湖南省长沙市开福区北雅中学2023-2024学年八年级上学期入学数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023八上·开福开学考）若与互为相反数，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八上·开福开学考）光在真空中的速度约为每秒万千米，用科学记数法表示千米秒．（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八上·开福开学考）下列各数中属于无理数的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八上·开福开学考）如图，如果，那么，其依据可以简单说成（ ）
A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行
5．（2022·广东）在平面直角坐标系中，将点 向右平移2个单位后，得到的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．（2020八上·椒江期末）长度分别为a，2，4的三条线段能组成一个三角形，则a的值可能是（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．6
7．（2019·天津）估计 的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
8．（2023七下·长沙期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2023八上·开福开学考）若满足方程组的与互为相反数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023八上·开福开学考）若不等式组无解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11．（2017·兴化模拟）若正多边形的一个外角为40°，则这个正多边形是 边形．
12．（2016七下·迁安期中）如果 的平方根是±3，则 = ．
13．（2023八上·开福开学考）若是方程的解，则 ．
14．（2023八上·开福开学考）在平面直角坐标系中，已知线段轴，且，点的坐标是，则点的坐标为 ．
15．（2023八上·开福开学考）已知，不等式解集为 ．
16．（2023八上·开福开学考）如图，是线段上的一点，和都是等边三角形，交于，交于，交于，则；；；其中，正确的有 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023八上·开福开学考）计算：
18．（2023八上·开福开学考）解不等式组，并求出它的非负整数解．
19．（2023八上·开福开学考）下面是教材中“作一个角等于已知角”的尺规作图过程已知：，求作：一个角，使它等于．
作法：如图，作射线；
以为圆心，任意长为半径作弧，交于，交于；
以为圆心，为半径作弧，交于；
以为圆心，为半径作弧，交弧于；
过点作射线，则就是所求作的角．
请完成下列问题：
（1）该作图的依据是 填序号．
（2）请证明．
20．（2023八上·开福开学考）新冠肺炎疫情发生以来，专家给出了很多预防建议为普及预防措施，某校组织了由七年级名学生参加的“防新冠”知识竞赛杨老师为了了解学生的答题情况，从中随机抽取了部分同学的成绩作为样本，把成绩按优秀、良好、及格、不及格个级别进行统计，并绘制成了如下条形统计图和扇形统计图部分信息未给出请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）求被抽取的部分学生的人数，并请补全条形统计图；
（2）求出扇形统计图中表示良好级别的扇形的圆心角度数；
（3）请估计七年级名学生中达到良好和优秀的总人数．
21．（2023八上·开福开学考）如图，已知是上一点，是上的一点，、相交于点，，，．
（1）的度数；
（2）的度数．
22．（2023八上·开福开学考）为开展“校园读书活动”雅礼中学读书会讣划釆购数学文化和文学名著两类书籍共本，经了解，购买本数学文化和本文学名著共需元，本数学文化比本文学名著贵元．注：所采购的同类书籍价格都一样
（1）求每本数学文化和文学名著的价格；
（2）若校园读书会要求购买数学文化本数不少于文学名著，且总费用不超过元，请求出所有符合条件的购书方案．
23．（2023八上·开福开学考）如图，在平面直角坐标系中，点，连接，将绕点逆时针方向旋转到．
（1）求点的坐标；用字母，表示
（2）如图，延长交轴于点，过点作交轴于点，求证：．
24．（2023七下·凤凰期末）我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，两个不等式的解集相同，则称A与B为同解不等式．
（1）若关于x的不等式A：，不等式B：是同解不等式，求a的值；
（2）若关于x的不等式C：，不等式D：是同解不等式，其中m，n是正整数，求m，n的值；
（3）若关于x的不等式P：，不等式Q：是同解不等式，试求关于x的不等式的解集．
25．（2023八上·开福开学考）如图，，的平分线交于点，．
（1）如图，若，的平分线交于点、交射线于点求的度数；
（2）如图，线段上有一点，满足，若在直线上取一点，使，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解：由题意可得：
a=-（-2），解得：a=2
故答案为：B
【分析】根据相反数性质即可求出答案。
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意可得：
300000用科学记数法表示为：
故答案为：B
【分析】科学记数法为将一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式。
3．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A：3.14为有理数，不符合题意；
B：为有理数，不符合题意；
C：为无理数，符合题意；
D：分数为有理数，不符合题意。
故答案为：C
【分析】根据无理数的定义即可求出答案。
4．【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：由题意可得：
为同位角，则
故答案为：D
【分析】 根据直线平行的判定定理即可求出答案。
5．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：点 向右平移2个单位长度后得到的点的坐标为 ．
故答案为：A．
【分析】根据点坐标平移的特征：左减右加，上加下减求解即可。
6．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形三边的关系得：
4-2
解得：2即复合的只有3.
