27.2 相似三角形本节综合题（含解析）
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27.2 相似三角形本节综合题
一、单选题
1．如图，DE∥AB，如果CE∶AE =1∶2，DE=3，那么AB等于（ ）
A．6； B．9； C．12； D．13．
2．如图，在 中， ， ， ，将 沿图示中的虚线 剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，将 沿 边上的中线 平移到 的位置，已知 的面积为9，阴影部分三角形的面积为4.若 ，则 等于（ ）
A．2 B．3 C． D．
4．以下列数据（单位： ）为长度的各组线段中，成比例的是（ ）
A．1，2，3，4 B．3，6，9，18
C．1， ，2， D．1， ，4，
5．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形.若 ，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．③和④相似
6．如图， 中， ，若 ， 的周长是6，则 的周长是（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
7．如图，在Rt△ABC中，∠B=90 ， = ,D是AB边上一点，过D作DE⊥AB交AC于点E,过D作DF∥AC交BC于点F，连接BE交DF于H.若DH=DE,则 为（ ）
A． B． C． D．
8．如图， 是等边三角形，在线段 或 延长线上有一点D，以 为边向右作等边 ，连接 和 ，下列结论：① ；② ；③ ；④若 ，则有 ；⑤若 的边长是2，且 ，则 或 .正确的结论序号有（ ）
A．①④ B．①③④ C．①②③④ D．①③④⑤
二、填空题
9．如图，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在B处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AB=2米，BC=18米，则旗杆CD的高度是 米．
10．如图，△ABC的中线AE，BD交于点G，过点D作DM∥BC交AE于点M，则△AMD，△DMG和△BEG的面积之比为 ．
11．如图，在菱形 中，对角线 与 相交于点 ，延长 到点 ，使 ，连接 ，分别取 、 的中点 、 ，连结 ，若 ， ，则线段 的长为 .
三、计算题
12．如图，在 与 中， ，且 .
求证： .
四、解答题
13．如图， ，AF与BE相交于点G，且 ， ， ，求 的值.
14．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，AD=3，AB=5，求的值．
15．如图，已知AB是⊙O的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与AB 的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．
（1）求证：PC 是⊙O 的切线；
（2）求证： ；
（3）点M 是弧AB 的中点，CM 交AB 于点N，若AB=8，求MN MC 的值．
五、作图题
16．如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，建立如图所示的坐标系．
（1）若将 沿x轴对折得到 ，则 的坐标为 ．
（2）以点B为位似中心，将 各边放大为原来的2倍，得到 ，请在这个网格中画出 ．
（3）若小明蒙上眼睛在一定距离外，向 的正方形网格内掷小石子，则刚好掷入 的概率是多少？ (未掷入图形内则不计次数，重掷一次)
17．阅读理解
如图1，在△ABC中，当DE∥BC时可以得到三组成比例线段：① ；② ;③ 。
反之，当对应线段程比例时也可以推出DE∥BC。
理解运用
三角形的内接四边形是指顶点在三角形各边上的四边形。
（1）如图2，已知矩形DEFG是△ABC的一个内接矩形，将矩形DEFG沿CB方向向左平移得矩形PBQH，其中顶点D、E、F、G的对应点分别为P、B、Q、H，在图2中画出平移后的图形；
（2）在（1）所得的图形中，连接CH并延长交BP的延长线于点R，连接AR。求证：AR∥BC；
综合实践
（3）如图3，某小区有一块三角形空地，已知△ABC空地的边AB=400米，BC=600米，∠ABC=45°；准备在△ABC内建一个内接矩形广场DEFG（点E、F在边BC上，点D、G分别在边AB和AC上），三角形其余部分进行植被绿化，按要求欲使矩形DEFG的对角线EG最短，请在备用图中画出使对角线EG最短的矩形。并求出对角线EG的最短距离（不要求证明）。
六、综合题
18．如图，BE是△ABC的角平分线，延长BE至D，使得BC=CD．
（1）求证：△AEB∽△CED；
（2）若AB=2，BC=4，AE=1，求CE长．
19．如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发沿AB方向以4cm/s的速度向B点运动，同时点Q从C点出发沿CA方向以3cm/s的速度向A点运动，设运动时间为xs．
（1）当x＝ 时，求 ；
（2）△APQ能否与△CQB相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．
