江苏省淮安市2023年中考数学试卷
一、单选题
1．（2019七下·台安期中）下列实数中，属于无理数的是（ ）
A．﹣2 B．0 C． D．5
2．（2023·淮安）剪纸是中国优秀的传统文化．下列剪纸图案中，是轴对称图形的是（ ）．
A． B．
C． D．
3．（2023·淮安）健康成年人的心脏每分钟流过的血液约．数据4900用科学记数法表示为（ ）．
A． B． C． D．
4．（2023·淮安）下列计算正确的是（ ）．
A． B． C． D．
5．（2023·淮安）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）．
A． B． C． D．
6．（2023·淮安）将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
7．（2023·淮安）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（ ）．
A． B． C． D．
8．（2023·淮安）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于两点，且与反比例函数在第一象限内的图象交于点．若点坐标为，则的值是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2019·长沙）若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
10．（2023·淮安）方程的解是 ．
11．（2023·淮安）若等腰三角形的周长是，一腰长为，则这个三角形的底边长是 ．
12．（2023·淮安）若，则的值是 ．
13．（2023·淮安）将甲、乙两组各10个数据绘制成折线统计图(如图)，两组数据的平均数都是7，设甲、乙两组数据的方差分别为，则 (填“”“=”或“”)．
14．（2023·淮安）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，则的度数是 ．
15．（2023·淮安）如图，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起，连接正六边形的三个顶点得到，则的值是 ．
16．（2023·淮安）在四边形中，为内部的任一条射线（不等于），点关于的对称点为，直线与交于点，连接，则面积的最大值是 ．
三、解答题
17．（2023·淮安）
（1）计算：；
（2）解不等式组：
18．（2023·淮安）先化简，再求值：，其中．
19．（2023·淮安）已知：如图，点为线段上一点，，，．求证：．
20．（2023·淮安）小华、小玲一起到淮安西游乐园游玩，他们决定在三个热门项目（A：智取芭蕉扇、B：三打白骨精、C：盘丝洞）中各自随机选择一个项目游玩．
（1）小华选择C项目的概率是 ；
（2）用画树状图或列表等方法求小华、小玲选择不同游玩项目的概率．
21．（2023·淮安）为了调动员工的积极性，商场家电部经理决定确定一个适当的月销售目标，对完成目标的员工进行奖励．家电部对20名员工当月的销售额进行统计和分析．
数据收集（单位：万元）：
5.0 9.9 6.0 5.2 8.2 6.2 7.6 9.4 8.2 7.8
5.1 7.5 6.1 6.3 6.7 7.9 8.2 8.5 9.2 9.8
数据整理：
销售额/万元
频数 3 5 4 4
数据分析：
平均数 众数 中位数
7.44 8
问题解决：
（1）填空： ， ．
（2）若将月销售额不低于7万元确定为销售目标，则有 名员工获得奖励．
（3）经理对数据分析以后，最终对一半的员工进行了奖励．员工甲找到经理说：“我这个月的销售额是7.5万元，比平均数7.44万元高，所以我的销售额超过一半员工，为什么我没拿到奖励？”假如你是经理，请你给出合理解释．
22．（2023·淮安）为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用的篱笆围成．生态园的面积能否为？如果能，请求出的长；如果不能，请说明理由．
23．（2023·淮安）根据以下材料，完成项目任务，
项目 测量古塔的高度及古塔底面圆的半径
测量工具 测角仪、皮尺等
测量 说明：点为古塔底面圆圆心，测角仪高度，在处分别测得古塔顶端的仰角为，测角仪所在位置与古塔底部边缘距离．点在同一条直线上．
参考数据
项目任务
（1）求出古塔的高度．
（2）求出古塔底面圆的半径．
24．（2023·淮安）如图，在中，．
（1）尺规作图：作，使得圆心在边上，过点且与边相切于点（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若，求与重叠部分的面积．
25．（2023·淮安）快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物用时，结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇，已知慢车的速度为．两车之间的距离与慢车行驶的时间的函数图象如图所示．
（1）请解释图中点的实际意义；
（2）求出图中线段所表示的函数表达式；
（3）两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需多长时间．
26．（2023·淮安）已知二次函数（为常数）．
（1）该函数图象与轴交于两点，若点坐标为，
①则的值是 ▲ ，点的坐标是 ▲ ；
②当时，借助图像，求自变量的取值范围；
（2）对于一切实数，若函数值总成立，求的取值范围（用含的式子表示）；
（3）当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，求和的值以及的取值范围．
27．（2023·淮安）综合与实践
定义：将宽与长的比值为（为正整数）的矩形称为阶奇妙矩形．
（1）概念理解：
当时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽（）与长的比值是 ．
（2）操作验证：
用正方形纸片进行如下操作（如图（2））：
第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为，连接；
第二步：折叠纸片使落在上，点的对应点为点，展开，折痕为；
第三步：过点折叠纸片，使得点分别落在边上，展开，折痕为．
试说明：矩形是1阶奇妙矩形．
（3）方法迁移：
用正方形纸片折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注．
（4）探究发现：
小明操作发现任一个阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点为正方形边上（不与端点重合）任意一点，连接，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形的周长与矩形的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：﹣2、0、5是有理数， 是无理数.
故答案为：C.
【分析】无理数是指无限不循环小数，根据定义逐个判断即可.
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的剪纸图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、此选项中的剪纸图案是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、此选项中的剪纸图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、此选项中的剪纸图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此判断得出答案.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：4900=4.9×103.
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、2a-a=a，故此选项计算错误，不符合题意；
B、(a2)3=a2×3=a6，故此选项计算错误，不符合题意；
C、a3÷a=a3-1=a2，故此选项计算错误，不符合题意；
D、a2×a4=a2+4=a6，故此选项计算正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；由幂的乘方，底数不变，指数相乘，即可判断B选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断C选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断D选项.
