第二十七章 相似本章综合测试题（含解析）
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第二十七章 相似本章综合测试题
一、单选题
1．已知2x＝3y，则下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．若△ABC∽△DEF，且对应中线比为2：3，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．3：2 B．2：3 C．4：9 D．9：16
3．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形.
B．相似三角形的面积的比等于相似比.
C．方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.
D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行.
4．两个相似三角形的对应边上的中线比为，则它们面积比的为（ ）
A． B． C． D．
5．在如图所示的各组图形中，相似的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
6．如图：已知 ，且 ，则 （ ）
A．5 B．3 C．3. 2 D．4
7．如图，在中，对角线，交于点，为三等分点且，连接交于点，若的面积为1，则的面积为（ ）
A．16 B．20 C．24 D．18
8．如图，在△ABC中，两条中线BE，CD相交于点O，则S△DOE：S△COB等于（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3
9．如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=120°，M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC上的动点，当PB+PM的值最小时，PM的长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．如图，在 中， ， ， 为 边上的一点，且 .若 的面积为1，则 的面积为 .
11．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，点E、F是BC的三等分点，连接AF，DE，相交于点M，则线段ME的长为 ．
12．如图，已知点A(2，3)和点B(0，2)，点A在反比例函数y= 的图象上.作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°，交反比例函数图象于点C，则点C的坐标为 .
三、计算题
13．已知线段x、y满足 求 的值．
四、解答题
14．在Rt △ABC中，斜边AB＝205， ，试求AC，BC的值。
15．如图，在平面直角坐标系 中，矩形 的顶点 在反比例函数 （ ， ）的图象上，纵坐标分别为1和3，求 的值．
16．已知线段a、b，求作线段x，使a：b=b：x．
五、作图题
17．如图，△ABC中，P是线段AB上一点，尺规作图：在BC边上找一点D，使以P、D、B为顶点的三角形与△ABC相似（保留作图痕迹，不写作法）
六、综合题
18．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连结DE， ∠ADE= ∠ACB.
（1）求证：△ADE∽△ACB.
（2）如果E是AC的中点，AD=8，AB=10，求AE的长.
19．在△ABC中，∠ACB=90°，点E是斜边AB的中点，AB=10，BC=8，点P在CE的延长线上，过点P作PQ⊥CB，交CB的延长线于点Q，设EP=x
（1）如图1，求证：△ABC∽△PCQ；
（2）如图2，连接PB，当PB平分∠CPQ时，试用含x的代数式表示△PBE的面积；
（3）如图3，过点B作BF⊥AB交PQ于点F．若∠BEF=∠A，试求x的值．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B，C的坐标分别为（﹣1，0），（5，0），（0，2）．
（1）求过A，B，C三点的抛物线解析式；
（2）若点P从A点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向B点移动，连接PC并延长到点E，使CE=PC，将线段PE绕点P顺时针旋转90°得到线段PF，连接FB．若点P运动的时间为t秒，（0≤t≤6）设△PBF的面积为S；
①求S与t的函数关系式；
②当t是多少时，△PBF的面积最大，最大面积是多少？
（3）点P在移动的过程中，△PBF能否成为直角三角形？若能，直接写出点F的坐标；若不能，请说明理由．
七、实践探究题
21．
（1）【基础巩固】如图1，点A，F，B在同一直线上，若∠A=∠B=∠EFC，求证：△AFE∽△BCF；
（2）【尝试应用】如图2，AB是半圆⊙O的直径，弦长AC=BC=4 ，E，F分别是AC，AB上的一点，若∠CFE=45°．若设AE=y，BF=x，求出y与x的函数关系及y的最大值．
（3）【拓展提高】已知D是等边△ABC边AB上的一点，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上．如图3如果AD：BD=1：2，求CE：CF的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：A、变成等积式是：xy＝6，故错误；
B、变成等积式是：3x＝2y，故错误；
C、变成等积式是：2x＝3y，故正确；
D、变成等积式是：3x＝2y，故错误.
故答案为：C.
【分析】如果=，那么ad=bc.即可得到答案.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，对应中线比为2：3，
∴△ABC与△DEF的相似比为2：3，
∴△ABC与△DEF的面积比为4：9，
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比，面积比等于相似比的平方即可得.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：A、 对角线相等的平行四边形是矩形，故该选项不正确，不符合题意；
B、 相似三角形的面积的比等于相似比的平方，故该选项不正确，不符合题意；
C、 方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，故该选项正确，符合题意；
D、 同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项不正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的判定定理可判断A；根据相似三角形的性质可判断B；根据方差的意义可判断C；根据平行公理及推论可判断D.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的对应边上的中线比为，即其相似比为，
而相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴其面积比为：1∶2.
