2.3二次函数与一元二次方程、不等式 课件（共18张PPT）

(共18张PPT)
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
问题1　园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要大于20 m2，则这个矩形的边长要满足什么条件？
提示　设这个矩形的一条边长为x m，则另一条边长为(12－x)m.
由题意，得(12－x)x>20，其中x∈{x|0整理得x2－12x＋20<0，x∈{x|0以上不等式中含有几个未知数？未知数的最高次数是多少？
情境导学
定义 一般地，我们把只含有一个 ，并且未知数的最高次数是 的不等式，称为一元二次不等式.
一般形式
未知数
2
或
或
注意：
“一元”指的是只有一个未知数，不代表只有一个字母
“二次”指的是未知数的最高次数必须是2，且最高次项系数不为0
二次函数
对于 一元二次方程
一元二次不等式
它们的联系又是怎样的呢？
了解了一元二次不等式，你能联想到我们学过的哪些知识呢
图像与x轴有两个交点. 这两个交点的横坐标就是方程 的两个实数根
在平面直角坐标系中画出二次函数 的图像
因此二次函数 的图像与x轴的两个交点是(2，0)和(10，0).
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使 的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的 .
ax2＋bx＋c＝0
零点
注意：零点不是点，是具体的实数
二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点
方程ax2＋bx＋c=0的实数根
函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交点的横坐标
新知探究
问题2 函数y=x2-12x+20 的两个零点2和10将x轴分成三段, 每一段(不含零点)对应的函数图象有何特点？对应的函数值的范围又如何
x
y
o
2
10
y>0
函数图象在x轴上方,
当x<2或x>10时:
y<0
函数图象在x轴下方,
当2追问1 你能从图象上看出不等式x2-12x+20<0的解集吗
x2-12x+20<0就是y<0, 而y<0时, 2∴不等式x2-12x+20<0的解集为{x|2追问2 你能从图象上看出不等式x2-12x+20>0的解集吗
不等式x2-12x+20>0的解集为{x|x<2或x>10}
追问3 上述方法可以推广到求一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0) 和ax2＋bx＋c<0(a＞0)的解集吗？
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 _____________ ____________
____
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 __________ _____ ____
{x|xx2}
{x|x1

R
“三个二次”之间的关系
有两个不相等的实数根x1，x2(x1有两个相等的实数根x1＝x2＝
没有实数根
例1 求不等式x2－5x＋6＞0 的解集.
画出y＝x2－5x＋6的大致图象
由图象得，
x2－5x＋6＞0的解集为{x|x＜2，或x＞3}．
由x2－5x＋6＝0得 Δ=(-5)2-4×1×6=1＞0
∴方程有两个实数根,
解此方程得x1＝2，x2＝3，
解：
[变式1] 求x2－5x＋6<0 的解集.
[变式2] 求x2－5x＋6≤0的解集.
{x|2{x|2≤x ≤ 3}
另解:(x-2)(x-3)>0
典例解析
（大于零取两边，小于零取中间(前提：a>0)）
典例解析
例2 求不等式9x2－6x＋1＞0的解集.
解
对于方程，
∵，
∴它有两个实数根.解得
画出二次函数的图象，
结合图象得不等式的解集为
R
典例解析
不等式可化为
∵，
∴方程无实数根.
画出二次函数的图象，
结合图象得不等式的解集为.
因此，原不等式的解集为.
例3 求不等式－x2＋2x－3＞0的解集.
解：
[变式]求－x2＋2x－3<0 的解集.
R
追问 如何求x2系数为负a<0的一元二次不等式的解集？
对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化成正数，再求解.
求解一元二次不等式的一般步骤：
将原不等式化为ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的形式
计算Δ=b2-4ac的值.
△>0方程ax2＋bx＋c=0
有两个不相等的实数根，解得x1，x2（x1＜x2）
方程ax2＋bx＋c=0没有实数根
原不等式的解集为{x|x＜x1，或x＞x2}
原不等式的解集为{x|x≠－ }
原不等式的解集为R
归纳总结
巩固练习
课本P53
例4 一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（单位：辆）与创造的价值y（单位：元）之间有如下的关系：y=-2x2+220x.
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？
-2x2+220x>6 000.
移项整理，得x2-110x+3 000<0.
思维升华
利用不等式解决实际问题的一般步骤如下：
(1)选取合适的字母表示题目中的未知数；
(2)由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；
(3)求解所列出的不等式(组)；
(4)结合题目的实际意义确定答案．
图2.3-7