四川省成都实验外国语学校西区2023-2024学年九年级上学期开学数学试题
一、单选题
1．（2023八下·无锡期末）我国新能源汽车产业发展取得了明显成效，逐渐进入市场化驱动阶段．下列新能源汽车图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023九上·成都开学考）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023九上·成都开学考）下列方程属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C．x﹣3＝0 D．
4．（2023九上·成都开学考）下列一元二次方程中没有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023七下·贵池期末）若把分式中和的值都扩大为原来的倍，则分式的值 （ ）
A．扩大为原来的倍 B．缩小为原来的
C．缩小为原来的 D．扩大为原来的倍
6．（2023九上·成都开学考）如图，已知菱形的周长为，两条对角线的和为6，则菱形的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．2
7．（2023九上·成都开学考）现在5G手机非常流行，5G手机速度很快，比4G下载速度每秒多，下载一部的电影，5G比4G要快200秒，那么5G手机的下载速度是多少呢？若设5G手机的下载速度为秒，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023九上·成都开学考）设，下表列出了与的6对对应值：
根据表格能够发现一元二次方程的一个解的大致范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2021八下·金牛期末）把 因式分解的结果是 .
10．（2018八上·林州期末）使分式 的值为0，这时x= ．
11．（2023九上·成都开学考）若关于x的方程有一个根为，则的值是 ．
12．（2023九上·成都开学考）成都大运会主火炬塔位于东安湖体育公园，如图，小明想测量东安湖，两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点，分别取的中点，但之间被障碍物遮挡，故无法测量线段的长，于是小明在延长线上分别选取两点，且满足，小明测得线段米，则两点间的距离是 米．
13．（2023九上·成都开学考）如图，在中，以点C为圆心，以适当长度为半径作弧，分别交，于点M，N，再分别以，N为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，若，，，则的长为 ．
三、解答题
14．（2023九上·成都开学考）解一元二次方程：
（1）；
（2）；
（3）．
15．（2023九上·成都开学考）
（1）解分式方程：；
（2）解不等式组：．
16．（2023九上·成都开学考）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）．
⑴画出向左平移4个单位所得的；
⑵画出将绕点B按顺时针旋转90°所得的（点A、C分别对应点A2、C2）；
⑶线段 的长度为 ▲ ．
17．（2023九上·成都开学考）
（1）已知：关于x的一元二次方程，请判断方程的根的情况；
（2）若，是一元二次方程的两根，求的值．
18．（2023九上·成都开学考）如图，矩形中，，，点E，F分别在边，上，且．
（1）如图1，连接，当四边形为菱形时，求的长；
（2）点M，N在对角线上，顺次连接E、M、F、N，当四边形为矩形时，求的长．
四、填空题
19．（2023九上·成都开学考）若是关于的一元二次方程，则的值为 .
20．（2023九上·成都开学考）已知关于的分式方程无解，则的值是 ．
21．（2023九上·成都开学考）已知实数，满足，，且，且的值为 ．
22．（2023九上·成都开学考）已知关于x的一元二次方程，当的斜边长a为，且两条直角边的长b、c恰好是这个方程的两个根，的周长为 ．
23．（2021·姑苏模拟）如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF+CF的最小值 .
五、解答题
24．（2023九上·成都开学考）“农村道路改造”是重庆市政府一项重要的惠民工程．某条需要改造的农村道路共54000米，需要甲、乙两工程队合作施工完成．已知甲、乙两队分别从道路两头同时开始施工，乙队每天比甲队多修100米．
（1）现市政府要求甲、乙两队共同施工40天之后剩余的工程总量不得超过18000米，则甲队每天至少修路多少米？
（2）为了保证施工的质量，甲、乙两队计划按照（1）中的施工速度进行施工，由于天气过于炎热，甲、乙队每天的施工速度都降低了．市政府的有关部门立即对完工时间进行了评估：如果炎热的天气一直持续，则甲、乙两队共同施工60天，再由乙单独多施工天恰好就可以完成该项道路改造任务．求m的值．
25．（2023九上·成都开学考）如图，在等腰直角中，，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，以为边，在左侧构造等腰直角，，其中，与交于点，连接，．
（1）求证：；
（2）如图2，若点，点，点 在一条直线上，求的长．
26．（2023九上·成都开学考）如图1，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，交于点C，直线与y轴交于点G．平移线段，点B，C的对应点、分别在直线和y轴上，连接．
（1）若C点横坐标为4，求k的值；
（2）若，求点C的坐标；
（3）如图2，作点E关于直线的对称点F，连接，是否存在四边形是平行四边形的情况，若存在；求出k的值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A为轴对称图形，非中心对称，故选项A错误；
选项B既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项B正确；
选项C、D既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项C、D错误.
