28.2 解直角三角形及其应用一课一练（含解析）
文档属性
| 名称 | 28.2 解直角三角形及其应用一课一练（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 756.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-06 22:58:27 | ||
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文档简介
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28.2 解直角三角形及其应用一课一练
一、单选题
1．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值为（ ）
A． B． C． D．2
2．轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是（ ）海里．
A．25 B．25 C．50 D．25
3．如图，海中有一小岛，在点测得小岛在北偏东方向上，渔船从点出发由西向东航行到达点，在点测得小岛恰好在正北方向上，此时渔船与小岛的距离为．（ ）
A． B． C． D．
4．在Rt 中， ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，修建抽水站时，沿着坡度为i=1： 的斜坡铺设水管．若测得水管A处铅垂高度为8 m，则所铺设水管AC的长度为（ ）
A．8m B．12m C．14m D．16m
6．如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm长的绑绳EF，tanα= ，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD是（ ）
A．144cm B．180cm C．240cm D．360cm
7．如图，在反比例函数y= 的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数y= 的图象上运动，若tan∠CAB=2，则k的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣6 C．﹣9 D．﹣12
二、填空题
8．某人沿着坡度为 的坡面前进了 米，此时他与水平地面的垂直距离为 米.
9．在中，，是高，且，则 ．
三、解答题
10．如图1是“东方之星”救援打捞现场图，小红据此构造出一个如图2所示的数学模型，已知：A、B、D三点在同一水平线上，CD⊥AD，∠A=30°，∠CBD=75°，AB=60m．
（1）求点B到AC的距离；
（2）求线段CD的长度．
四、综合题
11．已知：如图，第一象限内的点A，B在反比例函数的图象上，点C在y轴上，BC∥x轴，点A的坐标为（2，4），且cot∠ACB=
求：
（1）反比例函数的解析式；
（2）点C的坐标；
（3）∠ABC的余弦值．
五、实践探究题
12．如图
（1）问题提出
如图，△ABC为等边三角形，边长为6cm，动点M从点B出发，沿着三角形的三条边顺时针方向以2cm/s的速度运动，动点N从点C出发，沿着三角形的三条边逆时针方向以1cm/s的速度运动．动点M、N同时出发，当点M在AB上运动且MN⊥AB时，求点M运动的时间．
（2）问题解决
某小区有一个边长为4米的等边三角形花坛，六一将至，物业借助花坛△ABC举办了一个有奖活动，一家四口举着一根长绳在花坛三边任选位置站立（不能站在各边中点上），四人拉紧、拉直长绳后（长绳可有剩余）可得到一个四边形，如工作人员量得这个四边形是平行四边形，则可领取奖品一份．笑笑和爸爸、妈妈、奶奶一起参加活动，四人的方案是奶奶在A点站立不动，妈妈在△ABC边上某点D处站立不动，爸爸从点B出发，沿着花坛顺时针方向以2米/秒的速度走动（可看作花坛边上运动的点M），同时笑笑从点C出发，沿着花坛逆时针方向以1米/秒的速度走动（可看作花坛边上运动的点N）．若笑笑出发不到6秒，一家人就得奖了，那么妈妈所选的位置D距点C多少米？
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】如图，作CD⊥AB于点D，
则CD= ，BD= ，
故tan∠ABC= .
故答案为：C.
【分析】作CD⊥AB于点D，由网格图的特征用勾股定理可求出CD和BD的长，再由tan∠ABC=可求解。
2．【答案】D
【解析】【解答】解：根据题意，
∠1=∠2=30°，
∵∠ACD=60°，
∴∠ACB=30°+60°=90°，
∴∠CBA=75°﹣30°=45°，
△ABC为等腰直角三角形，
∵BC=50×0.5=25，
∴AC=BC=25（海里）．
故答案为：D．
【分析】根据题意推出△ABC为等腰直角三角形，然后根据路程等于速度乘以时间算出BC的长，进而根据等腰三角形的性质得出AC的长。
3．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，连接AC，
由题意得∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=10nmile，
∴AC=BC×tan∠ABC=10×tan60°=10×=10nmile.