故答案为：C.
【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得出4-27．【答案】D
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵25＜33＜36，
∴ ＜ ＜ ，
∴5＜ ＜6．
故答案为：D．
【分析】由25＜33＜36，得出5＜ ＜6．即可求出 的值在5和6之间 .
8．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由3x+3≥0，可得x≥-1；
由x-2≤0，可得x≤2，
∴不等式组的解集为：-1≤x≤2，
∴不等式组的解集在数轴上为：，
故答案为：A.
【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集并在数轴上画出解集即可。
9．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：解方程组得：
∵与互为相反数
∴x+y=0，
即
解得：m=11
故答案为：A
【分析】先求出方程的解，再根据相反数的定义列出方程，解方程即可求出答案。
10．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意可得：
，解得：
故答案为：A
【分析】根据不等式组的性质列出不等式，解不等式即可求出答案。
11．【答案】九
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：多边形的每个外角相等，且其和为360°，
据此可得=40，
解得n=9．
故答案为：九．
【分析】利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案．
12．【答案】4
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：∵ 的平方根是±3，
∴ =9，
∴a=81，
∴ = =4，
故答案为：4．
【分析】求出a的值，代入求出即可．
13．【答案】2
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：由题意可得：
2-k=0，解得：k=2
故答案为：2
【分析】将解代入方程即可求出答案。
14．【答案】（3，4）或（-7，4）
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；两点间的距离
【解析】【解答】解：由题意可得：
A、B点的纵坐标都为4
∵AB=5
当点B在点A左边时，B点坐标为（-7，4）
当点B在点A右边时，B点坐标为（3，4）
故答案为：（3，4）或（-7，4）
【分析】根据直线平行性质，A、B点的纵坐标相等，分情况讨论即可求出答案。
15．【答案】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
x-5<0，则
故答案为：
【分析】根据不等式的性质即可求出答案。
16．【答案】①②④
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵和都是等边三角形
在△DCB和△ACE中
正确
∵是线段上的一点，
在△ACM和△DCN中
、正确
错误
故答案为：①②④
【分析】根据等边三角形的性质，全等三角形的判定定理及性质，三角形外角和内角和性质即可求出答案。
17．【答案】解：
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】根据立方根性质，二次根式性质，绝对值性质化简即可求出答案。
18．【答案】解：．
解不等式得：，
解不等式得：，
则该不等式组的解集为：．
故不等式组的非负整数解为：，，，．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】分别解，不等式的解集，再求出不等式组的解集，再求出符合题意的解即可。
19．【答案】（1）④
（2）证明：由作法得已知：，，
在和中，
，
≌，
．
【知识点】三角形全等及其性质；作图-角
【解析】【分析】（1）根据作图过程可得：作一个角等于已知角的方法依据是SSS，即可求出答案；
（2）根据全等三角形的判定定理即可求出答案。
20．【答案】（1）解：人，
即被抽取的部分学生有人；
优秀的学生有：人，
良好的学生有：人，
补全的条形统计图如图所示；
（2）解：扇形统计图中表示良好级别的扇形的圆心角度数为：，
即扇形统计图中表示良好级别的扇形的圆心角度数是
（3）解：人，
即七年级名学生中达到良好和优秀的总人数是人．
【知识点】利用统计图表分析实际问题
【解析】【分析】（1）根据及格人数÷及格所占比例可求出抽取的人数，再求出良好人数及优秀人数即可；
（2）根据即可求出答案。
（3）根据即可求出答案。
21．【答案】（1）解：，，
（2）解：由得，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】（1）根据三角形外角性质即可求出答案；
（3）根据三角形内角和定理即可求出答案。
22．【答案】（1）解：设每本数学文化的价格为元，每本文学名著的价格为元，
依题意，得：，
解得：．
答：每本数学文化的价格为元，每本文学名著的价格为元．
（2）解：设购买数学文化本，则购买文学名著本，
依题意，得：，
解得：．
为整数，
共有三种购书方案，方案：购进数学文化本，文学名著本；方案：购进数学文化本，文学名著本；方案：购进数学文化本，文学名著本．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 设每本数学文化的价格为元，每本文学名著的价格为元， 根据题意列出方程组，解方程组即可求出答案；
（2） 设购买数学文化本，则购买文学名著本， 根据题意列出不等式组，解不等式组即可求出答案。
23．【答案】（1）解：如图，