20．如图，已知抛物线y=﹣ +bx+c图象经过A（﹣1，0），B（4，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若C（m，m﹣1）是抛物线上位于第一象限内的点，D是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过点D分别作DE//BC交AC于E，DF//AC交BC于F．
①求证：四边形DECF是矩形；
②试探究：在点D运动过程中，DE、DF、CF的长度之和是否发生变化？若不变，求出它的值，若变化，试说明变化情况．
七、实践探究题
21．探索并解决问题
（1）【证明体验】如图1，AD为△ABC的角平分线，∠ADC＝60°，点E在线段AB上，AE＝AC，求证：DE平分∠ADB；
（2）【思考探究】如图2，在（1）的条件下，F为AB上一点，连接FC交AD于点G．若FB＝FC，求证：DE2＝BD·DG；
（3）【拓展延伸】如图3，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠BCA＝2∠DCA，点E在AC上，∠EDC＝∠ABC，若BC＝5，，AD＝2AE，求AC的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】∵CE∶AE =1∶2，
∴CE∶CA =1∶3，
∵DE∥AB，
∴
∵DE=3，
∴AB=3 DE=9
故答案为：B
【分析】根据比例的性质得CE∶CA =1∶3，根据平行线分线段成比例定理的推论，即可求得答案.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：A.∵ , ,
∴ ∽ ;
B.∵ , ,
∴ ∽ ;
D.∵ 在同一个圆上，
∴ ,
又∵ ,
∴ , ,
∴ ∽ ;
故剪下的三角形与原三角形不相似的是C.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的判定定理逐项进行判断 ，即可求解.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：由平移的性质可得A'B'∥AB，A'C'∥AC，B'C'∥BC，
∴∠A'EF=∠B，∠A'FE=∠C，
∴△A'EF~△ABC，
又∵A'D与AD是对应边上的中线，
∴ ，
∵A A'=1，
∴ ，解得A'D=2.
故答案为：A
【分析】由平移的性质为出发点，可得A'B'∥AB，A'C'∥AC，B'C'∥BC，进而证明了△A'EF~△ABC；由相似三角形的性质可知面积比等于对应边之比.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：A、1×4≠2×3，故不符合题意；
B、3×18=6×9，所以成比例，故符合题意；
C、 ，所以不成比例，故不符合题意；
D、 ，所以不成比例，故不符合题意.
故答案为：B.
【分析】求出第一个数与第四个数的乘积，第二个数与第三个数的乘积，然后判断是否相等即可.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：由题图可知， ，结合 ，可得 .
故答案为：B.
【分析】由题图可知， ，由 ，可得 即可得出.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：
∴△ADE∽△ABC，相似比为：
∴
∴ 的周长是：
故答案为：C.
【分析】利用平行线得到三角形相似，利用相似的性质求解即可。
7．【答案】C
【解析】【解答】解：∵DE⊥AB，
∴∠ADE=90°，∠B=90°，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，
∴BC:AB=DE:AD=4:3，△DEH∽△FBH，
∴DE：AE=5:3，
又∵DH=DE，
∴DE:AE=DH：AE=3:5，
∵DF∥AC，
∴BH：BE=DH：AE=3:5，
∴BH:HE=3:2，
∴S△DEH：S△FBH=4:9；
故答案为：C.
【分析】易证DE∥BC，可得BC:AB=DE:AD=4:3，因为DH=HE，得出DE:AE=DH：AE=3:5，因为DF∥AC，所以∴BH:HE=3:2，BH：BE=DH：AE=3:5，可得BH：HE的比值，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求得。
8．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，设CD与AE交于点O，
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴CB=CA，CD=CE， ，
∴ ，
∴ ，
∴BD=AE， ，故①正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∴BC∥AE，
∴点A和点E到BC的距离相等，
∴ ，故③正确；
当 ，
根据 ，可得AC=AD，
∵CE=DE，
∴ ，故④正确；
若 的边长是2，且 ，
∴BD=3，
根据全等可得到：AE=3，
设AC与BE交于点M，
根据题意易得： ，
∴ ，
∴ ，得不出BE的值，故⑤错误；
故答案是①②③④；
故答案为：C.
【分析】根据等边三角形的性质及三角形全等的判定方法可判断出 ，可得到①②正确；若 ，易知AC=AD，根据EC=DE即可判断④正确，再根据三角形的面积计算可得到③正确，然后判断出，根据相似三角形对应边成比例可以判断⑤，从而即可得出答案.