故答案为：D.
【分析】连接AC根据∠ABC的正切函数可得AC=BC×tan∠ABC，从而代值计算可得答案.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，
∴AB==10，
∴cosA===.
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理先求出AB长，然后根据余弦三角函数的定义计算即可.
5．【答案】D
【解析】【解答】解；∵该斜坡的坡度为i=1: ，
∴AB:BC=1: ，
∵AB=8m，
∴BC=8 m，
则AC= m.
故答案为：D.
【分析】利用解直角三角形的坡度问题进行求解即可。
6．【答案】B
【解析】【解答】解：如图：
根据题意可知：△AFO∽△ACD，OF= EF=30cm
∴ ，
∴
∴CD=72cm，
∵tanα=
∴
∴AD= =180cm．
故选：B．
【分析】根据题意可知：△AEO∽△ABD，从而可求得BD的长，然后根据锐角三角函数的定义可求得AD的长．
7．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，连接OC，过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，
∵由直线AB与反比例函数y= 的对称性可知A、B点关于O点对称，
∴AO=BO．
又∵AC=BC，
∴CO⊥AB．
∵∠AOE+∠AOF=90°，∠AOF+∠COF=90°，
∴∠AOE=∠COF，
又∵∠AEO=90°，∠CFO=90°，
∴△AOE∽△COF，
∴ = = ，
∵tan∠CAB= =2，
∴CF=2AE，OF=2OE．
又∵AE OE= ，CF OF=|k|，
∴k=±6．
∵点C在第二象限，
∴k=﹣6，
故选：B．
【分析】连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，通过角的计算找出∠AOE=∠COF，结合“∠AEO=90°，∠CFO=90°”可得出△AOE∽△COF，根据相似三角形的性质得出比例式，再由tan∠CAB=2，可得出CF OF的值，进而得到k的值．
8．【答案】10
【解析】【解答】解：坡度=1：2，即AB：BC=1：2，
且AC= =10 ，
解得：AB=10米，
故此时他与水平地面的距离为10米.
故答案为10.
【分析】如图，根据坡度为1：2，即可求得AB、BC的长度的比值，已知AC=10 米，利用勾股定理求出AB的值，即可得到答案.
9．【答案】或
【解析】【解答】解：分两种情况：
如图一，当是锐角三角形时，
在中，是边上的高，，，
，
，
，
在中，；
如图二，当是钝角三角形时，
在中，是边上的高，，，
，
，
，
在中，．
故答案为：或．
【分析】分类讨论：①当是锐角三角形时，②当是钝角三角形时，再分别画出图象并利用勾股定理求解即可。
10．【答案】解：过点B作BE⊥AC于点E，
在Rt△AEB中，AB=60m，sinA=，BE=ABsinA=60×=30，cosA=，
∴AE=60×=30m，
在Rt△CEB中，∠ACB=∠CBD﹣∠A=75°﹣30°=45°，
∴BE=CE=30m，
∴AC=AE+CE=（30+30）m，
在Rt△ADC中，sinA=，
则CD=（30+30）×=（15+15）m．
【解析】【分析】过点B作BE⊥AC于点E，在直角三角形AEB中，利用锐角三角函数定义求出AE的长，在直角三角形CEB中，利用锐角三角函数定义求出BE与CE的长，由AE+CE求出AC的长，即可求出CD的长．
11．【答案】（1）解：设反比例函数解析式为y= ，
将点A（2，4）代入，得：k=8，
∴反比例函数的解析式y=
（2）解：过点A作AE⊥x轴于点E，AE与BC交于点F，则CF=2，
∵cot∠ACB= = ，