5．【答案】D
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；有理数大小比较；不等式的性质
【解析】【解答】解：A、由数轴可知：-2＜a＜-1，故此选项错误，不符合题意；
B、由数轴可知：2＜b＜3，故此选项错误，不符合题意；
C、由数轴可知：-2＜a＜-1，2＜b＜3，∴a小于b，故此选项错误，不符合题意；
D、由数轴可知：-2＜a＜-1，∴1＜-a＜2，又2＜b＜3，∴-a＜b，故此选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据数轴上的点所表示的数的特点可得-2＜a＜-1，2＜b＜3，据此可判断A、B两个选项；根据数轴上的点所表示的数，右边的总比左边的大，可判断C选项；先根据不等式的性质求出1＜-a＜2，再结合b的取值范围，即可判断D选项.
6．【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，
∵a∥b，
∴∠1=∠3=56°，
∵∠3=∠2+30°，
∴∠2=∠3-30°=26°.
故答案为：A.
【分析】由二直线平行，同位角相等得∠1=∠3=56°，进而根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和可求出∠2的度数.
7．【答案】B
【知识点】圆锥的计算；由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由三视图可知该几何体是一个底面直径为6，高为4的圆锥，
所以圆锥的母线长为：，
∴圆锥的侧面积为：.
故答案为：B.
【分析】由三视图可知该几何体是一个底面直径为6，高为4的圆锥，由于圆锥的高、底面圆的半径及母线长构成一个直角三角形，所以然后利用勾股定理算出圆锥的母线长，进而根据圆锥的侧面积等于(d是底面圆的直径，r是母线长）计算即可.
8．【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：将点A（2，0）代入一次函数y=x+b得+b=0，
解得b=，
∴一次函数的解析式为：，
∴B（0，），
∴OB=，
过点C作CD⊥x轴于点D，
∵CD⊥x轴，y轴⊥x轴，
∴OB∥CD，
∴△AOB∽△ADC，
∴，
∴，
∴CD=，
∴点C的纵坐标为，
将y=代入得，
解得x=3，
∴点C（3，），
∴k=.
故答案为：C.
【分析】将点A（2，0）代入一次函数y=x+b可求出b的值，从而得出一次函数的解析式及OB的长，过点C作CD⊥x轴于点D，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得OB∥CD，由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△AOB∽△ADC，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出CD的长，从而得出点C的纵坐标的值，将点C的纵坐标的值代入一次函数解析式算出对应的自变量的值，从而得出点C的坐标，最后根据反比例函数图象上点的坐标特点可求出k的值.
9．【答案】x≥5
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】∵ 在实数范围内有意义，
∴x 5 0，解得x 5.
故答案为：x≥5.
【分析】使二次根式有意义，即是使被开方数大于等于0，据此解答即可.
10．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解： ，
去分母，得x-1=2x+1，
解得x=-2，
当x=-2时2x+1≠0，
∴x=-2是原方程的解.
故答案为：x=-2.
【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程的根.
11．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的周长是20cm，一腰长为7cm，
∴这个等腰三角形的底边长为：20-7-7=6cm.
故答案为：6.
【分析】根据等腰三角形的两腰长相等及三角形周长计算方法可求出其底边长.
12．【答案】3
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：∵a+2b-1=0，
∴a+2b=1，
∴3a+6b=3（a+2b）=3×1=3.
故答案为：3.
【分析】由已知条件可得a+2b=1，进而将待求式子逆用乘法分配律变形为含a+2b的式子，最后整体代入计算可得答案.
13．【答案】
【知识点】折线统计图；方差
【解析】【解答】解：由折线统计图可看出：甲组数据的波动较小，乙组数据的波动较大，
∴.
故答案为：＜.
【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，据此结合折线统计图即可判断得出答案.
14．【答案】120
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BD，
∵BC是圆O的直径，
∴∠BDC=90°，
又∵BC=2CD，
∴cosC=，
∴∠C=60°，
∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，
∴∠A=180°-∠C=120°.
故答案为：120.
【分析】连接BD，由直径所对的圆周角是直角得∠BDC=90°，由∠C的余弦函数及特殊锐角三角函数值可求出∠C=60°，进而根据圆内接四边形的对角互补可求出∠A的度数.
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；锐角三角函数的定义；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，以BH、HG、GD为边，作正六边形BHGDFE，连接BD、DE、AD，
由正六边形性质得∠KDG=∠AKD=120°，AK=DK，
∴∠ADK=30°，
∴∠ADG=∠KDG-∠ADK=90°，
同理∠EDG=90°，
∴∠EDG+∠ADG=180°，
∴A、D、E三点共线；
∵六边形BHGDFE是正六边形，
∴∠HBC=60°，∠HBE=120°，
∴∠HBC+∠HBE=180°，
∴C、B、E三点共线；
由正六边形性质得∠GDB=60°，∠DBE=60°，
∴∠BDE=∠EDG-∠BDG=30°，
∴∠BED=180°-∠DBE-∠BDE=90°，即∠AEC=90°，
设正六边形的边长为x，则BD=2BE=2x=BC，
∴DE=BE=x=AD，CE=BC+BE=3x，
∴AE=x，
∴tan∠ACB=.
故答案为：.
【分析】以BH、HG、GD为边，作正六边形BHGDFE，连接BD、DE、AD，由正六边形性质得∠KDG=∠AKD=120°，AK=DK，由等腰三角形的性质得∠ADK=30°，进而根据角的和差求出∠ADG=90°，同理∠EDG=90°，可推出A、D、E三点共线；由正六边形的性质得∠HBC=60°，∠HBE=120°，推出C、B、E三点共线；由正六边形性质得∠GDB=60°，∠DBE=60°，由角的和差得∠BDE=30°，然后根据三角形的内角和定理求出∠AEC=90°，设正六边形的边长为x，根据含30°角直角三角形性质可求出BD=2BE=2x=BC，DE=BE=x=AD，进而表示出EC与AE，最后根据正切函数的定义可求出∠ACB的正切值.
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；圆的认识；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，连接BC'，
由对称性可得BC=BC'，CF=C'F，
∴AB=BC=BC'=2，
∴点A、C、C'三点在以点B为圆心，AB为半径的圆上，
∵∠ABC=120°，
∴∠AC'C=120°，
∴∠FC'C=180°-120°=60°，
∵CF=C'F，
∴△CC'F是等边三角形，
∴要使△CC'F的面积最大，只需要CC'最大即可，
当CC'是圆的直径时，△CC'F的面积最大，
∴CC'=4，
∴△CC'F面积的最大值为.