9．【答案】18
【解析】【解答】解：如图：
∵BE⊥AC，CD⊥AC，
∴BE∥CD，
∴△ABE∽△ACD，
∴ = ，
∴ = ，
解得：CD=18．
故答案为：18
【分析】先证明BE∥CD，可证得△ABE∽△ACD，再利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，就可求出CD的长。
10．【答案】3：1：4
【解析】【解答】解：∵线段AE、BD是△ABC的中线，
∴BE=CE，AD=CD，
∵DM∥BC，
∴AM=ME，
∴DM= CE= BE，
∵DM∥BC，
∴△DMG∽△BEG，
∴ = ，S△BGE：S△DMG=4：1，
∴AM：MG=3：1，
∴S△ADM：S△DMG=3：1，
∴S△AMD=3S△DMG，
∴△AMD，△DMG和△BEG的面积之比为：3：1：4．
故答案为：3：1：4．
【分析】由线段AE、BD是△ABC的中线，得到BE=CE，AD=CD，根据DM∥BC，得到AM=ME，求得DM= CE= BE，通过△DMG∽△BEG，得到 = ，S△BGE：S△DMG=4：1，求得AM：MG=3：1，推出S△ADM：S△DMG=3：1，即可得到结论．
11．【答案】5
【解析】【解答】如图，连接BF，过点作GH⊥BC于H，
∵在菱形 中，对角线 与 相交于点 ， ， ，
∴AC⊥BD，AD//BC，AD=BC，OA=OC，OB=OD，
∴OA=OC=4，OD=OB=2，
∵点G为OC中点，
∴CG=OG=2，
∴AD=BC= ，
∵点F为AE中点，BE=BD，
∴BF为△EAD的中位线，
∴BF= AD= ，BF//AD，
∴点F在CB延长线上，
∵∠HCG=∠OCB，∠OBC=∠GHC，
∴△HCG∽△OCG，
∴ ，即 ，
解得：GH= ，CH= ，
∴FH=BC+BF-CH= ，
∴FG= =5.
故答案为：5
【分析】连接BF，过点G作GH⊥BC于H，由菱形的性质可得AC⊥BD，AD//BC，AD=BC，OA=OC=4，OB=OD=2，由线段中点的概念可得CG=OG=2，由勾股定理可得AD的值，由中位线的性质可得BF= ，BF//AD，证明△HCG∽△OCG，由相似三角形的性质可得GH、CH的值，进而求得FH、FG的值.
12．【答案】证明：∵ ，
∴ ，
即 ，
又 ，
∴ ．
【解析】【分析】先证得 ，利用有两条对应边的比相等，且其夹角相等，即可判定两个三角形相似．
13．【答案】解：∵ ，AG=2 ， GD=1 ， DF=5 ，
∴ .
【解析】【分析】由平行线分线段成比例的性质可得，据此进行计算 .
14．【答案】解：∵DE∥BC，
∴=，
∵AD=3，AB=5，
∴=．
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得出=，再根据AD=3，AB=5，即可得出答案．
15．【答案】（1）证明：∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO．
又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，
∴∠A=∠ACO=∠PCB．
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB=90°．
∴∠PCB+∠OCB=90°．
即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半径．
∴PC是⊙O的切线．
（2）证明：∵AC=PC，
∴∠A=∠P，
∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P．
又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB，
∴∠COB=∠CBO，
∴BC=OC=OB．
∴BC= AB．
（3）解：连接MA，MB，∵点M是 弧AB的中点，∴弧AM=弧BM， ∴∠ACM=∠BCM．∵∠ACM=∠ABM，∴∠BCM=∠ABM．∵∠BMN=∠BMC，∴△MBN∽△MCB．∴．∴BM2=MN MC．又∵AB是⊙O的直径，弧AM=弧BM，
∴∠AMB=90°，AM=BM．
∵AB=8，∴BM=4 ． ∴MN MC=BM2=32．
【解析】【分析】（1）根据圆的半径相等得到∠COB=2∠A又∠COB=2∠PCB，从而得到∠A=∠ACO=∠PCB．由直径所对的圆周角为直角，等量代换得到∠OCP为直角；（2）等角对等边；（3）连接MA，MB，由MN MC=BM2转化为，可得要证明△MBN∽△MCB．
16．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：∵ ，
∴
【解析】【分析】（1）根据对称的特点即可得出答案；（2）根据位似的定义即可得出答案；（3）分别求出三角形和正方形的面积，再用三角形的面积除以正方形的面积即可得出答案.
