性质定理及推论
12．三角形的内切圆、内心
13．弧长及扇形的面积
14．圆锥、圆柱的相关计算
15．正多边形与圆的关系
【教学说明】 让学生对知识进行回忆，进一步理解本章知识．
三、典例精析，复习新知
1．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，∠BAC＝70°，则∠OCB＝____．
答案： 20°
2．如图，若AB是⊙O的直径，AB＝10cm，∠CAB＝30°，则BC＝____cm.
答案： 5
3．如图AB是⊙O的直径，∠BAC＝42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是____度．
答案： 48
4．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD，点O是弧CD的圆心)，其中CD＝600米，E为弧CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，OF＝300米，则这段弯路的长度为( )
A．200π米 B．100π米
C．400π米 D．300π米
答案： A
5．如图，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为( )
A．4cm B．3cm C．5cm D．4cm
答案： A
6．用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽(如图所示)，则这个纸帽的高是( )
A.cm B．3cm C．4cm D．4cm
答案： C
【教学说明】 通过上面的解题，再对整个学习过程进行总结，能够促进理解，提高认识水平．
四、复习训练，巩固提高
1．如图，扇形DOE的半径为3，边长为的菱形OABC的顶点A，C，B分别在OD，OE，上，若把扇形DOE围成一个圆锥，则此圆锥的高为( )
A. B．2 C. D.
解析：连结AC、OB，相交于点G，则AC⊥OB，OG＝GB，在Rt△OGA，AG＝＝，所以AC＝，即∠AOC＝60°，根据求得2πr＝求得r＝，所以圆锥的高为＝.
答案： D
2．已知AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，AD的延长线交BC于点C.
(1)求∠BAC的度数；
(2)求证：AD＝CD.
解：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，
∴∠CDB＝90°，BD⊥AC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△CBD中
∴△ABD≌△CBD(ASA)，
∴AB＝CB，
∵直线BC与⊙O相切于点B，
∴∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠C＝45°；
(2)证明：∵AB＝CB，BD⊥AC，
∴AD＝CD.
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F.求证：EF是⊙O的切线．
证明：连结OD，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴AD平分BC，即DB＝DC，∵OA＝OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴EF是⊙O的切线．
4．如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB＝1，那么曲线CDEF的长是多少？
分析：弧CD，弧DE，弧EF的圆心角都是120度，半径分别是1，2，3，利用弧长的计算公式可以求得三条弧长，三条弧的和就是所求曲线的长．
解：弧CD的长是＝，
弧DE的长是：＝，
弧EF的长是：＝2π，
则曲线CDEF的长是：＋＋2π＝4π
5．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝AC.
(1)求证：PA是⊙O的切线；
(2)若PD＝，求⊙O的直径．
解：(1)证明：连接OA，∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°，
又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
又∵AP＝AC，
∴∠P＝∠ACP＝30°，
∴∠OAP＝∠AOC－∠P＝90°，
∴OA⊥PA，∴PA是⊙O的切线．
(2)在Rt△OAP中，∵∠P＝30°，
∴PO＝2OA＝OD＋PD，
又∵OA＝OD，∴PD＝OA，
∵PD＝，∴2OA＝2PD＝2.
∴⊙O的直径为2
【教学说明】 应采用分层教学，教师适当提示．
五、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．
1．布置作业：教材“复习题”中第4、7、13、15、18、19题．
2．完成同步练习册中本课时的练习．
本章由于概念、定理、性质较多，导致学生掌握的不够好，很多定理都混淆不清，所以对本章知识应该多加讲解、练习。使学生能够熟练的应用圆的相关知识解决问题．
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