故答案为：.
【分析】由对称性可得BC=BC'，CF=C'F，由圆的定义得点A、C、C'三点在以点B为圆心，AB为半径的圆上，从而根据圆周角定理及圆内接四边形的性质可得∠AC'C=120°，由邻补角得∠FC'C=60°，由有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得△CC'F是等边三角形，故要使△CC'F的面积最大，只需要CC'最大即可，根据圆中最大的弦是直径可得当CC'是圆的直径时，△CC'F的面积最大，最后根据三角形的面积等于两邻边与其夹角正弦值的乘积的一半可得答案.
17．【答案】（1）解：
；
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：．
【知识点】实数的运算；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先根据绝对值性质、0指数幂性质及二次根式性质分别化简，再计算有理数的加减法运算可得答案；
（2）分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集即可.
18．【答案】解：
，
将代入，得：
原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的减法，同时将被除式的分母利用完全平方公式分解因式，然后将除法转变为乘法，进而约分化简，最后将x的值代入化简结果即可算出答案.
19．【答案】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】根据两直线平行，同位角相等得到∠EDB=∠C，结合∠E=∠ABC，BD=AC，由AAS即可得到△BED≌△ABC，由全等三角形的对应边相等即可得到证明．
20．【答案】（1）
（2）解：列表法如图，
小华 小丽
共有9种等可能结果，其中小华、小玲选择不同游玩项目，有6种，
∴小华、小玲选择不同游玩项目的概率．
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：（1） 小华选择C项目的概率是；
故答案为：；
【分析】（1）共有A、B、C三个等可能的热门项目可供选择，其中选择项目C的只有一种等可能的结果数，从而根据概率公式计算即可；
（2）此题是抽取放回类型，根据题意用表格列举出所有等可能的结果数，由表可知：共有9种等可能结果，其中小华、小玲选择不同游玩项目的等可能结果数有6种，从而根据概率公式计算即可.
21．【答案】（1）4；7.7
（2）12
（3）解：7.5万元小于中位数7.7万元，有一半多的员工销售额比7.5万元高，故员工甲没拿到奖励．
【知识点】频数（率）分布表；中位数
【解析】【解答】解：（1）当月销售额在7≤x＜8的人数为：a=20-3-5-4-4=4；
将20名员工当月的销售额从少到多排列为：
5.0，5.1，5.2，6.0，6.1，6.2，6.3，6.7，7.5，7.6，7.8，7.9，8.2，8.2，8.2，8.5，9.2，9.4，9.8，9.9，
其中排第10与第11位的数为7.6与7.8，
∴中位数b=；
故答案为：4，7.7；
（2）月销售额不低于7万元的有：（人），
故答案为：12；
【分析】（1）根据频数分布表提供的信息，由各组频数之和等于20即可算出A的值；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此可得到b的值；
（2）由频数分布直方图提供的信息，求出月销售额不低于7万元的人数之和即可；
（3）根据数组中，一半的数据比中位数大，另一半的数据比中位数小，中位数是一种衡量集中趋势的量，据此可给出合理的解释.
22．【答案】解：设AB=xm，则AD=BC=(18-x）m，根据题意得，
，
解得：，
答：AB的长为8米或10米．
【知识点】一元二次方程的应用-动态几何问题
【解析】【分析】设AB=xm，则AD=BC=(18-x）m，进而根据矩形的面积=长×宽列出方程，求解可得答案.
23．【答案】解：（1）如图所示，延长AC交PQ于点E，则四边形CDQE是矩形，
∴，
依题意，，，
设，则CE=PE=xm，
在中，，
解得：，
∴古塔的高度为．
（2）∵四边形CDQE是矩形，
∴，
又∵，
∴．
答：古塔的高度为，古塔底面圆的半径为2.1m．
（1）如图所示，延长AC交PQ于点E，则四边形CDQE是矩形，∴，
依题意，，，
设，则CE=PE=xm，
在中，，
解得：，
∴古塔的高度为．
（2）∵四边形CDQE是矩形，
∴，
又∵，
∴．
答：古塔的高度为，古塔底面圆的半径为2.1m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）延长AC交PQ于点E，则四边形CDQE是矩形，则QE=CD=1.5m，设PE=xm，由等腰直角三角形可得PE=CE=xm，在Rt△PAE中，由∠PAE的正切函数可求出x的值，即PE的长，从而根据PQ=PE+QE列式计算可求出古塔的高度；
（2）由矩形性质得DQ=CE=15m，进而根据QG=DQ-DG计算可得古塔底面圆的半径.
24．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：∵是的切线，
∴∠ADO=90°，
∵∠ABC=60°，∠C=90°，
∴，
∴，
∴AB=，
解得：，
如图所示，设圆O与BC交于点E，连接OE，
∵，
∴是等边三角形，
过点E作EF⊥BO于点F，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，则，
∴与重叠部分的面积为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；切线的判定与性质；扇形面积的计算；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）先作出∠ABC的角平分线交AC于点D，再过点D作AC的垂线，交AB于点O，则以点O为圆心，OD的长为半径作圆，该圆就是所求的圆；
（2）设圆O与BC交于点E，连接OE，过点E作EF⊥BO于点F，根据切线性质可得∠ADO=90°，进而根据含30°角直角三角形的性质可求出AO=2OD=2OB，由线段的和差及AB的长度可求出OB=；由有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△OBE是等边三角形，由等边三角形的三线合一得∠OEF=30°，由含30°角直角三角形性质可求出OF的长，在Rt△OEF中，由勾股定理算出EF，进而根据两个图形重叠部分的面积=圆心角为120°，半径为的扇形的面积+△OBE的面积，列式计算可得答案.
