重庆市巴南区科学城中学2023-2024学年九年级上学期数学开学考试试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023九上·巴南开学考） 下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023九上·巴南开学考） 要从的图象得到直线，就要将直线（ ）
A．向上平移个单位 B．向下平移个单位
C．向上平移个单位 D．向下平移个单位
3．（2023九上·巴南开学考） 如图，在中，是边上一点，过点作交于点，若：：，则：的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·滨海模拟）如图，在 中， ，将 绕点 逆时针旋转得到 ，此时使点 的对应点 恰好在 边上，点 的对应点为 ， 与 交于点 ，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023九上·巴南开学考）如图，内接于，是的中点，连接，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023九上·巴南开学考） 如图，在菱形中，对角线与交于点，在上取一点，使得，，，则长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·巴南开学考） 如图，是的直径，为上一点，垂直平分交于点，过点的切线与的延长线交于点若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023九上·巴南开学考） 如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023九上·巴南开学考） 如图，二次函数的图象关于直线对称，与轴交于，两点，若，则下列四个结论：，，，，正确结论的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
10．（2023九上·巴南开学考） 对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”，例如，对于，，进行“差绝对值运算”，得到：．
对，，，进行“差绝对值运算”的结果是；
，，的“差绝对值运算”的最小值是；
，，的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有种；
以上说法中正确的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11．（2023九上·巴南开学考） 若函数在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
12．（2019九上·马山期中）把一个正五边形绕着它的中心旋转，至少旋转 度，才能与原来的图形重合.
13．（2023九上·巴南开学考） 如图，直线，交于点，，若，，，则的值为 ．
14．（2023九下·沙坪坝月考）有四张除数字外其它完全一样的卡片，正面写有数字0，，2，.把它们全部背面朝上，抽出一张记为数m作为点A的横坐标，不放回，再抽一张记为数n作为点A的纵坐标.则点在第四象限内的概率为 .
15．（2023九上·巴南开学考） 如图，中，，将绕点逆时针旋转得到当点恰好落在斜边上时图中阴影部分的面积为 ．
16．（2023九上·巴南开学考）在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、AD边上，连接DE、EF，DE=EF，交于点，为垂足，，，则线段的长度为 ．
17．（2023九上·巴南开学考） 若整数使得关于的分式方程有正整数解，且使得关于的不等式组有解，那么符合条件的所有整数的和为 ．
18．（2023九上·巴南开学考） 一个两位正整数，将其个位与十位上的数交换位置后，放在原数的后面组成一个四位数，那么我们把这个四位数称为“顺利数”，并规定为交换位置后组成的两位数与原两位数的平方差例如：将交换位置后为，则是一个“顺利数”，且，若四位正整数，的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，其中，，，为整数，，，，，且，以的十位数字和个位数字组成两位数，交换位置后放在此两位数之后组成的数为“顺利数”，若，则的值为 ；满足条件的所有数的最大值为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（2023九上·巴南开学考） 计算：
（1）计算：；
（2）．
20．（2023九上·巴南开学考） 先化简再求值；，其中是整数，且满足．
21．（2023九上·巴南开学考） 为进一步提高学生的上机操作能力，某校在微机室内开展了计算机打字比赛现从七、八年级中各随机抽取名学生的比赛成绩进行整理和分析，成绩用为每分钟打字个数表示，共分五个等级，，，，．
七年级抽取的名学生的成绩分别是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
八年级抽取的学生在等级的成绩分别是：，，，，，，，，，，
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请补全条形统计图，并直接写出，的值；
（2）根据以上数据分析，你认为哪个年级的学生上机操作能力更好，并说明理由写出一条理由即可；
（3）已知该校七、八年级各有名学生参与了计算机打字比赛，请估计两个年级打字成绩优秀的学生共有多少人成绩的为优秀？
22．（2023九上·巴南开学考） 周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从地出发，匀速跑向距离处的地，小明的跑步速度是小红跑步速度的倍，那么小明比小红早分钟到达地．
（1）求小明、小红的跑步速度；
（2）若从地到达地后，小明以跑步形式继续前进到地整个过程不休息，据了解，在他从跑步开始前分钟内，平均每分钟消耗热量卡路里，超过分钟后，每多跑步分钟，平均每分钟消耗的热量就增加卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗卡路里的热量，小明从地到地锻炼共用多少分钟．
23．（2023九上·巴南开学考） 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点，．
（1）求直线的解析式；
（2）直线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
24．（2023九上·巴南开学考） 如图，．
（1）用尺规完成基本作图：作的角平分线交于点，在射线上截取，连接保留作图痕迹，不写作法、不下结论．
（2）求证：四边形为菱形．请补全下面的证明过程
证明：
▲
平分
▲
▲
四边形是平行四边形
平行四边形是菱形填推理依据．
25．（2023九上·巴南开学考）如图，在等腰中，，，点为中点，点从点出发，沿方向以每秒的速度匀速运动到点设点的运动时间为秒，的面积为．
根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化规律进行探究．
（1）直接写出与的函数关系式，注明的取值范围，并画出的函数图象；
（2）观察的函数图象，写出一条该函数的性质；
（3）观察图象，直接写出当时，的值 ▲ 保留位小数，误差不超过
26．（2023九上·巴南开学考） 如图，抛物线与轴交于，两点，点的坐标为，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，连接，过点作交抛物线于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，过点作交直线于点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标；
（3）在第小问的条件下，将原抛物线沿着射线方向平移，平移后的抛物线过点，点在平移后抛物线的对称轴上，点是平面内任意一点，是否存在以、、、为顶点的四边形是以为边的菱形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
27．（2023九上·巴南开学考） 如图，已知为等腰直角三角形，且，为上一动点，连接，把绕点旋转得到，连接；
（1）如图，交于点，若，，求的长；
（2）如图，连接、，点为中点，求证：；
（3）如图，连接，以为斜边在右侧作以点为直角顶点的等腰，点为上一点且，点为上一动点，把沿着翻折到的同一平面得，连接，若，当取最小值时，请直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】生活中的轴对称现象；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、该标志图案是轴对称图形，也是中心对称图形，A符合题意；
B、该标志图案是轴对称图形，不是中心对称图形，B不符合题意；
C、该标志图案是中心对称图形，不是轴对称图形，C不符合题意；
D、该标志图案是轴对称图形，不是中心对称图形，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，进行逐一判断即可.