故答案为：B.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可一 一判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解： A：，等式左侧不是多项式，不符合因式分解定义，故A错误；
B：，等式右边不是整式积的形式，故B错误；
C：，等式化为整式积的形式，故C正确；
D： ，等式右边不是整式积的形式，故D错误；
故答案为：C.
【分析】根据因式分解的定义把一个多项式化成几个整式积的形式，即等式左边应该是多项式，等式右边应该是整式积的形式，符合定义的正确，否则错误。
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解： A：，含未知数项最高次是3次，故A错误；
B：，符合一元二次方程的概念，故B正确；
C：x﹣3＝0 ，含未知数项最高次是一次，故C错误；
D：分式方程，不是整式方程，故D错误；
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程的定义判定即可，方程含有一个未知数（一元），且含未知数项的最高次数是2次（二次），这样的整式方程叫做一元二次方程。
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： A：，Δ=b2-4ac=9>0，所以方程有两个不等的实数根，故A错误；
B： ，Δ=b2-4ac=13>0，所以方程有两个不等的实数根，故B错误；
C： ，Δ=b2-4ac=-8<0，所以方程没有实数根，故C正确；
D： ，化简得：，Δ=b2-4ac=1>0，所以方程有两个不等的实数根，故D错误；
故答案为：C.
【分析】一元二次方程根的情况，可以通过根的判别式来判定。需要注意一元二次方程须化成一般式后确定二次项系数a，一次项系数b，和常数项c的值。
5．【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：把原式中x和y都扩大为原来的2倍得，
=
=
∴把原式中x和y都扩大为原来的2倍后， 分式的值扩大为原来的2倍。
故选：A
【分析】把原式中x和y都扩大为原来的2倍后化简进行比较。
6．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∵菱形周长为，∴AB=，
∵AC+BD=6，∴OA+OB=3，
在Rt△AOB中，∴，
∵∴
∴S菱形=4S△AOB=2=4，故C正确，A、B、D错误。
故答案为：C.
【分析】由菱形性质可知四条边的关系，以及两对角线AC和BD的位置关系，再结合已知周长和两对角线的和，进一步利用勾股定理，和完全平方公式求得菱形对角线乘积的一半也即菱形的面积。
7．【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：由题意列方程可得 ，故B正确，A、C、D错误。
故答案为：B.
【分析】列方程解工作量问题，由题可知，4G下载900MB所用时间比5G下载900MB所用时间多用200s，且工作量/工作效率=工作时间，所以可列方程求解。
8．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：由表格数据可知函数值y随自变量x的增大而增大，且当-1故答案为：D.
【分析】二次函数与一元二次方程的联系，由二次函数的性质（增减性），对照表格里的数据易知y随x的增大而增大，又x=1时，y=-1；x=2时，y=5；所以可以判断当y=0时（-1<0<5），对应自变量x的大致范围。
9．【答案】3ab（2a-1）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：6a2b-3ab=3ab（2a-1）.
故答案为：3ab（2a-1）.
【分析】观察此多项式的特点：含有公因式3ab，因此利用提公因式法分解因式.
10．【答案】1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】根据题意可得：x2-1=0，且x+1≠0，解得：x=±1，且x≠-1，故x=1.
答案为1.
【分析】根据分式的值为0时，分子等于0，且分母不能为0，即可列出混合组，求解即可.
11．【答案】
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x=-3代入 得
故答案为：.
【分析】根据方程解的概念可知-3满足方程，代入可求未知系数的值。
12．【答案】180
【知识点】全等三角形的应用；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵，∠POQ=∠NOM，∴△POQ≌△NOM（SAS），
∴MN=PQ=90，
∵点M、N分别为OA、OB的中点，∴
∴AB=2MN=180
故答案为：180.
【分析】由题易知△OPQ与△ONM全等，所以NM等于PQ；又MN是△OAB的中位线，利用中位线的性质可知AB的长度。
13．【答案】
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可知CE平分∠DCB，∴∠DCE=∠BCE，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，AB=DC，
∴∠DEC=∠BCE，
∴∠DCE=∠DEC，
∴DE=DC，∴AB=DC=DE=5，
∵AE=3，BE=4，且，
∴△ABE是直角三角形，∠AEB=90°，
∵AD∥BC，∴∠EBC=∠AEB=90°，
∴Rt△EBC中，BE=4，BC=AD=AE+DE=8，
∴CE=，
故答案为：.