作轴于，作轴于，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
；
（2）证明：如图，
设，交于点，
，
，
，
，
，
，
即：，
，
≌，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）作轴于，作轴于，根据全等三角形的判定定理可得出 ≌，根据全等三角形性质即可求出答案；
（2）设，交于点，根据垂直性质进行角之间的等量替换，根据全等三角形的判定定理及性质即可求出答案。
24．【答案】（1）解：解关于x的不等式A：1 3x＞0，得x＜，
解不等式B：，得x＜，
由题意得：，
解得：a=1；
（2）解：解不等式C：x＋1＞mn得：x＞mn 1，
不等式D：x 3＞m得：x＞m＋3，
∴mn 1＝m＋3，
∴m＝，
∵m，n是正整数，
∴n 1为1或4或2，
∴m＝4，n＝2或；m＝1，n＝5或m＝2，n＝3．
（3）解：解不等式Q：得：x＞，
∵不等式P与不等式Q是同解不等式，
∴2a b＜0
解不等式P：（2a b）x＋3a 4b＜0得：x＞，
∴=
∴7a＝8b，
∵2a b＜0，
∴4b＝3.5a，且a＜0，
∴a 4b＝a 3.5a＝ 2.5a＞0，
∴（a 4b）x＋2a 3b＜0的解集为：x＜ ．
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】本题要抓住同解不等式的定义，由两个不等式的解集相同，所以把两个解集表示出来后，直接相等，即可求出结果.需要注意的是，在系数化为1时，一定要先判断系数的正负性.
25．【答案】（1）解：平分，，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
；
（2）解：有两种情况，
当在的下方时，如图：
设，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，，
；
当在的上方时，如图：
设，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，，
；
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据角平分线性质，平行线的性质，三角形内角和定理进行角之间的等量替换即可求出答案；
（2）根据平行线的性质，三角形内角和定理及角平分线性质分别表示出∠ABM和∠GBM，即可求出答案。
1 / 1湖南省长沙市开福区北雅中学2023-2024学年八年级上学期入学数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023八上·开福开学考）若与互为相反数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解：由题意可得：
a=-（-2），解得：a=2
故答案为：B
【分析】根据相反数性质即可求出答案。
2．（2023八上·开福开学考）光在真空中的速度约为每秒万千米，用科学记数法表示千米秒．（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意可得：
300000用科学记数法表示为：
故答案为：B
【分析】科学记数法为将一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式。
3．（2023八上·开福开学考）下列各数中属于无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A：3.14为有理数，不符合题意；
B：为有理数，不符合题意；
C：为无理数，符合题意；
D：分数为有理数，不符合题意。
故答案为：C
【分析】根据无理数的定义即可求出答案。
4．（2023八上·开福开学考）如图，如果，那么，其依据可以简单说成（ ）
A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行
【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：由题意可得：
为同位角，则
故答案为：D
【分析】 根据直线平行的判定定理即可求出答案。
5．（2022·广东）在平面直角坐标系中，将点 向右平移2个单位后，得到的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：点 向右平移2个单位长度后得到的点的坐标为 ．
故答案为：A．
【分析】根据点坐标平移的特征：左减右加，上加下减求解即可。
6．（2020八上·椒江期末）长度分别为a，2，4的三条线段能组成一个三角形，则a的值可能是（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．6
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形三边的关系得：
4-2解得：2即复合的只有3.
故答案为：C.
【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得出4-27．（2019·天津）估计 的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【答案】D
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵25＜33＜36，
∴ ＜ ＜ ，
∴5＜ ＜6．
故答案为：D．
【分析】由25＜33＜36，得出5＜ ＜6．即可求出 的值在5和6之间 .
8．（2023七下·长沙期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由3x+3≥0，可得x≥-1；
由x-2≤0，可得x≤2，
∴不等式组的解集为：-1≤x≤2，
∴不等式组的解集在数轴上为：，
故答案为：A.