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形对应边上的中线之比等于相似比，而相似三角形面积之比等于相似比的平方，即可得出答案.
5．【答案】C
【解析】【解答】①∵正六边形与一般六边形的对应边不成比例，
∴两图形不相似；
②∵正方形的各角相等，且对应边的比相等，
∴两正方形相似；
③∵菱形的角相等，对应边的比也相等，
∴两个菱形相似．
④两个矩形的对应角相等，但对应边的比不相等，
∴两个矩形不一定相似．
故答案为：C．
【分析】根据相似多边形的性质对各组多边形进行逐一判断即可．
6．【答案】C
【解析】【解答】解：∵AD∥BE∥CF
∴
∵AB=4，BC=5，EF=4
∴
∴DE=3.2
故答案为：C.
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入数值进行计算即可.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为三等分点且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的面积为1，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】由平行四边形性质得AD∥BC，AD=BC，OB=OD，由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△EFD∽△CFB，根据相似三角形对应边成比例得，由相似三角形面积的比等于相似比的平方得，得△BCF的面积等于9，由同高三角形面积之比等于底之比得，得△CFD的面积等于3，再由及即可求出答案.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：∵BE和CD是△ABC的中线，
∴DE= BC，DE∥BC，
∴ = ，△DOE∽△COB，
∴ =（ ）2=（ ）2= ，
故选：C．
【分析】根据三角形的中位线得出DE∥BC，DE= BC，根据平行线的性质得出相似，根据相似三角形的性质求出即可．
9．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，连接DP，BD，作DH⊥BC于H．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，B、D关于AC对称，
∴PB+PM=PD+PM，
∴当D、P、M共线时，P′B+P′M=DM的值最小，
∵CM= BC=2，
∵∠ABC=120°，
∴∠DBC=∠ABD=60°，
∴△DBC是等边三角形，∵BC=6，
∴CM=2，HM=1，DH=3 ，
在Rt△DMH中，DM= = =2 ，
∵CM∥AD，
∴ = = = ，
∴P′M= DM= ．
故答案为：A．
【分析】根据四边形ABCD是菱形，得到B、D关于AC对称，从而求出D、P、M共线时，P′B+P′M=DM的值最小，此题辅助线较多，计算较麻烦，需仔细认真.
10．【答案】3
【解析】【解答】解：∵∠CAD＝∠B，∠ACD＝∠BCA，
∴△ACD∽△BCA，
∴ ，即 ，
解得△BCA的面积为4，
∴△ABD的面积为：4 1＝3，
故答案为：3.
【分析】证明△ACD∽△BCA，根据相似三角形的性质求出△BCA的面积为4，计算即可.
11．【答案】
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，点E、F是BC的三等分点，
∴CE＝4，CD＝3，EF＝2，AD＝6，
∴Rt△CDE中，DE＝ ＝5，
∵AD∥EF，
∴△ADM∽△FEM，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
∴EM＝ DE＝ ，
故答案为： ．
【分析】 根据勾股定理即可得到DE的长，再根据△ADM∽△FEM，即可得到ME的长。
12．【答案】（-1，-6）
【解析】【解答】解：作BF⊥AC于点F，作AE⊥y轴于点E，设AC交y轴于点D，
∵A（2，3），B（0，2）
∴AE=2，BE=1，
∴AB=，
又∵∠BAC=45°，
∴BF=AF=，
∴△DEA∽△DFB，令AD=x，
∴=，
∴
∴DE=
又∵
解得=2，=(舍去）
∴AD=2，
设D（0，y）
∴+4=
解得：=-3，=9（舍去）
∴设AC直线方程为y=kx+b，将A（2，3），D（0，-3）代入直线方程得，
；解得
∴AC：y=3x-3，
∵A（2，3）在y=上，
∴k=2×3=6，
∴；解得；
∴C（-1，-6）.
