28.1 锐角三角函数一课一练（含解析）

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28.1 锐角三角函数一课一练
一、单选题
1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA的值是(　　)
A． B． C． D．
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．
3．cos45°的值等于（　　）
A． B． C． D．2
4．如图，在 中， ， ， ，则 的长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．如图，在的网格中，A，B均为格点，以点A为圆心，AB的长为半径作弧，图中的点C是该弧与格线的交点，则的值是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanB＝tanα＝ ，小明在图中用尺规完成了一些作图，根据作图痕迹，可以得到cos2α＝（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
7．在正方形网格中，的位置如图所示，则sin∠BAC的值为　 　．
8．如图所示的网格是正方形网格，则 　 　 (填“＞”、“=”或“＜”)．
三、计算题
9．计算：|2﹣|﹣（2015﹣π）0+2sin60°+（）﹣1．
10．
（1）计算： .
（2）先化简，再求值 ，其中 为方程 的根.
四、解答题
11．求满足下列条件的∠A的度数（精确到1″）：
（1）cosA=0.8607；
（2）tanA=56.78．
五、作图题
12．在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
⑴以原点O为位似中心，在网格中y轴右侧作△ABC的位似图形，使△ABC与的相似比为；
⑵作关于y轴对称后的图形；
⑶. ▲ ．
六、综合题
13．如图1，A，B，C是三个垃圾存放点，点B，C分别位于点A的正北和正东方向， 米.四人分别测得 的度数如下表：
　 甲 乙 丙 丁
（单位：度） 38 40 34 36
他们又调查了各点的垃圾量，并绘制了下列尚不完整的统计图2，图3：
（1）表格中 度数的中位数为　 　度：
（2）求A处的垃圾量，并将图2补充完整；
（3）用表格中 度数的平均数为依据，现在要将A处的垃圾沿道路AB都运到B处，已知运送1千克垃圾每米的费用为0.005元，试求运垃圾所需的费用.（注： ， ， ）
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【分析】利用正弦函数的定义即可直接求解．
【解答】sinA==．
故选C．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边
2．【答案】B
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC= =12，
∴sinA= = ，
故答案为：B．
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC的长，再根据锐角三角函数的意义可求sinA的值。
3．【答案】B
【解析】【解答】解：cos45°= .
故答案为：B.
【分析】根据特殊角的三角函数值，直接作答即可.
4．【答案】C
【解析】【解答】 ， ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：C．
【分析】根据三角函数定义可得，直接计算即可.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：如图， ∵，
∴∠BAC=∠DCA．
∵同圆的半径相等， ∴AC=AB=3，而
在Rt△ACD中，tan∠ACD=．
∴tan∠BAC=tan∠ACD=．
故答案为：B．
【分析】由平行线的性质可得∠BAC=∠DCA，利用勾股定理可得在Rt△ACD中，求出tan∠ACD=的值，即得tan∠BAC的值.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，根据小明在图中用尺规作图的作图痕迹可知，直线DE为AB的垂直平分线，
∴BD＝AD，DE⊥AB，
∴∠ABD＝∠BAD＝α，
∴∠ADC＝2∠ABD＝2α，
∵∠C＝90°，tanB＝tanα＝ ，
设AC＝3a，则BC＝4a，
∴AB＝ ，
∴BE＝ AB＝ ，
∵tanα＝ ＝ ，
∴DE＝ ，
∴BD＝ ，
∴CD＝BC－BD＝4a－ ＝ ，
∴cos∠ADC＝cos2α＝ ．
故答案为：B．
【分析】利用基本作图可判断D点为AB的垂直平分线于BC的交点，则DA=DB，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠ADC= 2α ，由于tanB=tanα=，则设AC＝3a，则BC＝4a，在Rt△ADC中利用勾股定理得到CD＝BC－BD＝4a－ ＝ ，然后利用余弦的定义求解。
7．【答案】
【解析】【解答】解：连接格点DC、BD．
在Rt△ABD中，
∵CD=3，AD=4，
∴AC==5．
∴sin∠BAC=．
故答案为：．
【分析】连接格点DC、BD．在Rt△ABD中，先根据勾股定理求出斜边长，然后根据正弦定义可得．
8．【答案】＜
【解析】【解答】解：根据题意可知tan∠AOB＝ ，tan∠COD＝ ，
∴∠AOB＜∠COD，
故答案为：＜．
【分析】利用正切值的性质比较大小；正切值越大，角度越大。
9．【答案】解：原式=2﹣﹣1+2× +3
=1+3
=4．
【解析】【分析】根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂以及特殊角的三角函数值进行计算即可．
10．【答案】（1）解：原式
.
（2）解：原式
，
解方程 得： ，
如果已知分式有意义，必须 不等于2，－1，1，
∵ 为方程 的根，∴ 只能为－2，
当 时，原式 .
【解析】【分析】（1）由负整数指数幂的运算性质“一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数”可得（）-2=4，由特殊角的三角函数值可得cos45°=，然后根据二次根式的混合运算法则计算即可求解；
（2）由题意先将各分式的分子和分母分解因式，并约分，再根据分式的加减法则通分即可化简；然后求出一元二次方程的根，把符合题意（使分母不为0）的x的值代入化简后的分式计算即可求解.
11．【答案】解：（1）∵cosA=0.8607，
∴∠A≈30.605°=30°36′18″；
（2）∵tanA=56.78，
∴∠A≈88.991°≈88°59′28″．
【解析】【分析】（1）熟练应用计算器，使用2nd键，然后按cos﹣10.8607，即可求出∠A的度数，对计算器给出的结果，用四舍五入法取近似数．
（2）方法同（1）．
12．【答案】解：⑴如图，即为所求作；
⑵如上图，即为所求作；
⑶
【解析】【解答】解：（3）∵，
∴，
∴sinA=
【分析】（1）根据题意找到点A1，B1，C1，再连线即可求出答案。
（2）根据题意找到A2，B2，C2，再连线即可求出答案。
（3）运用勾股定理求出，再求sinA即可求出答案。
13．【答案】（1）37
（2）解：由扇形统计图知， 处的垃圾量占50%， 处的垃圾量占37.5%，则 处的垃圾量占12.5%，
∴样本容量 （千克），
∴ 处的垃圾量 （千克）.
补全条形统计图如解图2所示：
（3）解：∵如图①，点 、 位于点 的正北和正东方向，
∴ .
∠C=（34+36+38+40）÷4=37°，
在 中， ， ，
∴ （米），
∴运费是 （元）.
【解析】【解答】解：（1）
表中数据分别为38，40，34，36，
按从小到大的顺序排列：34，36，38，40，
中位数为
，
故答案为：37；
【分析】（1）将一组数据按从小到大或从大到小排列后，如果这组数据的个数是奇数个，则最中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数个，则最中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，据此即可得出答案；
（2）用C处的垃圾量除以占比求出样本容量，进而利用样本容量乘以A处垃圾的占比可求出A处的垃圾量，依此把条形图补充完整即可；
（3）先求出∠C的平均数，在Rt△ABC中，根据正切三角函数定义求出AB长， 结合已知条件，再根据“运费=垃圾量×距离×每千克每米的费用”计算即可.
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