12.5 因式分解 课件（共38张PPT）

(共38张PPT)
12.5 因式分解
数学（华东师大版）
八年级 上册
第12章 整式的乘除
学习目标
1、理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别和联系；
2、理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式；
3、认识平方差公式、完全平方公式的特点，会运用这两种公式将多项式分解因式．
　
温故知新
运用前面所学的知识填空：
（1）m(a+b+c)=
（2）(a+b)(a-b)=
（3）(a+b)2=
ma+mb+mc
a2-b2
a2+2ab+b2
讲授新课
知识点一 因式分解
试
一
试
观察上面三个等式，填空：
（1）ma+mb+mc=( )( )
（2）a2-b2=( )( )
（3）a2+2ab+b2=( )2
m
a+b+c
a+b
a-b
a+b
讲授新课
（1）m(a+b+c)=
（2）(a+b)(a-b)=
（3）(a+b)2=
ma+mb+mc
a2-b2
a2+2ab+b2
（1）ma+mb+mc=( )( )
（2）a2-b2=( )( )
（3）a2+2ab+b2=( )2
m
a+b+c
a-b
a+b
a+b
这两组等式，有什么联系和区别？
整式乘法运算
把一个多项式化为几个整式的积的形式
讲授新课
定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
x2-1 (x+1)(x-1)
因式分解
整式乘法
x2-1 = (x+1)(x-1)
等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积
想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？
是互为相反的变形，即
讲授新课
在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 ，不是的，请说明原因.
①
②
③
④
⑤
⑥
③
⑥
辨一辨：
am+bm+c=m(a+b)+c
24x2y=3x ·8xy
x2-1=(x+1)(x-1)
(2x+1)2=4x2+4x+1
x2+x=x2(1+ )
2x+4y+6z=2(x+2y+3z)
最后不是积的运算
因式分解的对象是多项式，而不是单项式
是整式乘法
每个因式必须是整式
讲授新课
典例精析
【例1】下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．a(x-y)=ax-ay B．x3-x=x(x+1)(x-1)
C．(x+1)(x+3)=x2+4x+3 D．x2+2x+1=x(x+2)+1
【详解】解：A选项右边为多项式，故A选项错误；
x3-x=x(x+1)(x-1)，故B答案正确；
C选项右边为多项式，故C选项错误；
x2+2x+1=(x+1)2，因式分解错误，故D选项错误，
故选：B．
讲授新课
练一练
1．观察下列从左到右的变形：
（1）-6a3b3=(2a2b)(-3ab2)；
（2）ma-mb+c=m(a-b)+c；
（3）6x2+12xy+6y2=6(x+y)2；
（4）(3a+2b)(3a-2b)=9a2-4b2；
其中是因式分解的有 （填序号）．
讲授新课
【详解】解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把一个多项式分解因式（或因式分解）
（1）-6a3b3=(2a2b)(-3ab2)不是因式分解，不符合题意；
（2）ma-mb+c=m(a-b)+c不是因式分解，不符合题意；
（3）6x2+12xy+6y2=6(x+y)2是因式分解，符合题意；
（4）(3a+2b)(3a-2b)=9a2-4b2是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；
故答案为：（3）.
讲授新课
知识点二 提公因式法
多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式.
相同因式p
这个多项式有什么特点？
pa+pb+pc
讲授新课
正确找出多项式各项公因式的关键是：
1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
2.定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同的字母. 3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂.
知识要点
提公因式法
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
( a+b+c )
pa+ pb +pc
p
=
讲授新课
找一找: 下列各多项式的公因式是什么？
3
a
a2
2(m+n)
3mn
-2xy
(1) 3x+6y
(2)ab-2ac
(3) a 2 - a 3
(4)4 (m+n) 2 +2(m+n)
(5)9 m 2n-6mn
(6)-6 x 2 y-8 xy 2
讲授新课
典例精析
(1) 8a3b2 + 12ab3c；
例2 把下列各式分解因式：
分析：提公因式法步骤（分两步）
第一步:找出公因式；
第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积.