25．【答案】（1）解：根据函数图象，可得点的实际意义为：快车到达乙地时，慢车距离乙地还有120km；
（2）解：依题意，快车到达乙地卸装货物用时30min，则点B的横坐标为，
此时慢车继续行驶小时，则快车与慢车的距离为，
∴
设直线的表达式为
∴
解得：
∴直线的表达式为；
（3）解：设快车去乙地的速度为千米/小时，则，
解得：
∴甲乙两地的距离为千米，
设快车返回的速度为千米/小时，根据题意，
解得：，
∴两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需（小时）
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息并解决问题；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）由于横轴表示的是慢车行驶的时间，纵轴表示的是两车之间的距离，总和题干及图象给出的信息可得：点A的实际意义是快车到达乙地时，慢车距离乙地还有120km；
（2）首先根据题意找出点B（3.5，85），进而根据点A、B的坐标，利用待定系数法可求出直线AB的解析式；
（3）设快车去乙地的速度为a千米/小时，根据3小时时，快车与慢车相距120千米建立方程可求出a的值；进而根据快车3小时从甲地行驶到了乙地，根据路程=速度乘以时间可求出甲乙两地的距离；设快车返回的速度为v千米/小时，根据相向而行相遇问题的等量关系快车与慢车行驶小时的路程等于两车之间的距离建立方程，求解可得v的值，进而根据路程除以速度等于时间可算出两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶到达甲地所用的时间.
26．【答案】（1）解：①-2，(-1，0)
②，
列表如下：
-1 0 1 2 3
0 -3 -4 -3 0
画出函数图象如下：
由图可知：当时，或；
（2）解：∵，
∴当时，有最小值为；
∵对于一切实数，若函数值总成立，
∴；
（3）解：∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为，
又当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，
∴直线与抛物线的两个交点为，直线过抛物线顶点或在抛物线的下方，
如图，
∴关于对称轴对称，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，有最小值，
∴．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】（1）①解：∵函数图象与x轴交于A、B两点，点A坐标为（3，0），
∴，
∴，
∴，
∴当时，，
∴，
∴点B的坐标是(-1，0)；
故答案为：-2，(-1，0)；
【分析】（1）①将点A（3，0）代入y=x2+bx-3可算出b的值，从而得到抛物线的解析式，进而令抛物线解析式中的y=0，算出对应的自变量x的值，即可求出点B的坐标；
②首先利用描点法画出抛物线的解析式，再在坐标平面内画出直线y=5的图象，求0＜y＜5时对应的自变量的取值范围，就是求直线y=5下方，且在x轴上方部分图象自变量的取值范围，结合图象可直接得出答案；
（2）将抛物线的解析式配成顶点式为，由抛物线的开口方向向上可得当时，有最小值为，从而结合对于一切实数x，若函数值y＞t总成立可求出t的取值范围；
（3）由题意易得抛物线上横坐标为x=1与x=2 的两点关于对称轴对称，从而求出b，进而得二次函数解析式，再由自变量x的取值范围是127．【答案】（1）
（2）解：如图（2），连接EG，
设正方形的边长为2，根据折叠的性质，可得
设，则
根据折叠，可得，，
在中，，
∴，
在中，
∴
解得：
∴
∴矩形是1阶奇妙矩形；
（3）解：用正方形纸片ABCD进行如下操作（如图）：
第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为MN，再对折，折痕为EF，连接CE；
第二步：折叠纸片使CD落在CE上，点D的对应点为点H，展开，折痕为CG；
第三步：过点G折叠纸片，使得点A、B分别落在边AD、BC上，展开，折痕为GK．
矩形GDCK是2阶奇妙矩形，
理由如下，连接GE，设正方形的边长为4，根据折叠可得EB=1，则AE=4-1=3，
设，则
根据折叠，可得，，
在中，，
∴，
在中，
∴
解得：
∴
当时，
∴矩形是2阶奇妙矩形；
（4）解：四边形AGHE的周长与矩形GDCK的周长比值总是定值，理由如下：
如图（4），连接GE，设正方形的边长为1，设，则，
设，则
根据折叠，可得，，
在中，，
∴，
在中，
∴
整理得，
∴四边形AGHE的周长为
矩形GDCK的周长为，
∴四边形AGHE的周长与矩形GDCK的周长比值总是定值.
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）把n=1代入 ，
得；
故答案为：；
【分析】（1）直接将n=1题干所给的宽与长的比值式子，计算即可得出答案；
（2）连接EG，设正方形边长为2，由折叠得AE=BE=1，设DG=x，则AG=2-x，由折叠的性质得GH=GD=x，CH=CD=2，在Rt△BEC中，利用勾股定理建立方程可算出EC的长，进而根据线段和差算出EH的长，在Rt△AEG与Rt△GHE中，由勾股定理得AG2+AE2=GE2，GH2+EH2=GE2，据此建立方程可求出x的值，从而即可求出GD与DC的比值，进而根据1阶奇妙矩形的定义可得结论；
（3）用正方形纸片ABCD进行如下操作（如图）：第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为MN，再对折，折痕为EF，连接CE；
第二步：折叠纸片使CD落在CE上，点D的对应点为点H，展开，折痕为CG；第三步：过点G折叠纸片，使得点A、B分别落在边AD、BC上，展开，折痕为GK，矩形GDCK是2阶奇妙矩形；理由如下，连接GE，设正方形的边长为4，根据折叠性质可得EB=1，则AE=4-1=3，由折叠的性质可得AE=BE=1，设DG=x，则AG=4-x，由折叠的性质得GH=GD=x，CH=CD=4，在Rt△BEC中，利用勾股定理建立方程可算出EC的长，进而根据线段和差算出EH的长，在Rt△AEG与Rt△GHE中，由勾股定理得AG2+AE2=GE2，GH2+EH2=GE2，据此建立方程可求出x的值，从而即可求出GD与DC的比值，进而算出2阶奇妙矩形宽与长的比值即可比较得出结论；
（4）连接GE，设正方形的边长为1，设EB=m，则AE=1-m，设DG=x，则AG=1-x，由折叠的性质得GH=GD=x，CH=CD=1，在Rt△BEC中，利用勾股定理建立方程可算出EC的长，进而根据线段和差算出EH的长，在Rt△AEG与Rt△GHE中，由勾股定理得AG2+AE2=GE2，GH2+EH2=GE2，据此建立方程可求出x的值，进而根据四边形周长的计算方法分别算出四边形AGHE与四边形GDCK的周长，最后求比值可得答案.
