数学人教A版（2019）选择性必修第三册7.3.2离散型随机变量的方差（共20张ppt）
文档属性
| 名称 | 数学人教A版（2019）选择性必修第三册7.3.2离散型随机变量的方差（共20张ppt） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 7.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-07 08:18:19 | ||
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文档简介
(共20张PPT)
纷繁数据不乱方阵，离散程度数值衡量
1.通过具体实例，理解取有限个值的离散型随机变量
的方差及标准差的概念与意义。（难点）
2.能计算离散型随机变量的方差、标准差，并会利用
离散型随机变量的方差、标准差解决一些简单的实际
问题。（重点）
3.理解并掌握方差的性质。
目标--百学须先立志
若随机变量X服从两点分布，则
E(X) p
均值--浪涌千堆雪，风静一镜磨
1、离散型随机变量 X 的均值（数学期望）
E(X) x1p1 x2p2 xnpn
反映了离散型随机变量取值的平均水平.
2、均值的性质
E(aX＋b)= aE(X)＋b
3、特殊分布的均值
取值加权平均数
Y 6 7 8 9 10
P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03
X 6 7 8 9 10
P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07
均值相同怎区分--为伊消得人憔悴
问题1：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙
两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表1和表2所示：
表1
表2
如何评价这两名同学的射击水平？
E(X ) = 6× 0.09 + 7 × 0.24 + 8× 0.32 + 9× 0.28 +10 × 0.07 = 8 ;
E(Y ) = 6×0.07 + 7 ×0.22 + 8×0.38 + 9×0.30 +10 ×0.03 = 8.
因为两个均值相等，所以只根据均值不能区分这两名同学的射击水平.
Y 6 7 8 9 10
P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03
X 6 7 8 9 10
P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07
发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定.
图一
图二
均值相同怎区分--概率分布图显直观
问题1：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙
两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表1和表2所示：
表1 表2
如何评价这两名同学的射击水平？
下图一和图二分别是X和Y的概率分布图：
S [(x1 x)2 (x2 x)2 (xn x)2]
方差反映了这组
数据的波动情况
2 1
n
x
方差--柳暗花明又一村
问题2：怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度？
对于一组样本数据的稳定性的描述，我们是用方差或标准差来刻画的.
在一组数据：1,x2, ,xn中，各数据的平均数为 x，则这组数据的方差为：
它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的.
类 比
X x1 x2 ... xn
P p1 p2 ... pn
(xi E(X))2 pi
方差概念生成--路漫漫其修远，吾将上下求索
设离散型随机变量X的分布列如表所示.
称
n
i 1
D(X) (x1 E(X))2 p1 (x2 E(X))2 p2 (xn E(X))2 pn
“差方”加权平均数
为随机变量X 的方差，有时也记为Var(X).
称 D(X) 为随机变量X的标准差， 记为 (X).
(X) D(X).
Y 6 7 8 9 10
P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03
X 6 7 8 9 10
P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07
方差力量显神通--金猴奋起千斤棒，玉宇澄清万里埃
如何评价这两名同学的射击水平？
问题1：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙
两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表1和表2所示：
表1 表2
即乙同学的射击成绩相对更稳定.
D(X) 1.16,D(Y) 0.92.
E(X) 8,E(Y) 8.
因为 D(Y) D(X) (等价地 D(Y) D(X) ) ，所以随机变量Y的取值相对更集中，
方差用处大--万紫千红总是春
1.制造业中，质量控制指标
2.农业中，作物长势比较及利润决策
4.数学建模中，用于模型评估
统计分析
3.金融领域中，可用于风险评估
批判质疑出真知--曲径通幽是智者，大起大落亦精彩
质疑：均值相等，方差是否越小越好？
D(X) (xi E(X))2 pi
D(X) xi pi (E(X)) E(X ) (E(X))
公式化简--行到水穷处，坐看云起时
问题3：方差的计算公式可以简化吗？
n
i 1
2
2 2 2
n
i 1
“方均值”减均值方
“差方”加权平均数
D(aX b) a D(X)
线性性质--行到水穷处，坐看云起时
问题4：离散型随机变量X加上一个常数，方差会有怎样变化？离散型随机变量X乘以一
个常数，方差又有怎样的变化？它们和期望的性质有什么不同？
性质1
性质2
性质3
D(X b) D(X)
D(aX) a2D(X)
2
P(X k) ,k 1,2,3,4,5,6.
6
E(X) ,
2 6
E(X ) xi pi (1 2 3 4 5 6 )
D(X) E(X ) (E(X))
( )
.