(2) 2a(b+c) - 3(b+c).
注意：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.
讲授新课
解：（1） 8a3b2 + 12ab3c
=4ab2 ·2a2+4ab2 ·3bc
=4ab2(2a2+3bc)；
如果提出公因式4ab,另一个因式是否还有公因式？
另一个因式将是2a2b+3b2c,
它还有公因式是b.
（2） 2a(b+c)-3(b+c)
=(b+c)(2a-3).
如何检查因式分解是否正确？
做整式乘法运算.
讲授新课
练一练
1、把下列多项式分解因式：
（1）-5a2+25a
（2）3a2-9ab
（1）-5a2+25a
=-5a(a-5)
（2）3a2-9ab
=3a(a-3b)
-5a
3a
提公因式法
找公因式时应分三步:
(1)找各项系数的最大公约数;
(2)找相同的字母;
(3)找相同字母的最低指数次幂.
讲授新课
知识点三 运用平方差公式因式分解
想一想：
多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
是a,b两数的平方差的形式.
)
)(
(
b
a
b
a
-
+
=
2
2
b
a
-
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
整式乘法
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
平方差公式：
讲授新课
√
√
×
×
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
√
√
★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成: ( )2-( )2的形式.
两数是平方，
减号在中央．
（1）x2+y2
（2）x2-y2
（3）-x2-y2
-(x2+y2)
y2-x2
（4）-x2+y2
（5）x2-25y2
(x+5y)(x-5y)
（6）m2-1
(m+1)(m-1)
讲授新课
典例精析
例3 分解因式：
a
a
b
b
(
+
)
(
-
)
a2 - b2 =
解:(1)原式=
2x
3
2x
2x
3
3
(2)原式
整体思想
a
b
讲授新课
练一练
1、分解因式：
…………一提（公因式）
……二套（公式）
三查（多项式的因式分解要分解到不能再分解为止）
分解因式的一般步骤
讲授新课
知识点四 运用完全平方公式因式分解
完全平方公式:
完全平方式的特点：
1.必须是三项式（或可以看成三项的）；
2.有两个同号的数或式的平方；
3.中间有两底数之积的±2倍.
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
=（a ± b）2
凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.
a2
2
a
b
b2
±
.
+
.
=
(a ± b)
讲授新课
3、a +4ab+4b =( ) +2· ( ) ·( )+( ) =( )
2、m -6m+9=( ) - 2· ( ) ·( )+( ) =( )
1、x +4x+4= ( ) +2·( )·( )+( ) =( )
x
2
x + 2
a
a 2b
a + 2b
2b
对照公式a ±2ab+b =(a±b) 进行因式分解，你会吗？
m
m - 3
a2
2
a
b
b2
±
.
+
.
（ a ± b )
=
3
x
2
m
3
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
讲授新课
下列各式是不是完全平方式？
（1）a2－4a+4; （2）1+4a ;
（3）4b2+4b-1; （4）a2+ab+b2;
（5）x2+x+0.25.
是
（2）因为它只有两项；
不是
（3）4b 与-1的符号不统一；
不是
分析：
不是
是
（4）因为ab不是a与b的积的2倍.
a2
2
a
b
b2
±
.
+
.
讲授新课
典例精析
例4 分解因式：
（1）16x2+24x+9；
分析：在（1）中， 16x2=(4x)2, 24x=2·4x·3, 9=3 ,
所以16x2+24x+9是一个完全平方式，
即16x2 + 24x +9= (4x)2+ 2·4x·3 + (3)2
解： (1)16x2+ 24x +9 = (4x)2 + 2·4x·3 + (3)2
= (4x + 3)2；
(首) +2·首·尾+(尾)
（2）-x2+4xy-4y2.
(2)-x2+ 4xy-4y2 =-(x2-4xy+4y2)
=- (x -2y)2.
讲授新课
例5 把下列各式分解因式：
（1）3ax2+6axy+3ay2 ；
解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2）
=3a（x+y）2；
分析：（1）中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解因式；
（2）（a+b)2-12(a+b)+36.