17．【答案】（1）解：矩形PBQH如图1所示
（2）解：如图1中，连接CH并延长交BP的延长线于点R，连接AR
∵PH∥BC，
∴
∵DG∥BC，
∴
∵PH=DG，
∴
∴AR∥HG，
∵HG∥BC，
∴AR∥BC
（3）解：如图2中，作AR∥BC．BR⊥BC，连接CR，作BH⊥CR，过点H作PH∥BC交RB于P交AB于D交AC于G，作HQ⊥BC于Q，DE⊥BC于E，GF⊥BC于F
则四边形DEFG是矩形，此时矩形的对角线最短
（BH是垂线段，垂线段最短，易证EG=BH，故此时矩形的对角线EG最短）。
在Rt△RBC中，∵BC=600，BR=200
∴CR=
∴BH=
由（2）可知EG=BH=
【解析】【分析】（1）根据题意，利用平移的性质画出矩形PBQH即可。
（2）如图1中，连接CH并延长交BP的延长线于点R，连接AR，利用平行线分线段成比例，由PH∥BC，DG∥BC，可得对应线段成比例，再由PH=DG可证RH，BC，AG，AC四条线段对应成比例，可得到AR∥GH，再由HG∥BC，利用平行线的传递性，可证得结论。
（3）如图2中，作AR∥BC．BR⊥BC，连接CR，作BH⊥CR，过点H作PH∥BC交RB于P交AB于D交AC于G，作HQ⊥BC于Q，DE⊥BC于E，GF⊥BC于F ，易得到四边形DEFG是矩形，此时矩形的对角线最短即就是EG的长，利用勾股定理求出GR的长，再求出BH的长，然后利用平行四边形的对边相等，可求出EG的长。
18．【答案】（1）证明：∵BE是△ABC的角平分线，∴∠ABE=∠CBE．∵BC=CD，
∴∠CDE=∠CBE=∠ABE．
又∵∠AEB=∠CED，∴△AEB∽△CED
（2）解：∵BC=4，
∴CD=4．
∵△AEB∽△CED，
∴ = ，即 = ，
∴CE=2．
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠ABE=∠CBE，根据等边对等角得出∠CDE=∠CBE，故∠ABE=∠CDE，从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似得出结论；
（2）根据相似三角形对应边成比例得出CE∶AE=CD∶AB，根据比例式列出方程，求解即可得出答案。
19．【答案】（1）解：由题意得，AP＝4x，AQ＝30﹣3x,
当x＝ 时，AP＝ ，AQ＝20,
∴ ， ，
∴AP：AB＝AQ：AC，
又 ，
∴ ，
∴ ＝ ；
（2）解：分两种情况讨论．
情况1：当CQ：AP＝BC：AQ时，△APQ∽△CQB，
即有 ＝ ，
解得x＝ ，
经检验，x＝ 是原分式方程的解．此时AP＝ cm，
情况2：当CQ：AQ＝BC：AP时，△APQ∽△CBQ，
即有 ＝ ，
解得x＝5，
经检验，x＝5是原分式方程的解．此时AP＝20cm．
综上所述，AP＝ cm或AP＝20cm．
【解析】【分析】（1）当x= 时，可求出AP，PQ，AB，AC的长度，于是通过计算可证得比例关系式AP：AB＝AQ：AC，可得 ，根据相似三角形的性质即可求出 ；（2）分两种情况进行讨论．已知∠A和∠C对应相等，那么就要分成AP和CQ对应成比例以及AP和BC对应成比例两种情况来求x的值．
20．【答案】（1）解：因为抛物线与x轴交于（﹣1，0）（4，0），可以假设y=a（x+1）（x﹣4）
∵a=﹣ ，
∴y=﹣ （x+1）（x﹣4）
即y=﹣ x2+ x+2
（2）①证明：把C（m，m﹣1）代入y=﹣ x2+ x+2得
m﹣1=﹣ m2+ m+2，
∴m1=﹣2，m2=3，
∵C在第一象限，
∴ ，∴m＞1，
∴m=﹣2（不符合题意，舍），m=3，
∴C的坐标是（3，2），
∵BC//DE DF//AC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵AB2=25 AC2=20 BC2=5
∴AB2=AC2+BC2，
∴∠ACB=90°，
∴四边形 BECF是矩形．
②∵DE//BC，
∴△AED∽△ACB，
∴ = ①．
同理，得
= ②，
①+②得
+ = =1，
∵AC=2 ，BC= ，CF=ED，
∴ + =1，
即2ED+DF=2 ，
∴ED+DF+FC=2 ，
∴DE、DF、CF的长度之和不变化，ED+DF+FC=2
【解析】【分析】（1）因为抛物线与x轴交于（﹣1，0）（4，0），可以假设y=a（x+1）（x﹣4），由题意a=﹣ 代入整理即可求出b、c．（2）①利用待定系数法思想求出点C坐标，利用勾股定理的逆定理证明∠ACB=90°，由此即可解决问题；
②根据相似三角形的判定与性质，可得 = ， = ，根据等式的性质，可得 + ，再根据等量代换，可得答案．
21．【答案】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即DE平分；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
∴；
（3）解：如图3，在AB上取一点F使AF=AD，连接CF，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即
【解析】【分析】（1）先利用“SAS”证明可得，再利用角的运算求出可得，从而得到 DE平分；
（2）先证明可得，再根据可得；
（3）在AB上取一点F使AF=AD，连接CF，先利用可得，，求出，再证明可得，再将数据代入可得，求出，最后利用线段的和差可得答案。
