27.2.2 相似三角形的性质一课一练（含解析）

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27.2.2 相似三角形的性质一课一练
一、单选题
1．如图，△ABC∽△ADE ， 则下列比例式正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．两个相似三角形的相似比为1：2，则它们面积的比为（　　）
A．1：4 B．1：2 C．1： D．4：1
3．若△ABC∽△A′B′C′且 ＝ ，△ABC的周长为15cm，则△A′B′C′的周长为（　　）cm.
A．18 B．20 C． D．
4．△ABC与△A'B'C'是位似图形，且△ABC与△A'B'C'位似比是1：2，已知△ABC的面积是10，则△A'B'C'的面积是（　　）
A．10 B．20 C．40 D．80
二、填空题
5．若两个相似三角形的相似比为3∶4，则它们的面积比为　 　．
6．如图，在四边形 中， 于点 ， ，且 ，当 ， 时，线段 的长度为　 　.
三、计算题
7．如图，直线AB交x轴于点B，交y轴于点A（0，4），直线DM⊥x轴正半轴于点M，交线段AB于点C，DM=6，连接DA，∠DAC=90°，AD：AB=1：2．
（1）求点D的坐标；
（2）求经过O、D、B三点的抛物线的函数关系式．
四、解答题
8．如图，在 中，已知 ， ， ， ，求DE的长.
9．问题探究：三角形的角平分线是初中几何中一条非常重要的线段，它除了具有平分角、角平分线上的点到角两边的距离相等这些性质外，还具有以下的性质：
如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，则 。
提示：过点C作CE∥AD交BA的延长线于点E。
请根据上面的提示，写出得到“ “这一结论完整的证明过程。
结论应用：如图②2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=15，AD平分∠BAC交BC于点D。请直接利用“问题探究”的结论，求线段CD的长。
五、作图题
10．图，点A，B，C是的网格上的格点，连接点A，B，C得△ABC，请分别在下列图中使用无刻度的直尺按要求画图．（画图时保留画图痕迹）
（1）在图①中，在BC上找一点D，使；
（2）在图②中，在△ABC内部（不含边界）找一点E，使
六、综合题
11．
（1）已知二次函数的图象的顶点坐标为.判断点是否在这个函数的图象上？为什么？
（2）如图，在中，已知点E在DA的延长线上，，连接CE交BD于点F，求的值.
七、实践探究题
12．如图1所示，边长为4的正方形ABCD与边长为a（0＜a＜4）的正方形CFEG的顶点C重合，点B在对角线AC上.
（1）[问题发现]如图1所示，AE与BF的数量关系为 　 　；
（2）[类比探究]如图2所示，将正方形CFEG绕点C旋转，旋转角为α（0＜α＜30°），请问此时上述结论是否还成立？若成立，写出推理过程，若不成立，说明理由；
（3）[拓展延伸]当a＝时，正方形CFEG若按图1所示位置开始旋转，在正方形CFEG的旋转过程中，当点A、F、C在一条直线上时，求出此时线段AE的长.
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】∵△ABC∽△ADE ， ∴ ，
故答案为：D．
【分析】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例这一性质是解答此题的关键．
2．【答案】A
【解析】【解答】∵两个相似三角形的相似比为1：2，
∴它们面积的比等于： .
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的性质“相似三角形的面积的比等于相似比的平方”可求解.
3．【答案】B
【解析】【解答】∵△ABC∽△A′B′C′，
∴ = =
∴ = = ，
∵△ABC的周长为15cm，
∴△A′B′C′的周长为20cm．
故选B．
【分析】根据比例的等比性质可得相似三角形周长的比等于相似比，可得 = = ，由△ABC的周长为15cm，即可求得△A′B′C′的周长．
4．【答案】A
【解析】【解答】解：∵两个三嘉兴的位似比为1:2
∴两个三角形的为1:4
∵△ABC的面积为10
∴△A'B'C'面积为20
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形的性质，计算得到答案即可。
5．【答案】9：16
【解析】【解答】解：∵两个相似五边形的相似比为3：4，
∴它们的面积比为9：16
故答案为9：16
【分析】相似多边形的面积比等于相似比的平方，据此解答即可.