∴AF=3，
∴EF=1，
∴点C的坐标为（0，1）
（3）解：当y=1时，由1= 可得x=8，
∴点B的坐标为（1，8），
∴BF=BC﹣CF=6，
∴AB= =3 ，
∴cos∠ABC= = =
【解析】【分析】（1）待定系数法求解可得；（2）作AE⊥x轴于点E，AE与BC交于点F，则CF=2，根据cot∠ACB= = 得AF=3，即可知EF，从而得出答案；（3）先求出点B的坐标．继而由勾股定理得出AB的长，最后由三角函数可得答案．
12．【答案】（1）解：设点M运动t秒（0≤t≤3），点M在AB上运动且MN⊥AB，如图，
∵△ABC为等边三角形，边长为6cm，
∴∠A＝60°，∠AMN＝90°，
∴，
由题意可知：BM＝2tcm，AN＝（6﹣t）cm，
∴AM＝AB﹣BM＝（6﹣t）cm，
∴，
解得：t＝2，
∴点M运动的时间为2秒；
（2）解：∵△ABC是边长为4米的等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝4，∠A＝∠B＝∠C＝60°．
设笑笑出发x秒，一家人就得奖了，
则笑笑走了x米，笑笑的爸爸走了2x米，
∴CN＝x米，BM＝2x米，
∴AN＝（4﹣x）米，AM＝（4﹣2x）米，
∵四边形ANDM为平行四边形，
∴DN＝AM＝（4﹣2x）米，，
∴∠NDC＝∠B＝60°，∠DNC＝∠A＝60°，
∴∠DNC＝∠C＝∠NDC＝60°，
∴△CDN是等边三角形，
∴DN＝CD＝CN＝x米，
∴x＝4﹣2x，
解得，
∴米．
即笑笑出发不到6秒，一家人就得奖了，那么妈妈所选的位置D距点C 米．
【解析】【分析】（1）设点M运动t秒，MN⊥AB，解直角三角形即可得到结论；
（2）设笑笑出发x秒，一家人就得奖了，则笑笑走了x米，笑笑的爸爸走了2x米，即CN=x，BM=2x，可求AN、AM，然后证明△CDN是等边三角形，可得：DN＝CD＝CN＝x，列方程即可.
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28.2 解直角三角形及其应用一课一练
一、单选题
1．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值为（ ）
A． B． C． D．2
2．轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是（ ）海里．
A．25 B．25 C．50 D．25
3．如图，海中有一小岛，在点测得小岛在北偏东方向上，渔船从点出发由西向东航行到达点，在点测得小岛恰好在正北方向上，此时渔船与小岛的距离为．（ ）
A． B． C． D．
4．在Rt 中， ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，修建抽水站时，沿着坡度为i=1： 的斜坡铺设水管．若测得水管A处铅垂高度为8 m，则所铺设水管AC的长度为（ ）
A．8m B．12m C．14m D．16m
6．如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm长的绑绳EF，tanα= ，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD是（ ）
A．144cm B．180cm C．240cm D．360cm
7．如图，在反比例函数y= 的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数y= 的图象上运动，若tan∠CAB=2，则k的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣6 C．﹣9 D．﹣12
二、填空题
8．某人沿着坡度为 的坡面前进了 米，此时他与水平地面的垂直距离为 米.