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27.2 相似三角形本节综合题
一、单选题
1．如图，DE∥AB，如果CE∶AE =1∶2，DE=3，那么AB等于（ ）
A．6； B．9； C．12； D．13．
2．如图，在 中， ， ， ，将 沿图示中的虚线 剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，将 沿 边上的中线 平移到 的位置，已知 的面积为9，阴影部分三角形的面积为4.若 ，则 等于（ ）
A．2 B．3 C． D．
4．以下列数据（单位： ）为长度的各组线段中，成比例的是（ ）
A．1，2，3，4 B．3，6，9，18
C．1， ，2， D．1， ，4，
5．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形.若 ，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．③和④相似
6．如图， 中， ，若 ， 的周长是6，则 的周长是（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
7．如图，在Rt△ABC中，∠B=90 ， = ,D是AB边上一点，过D作DE⊥AB交AC于点E,过D作DF∥AC交BC于点F，连接BE交DF于H.若DH=DE,则 为（ ）
A． B． C． D．
8．如图， 是等边三角形，在线段 或 延长线上有一点D，以 为边向右作等边 ，连接 和 ，下列结论：① ；② ；③ ；④若 ，则有 ；⑤若 的边长是2，且 ，则 或 .正确的结论序号有（ ）
A．①④ B．①③④ C．①②③④ D．①③④⑤
二、填空题
9．如图，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在B处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AB=2米，BC=18米，则旗杆CD的高度是 米．
10．如图，△ABC的中线AE，BD交于点G，过点D作DM∥BC交AE于点M，则△AMD，△DMG和△BEG的面积之比为 ．
11．如图，在菱形 中，对角线 与 相交于点 ，延长 到点 ，使 ，连接 ，分别取 、 的中点 、 ，连结 ，若 ， ，则线段 的长为 .
三、计算题
12．如图，在 与 中， ，且 .
求证： .
四、解答题
13．如图， ，AF与BE相交于点G，且 ， ， ，求 的值.
14．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，AD=3，AB=5，求的值．
15．如图，已知AB是⊙O的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与AB 的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．
（1）求证：PC 是⊙O 的切线；
（2）求证： ；
（3）点M 是弧AB 的中点，CM 交AB 于点N，若AB=8，求MN MC 的值．
五、作图题
16．如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，建立如图所示的坐标系．
（1）若将 沿x轴对折得到 ，则 的坐标为 ．
（2）以点B为位似中心，将 各边放大为原来的2倍，得到 ，请在这个网格中画出 ．
（3）若小明蒙上眼睛在一定距离外，向 的正方形网格内掷小石子，则刚好掷入 的概率是多少？ (未掷入图形内则不计次数，重掷一次)
17．阅读理解
如图1，在△ABC中，当DE∥BC时可以得到三组成比例线段：① ；② ;③ 。
反之，当对应线段程比例时也可以推出DE∥BC。
理解运用
三角形的内接四边形是指顶点在三角形各边上的四边形。
（1）如图2，已知矩形DEFG是△ABC的一个内接矩形，将矩形DEFG沿CB方向向左平移得矩形PBQH，其中顶点D、E、F、G的对应点分别为P、B、Q、H，在图2中画出平移后的图形；
（2）在（1）所得的图形中，连接CH并延长交BP的延长线于点R，连接AR。求证：AR∥BC；
综合实践
（3）如图3，某小区有一块三角形空地，已知△ABC空地的边AB=400米，BC=600米，∠ABC=45°；准备在△ABC内建一个内接矩形广场DEFG（点E、F在边BC上，点D、G分别在边AB和AC上），三角形其余部分进行植被绿化，按要求欲使矩形DEFG的对角线EG最短，请在备用图中画出使对角线EG最短的矩形。并求出对角线EG的最短距离（不要求证明）。
六、综合题
18．如图，BE是△ABC的角平分线，延长BE至D，使得BC=CD．
（1）求证：△AEB∽△CED；
（2）若AB=2，BC=4，AE=1，求CE长．
19．如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发沿AB方向以4cm/s的速度向B点运动，同时点Q从C点出发沿CA方向以3cm/s的速度向A点运动，设运动时间为xs．
（1）当x＝ 时，求 ；
（2）△APQ能否与△CQB相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．