2．【答案】A
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：直线化为+，
∴把直线向上平移个单位得直线.
故答案为：A.
【分析】把直线整理得：+，一次函数k值不变，只常数项改变，那么是进行了上下平移，根据上加下减得是向上平移个单位.
3．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵AD：DB=3：1，
∴AD：AB=3：4，
∴.
故答案为：D.
【分析】由DE∥BC可得△ADE∽△ABC，结合AD：DB=3：1根据相似三角形的性质即可求解.
4．【答案】D
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
，不能得 ，故A不符合题意；
，不能得 ，故B不符合题意；
不一定等于 ，即 不一定平行于AC，不能得 ，故C不符合题意；
， ，可得 ，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据 和旋转的性质对每个选项一一判断求解即可。
5．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接OB，
∵ E是的中点，
∴，
∴∠BAE=∠CAE，
∵∠BAC=70°，
∴∠BAE=∠CAE=35°，
∵，
∴∠BOE=2∠BAE=70°，
∵OB=OE，
∴∠OEB=∠OBE==55°.
故答案为：D.
【分析】根据E是的中点得，利用等弧所对的圆周角相等得∠BAE=∠CAE=35°，由圆周角定理得∠BOE=2∠BAE=70°，再由半径相等得OB=OE，根据等边对等角和三角形的内角和定理即可求解.
6．【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，
在Rt△AOB中，OA=，AB=10，
∴OB=，
∴BD=2OB=16，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵AE=BE，
∴∠ABD=∠BAE，
∴∠BAE=∠ADB，
在△ABE和△DBA中，
∴△ABE∽△DBA，
∴，
∴，即BE=.
故答案为：A.
【分析】根据菱形的性质和勾股定理得OB长，接着证明△ABE∽△DBA，从而得，代入线段长度求解即可.
7．【答案】A
【知识点】圆周角定理；切线的性质；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，连接AD，OD，
∵BD垂直平分OE，
∴OB=EB，
∵OB=OE，
∴△OBE是等边三角形，
∴∠OBD=∠EBD=∠OBE=×60°=30°，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD=∠EBD=30°，
∴OD∥BC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，
∴BC⊥CD，即∠C=90°，
在Rt△BCD中，∠DBC=30°，CD=，
∴BD=2CD=，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，∠ABD=30°，BD=，
∴cos∠ABD=，
∴AB===4.
故答案为：A.
【分析】连接AD，OD，根据垂直平分线的性质和半径相等得△OBE是等边三角形，三线合一得∠ODB=∠OBD=∠EBD=30°，从而OD∥BC，利用切线的性质和平行得∠C=90°，在Rt△BCD中利用含30°的直角三角形的性质得BD长，由直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，在Rt△ABD中，利用30°的余弦值即可求解.
8．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由二次函数图象得：开口向上得a＞0，对称轴在y轴右侧得ab＜0，即b＜0，与y轴交于负半轴得c＜0，由一次函数图象得：ac＞0，b＞0，b值互相矛盾，A不符合题意；
B、由二次函数图象得：开口向上得a＞0，对称轴在y轴左侧得ab＞0，即b＞0，与y轴交于正半轴得c＞0，由一次函数图象得：ac＞0，b＞0，两者相一致，B符合题意；
C、由二次函数图象得：开口向下得a＜0，对称轴在y轴右侧得ab＜0，即b＞0，与y轴交于正半轴得c＞0，由一次函数图象得：ac＜0，b＜0，b值互相矛盾，C不符合题意；
D、由二次函数图象得：开口向下得a＜0，对称轴在y轴左侧得ab＞0，即b＜0，与y轴交于正半轴得c＞0，由一次函数图象得：ac＞0，b＞0，b值互相矛盾，D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】先分别由二次函数、一次函数的图象得到字母系数的正负，再两相比较看是否一致.
9．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①∵二次函数的图象关于直线x=1对称，∴，∴x1=2-x2，
∵-2＜x1＜-1，∴-2＜2-x2＜-1，∴3＜x2＜4，故①正确；
②由图得抛物线开口向上，∴a＞0，∵二次函数的图象关于直线x=1对称，∴，∴b=-2a，∴3a+2b=3a+2×（-2a）=-a＜0，故②错误；
③由图得抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，由①得-2＜x1＜-1，3＜x2＜4，结合图象，∴x=1时，y=a+b+c＜0，x=-1时，y=a-b+c＜0，∴2a+2c＜0，即a+c＜0，∴b2-4ac＞a+c，即b2＞a+c+4ac，故③正确；
④由②得a＞0，b=-2a，∴b＜0，函数图象与y轴交于负半轴，∴c＜0；由②得b=-2a，∴a=，由③得，x=-1时，y=a-b+c＜0，∴-b+c＜0，解得：c＜；∴b＞c，∴a＞b＞c，故④正确；
⑤∵函数图象开口向上，对称轴是x=1，∴x=1时，ymin=a+b+c，∴当x=m时，y=am2+bm+c≥ymin，∴am2+bm+c≥a+b+c，am2-a≥b-bm，a（m+1）（m-1）≥b（1-m），故⑤错误；
综上所述，①③④正确.
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的对称轴得，代入-2＜x1＜-1即可判断①；由开口方向得a＞0，由对称轴得b=-2a，代入3a+2b，即可判断②；根据抛物线与x轴的交点和x=-1时的函数的取值，即可判断③；根据抛物线的开口方向、对称轴，与y轴的交点以及a-b+c<0，即可判断④；根据图象可判断当x=1时，y有最小值为a+b+c，又可求出x=m时，y=am2+bm+c≥ymin，从而am2+bm+c≥a+b+c，解得a（m+1）（m-1）≥b（1-m），即可判断⑤.