【分析】用待定系数法求出反比例函数解析式，再利用△DEA∽△DFB，利用相似三角形的性质求出AD的长，根据勾股定理求出D点坐标，再利用待定系数法求出AC的直线方程，再利用二元一次方程组求出C点坐标。
13．【答案】解： ，
．
∵ ，∴ ，∴ ．
∵x、y表示线段，
∴负值不符合题意，
∴ ．
【解析】【分析】利用比例性质化比例式化为整式，再移项两边同除以y2，化为 ，然后解一元二次方程，即可求解．
14．【答案】解：设AC=9x，BC=40x，
根据勾股定理可得 ，即 ，
解得x=5.
∴AC=45，BC=200.
【解析】【分析】由已知的比例式可设AC=9x，BC=40x，用勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求得x的值，把x的值代入AC=9x，BC=40x计算即可求解。
15．【答案】解：作 轴于D，作 于E，如图，
设 ，
A、B点的纵坐标分别为1和3，
， ，
，
四边形AOCB为矩形，
，
， ，
，
∽ ，
，即 ，解得 （舍去）
即k的值为 ．
【解析】【分析】作 轴于D，作 于E，如图，设 ， ，可得 ， ，然后证明 ∽ ，利用相似三角形的性质即可求解.
16．【答案】解：如图所示，AC=a，AD=b，AB=b，
作∠ADE=∠ACB，
又∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△AED，
∴ = ，即 = ，
则AE即为所求的x．
【解析】【分析】根据两角对应相等可得△AED∽△ABC，从而得AC：AD=AB：AE，则AE即为所求的x．
17．【答案】解：如图所示：作∠BPD=∠A，或作∠BPD=∠C，
【解析】【分析】过P作PD∥AC交BC于点D，或作∠BPD＝∠C，即可利用相似三角形的判定解答即可.
18．【答案】（1）证明：∵∠ADE= ∠ACB ∠A=∠A
∴△ADE∽△ACB
（2）解：∵点E是AC的中点
∴AC=2AE
∵△ADE∽△ACB
∴ 即
∴ =40
∴AE= .
【解析】【分析】（1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可证明；
（2）根据相似三角形对应边成比例建立方程，求解即可.
19．【答案】（1）证明：∵点E是斜边AB的中点，
∴CE= ，
∴∠PCQ=∠ABC
∵PQ⊥CB
∴∠PQC=90°
又∵∠ACB=90°，
∴∠PQC=∠ACB
∴△ABC∽△PCQ
（2）解：过点B作BH⊥PC于H，
∵BP平分∠CPQ，BH⊥PC，BQ⊥PQ
∴BH=BQ
由（1）知，△ABC∽△PCQ，
∴ ，即AB×CQ=BC×PC
而AB=10，BC=8，CQ=BC+BQ=8+BQ，PC=CE+EP=5+x
∴10×（8+BQ）=8×（5+x），解得BQ= ，
∴BH=
（3）解：∵∠FBQ+∠ABC=90°，∠A+∠ABC=90°
∴∠A=∠FBQ
又∵∠ACB=∠EBF=90°，
∴△ABC∽△BFQ
∴ ，即AB×BQ=AC×BF
又由（2）知BQ=
∴ =6×BF，解得BF=
∵∠FEB=∠A，∠EBF=∠ACB=90°
∴△ACB∽△EBF
∴ ，即
解得x=10
【解析】【分析】（1）易证明到∠PQC=∠ACB．即可求证：△ABC∽△PCQ（2）过点B作BH⊥PC于H，可证BH=BQ，此时根据（1）中：△ABC∽△PCQ，可解得BQ=BH= ， 即可求解．（3）已知BC=8，AB=10，通过证明△ABC∽△BFQ，求出BF，再证△ACB∽△EBF，可得 ，即可求出x的值．
20．【答案】（1）解：（法一）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，2）三点代入解析式得： ，
解得 ；
∴ ；
（法二）设抛物线的解析式为y=a（x﹣5）（x+1），
把（0，2）代入解析式得：2=﹣5a，
∴ ；
∴ ，
即
（2）解：①过点F作FD⊥x轴于D，
当点P在原点左侧时，BP=6﹣t，OP=1﹣t；
在Rt△POC中，∠PCO+∠CPO=90°，
∵∠FPD+∠CPO=90°，
∴∠PCO=∠FPD；
∵∠POC=∠FDP，
∴△CPO∽△PFD，
∴ ；
∵PF=PE=2PC，
