第二十八章 锐角三角函数综合测试题（含解析）

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第二十八章 锐角三角函数本章综合测试题
一、单选题
1．如图，要得到从点D观测点A的俯角，可以测量（　　）
A．∠ADC B．∠DCE C．∠ADB D．∠DAB
2．如图是的高，，，，则的长为（　　）.
A． B． C． D．
3．已知A为锐角，且cosA≤ ，那么（　　）
A． B．
C． D．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝ ，BC＝2，则sinB的值为（　　）
A． B． C． D．2
5．如图，综合实践活动中，小明在学校门口点处测得树的顶端仰角为，测得米，则树的高AB（单位：米）为（　　）
A． B． C． D．
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，AB＝3，那么AC等于（　　）
A．3sinα B．3cosα C． D．
7．如图，直立于地面上的电线杆，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是、，坡面的坡度，测得米，米，在D处测得电线杆顶端A的仰角为，则电线杆的高度为（　　）米.
A． B． C． D．
8．一个人从山下沿30°角的坡路登上山顶，共走了500m，那么这山的高度是（　　）m.
A．230 B．240 C．250 D．260
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD=CD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC交DE于点F若sin∠CAB= ，DF=5，则BC的长为（　　）
A．8 B．10 C．12 D．16
10．如图，定直线MNPQ，点B、C分别为MN、PQ上的动点，且BC=12，BC在两直线间运动过程中始终有∠BCQ=60°.点A是MN上方一定点，点D是PQ下方一定点，且AEBCDF，AE=4，DF=8，AD=24，当线段BC在平移过程中，AB+CD的最小值为（　　）
A．24 B．24 C．12 D．12
二、填空题
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，3）和点B（7，0），则tan∠ABO＝　 　.
12．计算tan260°﹣2sin30°﹣ cos45°的结果为　 　．
13．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点E是AD的中点，点P是BE上的动点，点Q是PC的中点，连接AQ，则AQ长的最小值为　 　．
三、计算题
14．
（1）计算： .
（2）解方程： .
15．计算：3tan30°+cos60°- +2sin245°
四、解答题
16．甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以12海里/时的速度向 北偏东35°航行，乙船向南偏东55°航行，2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C、B两船相距30海里，问乙船的速度是每小时多少海里？
17．小明想知道湖中两个小亭A，B之间的距离，他在与小亭A，B位于同一水平面且东西走向的湖边小道l上某一观测点M处，测得亭A在点M的北偏东30°，亭B在点M的北偏东60°，当小明由点M沿小道l向东走60米时，到达点N处，此时测得亭A恰好位于点N的正北方向，继续向东走30米时到达点Q处，此时亭B恰好位于点Q的正北方向，根据以上测量数据，请你帮助小明计算湖中两个小亭A，B之间的距离．
18．超速行驶是一种十分危险的违法驾驶行为，在一条笔直的高速公路MN上，小型车限速为每小时120千米，设置在公路旁的超速监测点C，现测得一辆小型车在监测点C的南偏西30°方向的A处，7秒后，测得其在监测点C的南偏东45°方向的B处，已知BC=200米，B在A的北偏东75°方向，请问：这辆车超速了吗？通过计算说明理由．（参考数据： ≈1.41， ≈1.73）
五、作图题
19．如图，在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点坐标分别是 ， ， .
（1）请作出 绕 点逆时针旋转 的 ；
（2）以点 为位似中心，将 扩大为原来的2倍，得到 ，请在 轴的左侧画出 ；
（3）请求出 的正弦值.
六、综合题
20．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O分别交AC，BC于点D，E，连结EO并延长交00于点F，连结AF．
（1）求证：四边形ACEF是平行四边形．
（2）连结DE，若△CDE的面积为20，cos∠F=
，求⊙O的直径．
七、实践探究题
21．阅读材料，回答问题
一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，距台风中心20 海里的圆形区域（包括边界）都属台风区，当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向B处，且AB=100海里．
（1）若这艘轮船自A处按原速度和方向继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求轮船最初遇到台风的时间；若不会，说明理由；
（2）现轮船自A处立即提高船速，向位于北偏东60°方向，相距60海里的D港驶去，为使台风到来之前，到达D港，问船速至少应提高多少（提高的船速取整数， ≈3.6）？
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：过点D作DF//AB，
∴
∵水平线与视线的夹角，即是俯角，
∴从点 观测点 的俯角为 ，
∴可以测量 ，
故答案为：D
【分析】先求出，再求出从点 观测点 的俯角为 ，最后求解即可。
2．【答案】C
【解析】【解答】解：∵AD是△ABC的高，∠BAD=60°，
∴，
∴，
∴.