(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为m2-12m+36.
(2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62
=(a+b-6)2.
讲授新课
练一练
1、 把下列完全平方公式分解因式：
1002－2×100×99+99
解：原式=（100－99)
=1.
本题利用完全平方公式分解因式的方法，大大减少计算量，结果准确.
讲授新课
2、把下列多项式分解因式：
（1）x2+4xy+4y2
（1）x2+4xy+4y2
=(x+2y)2
=x2+2·x·2y+(2y)2
（2） 4x3y-4x2y2+xy3
（1） 4x3y-4x2y2+xy3
=xy(4x2-4xy+y2)
=xy(2x-y)2
xy
公式法
当堂检测
1.把下列多项式分解因式：
（1）3x+3y
（2）-24m2x-16n2x
（3）x2-1
（4）(xy)2-1
=3(x+y)
=-8x(3m2+2n2)
=(x+1)(x-1)
=(xy+1)(xy-1)
当堂检测
（5）a4x2-a4y2
（6）3x2+6xy+3y2
（7）(x-y)2+4xy
（8）4a2-3b(4a-3b)
=a4(x2-y2)
=a4(x+y)(x-y)
=3(x2+2xy+y2)
=3(x+y)2
=x2-2xy+y2+4xy
=x2+2xy+y2
=(x+y)2
=4a2-12ab+9b2
=(2a-3b)2
当堂检测
2.先因式分解，再求值：
2x(a-2)-y(2-a)，其中a=0.5，x=1.5，y=-2
解： 2x(a-2)-y(2-a)
=2x(a-2)+y(a-2)
=(2x+y)(a-2)
当a=0.5，x=1.5，y=-2时
原式=(2×1.5-2)×(0.5-2)=-1.5
当堂检测
3.在一块边长为a=6.6米的正方形空地的四角均留出一块边长为b=1.7米的正方形空地修建花坛，其余的地方种植草坪.问草坪的面积有多大？
解：由题意可知，草坪的面积是边长为a米的正方形的面积减去四个边长为b米的小正方形的面积，即a2-4b2 =(a+2b)(a-2b)
=(6.6+3.4)(6.6-3.4)=32(平方米).
答：草坪的面积是32平方米.
当堂检测
4．要使多项式x2+M+2x能运用平方差公式进行分解因式，整式M可以是（ ）
A．1 B．-1 C．-2x+4 D．-2x-4
【详解】解：A.x2+2x+1=(x+1)2是完全平方公式因式分解，不合题意；
B.x2+2x-1不能用平方差公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
C.x2-2x+4+2x=x2+4x，不能用平方差公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
D.x2-2x-4+2x=x2-4=(x+2)(x-2) ，能用平方差公式因式分解，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
当堂检测
5．若实数x，y满足(x+y+3)(x+y-1)=0，则+y的值为 ．
【详解】解：∵(x+y+3)(x+y-1)=0，
∴x+y+3=0或x+y-1=0，
解得：x+y=-3或x+y=1，
故答案为：-3或1．
当堂检测
6．因式分解：
(1)x2-1; (2)a3-2a2+a
【详解】（1）解：x2-1
=(x+1)(x-1)．
（2）解：a3-2a2+a
=a(a2-2a+1)
=a(a-1)2
当堂检测
7．已知：a+b=1,ab=
(1)求ab2+a2b的值．
(2)求a2+b2的值．
【详解】（1）∵a+b=1,ab= ，
∴ab2+a2b=ab(a+b)
=；
（2）∵(a+b)2=a2+2ab+b2，
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2×()=．
课堂小结
因式
分解
定义
am+bm+mc=m(a+b+c)
方法
提公因式法
公式法
确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数
分两步：
第一步找公因式；第二步提公因式
（下节课学习）
注意
1.分解因式是一种恒等变形；
2.公因式：要提尽；
3.不要漏项；
4.提负号，要注意变号
课堂小结
公式法因式分解
公式
平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)
步骤
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.
完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2
谢 谢~