∴FD=2PO=2（1﹣t）；
∴S△PBF= =t2﹣7t+6（0≤t＜1）；
当点P在原点右侧时，OP=t﹣1，BP=6﹣t；
∵△CPO∽△PFD，
∴FD=2（t﹣1）；
∴S△PBF= =﹣t2+7t﹣6（1＜t＜6）；
②当0≤t＜1时，S=t2﹣7t+6；
此时t在t=3.5的左侧，S随t的增大而减小，则有：
当t=0时，Smax=0﹣7×0+6=6；
当1＜t＜6时，S=﹣t2+7t﹣6；
由于1＜3.5＜6，故当t=3.5时，Smax=﹣3.5×3.5+7×3.5+6=6.25；
综上所述，当t=3.5时，面积最大，且最大值为6.25
（3）解：能；①若F为直角顶点，过F作FD⊥x轴于D，由（2）可知BP=6﹣t，DP=2OC=4，
在Rt△OCP中，OP=t﹣1，
由勾股定理易求得CP2=t2﹣2t+5，那
么PF2=（2CP）2=4（t2﹣2t+5）；
在Rt△PFB中，FD⊥PB，
由射影定理可求得PB=PF2÷PD=t2﹣2t+5，
而PB的另一个表达式为：PB=6﹣t，
联立两式可得t2﹣2t+5=6﹣t，即t= ，
P点坐标为（ ，0），则F点坐标为：（ ， ﹣1）
②B为直角顶点，那么此时的情况与（2）题类似，△PFB∽△CPO，且相似比为2，
那么BP=2OC=4，即OP=OB﹣BP=1，此时t=2，P点坐标为（1，0）．FD=2（t﹣1）=2，则F点坐标为（5，2）
【解析】【分析】（1）点A、点B是抛物线与x轴交点坐标，函数解析式可设为一般形式或两根式，代入点的坐标即可求出抛物线的解析式；
（2）此小题是单动点问题和旋转相结合。①点P的位置分两种情况：1、当点P在原点的左侧时，OP、BP的长易用含t的代数式表示出来，要求△PBF的面积最大，过点F作FD⊥x轴于D，关键是要用含t的代数式表示BP边上的高FD的长，就需证△CPO∽△PFD，得到FD=2PO，根据三角形的面积公式，就可以求S与t的函数关系式；2、当点P在原点右侧时，可仿照1求解。②根据①得到的S与t的函数关系式，及相应的自变量的取值范围，即可根据函数的增减性求得s的最大值及对应的t的值，然后进行比较得出结论即可；
（3）若点P位于线段OA上，△PBF不可能直角三角形，由于∠BPF＜∠CPF=90°，因此点P不能是直角顶点。可以分两种情况：当点F为直角顶点时，可用含t的代数式表示出OP、BP的长，过F作FD⊥x轴于D，在Rt△OCP中，运用勾股定理，可以含t的式子表示出CP2，从而可以得到PF2，在Rt△PFB中，由射影定理可求得PB=PF2÷PD，在根据PB的另一个表达式建立方程，即可求出F点的坐标；B为直角顶点，那么此时的情况与前面类似，可求出点F的坐标。
21．【答案】（1）证明：∵∠A=∠EFC
∴∠E+∠EFA=∠EFA+∠CFB
∴∠E=∠CFB
∵∠A=∠B
∴△AFE∽△BCF
（2）解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=BC，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°=∠CFE，AB=AC=8，
由(1)得 △AFE∽△BCF ，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
∵a=-<0，
∴ ；
（3）解：如图，连接DE、DF，
∵ AD：BD=1：2 ，
设AD=1，BD=2，
∴AB=AD+BD=3，
∵△EFC与△EFD 关于EF对称
∴∠EDF=∠ECF=60°，EC=ED，FC=FD
又∵∠B=∠A=60°
∴∠EDF=∠A=∠B
由（1）得△ADE∽△BFD，
.
【解析】【分析】(1)根据三角形内角和定理和平角的定义求出∠E=∠CFB，结合∠A=∠B，则可证出△AFE∽△BCF ；
(2)先求出△ACB为等腰直角三角形，则可得出∠BAC=45°=∠CFE，由(1)证出 △AFE∽△BCF ，根据相似三角形的性质列比例式，则可得出函数式，最后根据二次函数的性质求最大值即可；
(3)连接DE、DF，设AD=1，BD=2，求出等边三角形的边长为3，再根据折叠的性质得出有关角或线段相等，由（1）证出△ADE∽△BFD，然后根据相似三角形的性质列比例式，即可解答.
