高中数学解题思路大全—利用相关点法巧解对称问题

利用相关点法巧解对称问题
对称问题在高考试题中经常出现，常见的有中心和轴对称两种。尽管试题年年翻新，情境不断变化，甚至不落俗套，但经研究可以发现，其解法的普遍规律还是可以归纳总结的。笔者认为，图象对称的原始基础是图象上点与点之间的对称，因此，抓住对称点之间的数量关系及其内在联系，可将几何对称语言转化为代数坐标、方程语言。代数化地展开研究是解决对称问题的有效方法，亦简称相关点法。下面通过一些实例加以说明。
一. 函数中的对称问题
例1 （2001年高考）设是定义在R上的偶函数，其图象关于直线对称。证明是周期函数。
证明：设（x，y）为图象上任意一点，则其关于的对称点可求得：，于是根据函数关系有：，又因为是定义在R上的偶函数，故有：，因此结合上式有：，故由知：是周期函数，。
例2 （1997年高考文）设是定义在R上的函数，则函数与的图象关于（ ）
A. 直线对称 B. 直线对称
C. 直线对称 D. 直线对称
解：可设（x1，y）为上任意一点，则有；
若（x2，y）为上一点，也有，一般地，由
可知：，所以，即（x1，y）与（x2，y）关于直线对称，故选（D）。
评注：例1是一个函数图象本身内在对称问题，例2是两个函数图象之间的对称问题，尽管问题情境不同，但解法有相通之处，均可抓住对称点（即相关点）加以讨论。
二. 三角函数中的对称问题
例3 （2003年高考江苏卷）已知函数是R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求的值。
解：由是偶函数，得
即
所以
对任意x都成立，且，所以得
依题设，所以解得，这时
由的图象关于点M对称，可设P（x，y）是其图象上任意一点，P点关于的对称点可求得为：
即有，（*）
取x＝0，得，所以，
所以
所以
当时，上是减函数；
当时，在上是减函数；
当时，上不是单调函数；
所以，综合得
评注：本题是三角函数中含有中心对称问题，抓住对称点之间的中心对称关系，利用中点坐标公式求出对称点（或称相关点），寻求两相关点（对称点）之间的函数等量关系（见*）是解决问题的关键。
三. 解析几何中的对称问题
例4 （1998年高考理）设曲线C的方程是，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1
（I）写出曲线C1的方程；
（II）证明曲线C与C1关于点对称；
（I）解：曲线C1的方程为：
（II）证明：在曲线C上任取一点B1（x1，y1）。设B2（x2，y2）是B1关于点A的对称点，则有：
所以
代入曲线C的方程，得x2和y2满足方程：
可知点在曲线C1上
反过来，同样可以证明，在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上。因此，曲线C与C1关于点A对称。
例5 （1997年高考文）椭圆C与椭圆C1：关于直线对称，椭圆C的方程是（ ）
A. B.
C. D.
解：设（x，y）是椭圆C上任意一点，则其关于直线的对称点可求得为，该点在椭圆C1上，故其坐标适合椭圆C1的方程，将其代入有：，化简后知选A。
从以上几个方面的研究可以发现，相关点法是解决数学对称问题的有效方法，因为它抓住了图象对称的基本元素（即图象上点与点之间的一一对应的对称关系）和核心，并且将几何问题代数化的基本数学思想得到很好地体现运用。此外，相关点法在解决几何中才被得以提出并加以运用于解决对称问题，这一点从例4，例5可以感觉到，实际上，函数及三角函数中的对称与解析几何中的对称是相通的，因此，相关点法完全可以加以推广，实行方法共享。
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