【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集并在数轴上画出解集即可。
9．（2023八上·开福开学考）若满足方程组的与互为相反数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：解方程组得：
∵与互为相反数
∴x+y=0，
即
解得：m=11
故答案为：A
【分析】先求出方程的解，再根据相反数的定义列出方程，解方程即可求出答案。
10．（2023八上·开福开学考）若不等式组无解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意可得：
，解得：
故答案为：A
【分析】根据不等式组的性质列出不等式，解不等式即可求出答案。
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11．（2017·兴化模拟）若正多边形的一个外角为40°，则这个正多边形是 边形．
【答案】九
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：多边形的每个外角相等，且其和为360°，
据此可得=40，
解得n=9．
故答案为：九．
【分析】利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案．
12．（2016七下·迁安期中）如果 的平方根是±3，则 = ．
【答案】4
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：∵ 的平方根是±3，
∴ =9，
∴a=81，
∴ = =4，
故答案为：4．
【分析】求出a的值，代入求出即可．
13．（2023八上·开福开学考）若是方程的解，则 ．
【答案】2
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：由题意可得：
2-k=0，解得：k=2
故答案为：2
【分析】将解代入方程即可求出答案。
14．（2023八上·开福开学考）在平面直角坐标系中，已知线段轴，且，点的坐标是，则点的坐标为 ．
【答案】（3，4）或（-7，4）
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；两点间的距离
【解析】【解答】解：由题意可得：
A、B点的纵坐标都为4
∵AB=5
当点B在点A左边时，B点坐标为（-7，4）
当点B在点A右边时，B点坐标为（3，4）
故答案为：（3，4）或（-7，4）
【分析】根据直线平行性质，A、B点的纵坐标相等，分情况讨论即可求出答案。
15．（2023八上·开福开学考）已知，不等式解集为 ．
【答案】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
x-5<0，则
故答案为：
【分析】根据不等式的性质即可求出答案。
16．（2023八上·开福开学考）如图，是线段上的一点，和都是等边三角形，交于，交于，交于，则；；；其中，正确的有 ．
【答案】①②④
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵和都是等边三角形
在△DCB和△ACE中
正确
∵是线段上的一点，
在△ACM和△DCN中
、正确
错误
故答案为：①②④
【分析】根据等边三角形的性质，全等三角形的判定定理及性质，三角形外角和内角和性质即可求出答案。
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023八上·开福开学考）计算：
【答案】解：
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】根据立方根性质，二次根式性质，绝对值性质化简即可求出答案。
18．（2023八上·开福开学考）解不等式组，并求出它的非负整数解．
【答案】解：．
解不等式得：，
解不等式得：，
则该不等式组的解集为：．
故不等式组的非负整数解为：，，，．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】分别解，不等式的解集，再求出不等式组的解集，再求出符合题意的解即可。
19．（2023八上·开福开学考）下面是教材中“作一个角等于已知角”的尺规作图过程已知：，求作：一个角，使它等于．
作法：如图，作射线；
以为圆心，任意长为半径作弧，交于，交于；
以为圆心，为半径作弧，交于；
以为圆心，为半径作弧，交弧于；
过点作射线，则就是所求作的角．
请完成下列问题：
（1）该作图的依据是 填序号．
（2）请证明．
【答案】（1）④
（2）证明：由作法得已知：，，
在和中，
，
≌，
．
【知识点】三角形全等及其性质；作图-角
【解析】【分析】（1）根据作图过程可得：作一个角等于已知角的方法依据是SSS，即可求出答案；
（2）根据全等三角形的判定定理即可求出答案。
20．（2023八上·开福开学考）新冠肺炎疫情发生以来，专家给出了很多预防建议为普及预防措施，某校组织了由七年级名学生参加的“防新冠”知识竞赛杨老师为了了解学生的答题情况，从中随机抽取了部分同学的成绩作为样本，把成绩按优秀、良好、及格、不及格个级别进行统计，并绘制成了如下条形统计图和扇形统计图部分信息未给出请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）求被抽取的部分学生的人数，并请补全条形统计图；
（2）求出扇形统计图中表示良好级别的扇形的圆心角度数；
（3）请估计七年级名学生中达到良好和优秀的总人数．