10．【答案】B
【知识点】实数的绝对值
【解析】【解答】解：对，，，进行“差绝对值运算”得：，
故正确；
对，，进行“差绝对值运算”得：，
表示的是数轴上点到和的距离之和，
的最小值为，
，，的“差绝对值运算”的最小值是：，故不正确；
对，，进行“差绝对值运算”得：，
当，，，；
当，，，；
当，，，；
当，，，；
当，，，；
当，. ，，；
当，，，；
当，，，；
，，的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有种，
故不正确，
综上，故只有个正确的．
故选：．
【分析】①根据已知给出的“差绝对值运算”的运算方法进行计算，即可判断；
②根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，再根据绝对值求最值的方法，即可判定；
③首先根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，再a、b、c的大小关系分类讨论，化简绝对值符号，即可判定.
11．【答案】
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵函数在实数范围内有意义，
∴，
解得：x≥4且x≠3，
∴x≥4.
故答案为：x≥4.
【分析】根据二次根式被开方数大于或等于0，分母不等于0，解之即可得答案.
12．【答案】72
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵正五边形被半径分为5个全等的三角形,且每个三角形的顶角为72 ，
正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合,最小的旋转角度数是72 .
故答案为：72.
【分析】根据正五边形的性质得出该五边形的中心角是根据旋转的性质，最小旋转角就是正五边形的中心角，从而即可得出答案.
13．【答案】
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB∥EF∥CD，
∴，
∵AF=AO+OF=3，FD=2，
∴.
故答案为：.
【分析】根据平行线分线段成比例定理得，代入数据即可求解.
14．【答案】
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：列表如下：
0 2 -3
0
-1
2
-3
由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中点在第四象限内的结果数有2种，
∴点在第四象限内的概率为，
故答案为：.
【分析】利用已知可知此事件是抽取不放回，列表，可得到所有的可能的结果数及点A在第四象限的情况数，然后利用概率公式进行计算，可求出结果.
15．【答案】
【知识点】扇形面积的计算；图形的旋转
【解析】【解答】解：∵ Rt△ABC中∠ACB=90°，AC=BC=3，
∴∠CAB=∠CBA=45°，AB=，
∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A'B'C'，
∴S△A'B'C'=S△ABC=×AC×BC=×3×3=，
S扇形CBC'=，S扇形ABA'=，
∴S阴影=S△ABC+S扇形ABA'-S△A'B'C'-S扇形CBC'=.
故答案为：.
【分析】根据△ABC是等腰直角三角形得∠CAB=∠CBA=45°，由于旋转可得阴影部分的面积为S△ABC+S扇形ABA'-S△A'B'C'-S扇形CBC'.
16．【答案】
【知识点】全等三角形的应用；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=∠A=∠C=90°，AD=CD，
∴∠EDC+∠ADE=90°，
∵DG⊥EF，
∴∠ADG+∠DFE=90°，
∵DE=EF，
∴∠ADE=∠DFE，
∴∠EDC=∠ADG，
在△ADG和△CDE中，
，
∴△ADG≌△CDE（ASA）
∴DG=DE，
在Rt△DEH中，DE=DG=DH+GH=6，DH=4，
∴EH=.
故答案为：.
【分析】先根据正方形的性质、DG⊥EF得到∠EDC+∠ADE=90°，∠ADG+∠DFE=90°，再根据等边对等角得到∠ADE=∠DFE，接着根据等角的余角相等证出∠EDC=∠ADG，从而利用AAS证得△ADG和△CDE全等，得出DE的长，在Rt△DHE中根据勾股定理即可求出HE的长.
17．【答案】16
【知识点】分式方程的解及检验；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：不等式组，
由①得：3（y+1）-2（y-1）＞6， 3y+3-2y+2＞6， y＞1，
由②得：1-y≥6-2a，-y≥5-2a，y≤2a-5，
∵不等式组有解，
∴1＜ y≤2a-5，即2a-5＞1，
∴a＞3，
解分式方程，
16+2（x-4）=ax ，
16+2x-8=ax ，
（2-a）x=-8 ，
x=，
∵分式方程有正整数解，且x≠4，x≠0，
∴a-2=1或4或8，
∴a=3或6或10，
综上所述，a=6或10，
∴符合条件的所有整数a的和为16.
故答案为：16.
【分析】先根据关于y的不等式组有解，解得：a>3，再根据分式方程的解为正整数解，求得a=3或6或10，所以符合题意的整数a的值有6，10，即和为16.注意分式方程要验根x≠4，x≠0.
18．【答案】9；5438
【知识点】因式分解的应用；定义新运算
【解析】【解答】解：由题意知，
，
100d2+c2+20dc-（100c2+d2+20dc）=1001a+110b，
99d2-99c2=1001a+110b，
左右同时除以11得：9d2-9c2=91a+10b，
∴9d2-9c2-91a-10b=0
左右同时加（a+b）得，
a+b=9d2-9c2-90a-9b，
即，
∵a，b，c，d是整数，
∴a+b是9的倍数，
又，，，，得，
得a+b=9或18，
∵，，，，且，
∴当c=1，d=2时，（d2-c2）min=3，当c=1，d=9时，（d2-c2）max=80，
得，
当a+b=18时，a=9，b=9，代入9d2-9c2-91a-10b=0得d2-c2=101，不符合题意舍去，
∴a+b=9，
把a+b=9代入9d2-9c2-91a-10b=0得，
∵，
∴3≤9a+10≤80，
分类讨论：
根据为千位数字，，可知越小，越大，越大，
当时，不符合题意；
当时，不符合题意；
当时，不能分成，不符合题意；
当时，，解得，不符合题意；
当时，，解得，，符合题意；
则当为时，是满足条件的最大值．
故答案为：9；5438.
【分析】由题意知，，整理变形得，得a+b是9的倍数，又根据题目中的取值范围，得a+b=9，，分类讨论：根据a为千位数字， a+b=9，可知b越小，a越大， n越大，当a=9时，9a+10=91，不符合题意；以此类推，当a=5时，利用二元一次方程组进行解答，符合题意，即可求解.
19．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】实数的运算；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据实数混合运算法则进行计算即可.
（2）先根据多项式乘多项式的法则进行计算，再去括号、合并同类项即可.
20．【答案】解：
，
是整数，且满足，
为，，，，
要使分式有意义，必须，，，，
所以不能为，，，，
所以取，
当时，原式．
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】先根据分式混合运算法则进行计算化简，再根据已知条件得到a取-1，0，1，2，最后根据分式有意义的条件得a≠-1，1，，0，从而得到a=2，代入即可求解.
