第一章 集合与常用逻辑用语 单元测评（含解析）

第一章集合与常用逻辑用语单元测评
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，则集合中的元素个数为（ ）
A． B． C． D．
2．设甲是乙的必要条件；丙是乙的充分但不必要条件，那么（ ）
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙是甲的充要条件
D．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
3．已知集合P=，，则PQ=（ ）
A． B．
C． D．
4．设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（ ）
A．–4 B．–2 C．2 D．4
5．若命题，则命题的否定是（ ）
A． B．
C． D．
6．集合中的不能取的值的个数是
A．2 B．3 C．4 D．5
7．设，则“”是“” 的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．命题“所有奇数的立方是奇数”的否定是
A．所有奇数的立方不是奇数 B．不存在一个奇数，它的立方不是奇数
C．存在一个奇数，它的立方不是奇数 D．不存在一个奇数，它的立方是奇数
二、多选题
9．已知为给定的非空集合，集合，其中≠， ，且，则称集合是集合的覆盖；如果除以上条件外，另有，其中，，且，则称集合是集合的划分.对于集合，下列命题错误的是（ ）
A．集合是集合的覆盖
B．集合是集合的划分
C．集合不是集合的划分
D．集合既不是集合的覆盖，也不是集合的划分
10．下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（ ）
A．p：3＜m＜7；q：方程的曲线是椭圆
B．p：a≥8；q：对 x∈[1，3]不等式x2﹣a≤0恒成立
C．设{an}是首项为正数的等比数列，p：公比小于0；q：对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0
D．已知空间向量（0，1，﹣1），（x，0，﹣1），p：x＝1；q：向量与的夹角是
11．“存在正整数，使不等式都成立”的一个充分条件是
A． B． C． D．
12．设集合，，若实数，则的值可以是
A．1 B． C．0.5 D．1.5
三、填空题
13．已知集合，则中元素的个数为 .
14．设或；或，则是的 条件.
15．设全集是实数集R，M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x<1}，则 R(M∩N)＝ .
16．设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a-b、ab、∈P（除数b≠0）则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，有下列命题：
①数域必含有0，1两个数；
②整数集是数域；
③若有理数集QM，则数集M必为数域；
④数域必为无限集．
其中正确的命题的序号是 ．（填上你认为正确的命题的序号）
四、解答题
17．已知．
（1）若，用列举法表示；
（2）当中有且只有一个元素时，求的值组成的集合．
18．已知集合
(1)若集合且求实数的值
(2)若集合且求实数的取值范围
19．已知集合，
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围；
(3)若，求实数的取值范围.
20．已知集合，，．
(1)若是“”的充分条件，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围．
21．已知集合，，且．
(1)若命题：“，”是真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题：“，”是真命题，求实数的取值范围。
22．已知命题，命题.
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题和均为真命题，求实数的取值范围.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．B
【分析】由即可求解满足题意的点的坐标.
【详解】解：由题意，满足条件的平面内以为坐标的点集合，所以集合的元素个数为.
故选：B.
2．A
【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】因为甲是乙的必要条件，
所以乙是甲的充分条件，即乙推出甲；
因为丙是乙的充分但不必要条件，则丙推出乙，乙推不出丙，
所以丙推出甲，甲推不出丙，
即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件，
故选：A
3．B
【分析】根据集合交集定义求解.
【详解】
故选：B
【点睛】本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
4．B
【分析】由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.
【详解】求解二次不等式可得：，
求解一次不等式可得：.
由于，故：，解得：.
故选：B.
【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5．C
【分析】根据命题p的否定是￢p，结合全称命题与特称命题的关系，可以直接写出答案来．
【详解】根据命题p的否定是￢p，
∴命题p： x0∈R，x02+2x0﹣2<0，
命题p的否定是：．
故选C．
【点睛】本题考查了特称命题的否定是全称命题的问题，注意“改量词，否结论”，是基础题．
6．B
【分析】根据集合元素的互异性，得到不等式组，可以求出不能取的值，就可以确定不能取值的个数.
【详解】由题意可知：且且，故集合中的不能取的值的个数是3个，故本题选B.
【点睛】本题考查了集合元素的互异性，正确求出不等式的解集是解题的关键.
7．A
【详解】分析：求解三次不等式和绝对值不等式，据此即可确定两条件的充分性和必要性是否成立即可.
详解：求解不等式可得，
求解绝对值不等式可得或，
据此可知：“”是“” 的充分而不必要条件.
本题选择A选项.
点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8．C
【详解】考点：命题的否定．
专题：规律型．
分析：本题中所给的命题是一个全称命题，书写其否定要注意它的格式的变化，即量词的变化，写出它的否定命题，再对比四个选项得出正确选项解答：解：命题“所有奇数的立方是奇数”的否定是
“存在一个奇数，它的立方不是奇数”
故选C
点评：本题考查命题的否定，解答本题关键是正解全称命题的否定命题的书写格式，结论要否定，还要把全称量词变为存在量词．
9．BC
【分析】根据集合新定义以及集合的交、并运算，逐一判断即可.
【详解】对于A，集合满足 ， ，
且=，故集合是集合的覆盖，选项A正确；
对于B，集合中，∩，
不满足题目定义中“”，
故集合不是集合的划分，选项B错误；
对于C，集合是集合的划分，
因为 ， ， ，
且=，∩=，∩=，∩=，
满足定义中的所有要求，选项C错误；
对于D，集合中，，，
故集合既不是集合的覆盖，也不是集合的划分，选项D正确.
故选：BC.
10．ABC
【解析】A：由椭圆的标准方程可得的取值范围，从而可判断A；由不等式恒成立求出的取值范围，即可判断B；举出反例证明充分性不成立，通过等比数列的通项公式可证明必要性成立；
D：当夹角为时，结合数量积的公式即可求出此时的值，进而可判断D.