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第二十七章 相似本章综合测试题
一、单选题
1．已知2x＝3y，则下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．若△ABC∽△DEF，且对应中线比为2：3，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．3：2 B．2：3 C．4：9 D．9：16
3．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形.
B．相似三角形的面积的比等于相似比.
C．方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.
D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行.
4．两个相似三角形的对应边上的中线比为，则它们面积比的为（ ）
A． B． C． D．
5．在如图所示的各组图形中，相似的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
6．如图：已知 ，且 ，则 （ ）
A．5 B．3 C．3. 2 D．4
7．如图，在中，对角线，交于点，为三等分点且，连接交于点，若的面积为1，则的面积为（ ）
A．16 B．20 C．24 D．18
8．如图，在△ABC中，两条中线BE，CD相交于点O，则S△DOE：S△COB等于（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3
9．如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=120°，M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC上的动点，当PB+PM的值最小时，PM的长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．如图，在 中， ， ， 为 边上的一点，且 .若 的面积为1，则 的面积为 .
11．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，点E、F是BC的三等分点，连接AF，DE，相交于点M，则线段ME的长为 ．
12．如图，已知点A(2，3)和点B(0，2)，点A在反比例函数y= 的图象上.作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°，交反比例函数图象于点C，则点C的坐标为 .
三、计算题
13．已知线段x、y满足 求 的值．
四、解答题
14．在Rt △ABC中，斜边AB＝205， ，试求AC，BC的值。
15．如图，在平面直角坐标系 中，矩形 的顶点 在反比例函数 （ ， ）的图象上，纵坐标分别为1和3，求 的值．
16．已知线段a、b，求作线段x，使a：b=b：x．
五、作图题
17．如图，△ABC中，P是线段AB上一点，尺规作图：在BC边上找一点D，使以P、D、B为顶点的三角形与△ABC相似（保留作图痕迹，不写作法）
六、综合题
18．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连结DE， ∠ADE= ∠ACB.
（1）求证：△ADE∽△ACB.
（2）如果E是AC的中点，AD=8，AB=10，求AE的长.
19．在△ABC中，∠ACB=90°，点E是斜边AB的中点，AB=10，BC=8，点P在CE的延长线上，过点P作PQ⊥CB，交CB的延长线于点Q，设EP=x
（1）如图1，求证：△ABC∽△PCQ；
（2）如图2，连接PB，当PB平分∠CPQ时，试用含x的代数式表示△PBE的面积；
（3）如图3，过点B作BF⊥AB交PQ于点F．若∠BEF=∠A，试求x的值．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B，C的坐标分别为（﹣1，0），（5，0），（0，2）．
（1）求过A，B，C三点的抛物线解析式；
（2）若点P从A点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向B点移动，连接PC并延长到点E，使CE=PC，将线段PE绕点P顺时针旋转90°得到线段PF，连接FB．若点P运动的时间为t秒，（0≤t≤6）设△PBF的面积为S；
①求S与t的函数关系式；
②当t是多少时，△PBF的面积最大，最大面积是多少？
（3）点P在移动的过程中，△PBF能否成为直角三角形？若能，直接写出点F的坐标；若不能，请说明理由．
七、实践探究题
21．
（1）【基础巩固】如图1，点A，F，B在同一直线上，若∠A=∠B=∠EFC，求证：△AFE∽△BCF；
（2）【尝试应用】如图2，AB是半圆⊙O的直径，弦长AC=BC=4 ，E，F分别是AC，AB上的一点，若∠CFE=45°．若设AE=y，BF=x，求出y与x的函数关系及y的最大值．
（3）【拓展提高】已知D是等边△ABC边AB上的一点，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上．如图3如果AD：BD=1：2，求CE：CF的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：A、变成等积式是：xy＝6，故错误；
B、变成等积式是：3x＝2y，故错误；
C、变成等积式是：2x＝3y，故正确；
D、变成等积式是：3x＝2y，故错误.
故答案为：C.
【分析】如果=，那么ad=bc.即可得到答案.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，对应中线比为2：3，
∴△ABC与△DEF的相似比为2：3，
∴△ABC与△DEF的面积比为4：9，
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比，面积比等于相似比的平方即可得.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：A、 对角线相等的平行四边形是矩形，故该选项不正确，不符合题意；
B、 相似三角形的面积的比等于相似比的平方，故该选项不正确，不符合题意；
C、 方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，故该选项正确，符合题意；
D、 同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项不正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的判定定理可判断A；根据相似三角形的性质可判断B；根据方差的意义可判断C；根据平行公理及推论可判断D.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的对应边上的中线比为，即其相似比为，
而相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴其面积比为：1∶2.