∵，即，
∴，
解得：，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形的两锐角互余得∠ABD=30°，根据含30°角直角三角形的性质得AD=2，再由勾股定理算出BD的长，进而根据正切函数的定义可求出CD的长，最后根据BC=BD+CD即可求出答案.
3．【答案】B
【解析】【解答】∵cos60°= ，余弦函数值随角增大而减小，
∴当cosA≤ 时，∠A≥60°，
又∠A是锐角，
∴60°≤A＜90°，
故答案为：B.
【分析】首先明确cos60°= ，再根据余弦函数值随角增大而减小进行分析.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，
∵AB＝ ，BC＝2，
∴AC= ，
∴sinB= .
故答案为：A.
【分析】首先根据勾股定理求出AC，然后结合一个锐角的正弦函数等于其对边比斜边进行求解.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：∵tanB=，∠B=37°，
∴tan37°=，
∴AB=BC×tan37°=20tan37°.
故答案为：D.
【分析】根据正切函数的定义，由∠B的正切函数即可直接得出答案.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，
∵ ,
∴AC=3cosα.
故答案为：B.
【分析】根据余弦等于邻边比斜边即可求解.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，过点作于，交的延长线于点，
斜坡的坡比为，即，
，
又米，
，，
，
在中，，，
米，
米，
故答案为：B.
【分析】过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC交BC的延长线于点N，由坡比的概念、正切函数的定义及特殊锐角三角函数值得∠DCN=30°，根据含30°角直角三角形的性质得DN、CN的长，再由BN=BC+CN=MD得MD的长，在Rt△AMD中，根据含30°角直角三角形的性质得AM的长，最后根据AB=AM+BM即可得出答案.
8．【答案】C
【解析】【分析】此题考查了含30度角的直角三角形，根据在直角三角形中，已知斜边，求30度所对的直角边，即可得出答案．
【解答】由30°所对的直角边是斜边的一半，得此山的高度=500÷2=250m．
故选C．
9．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连接OD、BD，OD交AC于点M，
∵AD=CD，
∵∠ACD=∠CAD，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADE+∠BDE=∠DBE+∠BDE，
∴∠ADE=∠DBE，
∵∠DBE和∠DCA所对的弧是AD弧，
∴∠DCA=∠DBE，
∴∠ADF=∠DAC，
∴AF=DF=5，
∵sin∠CAB= ，
则AE=4，EF=3，
则DE=DF+EF=8，
∵AD=CD，
∴OD⊥AC，
∴S△AOD=OA×DE=OD×AM,
∴AM=DE=8，
∴OM=6，
∵O为AB的中点，OM∥BC，
∴BC=2OM=12.
故答案为：C.
【分析】连接OD、BD，OD交AC于点M，在同圆中，由同弧或等弧所对的圆周角相等，结合AD=CD，求得∠ADF=∠DAC，则AF=DF
=3，再结合 sin∠CAB= ， 从而求得AE和EF的长，则DE的长可求，根据三角形的面积公式列等式，可求OM的长，再结合 sin∠CAB= ，可求OM的长，于是由三角形中位线定理求出BC即可.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：如图所示，过点F作FH∥CD交BC于H，连接EH，
∵，
∴四边形CDFH是平行四边形，
∴CH=DF=8，CD=FH，
∴BH=4，
∴BH=AE=4，
又∵，
∴四边形ABHE是平行四边形，
∴AB=HE，
∵，
∴当E、F、H三点共线时，EH+HF有最小值EF即AB+CD有最小值EF，
延长AE交PQ于G，过点E作ET⊥PQ于T，过点A作AL⊥PQ于L，过点D作DK⊥PQ于K，
∵，
∴四边形BEGC是平行四边形，∠EGT=∠BCQ=60°，
∴EG=BC=12，
∴，
同理可求得，，
∴，
∵AL⊥PQ，DK⊥PQ，
∴，
∴△ALO∽△DKO，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】过点F作FH∥CD交BC于H，连接EH，易得四边形CDFH、ABHE是平行四边形，根据平行四边形的性质得CH=DF=8，CD=FH，AB=HE，故当E、F、H三点共线时，EH+HF有最小值EF即AB+CD有最小值EF，延长AE交PQ于G，过点E作ET⊥PQ于T，过点A作AL⊥PQ于L，过点D作DK⊥PQ于K，则四边形BEGC是平行四边形，∠EGT=∠BCQ=60°，EG=BC=12，根据三角函数的概念可得GT、ET，同理可得GL、AL、FK、DK，易证△ALO∽△DKO，根据相似三角形的性质可得AO、DO，利用勾股定理可得OL、OK，由TF=TL+OL+OK+KF可得TF，然后利用勾股定理进行计算.