,
91
6
2 2 2 2 2 2 2 2 1
i 1 6
解：随机变量X的分布列为
1
7
2 2 91 7 2 35
6 2 12
公式应用--不负凌云万丈才，一生襟袍自此开
例1 抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差.
说明: 方差的计算需要一定的运算能力，在随机变量X2的均值比较好计算
的情况下，运用关系式D(X)=E(X2)-[E(X)]2不失为一种比较实用的方法．
收益Y/元 0 1 2
概率 0.3 0.4 0.3
收益X/元 -1 0 2
概率 0.1 0.3 0.6
表1 股票A收益的分布列
表2 股票B收益的分布列
（1）投资哪种股票的期望收益大？（2）投资哪种股票的风险较高？
解：（1）股票A和股票B投资收益的期望分别为
E(X)=(-1)x0.1+0x0.3+2x0.6=1.1,
E(Y)=0x0.3+1x0.4+2x0.3=1.
因为E(X)>E(Y), 所以投资股票A的期望收益较大.
均值、方差破迷题--不负凌云万丈才，一生襟袍自此开
例2 投资A、B两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表2所示：
收益Y/元 0 1 2
概率 0.3 0.4 0.3
收益X/元 -1 0 2
概率 0.1 0.3 0.6
表1 股票A收益的分布列
表2 股票B收益的分布列
（1）投资哪种股票的期望收益大？（2）投资哪种股票的风险较高？
解：（2）股票A和股票B投资收益的方差分别为
D(X)=(-1)2x0.1+02x0.3+22x0.6-1.12=1.29,
D(Y)=02x0.3+12x0.4+22x0.3-12=0.6.
因为E(X)和E(Y)相差不大，且D(X)>D(Y),
所以投资股票A比投资股票B的风险高.
均值、方差破迷题--不负凌云万丈才，一生襟袍自此开
例2 投资A、B两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表2所示：
均值相等看方差
X 0 1
P 1-p p
其中p∈(0,1)，则E(X)＝________，D(X)＝________.
A.E(X)= ，D(X)=
B.E(X)=2，D(X)=4
7
D.E(X)=4，D(X)=8
当堂检测显身手--博观而约取，厚积而薄发
1．给出下列四个命题：
①离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的平均值；
②离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平；
③离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的平均水平；
④离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值偏离于均值的平均程度．
则正确命题应该是( )
A．①④
B．②③
C．①②
D．③④
2．把右面X的分布列填写完整：并完成问题
p p(1-p)
3. 已知随机变量Y，X之间的关系为Y=2X+3，且D(X)=7，则D(Y)=(
A.7
B.17
C.28
D.63
C )
B )
4. 若随机变量X满足E(2X+3)=7，D(2X+3)=16，则下列结论正确的是(
7 13
2 2
C.E(X)=2，D(X)=8
xi pi (E(X ))2 E(X 2) (E(X ))2
D(aX) a D(X)
D(aX b) a D(X)
小结谈收获--水落石出，静看花开
1.离散型随机变量的方差
性质1
性质2
性质3
2.离散型随机变量的方差的性质
(xi E(X ))2 pi
2
n
i 1
n
i 1
D(X b) D(X)
2
2
(1)D(X )
(2)D(X )
3.求离散型随机变量X的方差、标准差的基本步骤:
4.利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤
(1)比较均值；
(2)在均值相等或接近的情况下计算方差；
(3)得出结论．
(4)求出方差,标准差 D(X ), D(X ) ．
(1)理解 X 的意义，写出X 的可能取值；
(2)求 X 取各个值的概率，写出分布列；
(3)求出均值E(X )；
小结谈收获--水落石出，静看花开
小结谈收获--目光远大，坚韧不拔
Y 0 1 2
P 0.1 0.5 0.4
X 0 2 3
P 0.3 0.2 0.2
X -1 0 1 2
P a b c 1
12
布列分别如下,
甲保护区:
乙保护区:
试评定这两个保护区的管理水平.
三.探索性作业
1.证明：D(aX+b)=a2D(X).
课后作业--一蓑烟雨任平生
一.基础性作业
1.设随机变量X的方差D(X)＝1，则D(2X＋1)的值
为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
2.已知离散型随机变量X的分布列如下表.若
E(X)=0,D(X)=1,a= ,b= .
3.甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境,
且野生动物的种类和数量也大致相等,而两个保护
区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分
2.设E(X)= ，a是不等于 的常数，探究X相对于 的偏
离程度与X相对于a的偏离程度的大小，并说明结论的意
义.
