27.3 位似一课一练（含解析）
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27.3 位似一课一练
一、单选题
1．如图，平面直角坐标系中，已知 顶点 ，以原点 为位似中心，将 缩小后得到 ，若 的面积为 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，将 的三边扩大一倍得到 （顶点均在格点上），如果它们是以点P为位似中心的位似图形，则点的P坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．下列每组的两个图形中，不是位似图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知△ABC与△A1B1C1位似，△ABC与△A2B2C2位似，则（ ）
A．△A1B1C1与△A2B2C2全等
B．△A1B1C1与△A2B2C2位似
C．△A1B1C1与△A2B2C2相似但不一定位似
D．△A1B1C1与△A2B2C2不相似
5．下列个选项的两个图形中，不是位似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在 中， ， 两点在 轴的上方，以点 为位似中心，在 轴的下方按 的相似比作 的位似图形 ．设点 的对应点 的坐标是 ，则点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．如图，的顶点坐标是，，，以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的坐标为 .
8．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系， 的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点 为位似中心，画 ，使它与 的相似比为2，则点B的对应点 的坐标是 ．
三、解答题
9．如图，正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，…Anan+1BnCn，如图位置依次摆放，已知点C1，C2，C3…，Cn在直线y=x上，点A1的坐标为（1，0）．
（1）写出正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，…Anan+1BnCn，的位似中心坐标；
（2）正方形A4A3B4C4四个顶点的坐标．
10．数学课上，老师要求同学们在扇形纸片OAB上画出一个正方形，使得正方形的四个顶点分别落在扇形半径OA、OB和弧AB上．有一部分同学是这样画的：如图1，先在扇形OAB内画出正方形CDEF，使得C、D在OA上，F在OB上，连结OE并延长交弧AB与G点，过点G，作GJ⊥OA于点J，作GH⊥GJ交OB于点H，再作HI⊥OA于点I．
（1）请问他们画出的四边形GHIJ是正方形吗？如果是，请给出你的证明；如果不是，请说明理由；
（2）还有一部分同学用另外一种不同于图1的方法画出的，请你参照图1的画法，在图2上画出这个正方形（保留画图痕迹，不要求证明）．
四、作图题
11．课堂上，老师在平面直角坐标系中画出了 ，且 的三个顶点 ， ， 均在边长为1的正方形网格的格点上，如图所示.
请你按照老师的要求解答下列问题：
（ 1 ）作出 绕点 顺时针旋转90°后的 ，并直接写出点 的坐标.
（ 2 ）作出以点 为位似中心， 的位似图形 ，使 与 的位似比为 ，且 与 位于点 的两端.
（ 3 ）点 ， 之间的距离为_▲_.
五、综合题
12．如图，已知△ADE和△ABC是位似图形，∠A=30°，DE垂直平分AC，且DE=2．
（1）求∠C的度数；
（2）求BC的长度．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得：
顶点 ，以原点 为位似中心，将 缩小后得到 ，点 ，
， ，
，
又 的面积为 ，
；
故答案为：D.
【分析】根据题意易得点D为OA的中点，然后由位似可得△ABC∽△DEF，可得相似比为 ，最后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方直接求解即可.
2．【答案】D
【解析】【解答】如图，P点即为位似中心，则P
故答案为：D.
【分析】 根据位似图形的性质，对应点的坐标相交于一点，连接CA，EB，相交于点P，即可求出P点坐标.
3．【答案】B
【解析】【解答】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形.
据此可得A、C、D三个图形中的两个图形都是位似图形；
而B的对应顶点的连线不能相交于一点，故不是位似图形.
故答案为：B.
【分析】如果两个多边形不仅相似，而且对应点的连线所在的直线相交于一点，对应边互相平行（或在一条直线上），像这样的两个图形叫做位似图形，据此判断即可.
