数学人教A版（2019）必修第一册2.1等式性质与不等式性质（共30张ppt）

(共30张PPT)
一元二次函数方程和不等式
2.1等式性质与不等式性质
日常生活中有哪些问题，反映在数量关系上，就是相等与不等的？
【提示】 多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重等问题
思考
等式：指的是用等号“=”连接起来的式子。
不等式：指的是用数学符号“≠”“>””<””≥””≤”连接起来的式子。
不等关系的文字语言与符号语言的转换
文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不少于，不低于 小于等于，至多，不多于，不超过
符号语言 > < ≥ ≤
①最低限速标志，限制车速v不得低于40 km/h，用0②限重标志，限制车辆装载总重量G不得超过10 t，用G≤10表示；
③限高标志，限制车辆装载高度h不得超过3.5 m，用h≤3.5表示；
不等式与不等关系
在日常生活中，下列各个标志有什么作用？你能用不等式或不等式组表示下列不等关系吗？
不等式与不等关系
某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%。
三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
新知探索
问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？
元万本
单价提高元销量减少2000本
单价提高元销量减少2万本
解：设提价后每本杂志的单价为元，则销售总收入为万元.
于是，不等关系“销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为：
①
如何刻画两个实数a，b的大小关系？
在初中，我们知道由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系，具体是如何规定的呢？
设实数a,b在数轴上对于的点分别为A,B.
则①当点A在B的左边时，a②当点A在B的右边时，a>b；
③当点A和点B重合时，a=b
A B
B A
作差法比较代数式大小
我们也可以用两个实数的差来判定这两个实数的大小关系，你知道如何判定吗？
关于实数的比较，有下列基本事实：
如果a-b是正数，那么a>b；
如果a-b等于0，那么a=b；
如果a-b是负数，那么a反之也成立.
符号表示：
0是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了“标杆”
作差法比较代数式大小
解：∵
∴
解：3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1).
∵3x2＋1＞0，
当x＞1时，x－1＞0，∴3x3＞3x2－x＋1；
当x＝1时，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1；
当x＜1时，x－1＜0，∴3x3＜3x2－x＋1.
定号
结论
右图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？
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设直角三角形的两条直角边的长为，那么正方形的边长为.
由于正方形的面积大于4个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式：
这样，4个直角三角形的面积和为，正方形的面积为.
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当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有：
于是就有
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一般地，，有，当且仅当时，等号成立.
事实上，利用完全平方公式，得：
因为，，
当且仅当时，等号成立，所以.
因此，由两个实数大小关系的基本事实，
得，当且仅当时，等号成立.
等式性质与不等式性质
对称性
传递性
加减性
可乘性
可除性
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思考2：类比等式的基本性质，你能猜想不等式的基本性质，并加以证明吗？
类比等式的性质1,2，可以猜想不等式有如下性质：
性质1(对称性) 如果，那么；如果，那么
即
性质2(传递性) 如果，,那么
即，
我们来证明性质2：
由两个实数大小关系的基本事实知
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类比等式的性质3—5，可以猜想不等式还有如下性质：
性质3(可加性) 如果，那么
这就是说，不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向.
如图，把数轴上的两个点与同时沿相同方向移动相等的距离，得到另两个点与，与和与的左右位置关系不会改变.用不等式的语言表示，就是上述性质3.
由性质3可得，
这表明，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边.
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性质4(可乘性) 如果，那么如果，那么
这就是说，不等式的两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式同向；
不等式的两边同乘一个负数，所得不等式与原不等式反向.
利用这些基本性质，我们还可以推导出 其他一些常用的不等式的性质.例如，利用性质2,3可以推出：
性质5(同向可加性) 如果，那么
事实上，由和性质3(可加性)，得；由和性质3(可加性)，得.再根据性质2(传递性)，即得
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利用性质4(可乘性)和性质2(传递性)可以推出：
性质6(同向同正可乘性) 如果，那么
性质7(同乘方性) 如果，那么
实数大小关系的基本事实和不等式的性质是解决不等式问题的基本依据.
利用不等式的性质判断命题的真假
利用不等式的性质判断命题的真假
利用不等式的性质判断命题的真假
利用不等式的性质证明不等式
利用不等式的性质证明不等式
利用不等式的性质证明不等式
利用不等式的性质求代数式的取值范围
利用不等式的性质求代数式的取值范围
THAKNS
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