1 / 1江苏省淮安市2023年中考数学试卷
一、单选题
1．（2019七下·台安期中）下列实数中，属于无理数的是（ ）
A．﹣2 B．0 C． D．5
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：﹣2、0、5是有理数， 是无理数.
故答案为：C.
【分析】无理数是指无限不循环小数，根据定义逐个判断即可.
2．（2023·淮安）剪纸是中国优秀的传统文化．下列剪纸图案中，是轴对称图形的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的剪纸图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、此选项中的剪纸图案是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、此选项中的剪纸图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、此选项中的剪纸图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此判断得出答案.
3．（2023·淮安）健康成年人的心脏每分钟流过的血液约．数据4900用科学记数法表示为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：4900=4.9×103.
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
4．（2023·淮安）下列计算正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、2a-a=a，故此选项计算错误，不符合题意；
B、(a2)3=a2×3=a6，故此选项计算错误，不符合题意；
C、a3÷a=a3-1=a2，故此选项计算错误，不符合题意；
D、a2×a4=a2+4=a6，故此选项计算正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；由幂的乘方，底数不变，指数相乘，即可判断B选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断C选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断D选项.
5．（2023·淮安）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；有理数大小比较；不等式的性质
【解析】【解答】解：A、由数轴可知：-2＜a＜-1，故此选项错误，不符合题意；
B、由数轴可知：2＜b＜3，故此选项错误，不符合题意；
C、由数轴可知：-2＜a＜-1，2＜b＜3，∴a小于b，故此选项错误，不符合题意；
D、由数轴可知：-2＜a＜-1，∴1＜-a＜2，又2＜b＜3，∴-a＜b，故此选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据数轴上的点所表示的数的特点可得-2＜a＜-1，2＜b＜3，据此可判断A、B两个选项；根据数轴上的点所表示的数，右边的总比左边的大，可判断C选项；先根据不等式的性质求出1＜-a＜2，再结合b的取值范围，即可判断D选项.
6．（2023·淮安）将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，
∵a∥b，
∴∠1=∠3=56°，
∵∠3=∠2+30°，
∴∠2=∠3-30°=26°.
故答案为：A.
【分析】由二直线平行，同位角相等得∠1=∠3=56°，进而根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和可求出∠2的度数.
7．（2023·淮安）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆锥的计算；由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由三视图可知该几何体是一个底面直径为6，高为4的圆锥，
所以圆锥的母线长为：，
∴圆锥的侧面积为：.
故答案为：B.
【分析】由三视图可知该几何体是一个底面直径为6，高为4的圆锥，由于圆锥的高、底面圆的半径及母线长构成一个直角三角形，所以然后利用勾股定理算出圆锥的母线长，进而根据圆锥的侧面积等于(d是底面圆的直径，r是母线长）计算即可.
8．（2023·淮安）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于两点，且与反比例函数在第一象限内的图象交于点．若点坐标为，则的值是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：将点A（2，0）代入一次函数y=x+b得+b=0，
解得b=，
∴一次函数的解析式为：，
∴B（0，），
∴OB=，
过点C作CD⊥x轴于点D，
∵CD⊥x轴，y轴⊥x轴，
∴OB∥CD，
∴△AOB∽△ADC，
∴，
∴，
∴CD=，
∴点C的纵坐标为，
将y=代入得，
解得x=3，
∴点C（3，），
∴k=.
故答案为：C.
【分析】将点A（2，0）代入一次函数y=x+b可求出b的值，从而得出一次函数的解析式及OB的长，过点C作CD⊥x轴于点D，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得OB∥CD，由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△AOB∽△ADC，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出CD的长，从而得出点C的纵坐标的值，将点C的纵坐标的值代入一次函数解析式算出对应的自变量的值，从而得出点C的坐标，最后根据反比例函数图象上点的坐标特点可求出k的值.
二、填空题
9．（2019·长沙）若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】x≥5
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】∵ 在实数范围内有意义，
∴x 5 0，解得x 5.
故答案为：x≥5.
【分析】使二次根式有意义，即是使被开方数大于等于0，据此解答即可.
10．（2023·淮安）方程的解是 ．
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解： ，
去分母，得x-1=2x+1，
解得x=-2，
当x=-2时2x+1≠0，
∴x=-2是原方程的解.
故答案为：x=-2.
【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程的根.
11．（2023·淮安）若等腰三角形的周长是，一腰长为，则这个三角形的底边长是 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的周长是20cm，一腰长为7cm，
∴这个等腰三角形的底边长为：20-7-7=6cm.
故答案为：6.
【分析】根据等腰三角形的两腰长相等及三角形周长计算方法可求出其底边长.
12．（2023·淮安）若，则的值是 ．
【答案】3
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：∵a+2b-1=0，
∴a+2b=1，
∴3a+6b=3（a+2b）=3×1=3.
故答案为：3.
【分析】由已知条件可得a+2b=1，进而将待求式子逆用乘法分配律变形为含a+2b的式子，最后整体代入计算可得答案.
13．（2023·淮安）将甲、乙两组各10个数据绘制成折线统计图(如图)，两组数据的平均数都是7，设甲、乙两组数据的方差分别为，则 (填“”“=”或“”)．
【答案】
【知识点】折线统计图；方差
【解析】【解答】解：由折线统计图可看出：甲组数据的波动较小，乙组数据的波动较大，
∴.
故答案为：＜.
【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，据此结合折线统计图即可判断得出答案.
14．（2023·淮安）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，则的度数是 ．
【答案】120
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BD，
∵BC是圆O的直径，
∴∠BDC=90°，
又∵BC=2CD，
∴cosC=，
∴∠C=60°，
∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，
∴∠A=180°-∠C=120°.
故答案为：120.
【分析】连接BD，由直径所对的圆周角是直角得∠BDC=90°，由∠C的余弦函数及特殊锐角三角函数值可求出∠C=60°，进而根据圆内接四边形的对角互补可求出∠A的度数.