11．【答案】
【解析】【解答】解：过A作AC⊥OB于点C，如图，
∵A（3，3），点B（7，0），
∴AC＝OC＝3，OB＝7，
∴BC＝OB﹣OC＝4，
∴tan∠ABO＝ ，
故答案为： .
【分析】过A作AC⊥OB于点C，由点的坐标求得OC、AC、OB，进而求BC，在Rt△ABC中，由正切三角函数定义便可求得结果.
12．【答案】1
【解析】【解答】解：原式= -2× - ×
=1.
【分析】分别算三角函数，再化简即可.
13．【答案】
【解析】【解答】解：取BC的中点F，连接DF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵点E、F分别是AD、BC的中点，
∴DE=BF=AD=BC，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE∥DF，
∵点Q是CP的中点，F是BC的中点，
∴FQ∥BE，
∴点Q在DF上，
当AQ⊥DF时，AQ最短，
∵BC∥AD，
∴∠ADQ=∠DFC，
在Rt△CDF中，CD=AB=3，CF=BC=2，由勾股定理得DF=，
∴，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】取BC的中点F，连接DF，根据矩形的性质并结合平行四边形的判定方法易得四边形BFDE是平行四边形，由平行四边形的性质得BE∥DF，由三角形的中位线定理得FQ∥BE，进而根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行得点Q在DF上；当AQ⊥DF时，AQ最短，由平行线的性质得∠ADQ=∠DFC，进而根据等角的同名三角形函数值相等可求出AQ的长.
14．【答案】（1）解：原式 ，
，
；
（2）解： ，
，
则 或 ，
解得 ， .
【解析】【分析】（1）、利用特殊角的三角函数值；负整数指数幂法则；零指数幂法则；绝对值的实数的运算法则进行计算即可得出结果；
（2）、根据一元二次方程的因式分解的解题方法进行求解即可.
15．【答案】解：
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可得出答案.
16．【答案】解：根据题意得：AC=12×2=24，BC=30，∠BAC=90°．
∴AC2+AB2=BC2．
∴AB2=BC2-AC2=302-242=324
∴AB=18．
∴乙船的航速是：18÷2=9海里/时.
【解析】【分析】根据已知判定∠CAB为直角，根据路程公式求得AC的长．再根据勾股定理求得AB的长，从而根据公式求得其速度.此题考查了直角三角形的判定及方向角的掌握情况，比较简单.
17．【答案】解：连接AN、BQ．∵点A在点N的正北方向，点B在点Q的正北方向，∴AN⊥l，BQ⊥l．在Rt△AMN中：tan∠AMN= ，∴AN= 米．在Rt△BMQ中：tan∠BMQ= ，∴BQ= 米过B作BE⊥AN于点E．则：BE=NQ=30米，∴AE=AN﹣BQ=30 ．在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2， ，∴AB=60米．答：湖中两个小亭A、B之间的距离为60米
【解析】【分析】根据题意画出图形，得到Rt△AMN、Rt△BMQ、Rt△ABE；根据解直角三角形中的三角函数值求出AN、BQ的值，根据勾股定理求出AB的值.