【分析】有作图过程可知作了∠BCD的角平分线，结合平行四边形的性质，判断三角形DEC是等腰三角形，所以可以知道平行四边形的一组对边AB和DC的长，再由勾股定理逆定理判定三角形ABE的形状，进而判定BE和平行四边形一组对边垂直，再利用勾股定理求CE长。
14．【答案】（1）解：，
，
，
，
（2）解：，
，
，，
，
（3）解：，
，，，
，
，
，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】⑴、解一元二次方程，观察方程适于直接开平方法。
⑵、观察方程适于因式分解法解一元二次方程，方程左边可以因式分解方程右边为零，利用乘积为零的条件，转化为一元一次方程，进而求解。
⑶、观察方程适于公式法解一元二次方程，先确定二次项系数a，一次项系数b，常数项c的值，再计算根的判别式，若根的判别式大于或等于0时，代入求根公式求解。
15．【答案】（1）解：原方程两边同乘，去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验：将代入得：，
故原分式方程的解为：
（2）解：，
由①得：，
由②得：，
故原不等式组的解集为：
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】⑴、解分式方程首先去分母转化为整式方程，然后按照解一元一次方程的一般步骤求解即可，需要注意的是解分式方程要检验。
⑵、解一元一次不等式组，解每一个一元一次不等式，然后确定解集的公共部分，即不等式组的解集。
16．【答案】解：⑴如图，即为所求；
⑵如图，即为所求；
⑶
【知识点】勾股定理；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：⑴、由图值点A（2，2），点B（1，0），点C（3，1），将△ABC 向左平移4个单位 可知点A1（-2，2），B1（-3，0），C1（-1，1），顺次连接A1、B1、C1即可；
⑵、分别将点A和C绕点B顺时针旋转90度，找到对应点A2、C2，然后顺次连接B、A2、C2即可；
⑶、构造以B1C2为斜边，且直角边分别是2和5的直角三角形，可知B1C2=。
【分析】⑴、利用坐标表示平移的规律可以找到△ABC三顶点平移后的对应点，然后顺次连接即可；
⑵、利用正方形网格的特点确定点A和C绕点B顺时针旋转90度后的对应点，顺次连接即可；
⑶、求线段长，首先考虑勾股定理，利用网格构造含B1C2的直角三角形，然后勾股定理求解。
17．【答案】（1）解：∵，
∴原方程有两个不相等的实数根
（2）解：根据根与系数的关系得，，
∴
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】⑴、根据一元二次方程根的判别式判断方程根的情况。
⑵、代数式化简转化为两根和与两根积，利用根于系数关系先求两根和与两根积再代入代数式求值。
18．【答案】（1）解：∵四边形是矩形，，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴解得，
∴的长为6．
（2）解：当时，如图2，作于点G，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，如图3，作于点H，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上所述，的长为或．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质
【解析】【分析】⑴、四边形EBFD是菱形，所以四边相等，故ED=EB，而四边形ABCD是矩形，所以四个角都是直角，所以三角形ABE是直角三角形，利用勾股定理列方程可求AE长。
⑵、矩形ABCD的AB、BC已知，利用勾股定理可求对角线BD长，又BM等于DN已知，故可求MN长，由四边形EMFN是矩形，所以EF=MN ，过点E作EG垂直于BC于点G，构造直角三角形EGF，求GF，又AE等于CF，故BG=CF，可求BG，进而求BF长。特别的随AE大小的不同须分类讨论，AEED (CF>BF )，分别求解。
19．【答案】3
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：由题得，解得m=3
故答案为：3.
【分析】根据一元二次方程的概念可知未知数项最高次是二次，且二次项系数不为零，列不等式组求解。
20．【答案】1或2
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解： ，
去分母得：mx-2=x-1
移项得：mx-x=2-1
合并同类项得：(m-1）x=1
系数化为1得：x=
∵方程无解，∴或m-1=0，
∴m=1或2，
故答案为：1或2.
【分析】分式方程无解，要考虑m的取值使分母为0无意义以及去分母转化为一元一次方程时一次项系数不能为零。
21．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵，∴，
∴α、可以看作方程，
∴
故答案为：.