4．【答案】C
【解析】【解答】∵△ABC与△A1B1C1位似，△ABC与△A2B2C2位似
∴△A1B1C1与△A2B2C2相似；△A1B1C1与△A2B2C2相似但不一定位似．
故答案为：C．
【分析】由已知△ABC与△A1B1C1位似，△ABC与△A2B2C2位似，位似是特殊的相似，位似的两个图形一定形状相同，但△ABC与△A2B2C2的位似不一定是同一个点，因而△A1B1C1与△A2B2C2相似但不一定位似。
5．【答案】C
【解析】【解答】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．
根据位似图形的概念，A、B、D三个图形中的两个图形都是位似图形；
C中的两个图形不符合位似图形的概念，对应顶点不能相交于一点，故不是位似图形．
故选：C．
【分析】根据位似图形的定义分析各图，对各选项逐一分析，即可得出答案．
6．【答案】C
【解析】【解答】设点 的坐标为 ，
因为点 的对应点 的坐标是 ，
根据位似变换的坐标特点得 ， ，
即 ， ，故点 的坐标为 ．
A、B、D选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据位似变换的坐标特点解题，A、B两点再x轴的上方，一点O为位似中心，在x轴的下方按1:2的相似比作三角形AOB的位似图形，则位似图形对应点的坐标比等于-2.
7．【答案】或
【解析】【解答】解：∵以点O为位似中心，将△ABO缩小为原来的，得到△A'B'O，且点A（2，6），
∴点A'（2×，6×）或[2×（-），6×（-）]，即点A的坐标为或.
故答案为：或.
【分析】如果两个图形关于坐标原点位似，且位似比为k，设原图形上一点P（x，y），则其对应点坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky），据此可得答案.
8．【答案】（4，2）或（-4，-2）
【解析】【解答】解： ∵△ABC顶点B的坐标为（2，1），以原点O为位似中心， 与 的相似比为2，
∴B1的坐标为（4，2）或（-4，-2）．
故答案为：（4，2）或（-4，-2）．
【分析】关于坐标原点位似的两个图形位于原点的同侧的时候，对应点的横坐标之比与纵坐标之比都等于位似比；关于坐标原点位似的两个图形位于原点的异侧的时候，对应点的横坐标之比与纵坐标之比都等于位似比的相反数，根据性质即可得出答案。
9．【答案】解：（1）如图所示：正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，A3A4B3C3，…，AnAn+1BnCn的位似中心坐标为：（0，0）；（2）∵点C1，C2，C3，…，Cn在直线y=x上，点A1的坐标为（1，0），∴OA1=A1C1=1，OA2=A2C2=2，则A3O=A3C3=4，∴可得：OA4=A4C4=8，则OA5=16，故A4（8，0），A5（16，0），B4（16，8），C4（8，8）．
【解析】【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出对应点连线的交点为原点，进而得出答案；
（2）利用一次函数图象上点的坐标性质得出各线段的长，进而得出答案．
10．【答案】解：（1）四边形GHIJ是正方形．
证明如下：如图1，
∵GJ⊥OA，GH⊥GJ，HI⊥OA，
∴∠GJO=∠JIH=∠JGH=90°，
∴四边形GHIJ是矩形，
∵四边形CDEF是正方形，CD边与矩形GHIJ的IJ边在同一条直线上
∴FC∥HI，EF∥GH，
∴△FOC∽△HOI，△EFO∽△GHO．…
∴，．
∴．
又∵FC=EF，
∴HI=GH．
∴四边形GHIJ是正方形；
（2）如图2，正方形MNGH为所作．
【解析】【分析】（1）由作法可得四边形CDEF与四边形IJGH是位似图形，位似中心为点O，由于四边形CDEF为正方形，所以四边形GHIJ是正方形；
（2）先画正方形CDEF，点C、F在OA、OB上，再作正方形CDEF以点O为位似中心的位似图形，使它的位似图形的四个顶点落在扇形半径OA、OB和弧AB上即可．
11．【答案】如图， 、 即是所作的图形， ；
（3）
【解析】【解答】解：（3）由（2）知 ，
，
故答案为： .
【分析】（1）先将 中的点 绕点 顺时针旋转90°后，得到 ，C是旋转中点，故点C1与点C重合，再依次连接 ，根据图象直接解出点 的坐标即可；
（2）连接AC并延长至点A2，使AC=2A2C，同法作出点B2，C是位似中点，故点C2与点C重合再连接A2B2即可；
（3）由（2）得到 ，再利用勾股定理即可解题.