6．【答案】
【解析】【解答】解：如图，在
上截取
，过
作
交
于点
，把
绕
逆时针旋转得
，连接
，
则
，
，
，
∴ ，
又∵ 于点
，
，
，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴在
中，由勾股定理得，
，
∴ .
故答案为：
.
【分析】在
上截取
，过
作
交
于点
，把
绕
逆时针旋转得
，连接
，易求
，然后证明
，可得
，再证
可得
，由
可得
，从而求出MN=
，证得
，可求出
，在
中，由勾股定理求出CE，利用
即可求解.
7．【答案】（1）如图，过点D作DE⊥OA于E，
在△AED与△BAO中
∵∠EDA+∠EAD=∠EAD+∠BAO=90°，
∴∠EDA=∠BAO，
∵∠AED=∠AOB=90°，
∴△ADE∽△BAO，
∴
∵点A（0，4），DM=6，
∴AO=4，AE=EO-AO=DM-AO=2，
∴ED=，
∴点D的坐标为D(2，6).
（2）∵AE=2，ED=2，△ADE∽△BAO，
∴BO=AO=4
∴点B的坐标为B(4，0)
设：过O、D、B三点的抛物线的函数关系式为：
将O(0，0)，B(0，4)，D（2，6）代入函数关系式，解得：
∴过O、D、B三点的抛物线的函数关系式为：.
【解析】【分析】（1）过点D作DE⊥OA于E，可得到：△ADE∽△BAO，根据相似三角形的对应边成比例可求得点D坐标；
（2）根据△ADE∽△BAO，且AE=2，ED=2，可以得到：点B的坐标为B(0，4).设出函数解析式，将O、D、B三点坐标代入即可求出解析式.
8．【答案】解：∵AD=4，DB=8，
∴AB=12，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，即 ，
∴DE=3．
【解析】【分析】由DE∥BC，判断△ADE∽△ABC，再由相似三角形的性质得出相似比求DE．
9．【答案】解：问题探究：过点C作CE∥AD交BA的延长线于点E， ∴ ，∠BAD=∠E，∠CAD=∠ACE． ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD． ∴∠E=∠ACE．∴AC= AE． ∴ ． 结论应用：在Rt△ABC中，∠C=90°， ． 设CD的长为x，则BD的长为15-x． ∵AD平分∠BAC， ∴ ，即 ． 解得 ． ∴CD的长为 ．
【解析】【分析】 过点C作CE∥AD交BA的延长线于点E，则 ，根据“双平等腰”模型，易证 AC=AE，进而即可得到结论；根据勾股定理，求出AB的长， 设CD的长为x，则BD的长为15-x． 根据角平分线的性质，列出方程，即可求解.
10．【答案】（1）解：如图所示，取格点G、H，连接GH交BC于D，点D即为所求；
∵四边形BGCH是矩形，
∴点D是BC的中点，
∴；
（2）解：如图所示，取格点M、T、H、N，连接MN交AB于P，连接TH交AC于Q，连接PQ，
在线段PQ上任取一点E（不包括端点）即为所求；
由图知，，
∴，
∴∠ABC=90°，
∴，
∵，
∴△MNE∽△PQE，
∴，
∴，
同理可证，
∴，
又∵∠PAQ=∠BAC，
∴△APQ∽△ABC，
∴∠APQ=∠ABC，
∴，
∴．
【解析】【分析】根据要求作出图象即可。
11．【答案】（1）解：点在这个函数的图象上.理由如下：
∵二次函数的图象的顶点坐标为，
∴二次函数的解析式为，
∴当时，.
∴点在这个函数的图象上.
（2）解：∵在中，
∴BC＝AD.
∵ED//BC，
∴△EDF∽△CBF，
∴，
又∵，
∴，
∴.
∴.