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形对应边上的中线之比等于相似比，而相似三角形面积之比等于相似比的平方，即可得出答案.
5．【答案】C
【解析】【解答】①∵正六边形与一般六边形的对应边不成比例，
∴两图形不相似；
②∵正方形的各角相等，且对应边的比相等，
∴两正方形相似；
③∵菱形的角相等，对应边的比也相等，
∴两个菱形相似．
④两个矩形的对应角相等，但对应边的比不相等，
∴两个矩形不一定相似．
故答案为：C．
【分析】根据相似多边形的性质对各组多边形进行逐一判断即可．
6．【答案】C
【解析】【解答】解：∵AD∥BE∥CF
∴
∵AB=4，BC=5，EF=4
∴
∴DE=3.2
故答案为：C.
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入数值进行计算即可.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为三等分点且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的面积为1，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】由平行四边形性质得AD∥BC，AD=BC，OB=OD，由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△EFD∽△CFB，根据相似三角形对应边成比例得，由相似三角形面积的比等于相似比的平方得，得△BCF的面积等于9，由同高三角形面积之比等于底之比得，得△CFD的面积等于3，再由及即可求出答案.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：∵BE和CD是△ABC的中线，
∴DE= BC，DE∥BC，
∴ = ，△DOE∽△COB，
∴ =（ ）2=（ ）2= ，
故选：C．
【分析】根据三角形的中位线得出DE∥BC，DE= BC，根据平行线的性质得出相似，根据相似三角形的性质求出即可．
9．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，连接DP，BD，作DH⊥BC于H．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，B、D关于AC对称，
∴PB+PM=PD+PM，
∴当D、P、M共线时，P′B+P′M=DM的值最小，
∵CM= BC=2，
∵∠ABC=120°，
∴∠DBC=∠ABD=60°，
∴△DBC是等边三角形，∵BC=6，
∴CM=2，HM=1，DH=3 ，
在Rt△DMH中，DM= = =2 ，
∵CM∥AD，
∴ = = = ，
∴P′M= DM= ．
故答案为：A．
【分析】根据四边形ABCD是菱形，得到B、D关于AC对称，从而求出D、P、M共线时，P′B+P′M=DM的值最小，此题辅助线较多，计算较麻烦，需仔细认真.
10．【答案】3
【解析】【解答】解：∵∠CAD＝∠B，∠ACD＝∠BCA，
∴△ACD∽△BCA，
∴ ，即 ，
解得△BCA的面积为4，
∴△ABD的面积为：4 1＝3，
故答案为：3.
【分析】证明△ACD∽△BCA，根据相似三角形的性质求出△BCA的面积为4，计算即可.
11．【答案】
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，点E、F是BC的三等分点，
∴CE＝4，CD＝3，EF＝2，AD＝6，
∴Rt△CDE中，DE＝ ＝5，
∵AD∥EF，
∴△ADM∽△FEM，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
∴EM＝ DE＝ ，
故答案为： ．
【分析】 根据勾股定理即可得到DE的长，再根据△ADM∽△FEM，即可得到ME的长。
12．【答案】（-1，-6）
【解析】【解答】解：作BF⊥AC于点F，作AE⊥y轴于点E，设AC交y轴于点D，
∵A（2，3），B（0，2）
∴AE=2，BE=1，
∴AB=，
又∵∠BAC=45°，
∴BF=AF=，
∴△DEA∽△DFB，令AD=x，
∴=，
∴
∴DE=
又∵
解得=2，=(舍去）
∴AD=2，
设D（0，y）
∴+4=
解得：=-3，=9（舍去）
∴设AC直线方程为y=kx+b，将A（2，3），D（0，-3）代入直线方程得，
；解得
∴AC：y=3x-3，
∵A（2，3）在y=上，
∴k=2×3=6，
∴；解得；
∴C（-1，-6）.