9．在中，，是高，且，则 ．
三、解答题
10．如图1是“东方之星”救援打捞现场图，小红据此构造出一个如图2所示的数学模型，已知：A、B、D三点在同一水平线上，CD⊥AD，∠A=30°，∠CBD=75°，AB=60m．
（1）求点B到AC的距离；
（2）求线段CD的长度．
四、综合题
11．已知：如图，第一象限内的点A，B在反比例函数的图象上，点C在y轴上，BC∥x轴，点A的坐标为（2，4），且cot∠ACB=
求：
（1）反比例函数的解析式；
（2）点C的坐标；
（3）∠ABC的余弦值．
五、实践探究题
12．如图
（1）问题提出
如图，△ABC为等边三角形，边长为6cm，动点M从点B出发，沿着三角形的三条边顺时针方向以2cm/s的速度运动，动点N从点C出发，沿着三角形的三条边逆时针方向以1cm/s的速度运动．动点M、N同时出发，当点M在AB上运动且MN⊥AB时，求点M运动的时间．
（2）问题解决
某小区有一个边长为4米的等边三角形花坛，六一将至，物业借助花坛△ABC举办了一个有奖活动，一家四口举着一根长绳在花坛三边任选位置站立（不能站在各边中点上），四人拉紧、拉直长绳后（长绳可有剩余）可得到一个四边形，如工作人员量得这个四边形是平行四边形，则可领取奖品一份．笑笑和爸爸、妈妈、奶奶一起参加活动，四人的方案是奶奶在A点站立不动，妈妈在△ABC边上某点D处站立不动，爸爸从点B出发，沿着花坛顺时针方向以2米/秒的速度走动（可看作花坛边上运动的点M），同时笑笑从点C出发，沿着花坛逆时针方向以1米/秒的速度走动（可看作花坛边上运动的点N）．若笑笑出发不到6秒，一家人就得奖了，那么妈妈所选的位置D距点C多少米？
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】如图，作CD⊥AB于点D，
则CD= ，BD= ，
故tan∠ABC= .
故答案为：C.
【分析】作CD⊥AB于点D，由网格图的特征用勾股定理可求出CD和BD的长，再由tan∠ABC=可求解。
2．【答案】D
【解析】【解答】解：根据题意，
∠1=∠2=30°，
∵∠ACD=60°，
∴∠ACB=30°+60°=90°，
∴∠CBA=75°﹣30°=45°，
△ABC为等腰直角三角形，
∵BC=50×0.5=25，
∴AC=BC=25（海里）．
故答案为：D．
【分析】根据题意推出△ABC为等腰直角三角形，然后根据路程等于速度乘以时间算出BC的长，进而根据等腰三角形的性质得出AC的长。
3．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，连接AC，
由题意得∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=10nmile，
∴AC=BC×tan∠ABC=10×tan60°=10×=10nmile.
故答案为：D.
【分析】连接AC根据∠ABC的正切函数可得AC=BC×tan∠ABC，从而代值计算可得答案.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，
∴AB==10，
∴cosA===.
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理先求出AB长，然后根据余弦三角函数的定义计算即可.
5．【答案】D
【解析】【解答】解；∵该斜坡的坡度为i=1: ，
∴AB:BC=1: ，
∵AB=8m，
∴BC=8 m，
则AC= m.
故答案为：D.
【分析】利用解直角三角形的坡度问题进行求解即可。
6．【答案】B
【解析】【解答】解：如图：
根据题意可知：△AFO∽△ACD，OF= EF=30cm
∴ ，
∴
∴CD=72cm，
∵tanα=
∴
∴AD= =180cm．
故选：B．
【分析】根据题意可知：△AEO∽△ABD，从而可求得BD的长，然后根据锐角三角函数的定义可求得AD的长．
7．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，连接OC，过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，
∵由直线AB与反比例函数y= 的对称性可知A、B点关于O点对称，
∴AO=BO．
又∵AC=BC，
∴CO⊥AB．
∵∠AOE+∠AOF=90°，∠AOF+∠COF=90°，
∴∠AOE=∠COF，
又∵∠AEO=90°，∠CFO=90°，
∴△AOE∽△COF，
∴ = = ，
∵tan∠CAB= =2，
∴CF=2AE，OF=2OE．
又∵AE OE= ，CF OF=|k|，
∴k=±6．
∵点C在第二象限，
∴k=﹣6，
故选：B．
【分析】连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，通过角的计算找出∠AOE=∠COF，结合“∠AEO=90°，∠CFO=90°”可得出△AOE∽△COF，根据相似三角形的性质得出比例式，再由tan∠CAB=2，可得出CF OF的值，进而得到k的值．
8．【答案】10
【解析】【解答】解：坡度=1：2，即AB：BC=1：2，
且AC= =10 ，
解得：AB=10米，
故此时他与水平地面的距离为10米.