12．【答案】（1）解：∵DE垂直平分AC，
∴∠AED=90°，
∵△ADE和△ABC是位似图形，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠C=∠AED=90°；
（2）解：证明：∵△ABC∽△ADE，
∴，
∴BC=2DE=2×2=4．
或用锐角三角函数求解：（简解如下）
由AE=，得到AC=，
∴．
【解析】【分析】（1）位似图形是相似三角形，那么利用对应角相等即可求解；
（2）利用相似比，或者三角函数都可求得所求线段．
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一、单选题
1．如图，平面直角坐标系中，已知 顶点 ，以原点 为位似中心，将 缩小后得到 ，若 的面积为 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，将 的三边扩大一倍得到 （顶点均在格点上），如果它们是以点P为位似中心的位似图形，则点的P坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．下列每组的两个图形中，不是位似图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知△ABC与△A1B1C1位似，△ABC与△A2B2C2位似，则（ ）
A．△A1B1C1与△A2B2C2全等
B．△A1B1C1与△A2B2C2位似
C．△A1B1C1与△A2B2C2相似但不一定位似
D．△A1B1C1与△A2B2C2不相似
5．下列个选项的两个图形中，不是位似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在 中， ， 两点在 轴的上方，以点 为位似中心，在 轴的下方按 的相似比作 的位似图形 ．设点 的对应点 的坐标是 ，则点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．如图，的顶点坐标是，，，以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的坐标为 .
8．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系， 的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点 为位似中心，画 ，使它与 的相似比为2，则点B的对应点 的坐标是 ．
三、解答题
9．如图，正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，…Anan+1BnCn，如图位置依次摆放，已知点C1，C2，C3…，Cn在直线y=x上，点A1的坐标为（1，0）．
（1）写出正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，…Anan+1BnCn，的位似中心坐标；
（2）正方形A4A3B4C4四个顶点的坐标．
10．数学课上，老师要求同学们在扇形纸片OAB上画出一个正方形，使得正方形的四个顶点分别落在扇形半径OA、OB和弧AB上．有一部分同学是这样画的：如图1，先在扇形OAB内画出正方形CDEF，使得C、D在OA上，F在OB上，连结OE并延长交弧AB与G点，过点G，作GJ⊥OA于点J，作GH⊥GJ交OB于点H，再作HI⊥OA于点I．
（1）请问他们画出的四边形GHIJ是正方形吗？如果是，请给出你的证明；如果不是，请说明理由；
（2）还有一部分同学用另外一种不同于图1的方法画出的，请你参照图1的画法，在图2上画出这个正方形（保留画图痕迹，不要求证明）．
四、作图题
11．课堂上，老师在平面直角坐标系中画出了 ，且 的三个顶点 ， ， 均在边长为1的正方形网格的格点上，如图所示.
请你按照老师的要求解答下列问题：
（ 1 ）作出 绕点 顺时针旋转90°后的 ，并直接写出点 的坐标.
（ 2 ）作出以点 为位似中心， 的位似图形 ，使 与 的位似比为 ，且 与 位于点 的两端.
（ 3 ）点 ， 之间的距离为_▲_.
五、综合题
12．如图，已知△ADE和△ABC是位似图形，∠A=30°，DE垂直平分AC，且DE=2．
（1）求∠C的度数；
（2）求BC的长度．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得：
顶点 ，以原点 为位似中心，将 缩小后得到 ，点 ，
， ，
，
又 的面积为 ，
；
故答案为：D.
【分析】根据题意易得点D为OA的中点，然后由位似可得△ABC∽△DEF，可得相似比为 ，最后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方直接求解即可.
2．【答案】D
【解析】【解答】如图，P点即为位似中心，则P
故答案为：D.
【分析】 根据位似图形的性质，对应点的坐标相交于一点，连接CA，EB，相交于点P，即可求出P点坐标.
3．【答案】B
【解析】【解答】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形.
据此可得A、C、D三个图形中的两个图形都是位似图形；
而B的对应顶点的连线不能相交于一点，故不是位似图形.
故答案为：B.
【分析】如果两个多边形不仅相似，而且对应点的连线所在的直线相交于一点，对应边互相平行（或在一条直线上），像这样的两个图形叫做位似图形，据此判断即可.