2
二.提升性作业
1.为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开
展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超
过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元
(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立
地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分1
别为4 ，6 ；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为 2
，3 ；两人滑雪时间都不会超过3小时．
(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量 (单位：
元)，求 的分布列与数学期望E( ) ，方差D( )．
纷繁数据不乱方阵，离散程度数值衡量
1.通过具体实例，理解取有限个值的离散型随机变量
的方差及标准差的概念与意义。（难点）
2.能计算离散型随机变量的方差、标准差，并会利用
离散型随机变量的方差、标准差解决一些简单的实际
问题。（重点）
3.理解并掌握方差的性质。
目标--百学须先立志
若随机变量X服从两点分布，则
E(X) p
均值--浪涌千堆雪，风静一镜磨
1、离散型随机变量 X 的均值（数学期望）
E(X) x1p1 x2p2 xnpn
反映了离散型随机变量取值的平均水平.
2、均值的性质
E(aX＋b)= aE(X)＋b
3、特殊分布的均值
取值加权平均数
Y 6 7 8 9 10
P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03
X 6 7 8 9 10
P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07
均值相同怎区分--为伊消得人憔悴
问题1：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙
两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表1和表2所示：
表1
表2
如何评价这两名同学的射击水平？
E(X ) = 6× 0.09 + 7 × 0.24 + 8× 0.32 + 9× 0.28 +10 × 0.07 = 8 ;
E(Y ) = 6×0.07 + 7 ×0.22 + 8×0.38 + 9×0.30 +10 ×0.03 = 8.
因为两个均值相等，所以只根据均值不能区分这两名同学的射击水平.
Y 6 7 8 9 10
P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03
X 6 7 8 9 10
P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07
发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定.
图一
图二
均值相同怎区分--概率分布图显直观
问题1：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙
两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表1和表2所示：
表1 表2
如何评价这两名同学的射击水平？
下图一和图二分别是X和Y的概率分布图：
S [(x1 x)2 (x2 x)2 (xn x)2]
方差反映了这组
数据的波动情况
2 1
n
x
方差--柳暗花明又一村
问题2：怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度？
对于一组样本数据的稳定性的描述，我们是用方差或标准差来刻画的.
在一组数据：1,x2, ,xn中，各数据的平均数为 x，则这组数据的方差为：
它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的.
类 比
X x1 x2 ... xn
P p1 p2 ... pn
(xi E(X))2 pi
方差概念生成--路漫漫其修远，吾将上下求索
设离散型随机变量X的分布列如表所示.
称
n
i 1
D(X) (x1 E(X))2 p1 (x2 E(X))2 p2 (xn E(X))2 pn
“差方”加权平均数
为随机变量X 的方差，有时也记为Var(X).
称 D(X) 为随机变量X的标准差， 记为 (X).
(X) D(X).
Y 6 7 8 9 10
P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03
X 6 7 8 9 10
P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07
方差力量显神通--金猴奋起千斤棒，玉宇澄清万里埃
如何评价这两名同学的射击水平？
问题1：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙
两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表1和表2所示：
表1 表2
即乙同学的射击成绩相对更稳定.
D(X) 1.16,D(Y) 0.92.
E(X) 8,E(Y) 8.
因为 D(Y) D(X) (等价地 D(Y) D(X) ) ，所以随机变量Y的取值相对更集中，
方差用处大--万紫千红总是春
1.制造业中，质量控制指标
2.农业中，作物长势比较及利润决策
4.数学建模中，用于模型评估
统计分析
3.金融领域中，可用于风险评估
批判质疑出真知--曲径通幽是智者，大起大落亦精彩
质疑：均值相等，方差是否越小越好？
D(X) (xi E(X))2 pi
D(X) xi pi (E(X)) E(X ) (E(X))
公式化简--行到水穷处，坐看云起时
问题3：方差的计算公式可以简化吗？
n
i 1
2
2 2 2
n
i 1
“方均值”减均值方
“差方”加权平均数
D(aX b) a D(X)
线性性质--行到水穷处，坐看云起时
问题4：离散型随机变量X加上一个常数，方差会有怎样变化？离散型随机变量X乘以一
个常数，方差又有怎样的变化？它们和期望的性质有什么不同？
性质1
性质2
性质3
D(X b) D(X)
D(aX) a2D(X)
2
P(X k) ,k 1,2,3,4,5,6.
6
E(X) ,
2 6
E(X ) xi pi (1 2 3 4 5 6 )
D(X) E(X ) (E(X))
( )
.
,
91
6
2 2 2 2 2 2 2 2 1
i 1 6
解：随机变量X的分布列为
1
7
2 2 91 7 2 35
6 2 12
公式应用--不负凌云万丈才，一生襟袍自此开
例1 抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差.