【分析】通过分析两方程的特点以及所求代数式，不难想到应该是考查根与系数的关系，所以对第二个方程适当变形，易知是一元二次方程的两实数根，利用根与系数的关系求得两个和与两根积，进而求代数式的值。
22．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；勾股定理
【解析】【解答】解：由题可知b+c=2k+1，bc=4k-3，
又，且a=，
∴，解得：k1=3，k2=-2(不合题意，舍去）
∴b+c=7，∴，
故答案为：.
【分析】由b和c是已知一元二次方程的两实数根，利用根与系数的关系可得两根和与两根积，又a、b、c是直角三角形三边，利用勾股定理可得k的方程，进而求出k的值，也就可以求出两根和，也即b与c的和，边长a已知故可求周长。
23．【答案】
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：连接 ，过点 作 交 延长线于点 ，
，且 ，
∴∠EDA=∠FEG，
在△AED和△GFE中，
，
，
点在 的射线上运动，
作点 关于 的对称点 ，
， ，
，
，
，
，
点在 的延长线上，
当 、 、 三点共线时， 最小，
在 中， ， ，
，
的最小值为 .
故答案为：.
【分析】连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，易证△AED≌△GFE，得到FG=AE，作点C关于BF的对称点C′，则AE=BG=FG，得到∠FBG=45°，∠CBF=45°，根据两点之间，线段最短的性质可得当D、F、C′三点共线时，DF+CF=DC′最小，在Rt△ADC′中，应用勾股定理求出DC′，据此解答.
24．【答案】（1）解：设甲队每天修路x米，则乙队每天修路米，
依题意，得：，
解得：．
答：甲队每天至少修路400米．
（2）解：依题意，得：，
整理，得：，
解得：（舍）．
答：m的值为20．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】⑴、列不等式解答工作量问题，总工作量减去甲乙40天合作完成的工作量也即剩余工作量，根据剩余工程总量不超过18000米可列不等式求解。
⑵、根据题意列方程求解即可，甲工程队60天的工作量加乙工程队（60 +m+7）天的工作量等于总工作量。
25．【答案】（1）证明：线段绕点顺时针旋转得到线段，
，
，
，
，
．
，
，
在和中，，
．
（2）解：作于，如图所示，
由（1）可知，，
，
，
．
，
．
四边形为矩形，
，，
，
，
，
．
，
，，
．
．
设，则，
，
在中，，
．
．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】⑴、证明两三角形全等，找两三角形相等的要素，由已知的两直角三角形可知CB=CA、CD=CE，又由旋转可知AC=AD，也即CB=DA，找到两组边对应相等，根据全等的判定方法要么第三组边也对应相等（SSS），要么两组相等边的夹角相等（SAS），由已知的两直角三角形以及旋转所得的等腰三角形角的和差关系可得夹角相等，所以根据边角边可证两三角形全等。
⑵、三点B、D、E共线，易知∠CDB=∠CDE=∠DEA=90°，添加辅助线AT垂直于DC，易知AT垂直平分DC，可证四边形AEDT是矩形，这时AE=DT，又由全等知AE等于BD，所以直角三角形CDB的两直角边边比为1∶2，又已知CB等于，所以根据勾股定理可求BD长。
26．【答案】（1）解：在中，令，
∴，
把代入，得：，
∴；
（2）解：如图1，连接，
∵平移线段，点B，C的对应点、，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴与互相平分，即点G是、的中点，，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：（舍去）或，
∴；
（3）解：存在四边形是平行四边形的情况，或．
在中，令，
∴，
设，代入，
得：，
∴，
∴，
如图，设、交点为，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴直线的解析式为，
∵点E、点F关于直线对称，
∴，
∴，
解得：，；
故存在四边形是平行四边形的情况，或．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】⑴、把点C的横坐标代入直线y1可求点C的纵坐标，然后把点C的坐标代入直线y2可求得未知系数k的值。
⑵、由平移可知BC和DE平行且相等，所以连接DB可以构造平行四边形EDBC，又CE垂直于BC，所以四边形EDBC是矩形。由矩形性质可知BE等于BG的二倍，由题易知BG长，故可求BE长，然后利用直角三角形BCE或直角三角形BED勾股定理列方程求解确定点C的坐标。
⑶、把两直线交点C的坐标用含k的式子表示出来，利用四边形CFBG是平行四边形的性质CF和BG平行且相等，进而表示点F的坐标，待定系数法可求得直线EF的解析式（含未知系数k），然后利用点E、F关于DC对称，所以直线EF和直线CD互相垂直，两直线的比例系数互为负倒数，据此列方程求解k的值。
1 / 1四川省成都实验外国语学校西区2023-2024学年九年级上学期开学数学试题
一、单选题
1．（2023八下·无锡期末）我国新能源汽车产业发展取得了明显成效，逐渐进入市场化驱动阶段．下列新能源汽车图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A为轴对称图形，非中心对称，故选项A错误；
选项B既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项B正确；
选项C、D既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项C、D错误.