20．如图，已知抛物线y=﹣ +bx+c图象经过A（﹣1，0），B（4，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若C（m，m﹣1）是抛物线上位于第一象限内的点，D是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过点D分别作DE//BC交AC于E，DF//AC交BC于F．
①求证：四边形DECF是矩形；
②试探究：在点D运动过程中，DE、DF、CF的长度之和是否发生变化？若不变，求出它的值，若变化，试说明变化情况．
七、实践探究题
21．探索并解决问题
（1）【证明体验】如图1，AD为△ABC的角平分线，∠ADC＝60°，点E在线段AB上，AE＝AC，求证：DE平分∠ADB；
（2）【思考探究】如图2，在（1）的条件下，F为AB上一点，连接FC交AD于点G．若FB＝FC，求证：DE2＝BD·DG；
（3）【拓展延伸】如图3，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠BCA＝2∠DCA，点E在AC上，∠EDC＝∠ABC，若BC＝5，，AD＝2AE，求AC的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】∵CE∶AE =1∶2，
∴CE∶CA =1∶3，
∵DE∥AB，
∴
∵DE=3，
∴AB=3 DE=9
故答案为：B
【分析】根据比例的性质得CE∶CA =1∶3，根据平行线分线段成比例定理的推论，即可求得答案.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：A.∵ , ,
∴ ∽ ;
B.∵ , ,
∴ ∽ ;
D.∵ 在同一个圆上，
∴ ,
又∵ ,
∴ , ,
∴ ∽ ;
故剪下的三角形与原三角形不相似的是C.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的判定定理逐项进行判断 ，即可求解.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：由平移的性质可得A'B'∥AB，A'C'∥AC，B'C'∥BC，
∴∠A'EF=∠B，∠A'FE=∠C，
∴△A'EF~△ABC，
又∵A'D与AD是对应边上的中线，
∴ ，
∵A A'=1，
∴ ，解得A'D=2.
故答案为：A
【分析】由平移的性质为出发点，可得A'B'∥AB，A'C'∥AC，B'C'∥BC，进而证明了△A'EF~△ABC；由相似三角形的性质可知面积比等于对应边之比.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：A、1×4≠2×3，故不符合题意；
B、3×18=6×9，所以成比例，故符合题意；
C、 ，所以不成比例，故不符合题意；
D、 ，所以不成比例，故不符合题意.
故答案为：B.
【分析】求出第一个数与第四个数的乘积，第二个数与第三个数的乘积，然后判断是否相等即可.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：由题图可知， ，结合 ，可得 .
故答案为：B.
【分析】由题图可知， ，由 ，可得 即可得出.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：
∴△ADE∽△ABC，相似比为：
∴
∴ 的周长是：
故答案为：C.
【分析】利用平行线得到三角形相似，利用相似的性质求解即可。
7．【答案】C
【解析】【解答】解：∵DE⊥AB，
∴∠ADE=90°，∠B=90°，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，
∴BC:AB=DE:AD=4:3，△DEH∽△FBH，
∴DE：AE=5:3，
又∵DH=DE，
∴DE:AE=DH：AE=3:5，
∵DF∥AC，
∴BH：BE=DH：AE=3:5，
∴BH:HE=3:2，
∴S△DEH：S△FBH=4:9；
故答案为：C.
【分析】易证DE∥BC，可得BC:AB=DE:AD=4:3，因为DH=HE，得出DE:AE=DH：AE=3:5，因为DF∥AC，所以∴BH:HE=3:2，BH：BE=DH：AE=3:5，可得BH：HE的比值，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求得。
8．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，设CD与AE交于点O，
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴CB=CA，CD=CE， ，
∴ ，
∴ ，
∴BD=AE， ，故①正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∴BC∥AE，
∴点A和点E到BC的距离相等，
∴ ，故③正确；
当 ，
根据 ，可得AC=AD，
∵CE=DE，
∴ ，故④正确；
若 的边长是2，且 ，
∴BD=3，
根据全等可得到：AE=3，
设AC与BE交于点M，
根据题意易得： ，
∴ ，
∴ ，得不出BE的值，故⑤错误；
故答案是①②③④；
故答案为：C.
【分析】根据等边三角形的性质及三角形全等的判定方法可判断出 ，可得到①②正确；若 ，易知AC=AD，根据EC=DE即可判断④正确，再根据三角形的面积计算可得到③正确，然后判断出，根据相似三角形对应边成比例可以判断⑤，从而即可得出答案.