【解析】【分析】（1）由题意先把顶点坐标代入抛物线的解析式，然后把点（1，-1）代入所求的解析式验证即可判断求解；
（2）由平行四边形的性质可得BC=AD，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得△EDF∽△CBF，于是可得比例式并结合已知即可求解.
12．【答案】（1）AE＝ BF
（2）解：上述结成立，理由如下：
连接CE，如图2所示：
∵∠FCE＝∠BCA＝45°，
∴∠BCF＝∠ACE＝45°﹣∠ACF，
在Rt△CEF和Rt△CBA中，CE＝ CF，CA＝ CB，
∴ ＝ ，
∴△ACE∽△BCF，
∴ ＝ ，
∴AE＝ BF；
（3）解：如图3﹣1中，当点F落在AC上时，
∵AB＝CB＝4，∠B＝90°，
∴AC＝ AB＝4 ，
∵CF＝EF＝ ，
∴AF＝3 ，
∵∠AFE＝90°，
∴AE＝ .
如图3﹣2中，当点F落在AC的延长线上时，同法可得AE＝ .
综上所述，AE的长为2 或2 .
故答案为：2 或2 .
【解析】【解答】解：（1）结论：AE＝ BF，理由如下：
∵四边形ABCD和四边形CFEG是正方形，
∴∠B＝∠CFE＝90°，∠FCE＝∠BCA＝45°，CE＝ CF，CE⊥GF，
∴AB∥EF，
∴ ＝ ，
∴AE＝ BF；
故答案为：AE＝ BF；
【分析】（1）根据正方形的性质可得∠B＝∠CFE＝90°，∠FCE＝∠BCA＝45°，CE＝CF，CE⊥GF，则AB∥EF，然后根据平行线分线段成比例的性质进行解答；
（2）连接CE，根据角的和差关系可得∠BCF＝∠ACE，易得＝，证明△ACE∽△BCF，然后根据相似三角形的性质进行解答；
（3）当点F落在AC上时，由勾股定理可得AC＝AB＝4，则AF＝AC-CF=3，然后利用勾股定理就可求出AE的值；当点F落在AC的延长线上时，同法可得AE.
27.2.2 相似三角形的性质一课一练
一、单选题
1．如图，△ABC∽△ADE ， 则下列比例式正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．两个相似三角形的相似比为1：2，则它们面积的比为（　　）
A．1：4 B．1：2 C．1： D．4：1
3．若△ABC∽△A′B′C′且 ＝ ，△ABC的周长为15cm，则△A′B′C′的周长为（　　）cm.
A．18 B．20 C． D．
4．△ABC与△A'B'C'是位似图形，且△ABC与△A'B'C'位似比是1：2，已知△ABC的面积是10，则△A'B'C'的面积是（　　）
A．10 B．20 C．40 D．80
二、填空题
5．若两个相似三角形的相似比为3∶4，则它们的面积比为　 　．
6．如图，在四边形 中， 于点 ， ，且 ，当 ， 时，线段 的长度为　 　.
三、计算题
7．如图，直线AB交x轴于点B，交y轴于点A（0，4），直线DM⊥x轴正半轴于点M，交线段AB于点C，DM=6，连接DA，∠DAC=90°，AD：AB=1：2．
（1）求点D的坐标；
（2）求经过O、D、B三点的抛物线的函数关系式．
四、解答题
8．如图，在 中，已知 ， ， ， ，求DE的长.
9．问题探究：三角形的角平分线是初中几何中一条非常重要的线段，它除了具有平分角、角平分线上的点到角两边的距离相等这些性质外，还具有以下的性质：
如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，则 。
提示：过点C作CE∥AD交BA的延长线于点E。
请根据上面的提示，写出得到“ “这一结论完整的证明过程。
结论应用：如图②2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=15，AD平分∠BAC交BC于点D。请直接利用“问题探究”的结论，求线段CD的长。
五、作图题
10．图，点A，B，C是的网格上的格点，连接点A，B，C得△ABC，请分别在下列图中使用无刻度的直尺按要求画图．（画图时保留画图痕迹）
（1）在图①中，在BC上找一点D，使；
（2）在图②中，在△ABC内部（不含边界）找一点E，使
六、综合题
11．
（1）已知二次函数的图象的顶点坐标为.判断点是否在这个函数的图象上？为什么？
（2）如图，在中，已知点E在DA的延长线上，，连接CE交BD于点F，求的值.