21．【答案】（1）解：八年级等级人数为：人
补全条形统计图如图：
七年级名学生的成绩分人数由人，人数最多，
七年级学生打字成绩众数，
因为八年级抽取的名学生的打字成绩从小到大排在中间的两个数分别是，，
八年级学生打字成绩中位数；
（2）解：八年级的学生上机操作能力更好，理由：八年级的平均成绩好于七年级，中位数也大于七年级，众数也大于七年级，故八年级的学生上机操作能力更好；
（3）解：人，
答：两个年级打字成绩优秀的学生共有人．
【知识点】用样本估计总体；条形统计图；中位数；众数
【解析】【分析】（1）由总人数为20人，用总人数减去其他各组的人数得C等人数，即可补全条形统计图；根据中位数、众数的定义即可求出a、b的值.
（2）根据表格中的数据，可以得到哪个年级的学生上机操作能力更好，并说明理由；
（3）根据表中数据得到七、八年级的优秀比例，然后用此去估计总体中的优秀人数.
22．【答案】（1）解：设小红跑步速度是，则小明跑步速度是，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：小明跑步速度是，小红跑步速度是；
（2）解：设小明从地到地锻炼共用分钟，
根据题意得：，
整理得：，
解得：不符合题意，舍去，．
答：小明从地到地锻炼共用分钟．
【知识点】一元二次方程的其他应用；分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）设小红跑步速度是xm/min，则小明跑步速度是1.2m/min，根据小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地可列出方程，解方程即可得答案.
（2）设小明从A地到C地锻炼共用y分钟，根据在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，可列出关于y的一元二次方程，解方程取其符合题意的值，即可求解.
23．【答案】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点，
，，
，
，
，
设直线的解析式为，
把、的坐标代入得，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：存在，
令，则，
解得，
，
，
，
，
，
，. ，
∴CD=CE，
∴S△QCE=S△QCD=92，
设Q(m，m+4)，
当Q在BC的下方时，S△BCQ=12×3×( m 4)=32，
∴m= 5，
∴此时Q( 5， 1)；
当Q在BC的上方时，S△BCQ=12×3×(m+4)=152，
∴m=1，
∴此时Q(1，5)；
综上，点Q的坐标为( 5， 1)或(1，5)．
【知识点】一次函数图象与几何变换；待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】（1）由直线l1的解析式求得A的坐标，根据AO=2OD得D的坐标，利用待定系数法即可求解；
（2）求得 =，然后根据D、E的坐标可得CD=CE，所以 ， 从而当在的下方时， S△BCQ=S△QCE=，当在的上方时， S△BCQ=S△QCE=， 设， 题意得到S△BCQ=××BC，求得m，即可求解.
24．【答案】（1）解：如图，，即为所求；
（2）证明：
，
平分
四边形是平行四边形
平行四边形是菱形一组邻边相等的平行四边形是菱形
【知识点】菱形的判定；尺规作图的定义
【解析】【分析】（1）根据尺规作图的方法作出图形即可.
（2）先根据平行线的性质证明AM∥BN，再由角平分线与作图AD=AB得到AD=BC，从而一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边ABCD是平行四边形，再以一组邻边相等的平行四边形是菱形得证.
25．【答案】（1）解：，点为中点，
，，
在中，
，，
，
点以每秒的速度匀速运动到点，运动时间为秒，
点运动的路程为，
当点在上，即当时，
，
，
当点在上时，即当时，
，
过点作于点，
，
，
∽，
，
即，
，
，
与的函数关系式为：
列表如下：
函数图象如下：
（2）解：答案不唯一，比如：
当时，随的增大而增大，
当时，随的增大而减小；
只要写出一条即可；
（3）或
【知识点】动点问题的函数图象；三角形的综合；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：，
直线时，与图象交点的横坐标就是要求的的值，
观察图象，当时，或．
故答案为：或答案不唯一，只要误差不超过均可．
【分析】( 1 )点P在DC上即当时，利用三角形面积公式得，当点在上时，即当时，利用三角形面积公式得.
( 2 )从函数的某一方面性质，比如增减性写出一条即可.
( 3 )根据函数图象，利用关系y=AD，由图象找出x的对应值即可.
26．【答案】（1）解：点的坐标为，抛物线的对称轴为直线，则点，
设抛物线的表达式为：，
即，
即，
解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）解：由点、、的坐标知，，，，
则为直角三角形且为直角，
，为直角，则，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
同理可得：直线的表达式为：，直线的表达式为：，
设点，则点，
，
则直线的表达式为：，
联立得：，
解得：，
则面积
，
，故面积有最大值，最大值为，
此时，，点；
（3）存在，点的坐标为或
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：存在，理由：
设抛物线沿向右个单位，则向上平移个单位，
则平移后的抛物线表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
解得：，
则新抛物线的表达式为：，
则新抛物线的对称轴为，
则设点，点，
由点、的坐标得，，
当为菱形的边时，则，
即，
解得：或，
即点的坐标为或，
当为菱形的边时，的中点即为的中点，
由中点坐标公式得：，
则点的坐标为或
【分析】( 1 )利用对称轴求出点A的坐标，再用待定系数法即可求解；
（2）利用A、B、C及BE∥AC求出AC、BE、BC的表达式， 设点，则点， 再根据DF∥BC求出DF的表达式，接着用DF、AC的表达式，求出点D的横坐标，利用△FDP面积=×FP×（)，即可求解；
( 3 )设抛物线沿CB向右平移t个单位，则向上平移2t个单位，则平移后的抛物线表达式为：，得到新抛物线的对称轴是，再利用菱形的性质即可求解.