9．【答案】18
【解析】【解答】解：如图：
∵BE⊥AC，CD⊥AC，
∴BE∥CD，
∴△ABE∽△ACD，
∴ = ，
∴ = ，
解得：CD=18．
故答案为：18
【分析】先证明BE∥CD，可证得△ABE∽△ACD，再利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，就可求出CD的长。
10．【答案】3：1：4
【解析】【解答】解：∵线段AE、BD是△ABC的中线，
∴BE=CE，AD=CD，
∵DM∥BC，
∴AM=ME，
∴DM= CE= BE，
∵DM∥BC，
∴△DMG∽△BEG，
∴ = ，S△BGE：S△DMG=4：1，
∴AM：MG=3：1，
∴S△ADM：S△DMG=3：1，
∴S△AMD=3S△DMG，
∴△AMD，△DMG和△BEG的面积之比为：3：1：4．
故答案为：3：1：4．
【分析】由线段AE、BD是△ABC的中线，得到BE=CE，AD=CD，根据DM∥BC，得到AM=ME，求得DM= CE= BE，通过△DMG∽△BEG，得到 = ，S△BGE：S△DMG=4：1，求得AM：MG=3：1，推出S△ADM：S△DMG=3：1，即可得到结论．
11．【答案】5
【解析】【解答】如图，连接BF，过点作GH⊥BC于H，
∵在菱形 中，对角线 与 相交于点 ， ， ，
∴AC⊥BD，AD//BC，AD=BC，OA=OC，OB=OD，
∴OA=OC=4，OD=OB=2，
∵点G为OC中点，
∴CG=OG=2，
∴AD=BC= ，
∵点F为AE中点，BE=BD，
∴BF为△EAD的中位线，
∴BF= AD= ，BF//AD，
∴点F在CB延长线上，
∵∠HCG=∠OCB，∠OBC=∠GHC，
∴△HCG∽△OCG，
∴ ，即 ，
解得：GH= ，CH= ，
∴FH=BC+BF-CH= ，
∴FG= =5.
故答案为：5
【分析】连接BF，过点G作GH⊥BC于H，由菱形的性质可得AC⊥BD，AD//BC，AD=BC，OA=OC=4，OB=OD=2，由线段中点的概念可得CG=OG=2，由勾股定理可得AD的值，由中位线的性质可得BF= ，BF//AD，证明△HCG∽△OCG，由相似三角形的性质可得GH、CH的值，进而求得FH、FG的值.
12．【答案】证明：∵ ，
∴ ，
即 ，
又 ，
∴ ．
【解析】【分析】先证得 ，利用有两条对应边的比相等，且其夹角相等，即可判定两个三角形相似．
13．【答案】解：∵ ，AG=2 ， GD=1 ， DF=5 ，
∴ .
【解析】【分析】由平行线分线段成比例的性质可得，据此进行计算 .
14．【答案】解：∵DE∥BC，
∴=，
∵AD=3，AB=5，
∴=．
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得出=，再根据AD=3，AB=5，即可得出答案．
15．【答案】（1）证明：∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO．
又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，
∴∠A=∠ACO=∠PCB．
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB=90°．
∴∠PCB+∠OCB=90°．
即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半径．
∴PC是⊙O的切线．
（2）证明：∵AC=PC，
∴∠A=∠P，
∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P．
又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB，
∴∠COB=∠CBO，
∴BC=OC=OB．
∴BC= AB．
（3）解：连接MA，MB，∵点M是 弧AB的中点，∴弧AM=弧BM， ∴∠ACM=∠BCM．∵∠ACM=∠ABM，∴∠BCM=∠ABM．∵∠BMN=∠BMC，∴△MBN∽△MCB．∴．∴BM2=MN MC．又∵AB是⊙O的直径，弧AM=弧BM，
∴∠AMB=90°，AM=BM．
∵AB=8，∴BM=4 ． ∴MN MC=BM2=32．
【解析】【分析】（1）根据圆的半径相等得到∠COB=2∠A又∠COB=2∠PCB，从而得到∠A=∠ACO=∠PCB．由直径所对的圆周角为直角，等量代换得到∠OCP为直角；（2）等角对等边；（3）连接MA，MB，由MN MC=BM2转化为，可得要证明△MBN∽△MCB．
16．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：∵ ，
∴
【解析】【分析】（1）根据对称的特点即可得出答案；（2）根据位似的定义即可得出答案；（3）分别求出三角形和正方形的面积，再用三角形的面积除以正方形的面积即可得出答案.
