2.2基本不等式 同步练习（含解析）

2.2基本不等式同步练习
一、单选题
1．若正实数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，则与的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．9
4．已知，，且，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
5．如果，那么下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．在实验课上，小明和小芳利用一个不等臂的天平秤称取药品. 实验一：小明将克的砝码放在天平左盘，取出一些药品放在右盘中使天平平衡；实验二：小芳将克的砝码放在右盘，取出一些药品放在天平左盘中使天平平衡，则在这两个实验中小明和小芳共秤得的药品（ ）
A．大于克 B．小于克
C．大于等于克 D．小于等于克
7．已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
8．若，，则“”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知，且，满足，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10．若，，且，则下列不等式恒成立的是（　　）
A． B．
C． D．
11．已知，，且，下列结论中正确的是（ ）
A．的最小值是 B．的最小值是2
C．的最小值是 D．的最小值是
12．若正实数a，b满足，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．已知若正数、满足，则的最小值为 ．
14．已知正实数，满足，且有解，则的取值范围 ．
15．在等式的等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个正整数，并且使这两个正整数的和最小，则这两个数的和为 .
16．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为(x∈N*)，则当每台机器运转 年时，年平均利润最大，最大值是 万元．
四、解答题
17．已知，.
(1)求的最小值；
(2)求的最大值.
18．已知，且．
(1)求的最小值；
(2)若恒成立，求实数m的取值范围．
19．我国某企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本万，每生产（千部）手机，需另投入可变成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.（利润销售额－固定成本－可变成本）
(1)求2023年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式；
(2)2023年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
20．第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日至8月8日在四川成都举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售 8万件.
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入， 该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入( - 600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.
21．某工厂有一面长为14m的旧墙，现准备利用这面墙建造平面图形为矩形，面积为126m2的厂房.工程条件是：
①建1m新墙的费用为元；
②修1m旧墙的费用为元；
③拆去1m旧墙，用所得材料建1m新墙的费用为元.
利用旧墙的一段 m（<14）为矩形厂房的一面边长，当为多少时建墙费用最省？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】将条件变形为，然后利用常数代换结合基本不等式求解即可.
【详解】由，得，又为正实数，
所以，
当且仅当时，等号成立.
故选：D.
2．B
【分析】 可化成 ，再根据基本不等式求解即可.
【详解】解：∵，∴，
∴
当且仅当 ，即 时，等号成立.
∴．
故选：B．
3．C
【分析】由已知可得，再利用基本不等式求最值可得答案.
【详解】因为正实数x，y满足，所以，
则，
当且仅当且，即，时取等号.
故选：C.
4．C
【分析】利用基本不等式，即可乘积的最大值.
【详解】，解得，当且仅当时等号成立，
即，时，等号成立，所以的最大值为.
故选：C
5．B
【分析】根据已知条件利用基本不等式直接得出，再结合可得出结果.
【详解】由已知，利用基本不等式得出，
因为，则，，
所以，，
∴.
故选：B
6．C
【分析】设出力臂和药品数量，根据杠杆原理得到，再根据均值不等式计算得到答案.
【详解】设天平左、右两边臂长分别为，小明、小芳放入的药品的克数分别为，，
则由杠杆原理得：，于是，
故，当且仅当时取等号.
故选：C.
7．C
【分析】根据题意利用基本不等式以及对数函数单调性逐项分析判断.
【详解】对于选项A：因为，当且仅当时，等号成立，
所以，故A错误；
对于选项B：因为，当且仅当时，等号成立，
所以，故B错误；
对于选项C：因为，且在定义域内单调递增，
则，故C正确；
对于选项D：因为，当且仅当时，等号成立，
因为，当且仅当时，等号成立，
则，所以，故D错误；
故选：C.
8．C
【分析】利用基本不等式和充分条件，必要条件的判断逐项进行检验即可求解.
【详解】对于选项A：若，则，所以，又，，所以，所以“”是“”的充分条件，故选项A错误；
对于选项B：若，则，所以，即，所以“”是“”的充要条件，故选项B错误；
对于选项C：由得，
另一方面取，，满足，但，
所以“”是“”的一个必要不充分条件，故选项C正确；
对于选项D：取，，满足，但，所以“”不是“”的必要条件，故选项D错误.
故选：C.
9．AD
【分析】由因式分解可得，利用基本不等式及“1”的代换依次判断各项的正误即可.