27．【答案】（1）解：如图所示，将绕点顺时针旋转，得到，连接，，
，，
，，
≌，
，，
，
是直角三角形，
把绕点旋转得到，
是等腰直角三角形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
设，则，
在中，，
即，
解得：，，
或；
（2）证明：如图所示，
延长至，使得，连接，，
则是等腰直角三角形，则，
，
，
又，，
，
，
≌，
，
是的中点，是的中点，
，
即；
（3）．
【知识点】图形的旋转；三角形的综合
【解析】【解答】解：如图所示，连接，过点作于点，
，都是等腰直角三角形，
，
又，
，
∽，
，
，
，
过点作交的延长于点，则在直线上运动，
则四边形是正方形，
，是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，
，
又，
，
∽，
，
，
延长交的延长线于点，则是等腰直角三角形，
则在上运动，
，
，，
，
，
把沿着翻折到的同一平面得，
，
在以为圆心，为半径的上运动，
当取最小值时，，，三点共线，
又在直线上运动，
当时，取最小值，
．
如图所示，过点作，设交于点，
，，
，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
．
【分析】( 1 )将CQ绕点C顺时针旋转90°，得到CP，连接PB，PD，得出△ACQ≌△BCP，证明△QCD≌△PCD，从而证明∠PBD=90°，因此，在Rt△DBP中，设BP=AQ=x，BD=7-x，PD=DQ=5，勾股定理建立方程，解方程即可求解.
（2）延长ED至G，使得DG=ED，连接GC， GB，证明△ACE≌△BCG，从而AE=BG，因为DF是△EBG的中位线，即可得证.
（3）连接AE，过点C作CK⊥AB于点K，证明△ACE∽△KCD，过点B作BT⊥BC交AE的延长于点T，则E在直线AT上运动，证明△ABE∽△TBH，得∠HTB=45°，TH∥AB，延长TH交CB的延长线于点S，则△TSB是等腰直角三角形，则H在ST上运动，根据翻折得△MQN，所以M在以Q为圆心，1为半径的⊙Q上运动，当H，Q，M三点共线时， HM取最小值，又H在直线ST上运动，当QH⊥TS时，HM取最小值，得出，过点Q作QH'⊥TS，设QH交AB于点R，证明Q'H⊥AB，在Rt△RMN中，设RN=a，，MN=，勾股定理建立方程，解方程即可求a，得出RN=，然后根据三角形的面积公式进行计算即可求解.
1 / 1重庆市巴南区科学城中学2023-2024学年九年级上学期数学开学考试试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023九上·巴南开学考） 下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】生活中的轴对称现象；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、该标志图案是轴对称图形，也是中心对称图形，A符合题意；
B、该标志图案是轴对称图形，不是中心对称图形，B不符合题意；
C、该标志图案是中心对称图形，不是轴对称图形，C不符合题意；
D、该标志图案是轴对称图形，不是中心对称图形，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，进行逐一判断即可.
2．（2023九上·巴南开学考） 要从的图象得到直线，就要将直线（ ）
A．向上平移个单位 B．向下平移个单位
C．向上平移个单位 D．向下平移个单位
【答案】A
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：直线化为+，
∴把直线向上平移个单位得直线.
故答案为：A.
【分析】把直线整理得：+，一次函数k值不变，只常数项改变，那么是进行了上下平移，根据上加下减得是向上平移个单位.
3．（2023九上·巴南开学考） 如图，在中，是边上一点，过点作交于点，若：：，则：的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵AD：DB=3：1，
∴AD：AB=3：4，
∴.
故答案为：D.
【分析】由DE∥BC可得△ADE∽△ABC，结合AD：DB=3：1根据相似三角形的性质即可求解.
4．（2021·滨海模拟）如图，在 中， ，将 绕点 逆时针旋转得到 ，此时使点 的对应点 恰好在 边上，点 的对应点为 ， 与 交于点 ，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
，不能得 ，故A不符合题意；
，不能得 ，故B不符合题意；
不一定等于 ，即 不一定平行于AC，不能得 ，故C不符合题意；
， ，可得 ，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据 和旋转的性质对每个选项一一判断求解即可。
5．（2023九上·巴南开学考）如图，内接于，是的中点，连接，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接OB，
∵ E是的中点，
∴，
∴∠BAE=∠CAE，
∵∠BAC=70°，
∴∠BAE=∠CAE=35°，
∵，
∴∠BOE=2∠BAE=70°，
∵OB=OE，
∴∠OEB=∠OBE==55°.
故答案为：D.
【分析】根据E是的中点得，利用等弧所对的圆周角相等得∠BAE=∠CAE=35°，由圆周角定理得∠BOE=2∠BAE=70°，再由半径相等得OB=OE，根据等边对等角和三角形的内角和定理即可求解.
6．（2023九上·巴南开学考） 如图，在菱形中，对角线与交于点，在上取一点，使得，，，则长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，
在Rt△AOB中，OA=，AB=10，
∴OB=，
∴BD=2OB=16，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵AE=BE，
∴∠ABD=∠BAE，
∴∠BAE=∠ADB，
在△ABE和△DBA中，
∴△ABE∽△DBA，
∴，
∴，即BE=.
故答案为：A.
【分析】根据菱形的性质和勾股定理得OB长，接着证明△ABE∽△DBA，从而得，代入线段长度求解即可.
7．（2023九上·巴南开学考） 如图，是的直径，为上一点，垂直平分交于点，过点的切线与的延长线交于点若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理；切线的性质；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，连接AD，OD，
∵BD垂直平分OE，
∴OB=EB，
∵OB=OE，
∴△OBE是等边三角形，
∴∠OBD=∠EBD=∠OBE=×60°=30°，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD=∠EBD=30°，
∴OD∥BC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，
∴BC⊥CD，即∠C=90°，
在Rt△BCD中，∠DBC=30°，CD=，
∴BD=2CD=，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，∠ABD=30°，BD=，
∴cos∠ABD=，
∴AB===4.
故答案为：A.
【分析】连接AD，OD，根据垂直平分线的性质和半径相等得△OBE是等边三角形，三线合一得∠ODB=∠OBD=∠EBD=30°，从而OD∥BC，利用切线的性质和平行得∠C=90°，在Rt△BCD中利用含30°的直角三角形的性质得BD长，由直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，在Rt△ABD中，利用30°的余弦值即可求解.