故答案为：B.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可一 一判断得出答案.
2．（2023九上·成都开学考）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解： A：，等式左侧不是多项式，不符合因式分解定义，故A错误；
B：，等式右边不是整式积的形式，故B错误；
C：，等式化为整式积的形式，故C正确；
D： ，等式右边不是整式积的形式，故D错误；
故答案为：C.
【分析】根据因式分解的定义把一个多项式化成几个整式积的形式，即等式左边应该是多项式，等式右边应该是整式积的形式，符合定义的正确，否则错误。
3．（2023九上·成都开学考）下列方程属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C．x﹣3＝0 D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解： A：，含未知数项最高次是3次，故A错误；
B：，符合一元二次方程的概念，故B正确；
C：x﹣3＝0 ，含未知数项最高次是一次，故C错误；
D：分式方程，不是整式方程，故D错误；
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程的定义判定即可，方程含有一个未知数（一元），且含未知数项的最高次数是2次（二次），这样的整式方程叫做一元二次方程。
4．（2023九上·成都开学考）下列一元二次方程中没有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： A：，Δ=b2-4ac=9>0，所以方程有两个不等的实数根，故A错误；
B： ，Δ=b2-4ac=13>0，所以方程有两个不等的实数根，故B错误；
C： ，Δ=b2-4ac=-8<0，所以方程没有实数根，故C正确；
D： ，化简得：，Δ=b2-4ac=1>0，所以方程有两个不等的实数根，故D错误；
故答案为：C.
【分析】一元二次方程根的情况，可以通过根的判别式来判定。需要注意一元二次方程须化成一般式后确定二次项系数a，一次项系数b，和常数项c的值。
5．（2023七下·贵池期末）若把分式中和的值都扩大为原来的倍，则分式的值 （ ）
A．扩大为原来的倍 B．缩小为原来的
C．缩小为原来的 D．扩大为原来的倍
【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：把原式中x和y都扩大为原来的2倍得，
=
=
∴把原式中x和y都扩大为原来的2倍后， 分式的值扩大为原来的2倍。
故选：A
【分析】把原式中x和y都扩大为原来的2倍后化简进行比较。
6．（2023九上·成都开学考）如图，已知菱形的周长为，两条对角线的和为6，则菱形的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．2
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∵菱形周长为，∴AB=，
∵AC+BD=6，∴OA+OB=3，
在Rt△AOB中，∴，
∵∴
∴S菱形=4S△AOB=2=4，故C正确，A、B、D错误。
故答案为：C.
【分析】由菱形性质可知四条边的关系，以及两对角线AC和BD的位置关系，再结合已知周长和两对角线的和，进一步利用勾股定理，和完全平方公式求得菱形对角线乘积的一半也即菱形的面积。
7．（2023九上·成都开学考）现在5G手机非常流行，5G手机速度很快，比4G下载速度每秒多，下载一部的电影，5G比4G要快200秒，那么5G手机的下载速度是多少呢？若设5G手机的下载速度为秒，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：由题意列方程可得 ，故B正确，A、C、D错误。
故答案为：B.
【分析】列方程解工作量问题，由题可知，4G下载900MB所用时间比5G下载900MB所用时间多用200s，且工作量/工作效率=工作时间，所以可列方程求解。
8．（2023九上·成都开学考）设，下表列出了与的6对对应值：
根据表格能够发现一元二次方程的一个解的大致范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：由表格数据可知函数值y随自变量x的增大而增大，且当-1故答案为：D.
【分析】二次函数与一元二次方程的联系，由二次函数的性质（增减性），对照表格里的数据易知y随x的增大而增大，又x=1时，y=-1；x=2时，y=5；所以可以判断当y=0时（-1<0<5），对应自变量x的大致范围。
二、填空题
9．（2021八下·金牛期末）把 因式分解的结果是 .
【答案】3ab（2a-1）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：6a2b-3ab=3ab（2a-1）.
故答案为：3ab（2a-1）.