【分析】用待定系数法求出反比例函数解析式，再利用△DEA∽△DFB，利用相似三角形的性质求出AD的长，根据勾股定理求出D点坐标，再利用待定系数法求出AC的直线方程，再利用二元一次方程组求出C点坐标。
13．【答案】解： ，
．
∵ ，∴ ，∴ ．
∵x、y表示线段，
∴负值不符合题意，
∴ ．
【解析】【分析】利用比例性质化比例式化为整式，再移项两边同除以y2，化为 ，然后解一元二次方程，即可求解．
14．【答案】解：设AC=9x，BC=40x，
根据勾股定理可得 ，即 ，
解得x=5.
∴AC=45，BC=200.
【解析】【分析】由已知的比例式可设AC=9x，BC=40x，用勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求得x的值，把x的值代入AC=9x，BC=40x计算即可求解。
15．【答案】解：作 轴于D，作 于E，如图，
设 ，
A、B点的纵坐标分别为1和3，
， ，
，
四边形AOCB为矩形，
，
， ，
，
∽ ，
，即 ，解得 （舍去）
即k的值为 ．
【解析】【分析】作 轴于D，作 于E，如图，设 ， ，可得 ， ，然后证明 ∽ ，利用相似三角形的性质即可求解.
16．【答案】解：如图所示，AC=a，AD=b，AB=b，
作∠ADE=∠ACB，
又∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△AED，
∴ = ，即 = ，
则AE即为所求的x．
【解析】【分析】根据两角对应相等可得△AED∽△ABC，从而得AC：AD=AB：AE，则AE即为所求的x．
17．【答案】解：如图所示：作∠BPD=∠A，或作∠BPD=∠C，
【解析】【分析】过P作PD∥AC交BC于点D，或作∠BPD＝∠C，即可利用相似三角形的判定解答即可.
18．【答案】（1）证明：∵∠ADE= ∠ACB ∠A=∠A
∴△ADE∽△ACB
（2）解：∵点E是AC的中点
∴AC=2AE
∵△ADE∽△ACB
∴ 即
∴ =40
∴AE= .
【解析】【分析】（1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可证明；
（2）根据相似三角形对应边成比例建立方程，求解即可.
19．【答案】（1）证明：∵点E是斜边AB的中点，
∴CE= ，
∴∠PCQ=∠ABC
∵PQ⊥CB
∴∠PQC=90°
又∵∠ACB=90°，
∴∠PQC=∠ACB
∴△ABC∽△PCQ
（2）解：过点B作BH⊥PC于H，
∵BP平分∠CPQ，BH⊥PC，BQ⊥PQ
∴BH=BQ
由（1）知，△ABC∽△PCQ，
∴ ，即AB×CQ=BC×PC
而AB=10，BC=8，CQ=BC+BQ=8+BQ，PC=CE+EP=5+x
∴10×（8+BQ）=8×（5+x），解得BQ= ，
∴BH=
（3）解：∵∠FBQ+∠ABC=90°，∠A+∠ABC=90°
∴∠A=∠FBQ
又∵∠ACB=∠EBF=90°，
∴△ABC∽△BFQ
∴ ，即AB×BQ=AC×BF
又由（2）知BQ=
∴ =6×BF，解得BF=
∵∠FEB=∠A，∠EBF=∠ACB=90°
∴△ACB∽△EBF
∴ ，即
解得x=10
【解析】【分析】（1）易证明到∠PQC=∠ACB．即可求证：△ABC∽△PCQ（2）过点B作BH⊥PC于H，可证BH=BQ，此时根据（1）中：△ABC∽△PCQ，可解得BQ=BH= ， 即可求解．（3）已知BC=8，AB=10，通过证明△ABC∽△BFQ，求出BF，再证△ACB∽△EBF，可得 ，即可求出x的值．
20．【答案】（1）解：（法一）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，2）三点代入解析式得： ，
解得 ；
∴ ；
（法二）设抛物线的解析式为y=a（x﹣5）（x+1），
把（0，2）代入解析式得：2=﹣5a，
∴ ；
∴ ，
即
（2）解：①过点F作FD⊥x轴于D，
当点P在原点左侧时，BP=6﹣t，OP=1﹣t；
在Rt△POC中，∠PCO+∠CPO=90°，
∵∠FPD+∠CPO=90°，
∴∠PCO=∠FPD；
∵∠POC=∠FDP，
∴△CPO∽△PFD，
∴ ；
∵PF=PE=2PC，
∴FD=2PO=2（1﹣t）；