8．（2023九上·巴南开学考） 如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由二次函数图象得：开口向上得a＞0，对称轴在y轴右侧得ab＜0，即b＜0，与y轴交于负半轴得c＜0，由一次函数图象得：ac＞0，b＞0，b值互相矛盾，A不符合题意；
B、由二次函数图象得：开口向上得a＞0，对称轴在y轴左侧得ab＞0，即b＞0，与y轴交于正半轴得c＞0，由一次函数图象得：ac＞0，b＞0，两者相一致，B符合题意；
C、由二次函数图象得：开口向下得a＜0，对称轴在y轴右侧得ab＜0，即b＞0，与y轴交于正半轴得c＞0，由一次函数图象得：ac＜0，b＜0，b值互相矛盾，C不符合题意；
D、由二次函数图象得：开口向下得a＜0，对称轴在y轴左侧得ab＞0，即b＜0，与y轴交于正半轴得c＞0，由一次函数图象得：ac＞0，b＞0，b值互相矛盾，D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】先分别由二次函数、一次函数的图象得到字母系数的正负，再两相比较看是否一致.
9．（2023九上·巴南开学考） 如图，二次函数的图象关于直线对称，与轴交于，两点，若，则下列四个结论：，，，，正确结论的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①∵二次函数的图象关于直线x=1对称，∴，∴x1=2-x2，
∵-2＜x1＜-1，∴-2＜2-x2＜-1，∴3＜x2＜4，故①正确；
②由图得抛物线开口向上，∴a＞0，∵二次函数的图象关于直线x=1对称，∴，∴b=-2a，∴3a+2b=3a+2×（-2a）=-a＜0，故②错误；
③由图得抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，由①得-2＜x1＜-1，3＜x2＜4，结合图象，∴x=1时，y=a+b+c＜0，x=-1时，y=a-b+c＜0，∴2a+2c＜0，即a+c＜0，∴b2-4ac＞a+c，即b2＞a+c+4ac，故③正确；
④由②得a＞0，b=-2a，∴b＜0，函数图象与y轴交于负半轴，∴c＜0；由②得b=-2a，∴a=，由③得，x=-1时，y=a-b+c＜0，∴-b+c＜0，解得：c＜；∴b＞c，∴a＞b＞c，故④正确；
⑤∵函数图象开口向上，对称轴是x=1，∴x=1时，ymin=a+b+c，∴当x=m时，y=am2+bm+c≥ymin，∴am2+bm+c≥a+b+c，am2-a≥b-bm，a（m+1）（m-1）≥b（1-m），故⑤错误；
综上所述，①③④正确.
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的对称轴得，代入-2＜x1＜-1即可判断①；由开口方向得a＞0，由对称轴得b=-2a，代入3a+2b，即可判断②；根据抛物线与x轴的交点和x=-1时的函数的取值，即可判断③；根据抛物线的开口方向、对称轴，与y轴的交点以及a-b+c<0，即可判断④；根据图象可判断当x=1时，y有最小值为a+b+c，又可求出x=m时，y=am2+bm+c≥ymin，从而am2+bm+c≥a+b+c，解得a（m+1）（m-1）≥b（1-m），即可判断⑤.
10．（2023九上·巴南开学考） 对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”，例如，对于，，进行“差绝对值运算”，得到：．
对，，，进行“差绝对值运算”的结果是；
，，的“差绝对值运算”的最小值是；
，，的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有种；
以上说法中正确的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【知识点】实数的绝对值
【解析】【解答】解：对，，，进行“差绝对值运算”得：，
故正确；
对，，进行“差绝对值运算”得：，
表示的是数轴上点到和的距离之和，
的最小值为，
，，的“差绝对值运算”的最小值是：，故不正确；
对，，进行“差绝对值运算”得：，
当，，，；
当，，，；
当，，，；
当，，，；
当，，，；
当，. ，，；
当，，，；
当，，，；
，，的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有种，
故不正确，
综上，故只有个正确的．
故选：．
【分析】①根据已知给出的“差绝对值运算”的运算方法进行计算，即可判断；
②根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，再根据绝对值求最值的方法，即可判定；
③首先根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，再a、b、c的大小关系分类讨论，化简绝对值符号，即可判定.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11．（2023九上·巴南开学考） 若函数在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵函数在实数范围内有意义，
∴，
解得：x≥4且x≠3，
∴x≥4.
故答案为：x≥4.
【分析】根据二次根式被开方数大于或等于0，分母不等于0，解之即可得答案.
12．（2019九上·马山期中）把一个正五边形绕着它的中心旋转，至少旋转 度，才能与原来的图形重合.
【答案】72
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵正五边形被半径分为5个全等的三角形,且每个三角形的顶角为72 ，
正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合,最小的旋转角度数是72 .
故答案为：72.
【分析】根据正五边形的性质得出该五边形的中心角是根据旋转的性质，最小旋转角就是正五边形的中心角，从而即可得出答案.
13．（2023九上·巴南开学考） 如图，直线，交于点，，若，，，则的值为 ．
【答案】
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB∥EF∥CD，
∴，
∵AF=AO+OF=3，FD=2，
∴.
故答案为：.
【分析】根据平行线分线段成比例定理得，代入数据即可求解.
14．（2023九下·沙坪坝月考）有四张除数字外其它完全一样的卡片，正面写有数字0，，2，.把它们全部背面朝上，抽出一张记为数m作为点A的横坐标，不放回，再抽一张记为数n作为点A的纵坐标.则点在第四象限内的概率为 .
【答案】
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：列表如下：
0 2 -3
0
-1
2
-3
由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中点在第四象限内的结果数有2种，
∴点在第四象限内的概率为，
故答案为：.
【分析】利用已知可知此事件是抽取不放回，列表，可得到所有的可能的结果数及点A在第四象限的情况数，然后利用概率公式进行计算，可求出结果.
15．（2023九上·巴南开学考） 如图，中，，将绕点逆时针旋转得到当点恰好落在斜边上时图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【知识点】扇形面积的计算；图形的旋转
【解析】【解答】解：∵ Rt△ABC中∠ACB=90°，AC=BC=3，
∴∠CAB=∠CBA=45°，AB=，
∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A'B'C'，
∴S△A'B'C'=S△ABC=×AC×BC=×3×3=，
S扇形CBC'=，S扇形ABA'=，
∴S阴影=S△ABC+S扇形ABA'-S△A'B'C'-S扇形CBC'=.