15．（2023·淮安）如图，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起，连接正六边形的三个顶点得到，则的值是 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；锐角三角函数的定义；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，以BH、HG、GD为边，作正六边形BHGDFE，连接BD、DE、AD，
由正六边形性质得∠KDG=∠AKD=120°，AK=DK，
∴∠ADK=30°，
∴∠ADG=∠KDG-∠ADK=90°，
同理∠EDG=90°，
∴∠EDG+∠ADG=180°，
∴A、D、E三点共线；
∵六边形BHGDFE是正六边形，
∴∠HBC=60°，∠HBE=120°，
∴∠HBC+∠HBE=180°，
∴C、B、E三点共线；
由正六边形性质得∠GDB=60°，∠DBE=60°，
∴∠BDE=∠EDG-∠BDG=30°，
∴∠BED=180°-∠DBE-∠BDE=90°，即∠AEC=90°，
设正六边形的边长为x，则BD=2BE=2x=BC，
∴DE=BE=x=AD，CE=BC+BE=3x，
∴AE=x，
∴tan∠ACB=.
故答案为：.
【分析】以BH、HG、GD为边，作正六边形BHGDFE，连接BD、DE、AD，由正六边形性质得∠KDG=∠AKD=120°，AK=DK，由等腰三角形的性质得∠ADK=30°，进而根据角的和差求出∠ADG=90°，同理∠EDG=90°，可推出A、D、E三点共线；由正六边形的性质得∠HBC=60°，∠HBE=120°，推出C、B、E三点共线；由正六边形性质得∠GDB=60°，∠DBE=60°，由角的和差得∠BDE=30°，然后根据三角形的内角和定理求出∠AEC=90°，设正六边形的边长为x，根据含30°角直角三角形性质可求出BD=2BE=2x=BC，DE=BE=x=AD，进而表示出EC与AE，最后根据正切函数的定义可求出∠ACB的正切值.
16．（2023·淮安）在四边形中，为内部的任一条射线（不等于），点关于的对称点为，直线与交于点，连接，则面积的最大值是 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；圆的认识；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，连接BC'，
由对称性可得BC=BC'，CF=C'F，
∴AB=BC=BC'=2，
∴点A、C、C'三点在以点B为圆心，AB为半径的圆上，
∵∠ABC=120°，
∴∠AC'C=120°，
∴∠FC'C=180°-120°=60°，
∵CF=C'F，
∴△CC'F是等边三角形，
∴要使△CC'F的面积最大，只需要CC'最大即可，
当CC'是圆的直径时，△CC'F的面积最大，
∴CC'=4，
∴△CC'F面积的最大值为.
故答案为：.
【分析】由对称性可得BC=BC'，CF=C'F，由圆的定义得点A、C、C'三点在以点B为圆心，AB为半径的圆上，从而根据圆周角定理及圆内接四边形的性质可得∠AC'C=120°，由邻补角得∠FC'C=60°，由有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得△CC'F是等边三角形，故要使△CC'F的面积最大，只需要CC'最大即可，根据圆中最大的弦是直径可得当CC'是圆的直径时，△CC'F的面积最大，最后根据三角形的面积等于两邻边与其夹角正弦值的乘积的一半可得答案.
三、解答题
17．（2023·淮安）
（1）计算：；
（2）解不等式组：
【答案】（1）解：
；
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：．
【知识点】实数的运算；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先根据绝对值性质、0指数幂性质及二次根式性质分别化简，再计算有理数的加减法运算可得答案；
（2）分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集即可.
18．（2023·淮安）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
将代入，得：
原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的减法，同时将被除式的分母利用完全平方公式分解因式，然后将除法转变为乘法，进而约分化简，最后将x的值代入化简结果即可算出答案.
19．（2023·淮安）已知：如图，点为线段上一点，，，．求证：．
【答案】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】根据两直线平行，同位角相等得到∠EDB=∠C，结合∠E=∠ABC，BD=AC，由AAS即可得到△BED≌△ABC，由全等三角形的对应边相等即可得到证明．
20．（2023·淮安）小华、小玲一起到淮安西游乐园游玩，他们决定在三个热门项目（A：智取芭蕉扇、B：三打白骨精、C：盘丝洞）中各自随机选择一个项目游玩．
（1）小华选择C项目的概率是 ；
（2）用画树状图或列表等方法求小华、小玲选择不同游玩项目的概率．
【答案】（1）
（2）解：列表法如图，
小华 小丽
共有9种等可能结果，其中小华、小玲选择不同游玩项目，有6种，
∴小华、小玲选择不同游玩项目的概率．
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：（1） 小华选择C项目的概率是；
故答案为：；
【分析】（1）共有A、B、C三个等可能的热门项目可供选择，其中选择项目C的只有一种等可能的结果数，从而根据概率公式计算即可；
（2）此题是抽取放回类型，根据题意用表格列举出所有等可能的结果数，由表可知：共有9种等可能结果，其中小华、小玲选择不同游玩项目的等可能结果数有6种，从而根据概率公式计算即可.
21．（2023·淮安）为了调动员工的积极性，商场家电部经理决定确定一个适当的月销售目标，对完成目标的员工进行奖励．家电部对20名员工当月的销售额进行统计和分析．
数据收集（单位：万元）：
5.0 9.9 6.0 5.2 8.2 6.2 7.6 9.4 8.2 7.8
5.1 7.5 6.1 6.3 6.7 7.9 8.2 8.5 9.2 9.8
数据整理：
销售额/万元
频数 3 5 4 4
数据分析：
平均数 众数 中位数
7.44 8
问题解决：
（1）填空： ， ．
（2）若将月销售额不低于7万元确定为销售目标，则有 名员工获得奖励．
（3）经理对数据分析以后，最终对一半的员工进行了奖励．员工甲找到经理说：“我这个月的销售额是7.5万元，比平均数7.44万元高，所以我的销售额超过一半员工，为什么我没拿到奖励？”假如你是经理，请你给出合理解释．
【答案】（1）4；7.7
（2）12
（3）解：7.5万元小于中位数7.7万元，有一半多的员工销售额比7.5万元高，故员工甲没拿到奖励．
【知识点】频数（率）分布表；中位数
【解析】【解答】解：（1）当月销售额在7≤x＜8的人数为：a=20-3-5-4-4=4；
将20名员工当月的销售额从少到多排列为：
5.0，5.1，5.2，6.0，6.1，6.2，6.3，6.7，7.5，7.6，7.8，7.9，8.2，8.2，8.2，8.5，9.2，9.4，9.8，9.9，
其中排第10与第11位的数为7.6与7.8，
∴中位数b=；
故答案为：4，7.7；
（2）月销售额不低于7万元的有：（人），
故答案为：12；
【分析】（1）根据频数分布表提供的信息，由各组频数之和等于20即可算出A的值；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此可得到b的值；
（2）由频数分布直方图提供的信息，求出月销售额不低于7万元的人数之和即可；
（3）根据数组中，一半的数据比中位数大，另一半的数据比中位数小，中位数是一种衡量集中趋势的量，据此可给出合理的解释.