∴S△PBF= =t2﹣7t+6（0≤t＜1）；
当点P在原点右侧时，OP=t﹣1，BP=6﹣t；
∵△CPO∽△PFD，
∴FD=2（t﹣1）；
∴S△PBF= =﹣t2+7t﹣6（1＜t＜6）；
②当0≤t＜1时，S=t2﹣7t+6；
此时t在t=3.5的左侧，S随t的增大而减小，则有：
当t=0时，Smax=0﹣7×0+6=6；
当1＜t＜6时，S=﹣t2+7t﹣6；
由于1＜3.5＜6，故当t=3.5时，Smax=﹣3.5×3.5+7×3.5+6=6.25；
综上所述，当t=3.5时，面积最大，且最大值为6.25
（3）解：能；①若F为直角顶点，过F作FD⊥x轴于D，由（2）可知BP=6﹣t，DP=2OC=4，
在Rt△OCP中，OP=t﹣1，
由勾股定理易求得CP2=t2﹣2t+5，那
么PF2=（2CP）2=4（t2﹣2t+5）；
在Rt△PFB中，FD⊥PB，
由射影定理可求得PB=PF2÷PD=t2﹣2t+5，
而PB的另一个表达式为：PB=6﹣t，
联立两式可得t2﹣2t+5=6﹣t，即t= ，
P点坐标为（ ，0），则F点坐标为：（ ， ﹣1）
②B为直角顶点，那么此时的情况与（2）题类似，△PFB∽△CPO，且相似比为2，
那么BP=2OC=4，即OP=OB﹣BP=1，此时t=2，P点坐标为（1，0）．FD=2（t﹣1）=2，则F点坐标为（5，2）
【解析】【分析】（1）点A、点B是抛物线与x轴交点坐标，函数解析式可设为一般形式或两根式，代入点的坐标即可求出抛物线的解析式；
（2）此小题是单动点问题和旋转相结合。①点P的位置分两种情况：1、当点P在原点的左侧时，OP、BP的长易用含t的代数式表示出来，要求△PBF的面积最大，过点F作FD⊥x轴于D，关键是要用含t的代数式表示BP边上的高FD的长，就需证△CPO∽△PFD，得到FD=2PO，根据三角形的面积公式，就可以求S与t的函数关系式；2、当点P在原点右侧时，可仿照1求解。②根据①得到的S与t的函数关系式，及相应的自变量的取值范围，即可根据函数的增减性求得s的最大值及对应的t的值，然后进行比较得出结论即可；
（3）若点P位于线段OA上，△PBF不可能直角三角形，由于∠BPF＜∠CPF=90°，因此点P不能是直角顶点。可以分两种情况：当点F为直角顶点时，可用含t的代数式表示出OP、BP的长，过F作FD⊥x轴于D，在Rt△OCP中，运用勾股定理，可以含t的式子表示出CP2，从而可以得到PF2，在Rt△PFB中，由射影定理可求得PB=PF2÷PD，在根据PB的另一个表达式建立方程，即可求出F点的坐标；B为直角顶点，那么此时的情况与前面类似，可求出点F的坐标。
21．【答案】（1）证明：∵∠A=∠EFC
∴∠E+∠EFA=∠EFA+∠CFB
∴∠E=∠CFB
∵∠A=∠B
∴△AFE∽△BCF
（2）解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=BC，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°=∠CFE，AB=AC=8，
由(1)得 △AFE∽△BCF ，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
∵a=-<0，
∴ ；
（3）解：如图，连接DE、DF，
∵ AD：BD=1：2 ，
设AD=1，BD=2，
∴AB=AD+BD=3，
∵△EFC与△EFD 关于EF对称
∴∠EDF=∠ECF=60°，EC=ED，FC=FD
又∵∠B=∠A=60°
∴∠EDF=∠A=∠B
由（1）得△ADE∽△BFD，
.
【解析】【分析】(1)根据三角形内角和定理和平角的定义求出∠E=∠CFB，结合∠A=∠B，则可证出△AFE∽△BCF ；
(2)先求出△ACB为等腰直角三角形，则可得出∠BAC=45°=∠CFE，由(1)证出 △AFE∽△BCF ，根据相似三角形的性质列比例式，则可得出函数式，最后根据二次函数的性质求最大值即可；
(3)连接DE、DF，设AD=1，BD=2，求出等边三角形的边长为3，再根据折叠的性质得出有关角或线段相等，由（1）证出△ADE∽△BFD，然后根据相似三角形的性质列比例式，即可解答.
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