【分析】观察此多项式的特点：含有公因式3ab，因此利用提公因式法分解因式.
10．（2018八上·林州期末）使分式 的值为0，这时x= ．
【答案】1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】根据题意可得：x2-1=0，且x+1≠0，解得：x=±1，且x≠-1，故x=1.
答案为1.
【分析】根据分式的值为0时，分子等于0，且分母不能为0，即可列出混合组，求解即可.
11．（2023九上·成都开学考）若关于x的方程有一个根为，则的值是 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x=-3代入 得
故答案为：.
【分析】根据方程解的概念可知-3满足方程，代入可求未知系数的值。
12．（2023九上·成都开学考）成都大运会主火炬塔位于东安湖体育公园，如图，小明想测量东安湖，两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点，分别取的中点，但之间被障碍物遮挡，故无法测量线段的长，于是小明在延长线上分别选取两点，且满足，小明测得线段米，则两点间的距离是 米．
【答案】180
【知识点】全等三角形的应用；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵，∠POQ=∠NOM，∴△POQ≌△NOM（SAS），
∴MN=PQ=90，
∵点M、N分别为OA、OB的中点，∴
∴AB=2MN=180
故答案为：180.
【分析】由题易知△OPQ与△ONM全等，所以NM等于PQ；又MN是△OAB的中位线，利用中位线的性质可知AB的长度。
13．（2023九上·成都开学考）如图，在中，以点C为圆心，以适当长度为半径作弧，分别交，于点M，N，再分别以，N为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，若，，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可知CE平分∠DCB，∴∠DCE=∠BCE，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，AB=DC，
∴∠DEC=∠BCE，
∴∠DCE=∠DEC，
∴DE=DC，∴AB=DC=DE=5，
∵AE=3，BE=4，且，
∴△ABE是直角三角形，∠AEB=90°，
∵AD∥BC，∴∠EBC=∠AEB=90°，
∴Rt△EBC中，BE=4，BC=AD=AE+DE=8，
∴CE=，
故答案为：.
【分析】有作图过程可知作了∠BCD的角平分线，结合平行四边形的性质，判断三角形DEC是等腰三角形，所以可以知道平行四边形的一组对边AB和DC的长，再由勾股定理逆定理判定三角形ABE的形状，进而判定BE和平行四边形一组对边垂直，再利用勾股定理求CE长。
三、解答题
14．（2023九上·成都开学考）解一元二次方程：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）解：，
，
，
，
（2）解：，
，
，，
，
（3）解：，
，，，
，
，
，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】⑴、解一元二次方程，观察方程适于直接开平方法。
⑵、观察方程适于因式分解法解一元二次方程，方程左边可以因式分解方程右边为零，利用乘积为零的条件，转化为一元一次方程，进而求解。
⑶、观察方程适于公式法解一元二次方程，先确定二次项系数a，一次项系数b，常数项c的值，再计算根的判别式，若根的判别式大于或等于0时，代入求根公式求解。
15．（2023九上·成都开学考）
（1）解分式方程：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）解：原方程两边同乘，去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验：将代入得：，
故原分式方程的解为：
（2）解：，
由①得：，
由②得：，
故原不等式组的解集为：
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】⑴、解分式方程首先去分母转化为整式方程，然后按照解一元一次方程的一般步骤求解即可，需要注意的是解分式方程要检验。
⑵、解一元一次不等式组，解每一个一元一次不等式，然后确定解集的公共部分，即不等式组的解集。
16．（2023九上·成都开学考）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）．
⑴画出向左平移4个单位所得的；
⑵画出将绕点B按顺时针旋转90°所得的（点A、C分别对应点A2、C2）；
⑶线段 的长度为 ▲ ．
【答案】解：⑴如图，即为所求；
⑵如图，即为所求；
⑶
【知识点】勾股定理；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：⑴、由图值点A（2，2），点B（1，0），点C（3，1），将△ABC 向左平移4个单位 可知点A1（-2，2），B1（-3，0），C1（-1，1），顺次连接A1、B1、C1即可；
⑵、分别将点A和C绕点B顺时针旋转90度，找到对应点A2、C2，然后顺次连接B、A2、C2即可；
⑶、构造以B1C2为斜边，且直角边分别是2和5的直角三角形，可知B1C2=。