22．（2023·淮安）为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用的篱笆围成．生态园的面积能否为？如果能，请求出的长；如果不能，请说明理由．
【答案】解：设AB=xm，则AD=BC=(18-x）m，根据题意得，
，
解得：，
答：AB的长为8米或10米．
【知识点】一元二次方程的应用-动态几何问题
【解析】【分析】设AB=xm，则AD=BC=(18-x）m，进而根据矩形的面积=长×宽列出方程，求解可得答案.
23．（2023·淮安）根据以下材料，完成项目任务，
项目 测量古塔的高度及古塔底面圆的半径
测量工具 测角仪、皮尺等
测量 说明：点为古塔底面圆圆心，测角仪高度，在处分别测得古塔顶端的仰角为，测角仪所在位置与古塔底部边缘距离．点在同一条直线上．
参考数据
项目任务
（1）求出古塔的高度．
（2）求出古塔底面圆的半径．
【答案】解：（1）如图所示，延长AC交PQ于点E，则四边形CDQE是矩形，
∴，
依题意，，，
设，则CE=PE=xm，
在中，，
解得：，
∴古塔的高度为．
（2）∵四边形CDQE是矩形，
∴，
又∵，
∴．
答：古塔的高度为，古塔底面圆的半径为2.1m．
（1）如图所示，延长AC交PQ于点E，则四边形CDQE是矩形，∴，
依题意，，，
设，则CE=PE=xm，
在中，，
解得：，
∴古塔的高度为．
（2）∵四边形CDQE是矩形，
∴，
又∵，
∴．
答：古塔的高度为，古塔底面圆的半径为2.1m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）延长AC交PQ于点E，则四边形CDQE是矩形，则QE=CD=1.5m，设PE=xm，由等腰直角三角形可得PE=CE=xm，在Rt△PAE中，由∠PAE的正切函数可求出x的值，即PE的长，从而根据PQ=PE+QE列式计算可求出古塔的高度；
（2）由矩形性质得DQ=CE=15m，进而根据QG=DQ-DG计算可得古塔底面圆的半径.
24．（2023·淮安）如图，在中，．
（1）尺规作图：作，使得圆心在边上，过点且与边相切于点（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若，求与重叠部分的面积．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：∵是的切线，
∴∠ADO=90°，
∵∠ABC=60°，∠C=90°，
∴，
∴，
∴AB=，
解得：，
如图所示，设圆O与BC交于点E，连接OE，
∵，
∴是等边三角形，
过点E作EF⊥BO于点F，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，则，
∴与重叠部分的面积为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；切线的判定与性质；扇形面积的计算；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）先作出∠ABC的角平分线交AC于点D，再过点D作AC的垂线，交AB于点O，则以点O为圆心，OD的长为半径作圆，该圆就是所求的圆；
（2）设圆O与BC交于点E，连接OE，过点E作EF⊥BO于点F，根据切线性质可得∠ADO=90°，进而根据含30°角直角三角形的性质可求出AO=2OD=2OB，由线段的和差及AB的长度可求出OB=；由有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△OBE是等边三角形，由等边三角形的三线合一得∠OEF=30°，由含30°角直角三角形性质可求出OF的长，在Rt△OEF中，由勾股定理算出EF，进而根据两个图形重叠部分的面积=圆心角为120°，半径为的扇形的面积+△OBE的面积，列式计算可得答案.
25．（2023·淮安）快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物用时，结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇，已知慢车的速度为．两车之间的距离与慢车行驶的时间的函数图象如图所示．
（1）请解释图中点的实际意义；
（2）求出图中线段所表示的函数表达式；
（3）两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需多长时间．
【答案】（1）解：根据函数图象，可得点的实际意义为：快车到达乙地时，慢车距离乙地还有120km；
（2）解：依题意，快车到达乙地卸装货物用时30min，则点B的横坐标为，
此时慢车继续行驶小时，则快车与慢车的距离为，
∴
设直线的表达式为
∴
解得：
∴直线的表达式为；
（3）解：设快车去乙地的速度为千米/小时，则，
解得：
∴甲乙两地的距离为千米，
设快车返回的速度为千米/小时，根据题意，
解得：，
∴两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需（小时）
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息并解决问题；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）由于横轴表示的是慢车行驶的时间，纵轴表示的是两车之间的距离，总和题干及图象给出的信息可得：点A的实际意义是快车到达乙地时，慢车距离乙地还有120km；
（2）首先根据题意找出点B（3.5，85），进而根据点A、B的坐标，利用待定系数法可求出直线AB的解析式；
（3）设快车去乙地的速度为a千米/小时，根据3小时时，快车与慢车相距120千米建立方程可求出a的值；进而根据快车3小时从甲地行驶到了乙地，根据路程=速度乘以时间可求出甲乙两地的距离；设快车返回的速度为v千米/小时，根据相向而行相遇问题的等量关系快车与慢车行驶小时的路程等于两车之间的距离建立方程，求解可得v的值，进而根据路程除以速度等于时间可算出两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶到达甲地所用的时间.