4．【答案】C
【解析】【解答】∵△ABC与△A1B1C1位似，△ABC与△A2B2C2位似
∴△A1B1C1与△A2B2C2相似；△A1B1C1与△A2B2C2相似但不一定位似．
故答案为：C．
【分析】由已知△ABC与△A1B1C1位似，△ABC与△A2B2C2位似，位似是特殊的相似，位似的两个图形一定形状相同，但△ABC与△A2B2C2的位似不一定是同一个点，因而△A1B1C1与△A2B2C2相似但不一定位似。
5．【答案】C
【解析】【解答】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．
根据位似图形的概念，A、B、D三个图形中的两个图形都是位似图形；
C中的两个图形不符合位似图形的概念，对应顶点不能相交于一点，故不是位似图形．
故选：C．
【分析】根据位似图形的定义分析各图，对各选项逐一分析，即可得出答案．
6．【答案】C
【解析】【解答】设点 的坐标为 ，
因为点 的对应点 的坐标是 ，
根据位似变换的坐标特点得 ， ，
即 ， ，故点 的坐标为 ．
A、B、D选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据位似变换的坐标特点解题，A、B两点再x轴的上方，一点O为位似中心，在x轴的下方按1:2的相似比作三角形AOB的位似图形，则位似图形对应点的坐标比等于-2.
7．【答案】或
【解析】【解答】解：∵以点O为位似中心，将△ABO缩小为原来的，得到△A'B'O，且点A（2，6），
∴点A'（2×，6×）或[2×（-），6×（-）]，即点A的坐标为或.
故答案为：或.
【分析】如果两个图形关于坐标原点位似，且位似比为k，设原图形上一点P（x，y），则其对应点坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky），据此可得答案.
8．【答案】（4，2）或（-4，-2）
【解析】【解答】解： ∵△ABC顶点B的坐标为（2，1），以原点O为位似中心， 与 的相似比为2，
∴B1的坐标为（4，2）或（-4，-2）．
故答案为：（4，2）或（-4，-2）．
【分析】关于坐标原点位似的两个图形位于原点的同侧的时候，对应点的横坐标之比与纵坐标之比都等于位似比；关于坐标原点位似的两个图形位于原点的异侧的时候，对应点的横坐标之比与纵坐标之比都等于位似比的相反数，根据性质即可得出答案。
9．【答案】解：（1）如图所示：正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，A3A4B3C3，…，AnAn+1BnCn的位似中心坐标为：（0，0）；（2）∵点C1，C2，C3，…，Cn在直线y=x上，点A1的坐标为（1，0），∴OA1=A1C1=1，OA2=A2C2=2，则A3O=A3C3=4，∴可得：OA4=A4C4=8，则OA5=16，故A4（8，0），A5（16，0），B4（16，8），C4（8，8）．
【解析】【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出对应点连线的交点为原点，进而得出答案；
（2）利用一次函数图象上点的坐标性质得出各线段的长，进而得出答案．
10．【答案】解：（1）四边形GHIJ是正方形．
证明如下：如图1，
∵GJ⊥OA，GH⊥GJ，HI⊥OA，
∴∠GJO=∠JIH=∠JGH=90°，
∴四边形GHIJ是矩形，
∵四边形CDEF是正方形，CD边与矩形GHIJ的IJ边在同一条直线上
∴FC∥HI，EF∥GH，
∴△FOC∽△HOI，△EFO∽△GHO．…
∴，．
∴．
又∵FC=EF，
∴HI=GH．
∴四边形GHIJ是正方形；
（2）如图2，正方形MNGH为所作．
【解析】【分析】（1）由作法可得四边形CDEF与四边形IJGH是位似图形，位似中心为点O，由于四边形CDEF为正方形，所以四边形GHIJ是正方形；
（2）先画正方形CDEF，点C、F在OA、OB上，再作正方形CDEF以点O为位似中心的位似图形，使它的位似图形的四个顶点落在扇形半径OA、OB和弧AB上即可．
11．【答案】如图， 、 即是所作的图形， ；
（3）
【解析】【解答】解：（3）由（2）知 ，
，
故答案为： .
【分析】（1）先将 中的点 绕点 顺时针旋转90°后，得到 ，C是旋转中点，故点C1与点C重合，再依次连接 ，根据图象直接解出点 的坐标即可；
（2）连接AC并延长至点A2，使AC=2A2C，同法作出点B2，C是位似中点，故点C2与点C重合再连接A2B2即可；
（3）由（2）得到 ，再利用勾股定理即可解题.
12．【答案】（1）解：∵DE垂直平分AC，
∴∠AED=90°，
∵△ADE和△ABC是位似图形，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠C=∠AED=90°；
（2）解：证明：∵△ABC∽△ADE，
∴，
∴BC=2DE=2×2=4．
或用锐角三角函数求解：（简解如下）
由AE=，得到AC=，
∴．
【解析】【分析】（1）位似图形是相似三角形，那么利用对应角相等即可求解；
（2）利用相似比，或者三角函数都可求得所求线段．
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