【详解】解：A，若方程的曲线是椭圆，则，即3＜m＜7且m≠5，
即“3＜m＜7”是“方程的曲线是椭圆”的必要不充分条件；
B， x∈[1，3]不等式x2﹣a≤0恒成立等价于a≥x2恒成立，等价于a≥9；
∴“a≥8”是“对 x∈[1，3]不等式x2﹣a≤0恒成立”必要不充分条件；
C：∵{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，
∴当a1＝1，q时，满足q＜0，但此时a1+a2＝10，则a2n﹣1+a2n＜0不成立，即充分性不成立，反之若a2n﹣1+a2n＜0，则a1q2n﹣2+a1q2n﹣1＜0，∵a1＞0，
∴q2n﹣2（1+q）＜0，即1+q＜0，则q＜﹣1，即q＜0成立，即必要性成立，
则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”的必要不充分条件．
D：空间向量（0，1，﹣1），（x，0，﹣1），则，
∴cos，
解得x＝±1，故“x＝1”是“向量与的夹角是”的充分不必要条件．
故选：ABC．
【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．
11．BD
【分析】根据对数函数的运算将题目转化为,因为,则,约掉,再对不等式分离常数,分情况讨论求解.
【详解】解：由,
得,
,,
即,
若存在正整数,使,需,
当时,取最小值,
,又,的取值范围为,
易知选项BD是子集.
故选BD
【点睛】本题考查含参数的不等式的解法,分离参数再分情况讨论是解题的关键.
12．AC
【分析】首先求出集合、，再根据交集的定义求出，从而判断可得；
【详解】解：因为，
所以，
所以
所以，
故选：AC
【点睛】本题考查一元二次不等式、对数不等式的解法，交集的运算，以及元素与集合的关系，属于基础题.
13．9
【分析】根据列举法，写出集合中元素，即可得出结果.
【详解】将满足的整数全部列举出来，即
，共有9个.
故答案为：9.
【点睛】本题主要考查判断集合中元素个数，属于基础题型.
14．充分不必要
【分析】求出和，利用集合的包含关系判断即可.
【详解】或，或，则，.
，因此，是的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要.
【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，考查推理能力，属于基础题.
15．{x|x<－2或x≥1}
【分析】根据题意，求解集合，再根据集合的补集的运算，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x<1}，则MN＝{x|－2≤x<1},
所以 R(M∩N)＝{x|x<－2或x≥1}.
【点睛】本题主要考查了集合的交集与补集的运算，其中解答中熟记集合的交集和集合的补集的概念及运算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
16．①④
【详解】解：当a=b时，a-b=0、a b =1∈P，故可知①正确．
当a=1，b=2， Z不满足条件，故可知②不正确．
对③当M中多一个元素i则会出现1+i M所以它也不是一个数域；故可知③不正确．
根据数据的性质易得数域有无限多个元素，必为无限集，故可知④正确．
故答案为①④．
17．（1） （2）
【分析】（1）由，求出，从而确定集合中的元素；
（2）时，方程是一元一次方程，只有一解；时，只有，方程有两个相等实根，集合只有一个元素。
【详解】解：．
（1）当时，则1是方程的实数根，
∴，解得；
∴方程为，
解得或；
∴；
（2）当时，方程为，
解得，；
当时，若集合只有一个元素，
由一元二次方程有相等实根，∴判别式，
解得；
综上，当或时，集合只有一个元素．
所以的值组成的集合．
【点睛】本题考查集合的概念，考查元素与集合的关系，属于基础题。
18．(1)
(2)或
【分析】（1）根据集合相等的概念，分别讨论解出实数的值即可；
（2）由集合间的包含关系，对集合是否为空集进行分类讨论即可得出实数的取值范围.
【详解】（1）由集合，且
所以可得，此时方程组无解；
或，解得；
所以实数的值为.
（2）当集合且可知：
若，则，解得
当时，若，则，，此时，不满足
若，则，此时，满足符合题意；
综上可知，实数的取值范围为或.
19．(1)
(2)
(3)
【分析】利用集合的运算，分析运算即可得解.
【详解】（1）解：因为，所以.
（2）解：因为，所以，
解得：，
∴实数的取值范围是.
（3）解： 因为，所以
当时，，解得：；
当时，，
解得：或.
综上，实数的取值范围是.
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意先判断，进而得到的不等式组，解之可求得实数的取值范围；
（2）根据得到的不等式组，解之可求得实数范围．
【详解】（1）解：集合，，
∵是“”的充分条件，
∴，
解得，
∴实数的取值范围是．
（2）解：∵ 集合，，，
∴ ，，
∴ ，
解得，
∴ 实数的取值范围是．
21．(1)
(2)
【分析】（1）命题可转化为，又，列出不等式控制范围，即得解；
（2）命题可转化为，先求解，且时，实数的范围，再求解对应范围的补集，即得解
【详解】（1）因为命题：“，”是真命题，所以，又，
所以，解得
（2）因为，所以，得．
又命题：“，”是真命题，所以，
若，且时，则或，且
即
故若，且时，有
故实数的取值范围为
22．（1）；（2）.
【分析】（1）写出命题的否定，由它为真命题求解；
（2）由（1）易得命题为真时的范围，再由为真命题时的范围得出非为真时的范围，两者求交集可得．
【详解】解：(1)根据题意，知当时，.，为真命题，.
实数的取值范围是.
(2)由(1)知命题为真命题时，.
命题为真命题时，，解得为真命题时，.
，解得，即实数的取值范围为.
答案第1页，共2页
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