26．（2023·淮安）已知二次函数（为常数）．
（1）该函数图象与轴交于两点，若点坐标为，
①则的值是 ▲ ，点的坐标是 ▲ ；
②当时，借助图像，求自变量的取值范围；
（2）对于一切实数，若函数值总成立，求的取值范围（用含的式子表示）；
（3）当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，求和的值以及的取值范围．
【答案】（1）解：①-2，(-1，0)
②，
列表如下：
-1 0 1 2 3
0 -3 -4 -3 0
画出函数图象如下：
由图可知：当时，或；
（2）解：∵，
∴当时，有最小值为；
∵对于一切实数，若函数值总成立，
∴；
（3）解：∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为，
又当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，
∴直线与抛物线的两个交点为，直线过抛物线顶点或在抛物线的下方，
如图，
∴关于对称轴对称，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，有最小值，
∴．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】（1）①解：∵函数图象与x轴交于A、B两点，点A坐标为（3，0），
∴，
∴，
∴，
∴当时，，
∴，
∴点B的坐标是(-1，0)；
故答案为：-2，(-1，0)；
【分析】（1）①将点A（3，0）代入y=x2+bx-3可算出b的值，从而得到抛物线的解析式，进而令抛物线解析式中的y=0，算出对应的自变量x的值，即可求出点B的坐标；
②首先利用描点法画出抛物线的解析式，再在坐标平面内画出直线y=5的图象，求0＜y＜5时对应的自变量的取值范围，就是求直线y=5下方，且在x轴上方部分图象自变量的取值范围，结合图象可直接得出答案；
（2）将抛物线的解析式配成顶点式为，由抛物线的开口方向向上可得当时，有最小值为，从而结合对于一切实数x，若函数值y＞t总成立可求出t的取值范围；
（3）由题意易得抛物线上横坐标为x=1与x=2 的两点关于对称轴对称，从而求出b，进而得二次函数解析式，再由自变量x的取值范围是127．（2023·淮安）综合与实践
定义：将宽与长的比值为（为正整数）的矩形称为阶奇妙矩形．
（1）概念理解：
当时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽（）与长的比值是 ．
（2）操作验证：
用正方形纸片进行如下操作（如图（2））：
第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为，连接；
第二步：折叠纸片使落在上，点的对应点为点，展开，折痕为；
第三步：过点折叠纸片，使得点分别落在边上，展开，折痕为．
试说明：矩形是1阶奇妙矩形．
（3）方法迁移：
用正方形纸片折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注．
（4）探究发现：
小明操作发现任一个阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点为正方形边上（不与端点重合）任意一点，连接，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形的周长与矩形的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由．
【答案】（1）
（2）解：如图（2），连接EG，
设正方形的边长为2，根据折叠的性质，可得
设，则
根据折叠，可得，，
在中，，
∴，
在中，
∴
解得：
∴
∴矩形是1阶奇妙矩形；
（3）解：用正方形纸片ABCD进行如下操作（如图）：
第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为MN，再对折，折痕为EF，连接CE；
第二步：折叠纸片使CD落在CE上，点D的对应点为点H，展开，折痕为CG；
第三步：过点G折叠纸片，使得点A、B分别落在边AD、BC上，展开，折痕为GK．
矩形GDCK是2阶奇妙矩形，
理由如下，连接GE，设正方形的边长为4，根据折叠可得EB=1，则AE=4-1=3，
设，则
根据折叠，可得，，
在中，，
∴，
在中，
∴
解得：
∴
当时，
∴矩形是2阶奇妙矩形；
（4）解：四边形AGHE的周长与矩形GDCK的周长比值总是定值，理由如下：
如图（4），连接GE，设正方形的边长为1，设，则，
设，则
根据折叠，可得，，
在中，，
∴，
在中，
∴
整理得，
∴四边形AGHE的周长为
矩形GDCK的周长为，
∴四边形AGHE的周长与矩形GDCK的周长比值总是定值.
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）把n=1代入 ，
得；
故答案为：；
【分析】（1）直接将n=1题干所给的宽与长的比值式子，计算即可得出答案；
（2）连接EG，设正方形边长为2，由折叠得AE=BE=1，设DG=x，则AG=2-x，由折叠的性质得GH=GD=x，CH=CD=2，在Rt△BEC中，利用勾股定理建立方程可算出EC的长，进而根据线段和差算出EH的长，在Rt△AEG与Rt△GHE中，由勾股定理得AG2+AE2=GE2，GH2+EH2=GE2，据此建立方程可求出x的值，从而即可求出GD与DC的比值，进而根据1阶奇妙矩形的定义可得结论；
（3）用正方形纸片ABCD进行如下操作（如图）：第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为MN，再对折，折痕为EF，连接CE；
第二步：折叠纸片使CD落在CE上，点D的对应点为点H，展开，折痕为CG；第三步：过点G折叠纸片，使得点A、B分别落在边AD、BC上，展开，折痕为GK，矩形GDCK是2阶奇妙矩形；理由如下，连接GE，设正方形的边长为4，根据折叠性质可得EB=1，则AE=4-1=3，由折叠的性质可得AE=BE=1，设DG=x，则AG=4-x，由折叠的性质得GH=GD=x，CH=CD=4，在Rt△BEC中，利用勾股定理建立方程可算出EC的长，进而根据线段和差算出EH的长，在Rt△AEG与Rt△GHE中，由勾股定理得AG2+AE2=GE2，GH2+EH2=GE2，据此建立方程可求出x的值，从而即可求出GD与DC的比值，进而算出2阶奇妙矩形宽与长的比值即可比较得出结论；
（4）连接GE，设正方形的边长为1，设EB=m，则AE=1-m，设DG=x，则AG=1-x，由折叠的性质得GH=GD=x，CH=CD=1，在Rt△BEC中，利用勾股定理建立方程可算出EC的长，进而根据线段和差算出EH的长，在Rt△AEG与Rt△GHE中，由勾股定理得AG2+AE2=GE2，GH2+EH2=GE2，据此建立方程可求出x的值，进而根据四边形周长的计算方法分别算出四边形AGHE与四边形GDCK的周长，最后求比值可得答案.
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