【答案】（1）解：人，
即被抽取的部分学生有人；
优秀的学生有：人，
良好的学生有：人，
补全的条形统计图如图所示；
（2）解：扇形统计图中表示良好级别的扇形的圆心角度数为：，
即扇形统计图中表示良好级别的扇形的圆心角度数是
（3）解：人，
即七年级名学生中达到良好和优秀的总人数是人．
【知识点】利用统计图表分析实际问题
【解析】【分析】（1）根据及格人数÷及格所占比例可求出抽取的人数，再求出良好人数及优秀人数即可；
（2）根据即可求出答案。
（3）根据即可求出答案。
21．（2023八上·开福开学考）如图，已知是上一点，是上的一点，、相交于点，，，．
（1）的度数；
（2）的度数．
【答案】（1）解：，，
（2）解：由得，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】（1）根据三角形外角性质即可求出答案；
（3）根据三角形内角和定理即可求出答案。
22．（2023八上·开福开学考）为开展“校园读书活动”雅礼中学读书会讣划釆购数学文化和文学名著两类书籍共本，经了解，购买本数学文化和本文学名著共需元，本数学文化比本文学名著贵元．注：所采购的同类书籍价格都一样
（1）求每本数学文化和文学名著的价格；
（2）若校园读书会要求购买数学文化本数不少于文学名著，且总费用不超过元，请求出所有符合条件的购书方案．
【答案】（1）解：设每本数学文化的价格为元，每本文学名著的价格为元，
依题意，得：，
解得：．
答：每本数学文化的价格为元，每本文学名著的价格为元．
（2）解：设购买数学文化本，则购买文学名著本，
依题意，得：，
解得：．
为整数，
共有三种购书方案，方案：购进数学文化本，文学名著本；方案：购进数学文化本，文学名著本；方案：购进数学文化本，文学名著本．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 设每本数学文化的价格为元，每本文学名著的价格为元， 根据题意列出方程组，解方程组即可求出答案；
（2） 设购买数学文化本，则购买文学名著本， 根据题意列出不等式组，解不等式组即可求出答案。
23．（2023八上·开福开学考）如图，在平面直角坐标系中，点，连接，将绕点逆时针方向旋转到．
（1）求点的坐标；用字母，表示
（2）如图，延长交轴于点，过点作交轴于点，求证：．
【答案】（1）解：如图，
作轴于，作轴于，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
；
（2）证明：如图，
设，交于点，
，
，
，
，
，
，
即：，
，
≌，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）作轴于，作轴于，根据全等三角形的判定定理可得出 ≌，根据全等三角形性质即可求出答案；
（2）设，交于点，根据垂直性质进行角之间的等量替换，根据全等三角形的判定定理及性质即可求出答案。
24．（2023七下·凤凰期末）我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，两个不等式的解集相同，则称A与B为同解不等式．
（1）若关于x的不等式A：，不等式B：是同解不等式，求a的值；
（2）若关于x的不等式C：，不等式D：是同解不等式，其中m，n是正整数，求m，n的值；
（3）若关于x的不等式P：，不等式Q：是同解不等式，试求关于x的不等式的解集．
【答案】（1）解：解关于x的不等式A：1 3x＞0，得x＜，
解不等式B：，得x＜，
由题意得：，
解得：a=1；
（2）解：解不等式C：x＋1＞mn得：x＞mn 1，
不等式D：x 3＞m得：x＞m＋3，
∴mn 1＝m＋3，
∴m＝，
∵m，n是正整数，
∴n 1为1或4或2，
∴m＝4，n＝2或；m＝1，n＝5或m＝2，n＝3．
（3）解：解不等式Q：得：x＞，
∵不等式P与不等式Q是同解不等式，
∴2a b＜0
解不等式P：（2a b）x＋3a 4b＜0得：x＞，
∴=
∴7a＝8b，
∵2a b＜0，
∴4b＝3.5a，且a＜0，
∴a 4b＝a 3.5a＝ 2.5a＞0，
∴（a 4b）x＋2a 3b＜0的解集为：x＜ ．
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】本题要抓住同解不等式的定义，由两个不等式的解集相同，所以把两个解集表示出来后，直接相等，即可求出结果.需要注意的是，在系数化为1时，一定要先判断系数的正负性.
25．（2023八上·开福开学考）如图，，的平分线交于点，．
（1）如图，若，的平分线交于点、交射线于点求的度数；
（2）如图，线段上有一点，满足，若在直线上取一点，使，求的值．
【答案】（1）解：平分，，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
；
（2）解：有两种情况，
当在的下方时，如图：
设，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，，
；
当在的上方时，如图：
设，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，，
；
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据角平分线性质，平行线的性质，三角形内角和定理进行角之间的等量替换即可求出答案；
（2）根据平行线的性质，三角形内角和定理及角平分线性质分别表示出∠ABM和∠GBM，即可求出答案。
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