【详解】由题设，
所以，
而，则，
综上，，又，
，又，即等号不成立，则，A对；
，又，即等号不成立，则，B错；
，又，即等号不成立，则，C错；
，又，即等号不成立，则，D对.
故选：AD
10．AB
【分析】根据已知条件，利用基本不等式结合不等式的性质，判断选项中的不等式是否恒成立.
【详解】，则，当且仅当时取等号，A正确；
，即，，则，当且仅当时取等号，B正确，C错误；
，D错误．
故选：AB
11．CD
【分析】根据题意，利用题设条件，结合基本不等式，逐项判定，即可求解.
【详解】由，且，
对于A中，由，当且仅当时，等号成立，
所以，解得，即的最大值为，所以A错误；
对于B中，由，
当且仅当时，等号成立，所以最小值为，所以B错误；
对于C中，，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是，所以C正确；
对于D中，由，
当且仅当时，等号成立，的最小值是，所以D正确.
故选：CD.
12．BCD
【分析】举出反例即可判断A；利用基本不等式即可判断B；由题意可得，再利用基本不等式中“1”的等量代换即可判断C；将两边平方，再利用作差法即可判断D.
【详解】对于A，当时，满足，故A错误；
对于B，由，得，所以或（舍去），
所以，当且仅当时，取等号，故B正确；
对于C，由，得，
则，
当且仅当，即时，取等号，故C正确；
对于D，由，得，
则，
当且仅当时，取等号，
所以，故D正确.
故选：BCD.
13．/0.8
【分析】由可得，将与相乘，展开后利用基本不等式可求得答案.
【详解】已知正数、满足，则，
所以，
，
当且仅当时，等号成立.
因此，的最小值为.
故答案为：.
14．
【分析】根据已知表示出，若有解，则，表示出，然后利用基本不等式即可求出其最小值，即可得出答案.
【详解】由题知，因为，
所以，，
若有解，则即可，
因为，都是正数，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
故.
故答案为：
15．
【分析】设这两个正数分别为，则，再根据结合基本不等式即可得解.
【详解】设这两个正数分别为，则，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，即这两个数的和为.
故答案为：.
16． 5 8
【分析】先求出年平均利润关于机器运转时间的解析式，再利用基本不等式求解最值.
【详解】每台机器运转x年的年平均利润为，且x>0，由基本不等式得：，
当且仅当，即x＝5时等号成立，故，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．
故答案为：5；8
17．(1)4
(2)
【分析】（1）根据条件得到，再利用均值不值式即可求出结果；
（2）根据条件得到，再利用均值不值式即可求出结果.
【详解】（1）因为，所以，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
（2）因为，所以
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据系数“1”的妙用，结合基本不等式即可得到结果；
（2）根据题意结合基本不等式可得，然后求解关于的不等式，即可得到结果.
【详解】（1）因为，所以
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为
（2）因为，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
因为恒成立，
所以，解得
所以实数的取值范围为
19．(1)
(2)产量为（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是万元
【分析】（1）根据已知条件，结合利润销售额－固定成本－可变成本的公式，分，两种情况讨论，即可求解．
（2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及基本不等式的公式，分别求解分段函数的最大值，再通过比较大小，即可求解．
【详解】（1）解：当时，
，
当时，，
故．
（2）解：若时，，
当时，万元，
当时，，
当且仅当，即时，万元，
故年产量为（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是万元．
20．(1)要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元
(2)当该商品改革后的销售量至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元
【分析】（1）设每件定价为元，则提高价格后的销售量为，根据销售的总收入不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定价；
（2）依题意，时，不等式有解，等价于时，有解，利用基本不等式，可以求得结论．
【详解】（1）解：设每件定价为t元，依题意得，
整理得 ，
解得.
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元.
（2）解：依题意，时，
不等式有解
等价于时，有解
（当且仅当时，等号成立）
．此时该商品的每件定价为30元
当该商品明年的销售量至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．
21．当时建墙费用最省，此时费用为元.
【分析】设建墙的费用为元，根据题意列出关于a的函数关系式，结合基本不等式计算即可.
【详解】设建墙的费用为元，则
，
当且仅当即时，等号成立，
故利用旧墙的长为12m时，建墙的费用最省，此时建墙的费用为元.
答案第1页，共2页
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