18．【答案】解：这辆汽车超速了，理由：过点D作DF⊥CB于点F，过点D作DE⊥AC于点E， 由题意可得：∠ACD=30°，∠DCB=45°，∠CDB=75°，则∠DAE=45°，∠CDF=45°，∠FDB=30°，设BF=x，则DF=CF= x，∵BC=200m，∴ x+x=200，解得：x=100（ ﹣1），故BF=100（ ﹣1）m，则BD=200（ ﹣1）m，DC= DF= × ×100（ ﹣1）=（300 ﹣100 ）m，故DE=（150 ﹣50 ）m，则AD= （150 ﹣50 ）=（300﹣100 ）m，故AB=AD+BD=300﹣100 +200（ ﹣1）=100（ +1）≈273（m），∴ ≈39（m/s），∵每小时120千米= ≈33.3（m/s），∵39＞33.3，∴这辆车已经超速．
【解析】【分析】由题意可得：∠ACD=30°，∠DCB=45°，∠CDB=75°，则∠DAE=45°，∠CDF=45°，∠FDB=30°，设BF=x，则DF=CF= x，BC=200m，求出x=100（ ﹣1），故BF=100（ ﹣1）m，则BD=200（ ﹣1）m，求出DC=（300 ﹣100 ）m，求出DE的值，从而求出AD的值，求出AB=AD+BD的值， 273 7 ≈39（m/s），39＞33.3，故这辆车已经超速．
19．【答案】（1）解：在直角坐标系中，点绕原点O逆时针旋转 的坐标变换规律为：先将横、纵坐标的位置互换，再将横坐标变为相反数
， ，
， ，
再在直角坐标系中描点，然后顺次连接即可得 ，如图所示：
（2）解：以点 为位似中心，将 扩大为原来的2倍，且点 在y轴的左侧
则 ， ，
即 ， ，
再在直角坐标系中描点，然后顺次连接即可得 ，如图所示：
（3）解：由题意得：
， ，
，
设AB边上的高为
则 ，即
解得
即 的正弦值为 .
【解析】【分析】（1）先根据点坐标旋转的规律得出点 的坐标，再在直角坐标系中描点，然后顺次连接即可得；（2）先根据位似的定义得出点 的坐标，再在直角坐标系中描点，然后顺次连接即可得；（3）先利用“补”的数学思想求出 的面积，再利用两点之间的距离公式分别求出AB、BC的长，然后利用三角形的面积公式可求出AB边上的高，最后根据正弦的定义即可得.
20．【答案】（1）证明：连结AE．
∵AB和EF为⊙O直径，
∴AB=EF．
∵AB=AC，
∴AC=EF，∠C=∠ABC．
∵OE=OB，
∴∠ABC=∠OEB，
∴∠C=∠OEB，
∴AC∥EF，
∴四边形ACEF为平行四边形．
（2）解：由□ACEF得∠C=∠F．
连结BD，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB=90°．
∵cosF= ，∴设CD=x，则CB= x，BD=2x．
∵△CDE的面积为20，∴△CDB的面积为40，
∴ x·2x=40．∵x>0，∴x=2 ．
∴CD=2 ，BC= x=10 ，BD=2×=4 ，
∴AB= =5 × =5 ，
∴⊙O的直径为5 ．
【解析】【分析】(1)先根据题意AB=AC， AB、EF为圆直径得出AC=EF，利用等腰三角形的性质推出∠C=∠OEB，求得AC∥EF，利用一组对边平行且相等证明四边形ACEF为平行四边形即可；
(2)连结AE， BD， DE，设CD=x，在△CDB中，根据锐角三角函数的定义求出CB= x，BD=2x；再推出E为BC中点，根据△CDE的面积求出△CDB的面积，利用△CDB的面积等于40建立方程求出CD、BC、BD的长度，最后在△ABE中利用三角函数求AB长度，即可解答.
21．【答案】（1）解：设途中会遇到台风，且最初遇到台风的时间为t小时，此时，轮船位于C处，台风中心移到E处，则有，
AC=20t，AE=AB﹣BE=100﹣40t，EC=20 ，
在Rt△AEC中，AC2+AE2=EC2，
则（20t）2+（100﹣40t）2=（20 ）2，
整理得：t2﹣4t+3=0，
解得：t1=1，t2=3，
所以，途中将遇到台风，最初遇到台风的时间为1小时
（2）解：设台风抵达D港为t小时，此时台风中心至M点，过D作DF⊥AB，垂足为F，
连接DM，
在Rt△ADF中，AD=60，∠FAD=60°，
则DF=30 ，FA=30，
∵FM=FA+AB﹣BM=130﹣40t，MD=20 ，
∴（30 ）2+（130﹣40t）2=（20 ）2，
整理得：4t2﹣26t+39=0，
解得：t1= ，t2= ，
∴台风抵达D港时间为： 小时，
因轮船从A处用 小时到达D港，其速度为：60÷ ≈25.5，
故为使台风抵达D港之前轮船到达D港，轮船至少应提速6海里/时．
【解析】【分析】1）首先表示出AC=20t，AE=AB-BE=100-40t，再利用勾股定理得出t的值，进而得出答案；
（2）直接表示出FM=FA+AB-BM=130-40t，MD=20 进而利用勾股定理得出答案．
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