2.3二次函数与一元二次方程、不等式 同步练习（含解析）

2.3二次函数与一元二次方程、不等式同步练习
一、单选题
1．若命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C．或 D．
2．已知函数（其中b是实数）中，y的取值范围是，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为（ ）
A．16 B．25 C．9 D．8
3．若不等式有解，则实数的取值范围为（ ）
A．或 B． C． D．
4．命题“，”为真命题的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
5．若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．或
6．一元二次方程有一个正根和一个负根的一个充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
7．若关于x不等式的解集为，则关于x不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．二次函数的图像如图所示，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知关于x的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．
C．不等式的解集为
D．不等式的解集为
10．下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为 B．无最小值
C．的最大值为 D．无最大值
11．已知关于x的不等式的解集为，且，若，是方程的两个不等实根，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数（）有且只有一个零点，则（ ）
A．
B．
C．若不等式的解集为，则
D．若不等式的解集为，且，则
三、填空题
13．设：，：，则是的 条件，（填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”）
14．不等式的解集是 ．
15．如果关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是 .
16．已知函数，，当时，函数的最小值 ；对任意，成立，实数a的取值范围 .
四、解答题
17．关于x的不等式，其中．
(1)当时，求该不等式的解集
(2)若存在，成立，求实数a的取值范围
18．已知函数，
(1)若的解集为，求的值；
(2)若，求不等式的解集.
19．已知命题“使不等式成立”是假命题
(1)求实数m的取值集合；
(2)若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
20．设．
(1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
(2)解关于的不等式．
21．已知二次函数的图象过点，不等式的解集为．
(1)求的解析式；
(2)若函数图象的顶点在函数图象上，求关于x的不等式的解集．
22．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度υ（千米/小时）之间的函数关系为：．
(1)在该时段内，当汽车的平均速度υ为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式）
(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】利用一元二次不等式能成立以及存在量词命题的概念求解.
【详解】因为命题“，”为真命题，
若，即，则，；
若，即，要使得命题为真命题，则，
即，解得或，
又因为，所以此时；
若，即，则满足命题“，”为真命题；
综上，，
故选:D.
2．A
【分析】首先根据值域得，再利用韦达定理代入即可得到方程，解出即可.
【详解】因为y的取值范围是，则，且，解得，
因为不等式的解集为，
则令，即，两根，
则，
即，且判别式，
解得，
故选：A.
3．A
【分析】根据一元二次不等式有实数解的充要条件列式求解作答.
【详解】不等式有解，即不等式有解，
因此，解得或，
所以实数的取值范围为或.
故选：A
4．A
【分析】把特称命题为真命题转化为对有解，分离参数，求解函数最值即可求解.
【详解】因为命题“，”为真命题，所以对有解，
即对有解，所以，
又函数在上单调递减，在上单调递增，当时，取得最小值为，
所以，即，故命题“，”为真命题的充要条件是.
故选：A
5．C
【分析】转化存在量词命题的否定为真命题，列式求解.
【详解】命题“，使得”是假命题，即“成立”是真命题，
故，解得.
故选：C.
6．A
【分析】根据二次方程有一个正根和一负根可得以及两根之积小于，列不等式组即可求解.
【详解】因为一元二次方程有一个正根和一负根，设两根为和，
所以，解得，故.
故选：A.
7．C
【分析】结合一元二次不等式的解集，用分别表示和，并判断的符号，然后求解一元二次不等式即可.
【详解】因为不等式的解集为，
则，且和3是的两个根，
所以，即，，
故，
解得或，
从而关于x不等式的解集为.
故选：C.
8．A
【分析】数形结合求出不等式的解集.
【详解】，即．根据图象知，只有在时，x取其它任何实数时y都是负值.
故选：A．
9．ABD
【分析】根据一元二次不等式的解与二次方程的根之间的关系可得，即可结合选项逐一求解.
【详解】由于不等式的解集为，
所以和是的两个实数根，
所以，故，
，故AB正确，
对于C,不等式为，故，故C错误，
对于D, 不等式可变形为，
解得，故D正确，
故选：ABD
10．BC
【分析】结合基本不等式和二次函数性质依次判断各个选项即可.
【详解】对于AB，当时，（当且仅当时取等号）；
当时，（当且仅当时取等号），
的值域为，无最小值，A错误，B正确；
对于CD，，
当时，取得最大值，最大值为，C正确，D错误.
故选：BC.
11．BC
【分析】由题意可以判断A错误；根据图象的平移变换，可得变换前后对称轴不变，即，变形后可判断B正确；根据,亦可判断C正确，通过举反例，即可判断D错误.