17．【答案】（1）解：矩形PBQH如图1所示
（2）解：如图1中，连接CH并延长交BP的延长线于点R，连接AR
∵PH∥BC，
∴
∵DG∥BC，
∴
∵PH=DG，
∴
∴AR∥HG，
∵HG∥BC，
∴AR∥BC
（3）解：如图2中，作AR∥BC．BR⊥BC，连接CR，作BH⊥CR，过点H作PH∥BC交RB于P交AB于D交AC于G，作HQ⊥BC于Q，DE⊥BC于E，GF⊥BC于F
则四边形DEFG是矩形，此时矩形的对角线最短
（BH是垂线段，垂线段最短，易证EG=BH，故此时矩形的对角线EG最短）。
在Rt△RBC中，∵BC=600，BR=200
∴CR=
∴BH=
由（2）可知EG=BH=
【解析】【分析】（1）根据题意，利用平移的性质画出矩形PBQH即可。
（2）如图1中，连接CH并延长交BP的延长线于点R，连接AR，利用平行线分线段成比例，由PH∥BC，DG∥BC，可得对应线段成比例，再由PH=DG可证RH，BC，AG，AC四条线段对应成比例，可得到AR∥GH，再由HG∥BC，利用平行线的传递性，可证得结论。
（3）如图2中，作AR∥BC．BR⊥BC，连接CR，作BH⊥CR，过点H作PH∥BC交RB于P交AB于D交AC于G，作HQ⊥BC于Q，DE⊥BC于E，GF⊥BC于F ，易得到四边形DEFG是矩形，此时矩形的对角线最短即就是EG的长，利用勾股定理求出GR的长，再求出BH的长，然后利用平行四边形的对边相等，可求出EG的长。
18．【答案】（1）证明：∵BE是△ABC的角平分线，∴∠ABE=∠CBE．∵BC=CD，
∴∠CDE=∠CBE=∠ABE．
又∵∠AEB=∠CED，∴△AEB∽△CED
（2）解：∵BC=4，
∴CD=4．
∵△AEB∽△CED，
∴ = ，即 = ，
∴CE=2．
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠ABE=∠CBE，根据等边对等角得出∠CDE=∠CBE，故∠ABE=∠CDE，从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似得出结论；
（2）根据相似三角形对应边成比例得出CE∶AE=CD∶AB，根据比例式列出方程，求解即可得出答案。
19．【答案】（1）解：由题意得，AP＝4x，AQ＝30﹣3x,
当x＝ 时，AP＝ ，AQ＝20,
∴ ， ，
∴AP：AB＝AQ：AC，
又 ，
∴ ，
∴ ＝ ；
（2）解：分两种情况讨论．
情况1：当CQ：AP＝BC：AQ时，△APQ∽△CQB，
即有 ＝ ，
解得x＝ ，
经检验，x＝ 是原分式方程的解．此时AP＝ cm，
情况2：当CQ：AQ＝BC：AP时，△APQ∽△CBQ，
即有 ＝ ，
解得x＝5，
经检验，x＝5是原分式方程的解．此时AP＝20cm．
综上所述，AP＝ cm或AP＝20cm．
【解析】【分析】（1）当x= 时，可求出AP，PQ，AB，AC的长度，于是通过计算可证得比例关系式AP：AB＝AQ：AC，可得 ，根据相似三角形的性质即可求出 ；（2）分两种情况进行讨论．已知∠A和∠C对应相等，那么就要分成AP和CQ对应成比例以及AP和BC对应成比例两种情况来求x的值．
20．【答案】（1）解：因为抛物线与x轴交于（﹣1，0）（4，0），可以假设y=a（x+1）（x﹣4）
∵a=﹣ ，
∴y=﹣ （x+1）（x﹣4）
即y=﹣ x2+ x+2
（2）①证明：把C（m，m﹣1）代入y=﹣ x2+ x+2得
m﹣1=﹣ m2+ m+2，
∴m1=﹣2，m2=3，
∵C在第一象限，
∴ ，∴m＞1，
∴m=﹣2（不符合题意，舍），m=3，
∴C的坐标是（3，2），
∵BC//DE DF//AC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵AB2=25 AC2=20 BC2=5
∴AB2=AC2+BC2，
∴∠ACB=90°，
∴四边形 BECF是矩形．
②∵DE//BC，
∴△AED∽△ACB，
∴ = ①．
同理，得
= ②，
①+②得
+ = =1，
∵AC=2 ，BC= ，CF=ED，
∴ + =1，
即2ED+DF=2 ，
∴ED+DF+FC=2 ，
∴DE、DF、CF的长度之和不变化，ED+DF+FC=2
【解析】【分析】（1）因为抛物线与x轴交于（﹣1，0）（4，0），可以假设y=a（x+1）（x﹣4），由题意a=﹣ 代入整理即可求出b、c．（2）①利用待定系数法思想求出点C坐标，利用勾股定理的逆定理证明∠ACB=90°，由此即可解决问题；
②根据相似三角形的判定与性质，可得 = ， = ，根据等式的性质，可得 + ，再根据等量代换，可得答案．
21．【答案】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即DE平分；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
∴；
（3）解：如图3，在AB上取一点F使AF=AD，连接CF，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即
【解析】【分析】（1）先利用“SAS”证明可得，再利用角的运算求出可得，从而得到 DE平分；
（2）先证明可得，再根据可得；
（3）在AB上取一点F使AF=AD，连接CF，先利用可得，，求出，再证明可得，再将数据代入可得，求出，最后利用线段的和差可得答案。
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