【分析】⑴、利用坐标表示平移的规律可以找到△ABC三顶点平移后的对应点，然后顺次连接即可；
⑵、利用正方形网格的特点确定点A和C绕点B顺时针旋转90度后的对应点，顺次连接即可；
⑶、求线段长，首先考虑勾股定理，利用网格构造含B1C2的直角三角形，然后勾股定理求解。
17．（2023九上·成都开学考）
（1）已知：关于x的一元二次方程，请判断方程的根的情况；
（2）若，是一元二次方程的两根，求的值．
【答案】（1）解：∵，
∴原方程有两个不相等的实数根
（2）解：根据根与系数的关系得，，
∴
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】⑴、根据一元二次方程根的判别式判断方程根的情况。
⑵、代数式化简转化为两根和与两根积，利用根于系数关系先求两根和与两根积再代入代数式求值。
18．（2023九上·成都开学考）如图，矩形中，，，点E，F分别在边，上，且．
（1）如图1，连接，当四边形为菱形时，求的长；
（2）点M，N在对角线上，顺次连接E、M、F、N，当四边形为矩形时，求的长．
【答案】（1）解：∵四边形是矩形，，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴解得，
∴的长为6．
（2）解：当时，如图2，作于点G，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，如图3，作于点H，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上所述，的长为或．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质
【解析】【分析】⑴、四边形EBFD是菱形，所以四边相等，故ED=EB，而四边形ABCD是矩形，所以四个角都是直角，所以三角形ABE是直角三角形，利用勾股定理列方程可求AE长。
⑵、矩形ABCD的AB、BC已知，利用勾股定理可求对角线BD长，又BM等于DN已知，故可求MN长，由四边形EMFN是矩形，所以EF=MN ，过点E作EG垂直于BC于点G，构造直角三角形EGF，求GF，又AE等于CF，故BG=CF，可求BG，进而求BF长。特别的随AE大小的不同须分类讨论，AEED (CF>BF )，分别求解。
四、填空题
19．（2023九上·成都开学考）若是关于的一元二次方程，则的值为 .
【答案】3
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：由题得，解得m=3
故答案为：3.
【分析】根据一元二次方程的概念可知未知数项最高次是二次，且二次项系数不为零，列不等式组求解。
20．（2023九上·成都开学考）已知关于的分式方程无解，则的值是 ．
【答案】1或2
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解： ，
去分母得：mx-2=x-1
移项得：mx-x=2-1
合并同类项得：(m-1）x=1
系数化为1得：x=
∵方程无解，∴或m-1=0，
∴m=1或2，
故答案为：1或2.
【分析】分式方程无解，要考虑m的取值使分母为0无意义以及去分母转化为一元一次方程时一次项系数不能为零。
21．（2023九上·成都开学考）已知实数，满足，，且，且的值为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵，∴，
∴α、可以看作方程，
∴
故答案为：.
【分析】通过分析两方程的特点以及所求代数式，不难想到应该是考查根与系数的关系，所以对第二个方程适当变形，易知是一元二次方程的两实数根，利用根与系数的关系求得两个和与两根积，进而求代数式的值。
22．（2023九上·成都开学考）已知关于x的一元二次方程，当的斜边长a为，且两条直角边的长b、c恰好是这个方程的两个根，的周长为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；勾股定理
【解析】【解答】解：由题可知b+c=2k+1，bc=4k-3，
又，且a=，
∴，解得：k1=3，k2=-2(不合题意，舍去）
∴b+c=7，∴，
故答案为：.
【分析】由b和c是已知一元二次方程的两实数根，利用根与系数的关系可得两根和与两根积，又a、b、c是直角三角形三边，利用勾股定理可得k的方程，进而求出k的值，也就可以求出两根和，也即b与c的和，边长a已知故可求周长。
23．（2021·姑苏模拟）如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF+CF的最小值 .
【答案】
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：连接 ，过点 作 交 延长线于点 ，
，且 ，
∴∠EDA=∠FEG，
在△AED和△GFE中，
，
，
点在 的射线上运动，
作点 关于 的对称点 ，
， ，
，
，
，
，
点在 的延长线上，
当 、 、 三点共线时， 最小，
在 中， ， ，
，
的最小值为 .
故答案为：.
【分析】连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，易证△AED≌△GFE，得到FG=AE，作点C关于BF的对称点C′，则AE=BG=FG，得到∠FBG=45°，∠CBF=45°，根据两点之间，线段最短的性质可得当D、F、C′三点共线时，DF+CF=DC′最小，在Rt△ADC′中，应用勾股定理求出DC′，据此解答.