故答案为10.
【分析】如图，根据坡度为1：2，即可求得AB、BC的长度的比值，已知AC=10 米，利用勾股定理求出AB的值，即可得到答案.
9．【答案】或
【解析】【解答】解：分两种情况：
如图一，当是锐角三角形时，
在中，是边上的高，，，
，
，
，
在中，；
如图二，当是钝角三角形时，
在中，是边上的高，，，
，
，
，
在中，．
故答案为：或．
【分析】分类讨论：①当是锐角三角形时，②当是钝角三角形时，再分别画出图象并利用勾股定理求解即可。
10．【答案】解：过点B作BE⊥AC于点E，
在Rt△AEB中，AB=60m，sinA=，BE=ABsinA=60×=30，cosA=，
∴AE=60×=30m，
在Rt△CEB中，∠ACB=∠CBD﹣∠A=75°﹣30°=45°，
∴BE=CE=30m，
∴AC=AE+CE=（30+30）m，
在Rt△ADC中，sinA=，
则CD=（30+30）×=（15+15）m．
【解析】【分析】过点B作BE⊥AC于点E，在直角三角形AEB中，利用锐角三角函数定义求出AE的长，在直角三角形CEB中，利用锐角三角函数定义求出BE与CE的长，由AE+CE求出AC的长，即可求出CD的长．
11．【答案】（1）解：设反比例函数解析式为y= ，
将点A（2，4）代入，得：k=8，
∴反比例函数的解析式y=
（2）解：过点A作AE⊥x轴于点E，AE与BC交于点F，则CF=2，
∵cot∠ACB= = ，
∴AF=3，
∴EF=1，
∴点C的坐标为（0，1）
（3）解：当y=1时，由1= 可得x=8，
∴点B的坐标为（1，8），
∴BF=BC﹣CF=6，
∴AB= =3 ，
∴cos∠ABC= = =
【解析】【分析】（1）待定系数法求解可得；（2）作AE⊥x轴于点E，AE与BC交于点F，则CF=2，根据cot∠ACB= = 得AF=3，即可知EF，从而得出答案；（3）先求出点B的坐标．继而由勾股定理得出AB的长，最后由三角函数可得答案．
12．【答案】（1）解：设点M运动t秒（0≤t≤3），点M在AB上运动且MN⊥AB，如图，
∵△ABC为等边三角形，边长为6cm，
∴∠A＝60°，∠AMN＝90°，
∴，
由题意可知：BM＝2tcm，AN＝（6﹣t）cm，
∴AM＝AB﹣BM＝（6﹣t）cm，
∴，
解得：t＝2，
∴点M运动的时间为2秒；
（2）解：∵△ABC是边长为4米的等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝4，∠A＝∠B＝∠C＝60°．
设笑笑出发x秒，一家人就得奖了，
则笑笑走了x米，笑笑的爸爸走了2x米，
∴CN＝x米，BM＝2x米，
∴AN＝（4﹣x）米，AM＝（4﹣2x）米，
∵四边形ANDM为平行四边形，
∴DN＝AM＝（4﹣2x）米，，
∴∠NDC＝∠B＝60°，∠DNC＝∠A＝60°，
∴∠DNC＝∠C＝∠NDC＝60°，
∴△CDN是等边三角形，
∴DN＝CD＝CN＝x米，
∴x＝4﹣2x，
解得，
∴米．
即笑笑出发不到6秒，一家人就得奖了，那么妈妈所选的位置D距点C 米．
【解析】【分析】（1）设点M运动t秒，MN⊥AB，解直角三角形即可得到结论；
（2）设笑笑出发x秒，一家人就得奖了，则笑笑走了x米，笑笑的爸爸走了2x米，即CN=x，BM=2x，可求AN、AM，然后证明△CDN是等边三角形，可得：DN＝CD＝CN＝x，列方程即可.
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