七、实践探究题
12．如图1所示，边长为4的正方形ABCD与边长为a（0＜a＜4）的正方形CFEG的顶点C重合，点B在对角线AC上.
（1）[问题发现]如图1所示，AE与BF的数量关系为 　 　；
（2）[类比探究]如图2所示，将正方形CFEG绕点C旋转，旋转角为α（0＜α＜30°），请问此时上述结论是否还成立？若成立，写出推理过程，若不成立，说明理由；
（3）[拓展延伸]当a＝时，正方形CFEG若按图1所示位置开始旋转，在正方形CFEG的旋转过程中，当点A、F、C在一条直线上时，求出此时线段AE的长.
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】∵△ABC∽△ADE ， ∴ ，
故答案为：D．
【分析】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例这一性质是解答此题的关键．
2．【答案】A
【解析】【解答】∵两个相似三角形的相似比为1：2，
∴它们面积的比等于： .
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的性质“相似三角形的面积的比等于相似比的平方”可求解.
3．【答案】B
【解析】【解答】∵△ABC∽△A′B′C′，
∴ = =
∴ = = ，
∵△ABC的周长为15cm，
∴△A′B′C′的周长为20cm．
故选B．
【分析】根据比例的等比性质可得相似三角形周长的比等于相似比，可得 = = ，由△ABC的周长为15cm，即可求得△A′B′C′的周长．
4．【答案】A
【解析】【解答】解：∵两个三嘉兴的位似比为1:2
∴两个三角形的为1:4
∵△ABC的面积为10
∴△A'B'C'面积为20
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形的性质，计算得到答案即可。
5．【答案】9：16
【解析】【解答】解：∵两个相似五边形的相似比为3：4，
∴它们的面积比为9：16
故答案为9：16
【分析】相似多边形的面积比等于相似比的平方，据此解答即可.
6．【答案】
【解析】【解答】解：如图，在
上截取
，过
作
交
于点
，把
绕
逆时针旋转得
，连接
，
则
，
，
，
∴ ，
又∵ 于点
，
，
，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴在
中，由勾股定理得，
，
∴ .
故答案为：
.
【分析】在
上截取
，过
作
交
于点
，把
绕
逆时针旋转得
，连接
，易求
，然后证明
，可得
，再证
可得
，由
可得
，从而求出MN=
，证得
，可求出
，在
中，由勾股定理求出CE，利用
即可求解.
7．【答案】（1）如图，过点D作DE⊥OA于E，
在△AED与△BAO中
∵∠EDA+∠EAD=∠EAD+∠BAO=90°，
∴∠EDA=∠BAO，
∵∠AED=∠AOB=90°，
∴△ADE∽△BAO，
∴
∵点A（0，4），DM=6，
∴AO=4，AE=EO-AO=DM-AO=2，
∴ED=，
∴点D的坐标为D(2，6).
（2）∵AE=2，ED=2，△ADE∽△BAO，
∴BO=AO=4
∴点B的坐标为B(4，0)
设：过O、D、B三点的抛物线的函数关系式为：
将O(0，0)，B(0，4)，D（2，6）代入函数关系式，解得：
∴过O、D、B三点的抛物线的函数关系式为：.
【解析】【分析】（1）过点D作DE⊥OA于E，可得到：△ADE∽△BAO，根据相似三角形的对应边成比例可求得点D坐标；
（2）根据△ADE∽△BAO，且AE=2，ED=2，可以得到：点B的坐标为B(0，4).设出函数解析式，将O、D、B三点坐标代入即可求出解析式.