五、解答题
24．（2023九上·成都开学考）“农村道路改造”是重庆市政府一项重要的惠民工程．某条需要改造的农村道路共54000米，需要甲、乙两工程队合作施工完成．已知甲、乙两队分别从道路两头同时开始施工，乙队每天比甲队多修100米．
（1）现市政府要求甲、乙两队共同施工40天之后剩余的工程总量不得超过18000米，则甲队每天至少修路多少米？
（2）为了保证施工的质量，甲、乙两队计划按照（1）中的施工速度进行施工，由于天气过于炎热，甲、乙队每天的施工速度都降低了．市政府的有关部门立即对完工时间进行了评估：如果炎热的天气一直持续，则甲、乙两队共同施工60天，再由乙单独多施工天恰好就可以完成该项道路改造任务．求m的值．
【答案】（1）解：设甲队每天修路x米，则乙队每天修路米，
依题意，得：，
解得：．
答：甲队每天至少修路400米．
（2）解：依题意，得：，
整理，得：，
解得：（舍）．
答：m的值为20．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】⑴、列不等式解答工作量问题，总工作量减去甲乙40天合作完成的工作量也即剩余工作量，根据剩余工程总量不超过18000米可列不等式求解。
⑵、根据题意列方程求解即可，甲工程队60天的工作量加乙工程队（60 +m+7）天的工作量等于总工作量。
25．（2023九上·成都开学考）如图，在等腰直角中，，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，以为边，在左侧构造等腰直角，，其中，与交于点，连接，．
（1）求证：；
（2）如图2，若点，点，点 在一条直线上，求的长．
【答案】（1）证明：线段绕点顺时针旋转得到线段，
，
，
，
，
．
，
，
在和中，，
．
（2）解：作于，如图所示，
由（1）可知，，
，
，
．
，
．
四边形为矩形，
，，
，
，
，
．
，
，，
．
．
设，则，
，
在中，，
．
．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】⑴、证明两三角形全等，找两三角形相等的要素，由已知的两直角三角形可知CB=CA、CD=CE，又由旋转可知AC=AD，也即CB=DA，找到两组边对应相等，根据全等的判定方法要么第三组边也对应相等（SSS），要么两组相等边的夹角相等（SAS），由已知的两直角三角形以及旋转所得的等腰三角形角的和差关系可得夹角相等，所以根据边角边可证两三角形全等。
⑵、三点B、D、E共线，易知∠CDB=∠CDE=∠DEA=90°，添加辅助线AT垂直于DC，易知AT垂直平分DC，可证四边形AEDT是矩形，这时AE=DT，又由全等知AE等于BD，所以直角三角形CDB的两直角边边比为1∶2，又已知CB等于，所以根据勾股定理可求BD长。
26．（2023九上·成都开学考）如图1，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，交于点C，直线与y轴交于点G．平移线段，点B，C的对应点、分别在直线和y轴上，连接．
（1）若C点横坐标为4，求k的值；
（2）若，求点C的坐标；
（3）如图2，作点E关于直线的对称点F，连接，是否存在四边形是平行四边形的情况，若存在；求出k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：在中，令，
∴，
把代入，得：，
∴；
（2）解：如图1，连接，
∵平移线段，点B，C的对应点、，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴与互相平分，即点G是、的中点，，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：（舍去）或，
∴；
（3）解：存在四边形是平行四边形的情况，或．
在中，令，
∴，
设，代入，
得：，
∴，
∴，
如图，设、交点为，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴直线的解析式为，
∵点E、点F关于直线对称，
∴，
∴，
解得：，；
故存在四边形是平行四边形的情况，或．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】⑴、把点C的横坐标代入直线y1可求点C的纵坐标，然后把点C的坐标代入直线y2可求得未知系数k的值。
⑵、由平移可知BC和DE平行且相等，所以连接DB可以构造平行四边形EDBC，又CE垂直于BC，所以四边形EDBC是矩形。由矩形性质可知BE等于BG的二倍，由题易知BG长，故可求BE长，然后利用直角三角形BCE或直角三角形BED勾股定理列方程求解确定点C的坐标。
⑶、把两直线交点C的坐标用含k的式子表示出来，利用四边形CFBG是平行四边形的性质CF和BG平行且相等，进而表示点F的坐标，待定系数法可求得直线EF的解析式（含未知系数k），然后利用点E、F关于DC对称，所以直线EF和直线CD互相垂直，两直线的比例系数互为负倒数，据此列方程求解k的值。
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