【详解】解：由题意得,故A错误，
因为将二次函数的图象上的所有点向上平移1个单位长度，得到二次函数的图象，所以,即，B正确，
如图，又，所以，C正确，
当时，，，
所以，D错误.
故选：BC.
12．ABD
【分析】由函数的零点的定义和二次方程有两个相等的实数解的条件可得，的关系式，由二次函数的最值求法，可判断A；由基本不等式可判断B；由二次方程的韦达定理可判断C，D．
【详解】根据题意，函数有且只有一个零点，必有，即，，
，时，等号成立，即有，故A正确；
，当且仅当时，取得等号，故B正确；
由，为方程的两根，可得，故C错误；
由，为方程的两根，可得，，
则，
解得，故D正确．
故选：ABD．
13．必要不充分
【分析】先解不等式分别得到条件和，然后根据充分条件与必要条件的概念判断．
【详解】由得，解得或，即：或.
由得，解得或，即：或，
∵或 或，
∴是的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分.
14．
【分析】根据给定条件，利用有理数乘除法的符号法则将分式不等式转化为一元二次不等式求解作答.
【详解】不等式化为：，即，解得，
所以原不等式的解集是：.
故答案为：
15．
【分析】分和两种情况讨论，当时，即可求出参数的取值范围.
【详解】解：因为关于的不等式对一切实数恒成立，
当，即时，显然恒成立；
当，则，解得；
综上可得；
故答案为：
16． 6
【分析】将代入，利用基本不等式求出最值，通过分离参数思想将恒成立问题转化为最值问题求解即可.
【详解】当时，
，（当且仅当时取得相等），
即函数最小值为6；
即，对任意恒成立，
即，，
令，的最大值为当时取得为，
所以有，
故答案为：6，.
【点睛】本题主要考查函数最值问题，用到了基本不等式和恒成立问题的转化求解，属于较经典的题型.
17．(1)
(2)或
【分析】（1）解出对应二次方程的两根，结合图像，即可得；（2）存在，成立，即，与x轴有两个交点，，故即可.
【详解】（1）根据题意，当时，原式为，
解得，
因此不等式的解集为
（2）由题意知，有解，
即，与x轴有两个交点，
则
解得或，
所以实数a的取值范围是或
18．(1)或
(2)答案见解析
【分析】（1）由题意得方程的两根为和，且，然后利用根与系数的关系列方程可求得结果，
（2）分，和三种情况求解即可.
【详解】（1）因为的解集为，
所以方程的两根为和，且.
所以，解得或.
（2）因为，所以不等式，即，
当时，，解得，即不等式的解集为；
当时，，解得，即不等式的解集为；
当时，原不等式即，解得，即不等式的解集为.
综上：当时式的解集为，
当时不等式的解集为，
当时不等式的解集为.
19．(1)；
(2)
【分析】（1）首先根据题意得出命题的否定“，不等式”成立是真命题，然后由或求解即可；
（2）根据题意得出集合是集合的真子集，然后列出不等式求解即可.
【详解】（1）因为命题 “，不等式”成立是假命题，
所以命题的否定 “，不等式”成立是真命题，
所以或，解得或，
故集合；
（2）因为，即，
所以，
因为是集合的必要不充分条件，
令集合，则集合是集合的真子集，
即，解得，所以实数的取值范围是
20．(1)
(2)答案见解析.
【分析】(1)根据给定条件利用一元二次不等式恒成立求解作答.
(2)分类讨论解一元二次不等式即可作答.
【详解】（1），恒成立等价于，，
当时，，对一切实数不恒成立，则，
此时必有，
即，解得，
所以实数的取值范围是.
（2）依题意， ，可化为，
当时，可得，
当时，可得，又，
解得，
当时，不等式可化为，
当时，，解得，
当时，，解得或，
当时，，解得或，
所以，当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或.
21．(1)
(2)详见解析
【分析】（1）首先设二次函数的两根式，再代入点，即可求解；
（2）首先求二次函数的顶点坐标，代入函数后，整理不等式，讨论后，求不等式的解集.
【详解】（1）因为的解集为，
所以设，因为，所以，
所以；
（2）由（1）可知，
函数的顶点在的图象上，
则，则，，
所以，
所以，
整理为：，即，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为,
当且时，不等式的解集为.
22．(1)当时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时；
(2)大于且小于．
【分析】（1）根据基本不等式即可求得y的最大值．根据等号成立的条件求得此时的平均速度．
（2）在该时间段内车流量超过10千辆/小时时，解不等式即可求出的范围．
【详解】（1）依题意，由于,
所以
当且仅当，即时，上式等号成立，
∴（千辆/时）．
当时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时；
（2）由条件得,
整理得，即，解得，
所以，如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于且小于．
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