8．【答案】解：∵AD=4，DB=8，
∴AB=12，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，即 ，
∴DE=3．
【解析】【分析】由DE∥BC，判断△ADE∽△ABC，再由相似三角形的性质得出相似比求DE．
9．【答案】解：问题探究：过点C作CE∥AD交BA的延长线于点E， ∴ ，∠BAD=∠E，∠CAD=∠ACE． ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD． ∴∠E=∠ACE．∴AC= AE． ∴ ． 结论应用：在Rt△ABC中，∠C=90°， ． 设CD的长为x，则BD的长为15-x． ∵AD平分∠BAC， ∴ ，即 ． 解得 ． ∴CD的长为 ．
【解析】【分析】 过点C作CE∥AD交BA的延长线于点E，则 ，根据“双平等腰”模型，易证 AC=AE，进而即可得到结论；根据勾股定理，求出AB的长， 设CD的长为x，则BD的长为15-x． 根据角平分线的性质，列出方程，即可求解.
10．【答案】（1）解：如图所示，取格点G、H，连接GH交BC于D，点D即为所求；
∵四边形BGCH是矩形，
∴点D是BC的中点，
∴；
（2）解：如图所示，取格点M、T、H、N，连接MN交AB于P，连接TH交AC于Q，连接PQ，
在线段PQ上任取一点E（不包括端点）即为所求；
由图知，，
∴，
∴∠ABC=90°，
∴，
∵，
∴△MNE∽△PQE，
∴，
∴，
同理可证，
∴，
又∵∠PAQ=∠BAC，
∴△APQ∽△ABC，
∴∠APQ=∠ABC，
∴，
∴．
【解析】【分析】根据要求作出图象即可。
11．【答案】（1）解：点在这个函数的图象上.理由如下：
∵二次函数的图象的顶点坐标为，
∴二次函数的解析式为，
∴当时，.
∴点在这个函数的图象上.
（2）解：∵在中，
∴BC＝AD.
∵ED//BC，
∴△EDF∽△CBF，
∴，
又∵，
∴，
∴.
∴.
【解析】【分析】（1）由题意先把顶点坐标代入抛物线的解析式，然后把点（1，-1）代入所求的解析式验证即可判断求解；
（2）由平行四边形的性质可得BC=AD，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得△EDF∽△CBF，于是可得比例式并结合已知即可求解.
12．【答案】（1）AE＝ BF
（2）解：上述结成立，理由如下：
连接CE，如图2所示：
∵∠FCE＝∠BCA＝45°，
∴∠BCF＝∠ACE＝45°﹣∠ACF，
在Rt△CEF和Rt△CBA中，CE＝ CF，CA＝ CB，
∴ ＝ ，
∴△ACE∽△BCF，
∴ ＝ ，
∴AE＝ BF；
（3）解：如图3﹣1中，当点F落在AC上时，
∵AB＝CB＝4，∠B＝90°，
∴AC＝ AB＝4 ，
∵CF＝EF＝ ，
∴AF＝3 ，
∵∠AFE＝90°，
∴AE＝ .
如图3﹣2中，当点F落在AC的延长线上时，同法可得AE＝ .
综上所述，AE的长为2 或2 .
故答案为：2 或2 .
【解析】【解答】解：（1）结论：AE＝ BF，理由如下：
∵四边形ABCD和四边形CFEG是正方形，
∴∠B＝∠CFE＝90°，∠FCE＝∠BCA＝45°，CE＝ CF，CE⊥GF，
∴AB∥EF，
∴ ＝ ，
∴AE＝ BF；
故答案为：AE＝ BF；
【分析】（1）根据正方形的性质可得∠B＝∠CFE＝90°，∠FCE＝∠BCA＝45°，CE＝CF，CE⊥GF，则AB∥EF，然后根据平行线分线段成比例的性质进行解答；
（2）连接CE，根据角的和差关系可得∠BCF＝∠ACE，易得＝，证明△ACE∽△BCF，然后根据相似三角形的性质进行解答；
（3）当点F落在AC上时，由勾股定理可得AC＝AB＝4，则AF＝AC-CF=3，然后利用勾股定理就可求出AE的值；当点F落在AC的延长线上时，同法可得AE.
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