故答案为：.
【分析】根据△ABC是等腰直角三角形得∠CAB=∠CBA=45°，由于旋转可得阴影部分的面积为S△ABC+S扇形ABA'-S△A'B'C'-S扇形CBC'.
16．（2023九上·巴南开学考）在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、AD边上，连接DE、EF，DE=EF，交于点，为垂足，，，则线段的长度为 ．
【答案】
【知识点】全等三角形的应用；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=∠A=∠C=90°，AD=CD，
∴∠EDC+∠ADE=90°，
∵DG⊥EF，
∴∠ADG+∠DFE=90°，
∵DE=EF，
∴∠ADE=∠DFE，
∴∠EDC=∠ADG，
在△ADG和△CDE中，
，
∴△ADG≌△CDE（ASA）
∴DG=DE，
在Rt△DEH中，DE=DG=DH+GH=6，DH=4，
∴EH=.
故答案为：.
【分析】先根据正方形的性质、DG⊥EF得到∠EDC+∠ADE=90°，∠ADG+∠DFE=90°，再根据等边对等角得到∠ADE=∠DFE，接着根据等角的余角相等证出∠EDC=∠ADG，从而利用AAS证得△ADG和△CDE全等，得出DE的长，在Rt△DHE中根据勾股定理即可求出HE的长.
17．（2023九上·巴南开学考） 若整数使得关于的分式方程有正整数解，且使得关于的不等式组有解，那么符合条件的所有整数的和为 ．
【答案】16
【知识点】分式方程的解及检验；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：不等式组，
由①得：3（y+1）-2（y-1）＞6， 3y+3-2y+2＞6， y＞1，
由②得：1-y≥6-2a，-y≥5-2a，y≤2a-5，
∵不等式组有解，
∴1＜ y≤2a-5，即2a-5＞1，
∴a＞3，
解分式方程，
16+2（x-4）=ax ，
16+2x-8=ax ，
（2-a）x=-8 ，
x=，
∵分式方程有正整数解，且x≠4，x≠0，
∴a-2=1或4或8，
∴a=3或6或10，
综上所述，a=6或10，
∴符合条件的所有整数a的和为16.
故答案为：16.
【分析】先根据关于y的不等式组有解，解得：a>3，再根据分式方程的解为正整数解，求得a=3或6或10，所以符合题意的整数a的值有6，10，即和为16.注意分式方程要验根x≠4，x≠0.
18．（2023九上·巴南开学考） 一个两位正整数，将其个位与十位上的数交换位置后，放在原数的后面组成一个四位数，那么我们把这个四位数称为“顺利数”，并规定为交换位置后组成的两位数与原两位数的平方差例如：将交换位置后为，则是一个“顺利数”，且，若四位正整数，的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，其中，，，为整数，，，，，且，以的十位数字和个位数字组成两位数，交换位置后放在此两位数之后组成的数为“顺利数”，若，则的值为 ；满足条件的所有数的最大值为 ．
【答案】9；5438
【知识点】因式分解的应用；定义新运算
【解析】【解答】解：由题意知，
，
100d2+c2+20dc-（100c2+d2+20dc）=1001a+110b，
99d2-99c2=1001a+110b，
左右同时除以11得：9d2-9c2=91a+10b，
∴9d2-9c2-91a-10b=0
左右同时加（a+b）得，
a+b=9d2-9c2-90a-9b，
即，
∵a，b，c，d是整数，
∴a+b是9的倍数，
又，，，，得，
得a+b=9或18，
∵，，，，且，
∴当c=1，d=2时，（d2-c2）min=3，当c=1，d=9时，（d2-c2）max=80，
得，
当a+b=18时，a=9，b=9，代入9d2-9c2-91a-10b=0得d2-c2=101，不符合题意舍去，
∴a+b=9，
把a+b=9代入9d2-9c2-91a-10b=0得，
∵，
∴3≤9a+10≤80，
分类讨论：
根据为千位数字，，可知越小，越大，越大，
当时，不符合题意；
当时，不符合题意；
当时，不能分成，不符合题意；
当时，，解得，不符合题意；
当时，，解得，，符合题意；
则当为时，是满足条件的最大值．
故答案为：9；5438.
【分析】由题意知，，整理变形得，得a+b是9的倍数，又根据题目中的取值范围，得a+b=9，，分类讨论：根据a为千位数字， a+b=9，可知b越小，a越大， n越大，当a=9时，9a+10=91，不符合题意；以此类推，当a=5时，利用二元一次方程组进行解答，符合题意，即可求解.
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（2023九上·巴南开学考） 计算：
（1）计算：；
（2）．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】实数的运算；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据实数混合运算法则进行计算即可.
（2）先根据多项式乘多项式的法则进行计算，再去括号、合并同类项即可.
20．（2023九上·巴南开学考） 先化简再求值；，其中是整数，且满足．
【答案】解：
，
是整数，且满足，
为，，，，
要使分式有意义，必须，，，，
所以不能为，，，，
所以取，
当时，原式．
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】先根据分式混合运算法则进行计算化简，再根据已知条件得到a取-1，0，1，2，最后根据分式有意义的条件得a≠-1，1，，0，从而得到a=2，代入即可求解.
21．（2023九上·巴南开学考） 为进一步提高学生的上机操作能力，某校在微机室内开展了计算机打字比赛现从七、八年级中各随机抽取名学生的比赛成绩进行整理和分析，成绩用为每分钟打字个数表示，共分五个等级，，，，．
七年级抽取的名学生的成绩分别是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
八年级抽取的学生在等级的成绩分别是：，，，，，，，，，，
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请补全条形统计图，并直接写出，的值；
（2）根据以上数据分析，你认为哪个年级的学生上机操作能力更好，并说明理由写出一条理由即可；
（3）已知该校七、八年级各有名学生参与了计算机打字比赛，请估计两个年级打字成绩优秀的学生共有多少人成绩的为优秀？
【答案】（1）解：八年级等级人数为：人
补全条形统计图如图：
七年级名学生的成绩分人数由人，人数最多，
七年级学生打字成绩众数，
因为八年级抽取的名学生的打字成绩从小到大排在中间的两个数分别是，，
八年级学生打字成绩中位数；
（2）解：八年级的学生上机操作能力更好，理由：八年级的平均成绩好于七年级，中位数也大于七年级，众数也大于七年级，故八年级的学生上机操作能力更好；
（3）解：人，
答：两个年级打字成绩优秀的学生共有人．
【知识点】用样本估计总体；条形统计图；中位数；众数
【解析】【分析】（1）由总人数为20人，用总人数减去其他各组的人数得C等人数，即可补全条形统计图；根据中位数、众数的定义即可求出a、b的值.