说明: 方差的计算需要一定的运算能力，在随机变量X2的均值比较好计算
的情况下，运用关系式D(X)=E(X2)-[E(X)]2不失为一种比较实用的方法．
收益Y/元 0 1 2
概率 0.3 0.4 0.3
收益X/元 -1 0 2
概率 0.1 0.3 0.6
表1 股票A收益的分布列
表2 股票B收益的分布列
（1）投资哪种股票的期望收益大？（2）投资哪种股票的风险较高？
解：（1）股票A和股票B投资收益的期望分别为
E(X)=(-1)x0.1+0x0.3+2x0.6=1.1,
E(Y)=0x0.3+1x0.4+2x0.3=1.
因为E(X)>E(Y), 所以投资股票A的期望收益较大.
均值、方差破迷题--不负凌云万丈才，一生襟袍自此开
例2 投资A、B两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表2所示：
收益Y/元 0 1 2
概率 0.3 0.4 0.3
收益X/元 -1 0 2
概率 0.1 0.3 0.6
表1 股票A收益的分布列
表2 股票B收益的分布列
（1）投资哪种股票的期望收益大？（2）投资哪种股票的风险较高？
解：（2）股票A和股票B投资收益的方差分别为
D(X)=(-1)2x0.1+02x0.3+22x0.6-1.12=1.29,
D(Y)=02x0.3+12x0.4+22x0.3-12=0.6.
因为E(X)和E(Y)相差不大，且D(X)>D(Y),
所以投资股票A比投资股票B的风险高.
均值、方差破迷题--不负凌云万丈才，一生襟袍自此开
例2 投资A、B两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表2所示：
均值相等看方差
X 0 1
P 1-p p
其中p∈(0,1)，则E(X)＝________，D(X)＝________.
A.E(X)= ，D(X)=
B.E(X)=2，D(X)=4
7
D.E(X)=4，D(X)=8
当堂检测显身手--博观而约取，厚积而薄发
1．给出下列四个命题：
①离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的平均值；
②离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平；
③离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的平均水平；
④离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值偏离于均值的平均程度．
则正确命题应该是( )
A．①④
B．②③
C．①②
D．③④
2．把右面X的分布列填写完整：并完成问题
p p(1-p)
3. 已知随机变量Y，X之间的关系为Y=2X+3，且D(X)=7，则D(Y)=(
A.7
B.17
C.28
D.63
C )
B )
4. 若随机变量X满足E(2X+3)=7，D(2X+3)=16，则下列结论正确的是(
7 13
2 2
C.E(X)=2，D(X)=8
xi pi (E(X ))2 E(X 2) (E(X ))2
D(aX) a D(X)
D(aX b) a D(X)
小结谈收获--水落石出，静看花开
1.离散型随机变量的方差
性质1
性质2
性质3
2.离散型随机变量的方差的性质
(xi E(X ))2 pi
2
n
i 1
n
i 1
D(X b) D(X)
2
2
(1)D(X )
(2)D(X )
3.求离散型随机变量X的方差、标准差的基本步骤:
4.利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤
(1)比较均值；
(2)在均值相等或接近的情况下计算方差；
(3)得出结论．
(4)求出方差,标准差 D(X ), D(X ) ．
(1)理解 X 的意义，写出X 的可能取值；
(2)求 X 取各个值的概率，写出分布列；
(3)求出均值E(X )；
小结谈收获--水落石出，静看花开
小结谈收获--目光远大，坚韧不拔
Y 0 1 2
P 0.1 0.5 0.4
X 0 2 3
P 0.3 0.2 0.2
X -1 0 1 2
P a b c 1
12
布列分别如下,
甲保护区:
乙保护区:
试评定这两个保护区的管理水平.
三.探索性作业
1.证明：D(aX+b)=a2D(X).
课后作业--一蓑烟雨任平生
一.基础性作业
1.设随机变量X的方差D(X)＝1，则D(2X＋1)的值
为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
2.已知离散型随机变量X的分布列如下表.若
E(X)=0,D(X)=1,a= ,b= .
3.甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境,
且野生动物的种类和数量也大致相等,而两个保护
区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分
2.设E(X)= ，a是不等于 的常数，探究X相对于 的偏
离程度与X相对于a的偏离程度的大小，并说明结论的意
义.
2
二.提升性作业
1.为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开
展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超
过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元
(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立
地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分1
别为4 ，6 ；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为 2
，3 ；两人滑雪时间都不会超过3小时．
(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量 (单位：
元)，求 的分布列与数学期望E( ) ，方差D( )．