（2）根据表格中的数据，可以得到哪个年级的学生上机操作能力更好，并说明理由；
（3）根据表中数据得到七、八年级的优秀比例，然后用此去估计总体中的优秀人数.
22．（2023九上·巴南开学考） 周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从地出发，匀速跑向距离处的地，小明的跑步速度是小红跑步速度的倍，那么小明比小红早分钟到达地．
（1）求小明、小红的跑步速度；
（2）若从地到达地后，小明以跑步形式继续前进到地整个过程不休息，据了解，在他从跑步开始前分钟内，平均每分钟消耗热量卡路里，超过分钟后，每多跑步分钟，平均每分钟消耗的热量就增加卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗卡路里的热量，小明从地到地锻炼共用多少分钟．
【答案】（1）解：设小红跑步速度是，则小明跑步速度是，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：小明跑步速度是，小红跑步速度是；
（2）解：设小明从地到地锻炼共用分钟，
根据题意得：，
整理得：，
解得：不符合题意，舍去，．
答：小明从地到地锻炼共用分钟．
【知识点】一元二次方程的其他应用；分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）设小红跑步速度是xm/min，则小明跑步速度是1.2m/min，根据小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地可列出方程，解方程即可得答案.
（2）设小明从A地到C地锻炼共用y分钟，根据在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，可列出关于y的一元二次方程，解方程取其符合题意的值，即可求解.
23．（2023九上·巴南开学考） 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点，．
（1）求直线的解析式；
（2）直线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点，
，，
，
，
，
设直线的解析式为，
把、的坐标代入得，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：存在，
令，则，
解得，
，
，
，
，
，
，. ，
∴CD=CE，
∴S△QCE=S△QCD=92，
设Q(m，m+4)，
当Q在BC的下方时，S△BCQ=12×3×( m 4)=32，
∴m= 5，
∴此时Q( 5， 1)；
当Q在BC的上方时，S△BCQ=12×3×(m+4)=152，
∴m=1，
∴此时Q(1，5)；
综上，点Q的坐标为( 5， 1)或(1，5)．
【知识点】一次函数图象与几何变换；待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】（1）由直线l1的解析式求得A的坐标，根据AO=2OD得D的坐标，利用待定系数法即可求解；
（2）求得 =，然后根据D、E的坐标可得CD=CE，所以 ， 从而当在的下方时， S△BCQ=S△QCE=，当在的上方时， S△BCQ=S△QCE=， 设， 题意得到S△BCQ=××BC，求得m，即可求解.
24．（2023九上·巴南开学考） 如图，．
（1）用尺规完成基本作图：作的角平分线交于点，在射线上截取，连接保留作图痕迹，不写作法、不下结论．
（2）求证：四边形为菱形．请补全下面的证明过程
证明：
▲
平分
▲
▲
四边形是平行四边形
平行四边形是菱形填推理依据．
【答案】（1）解：如图，，即为所求；
（2）证明：
，
平分
四边形是平行四边形
平行四边形是菱形一组邻边相等的平行四边形是菱形
【知识点】菱形的判定；尺规作图的定义
【解析】【分析】（1）根据尺规作图的方法作出图形即可.
（2）先根据平行线的性质证明AM∥BN，再由角平分线与作图AD=AB得到AD=BC，从而一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边ABCD是平行四边形，再以一组邻边相等的平行四边形是菱形得证.
25．（2023九上·巴南开学考）如图，在等腰中，，，点为中点，点从点出发，沿方向以每秒的速度匀速运动到点设点的运动时间为秒，的面积为．
根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化规律进行探究．
（1）直接写出与的函数关系式，注明的取值范围，并画出的函数图象；
（2）观察的函数图象，写出一条该函数的性质；
（3）观察图象，直接写出当时，的值 ▲ 保留位小数，误差不超过
【答案】（1）解：，点为中点，
，，
在中，
，，
，
点以每秒的速度匀速运动到点，运动时间为秒，
点运动的路程为，
当点在上，即当时，
，
，
当点在上时，即当时，
，
过点作于点，
，
，
∽，
，
即，
，
，
与的函数关系式为：
列表如下：
函数图象如下：
（2）解：答案不唯一，比如：
当时，随的增大而增大，
当时，随的增大而减小；
只要写出一条即可；
（3）或
【知识点】动点问题的函数图象；三角形的综合；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：，
直线时，与图象交点的横坐标就是要求的的值，
观察图象，当时，或．
故答案为：或答案不唯一，只要误差不超过均可．
【分析】( 1 )点P在DC上即当时，利用三角形面积公式得，当点在上时，即当时，利用三角形面积公式得.
( 2 )从函数的某一方面性质，比如增减性写出一条即可.
( 3 )根据函数图象，利用关系y=AD，由图象找出x的对应值即可.
26．（2023九上·巴南开学考） 如图，抛物线与轴交于，两点，点的坐标为，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，连接，过点作交抛物线于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，过点作交直线于点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标；
（3）在第小问的条件下，将原抛物线沿着射线方向平移，平移后的抛物线过点，点在平移后抛物线的对称轴上，点是平面内任意一点，是否存在以、、、为顶点的四边形是以为边的菱形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：点的坐标为，抛物线的对称轴为直线，则点，
设抛物线的表达式为：，
即，
即，
解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）解：由点、、的坐标知，，，，
则为直角三角形且为直角，
，为直角，则，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
同理可得：直线的表达式为：，直线的表达式为：，
设点，则点，
，
则直线的表达式为：，
联立得：，
解得：，
则面积
，
，故面积有最大值，最大值为，
此时，，点；
（3）存在，点的坐标为或
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：存在，理由：
设抛物线沿向右个单位，则向上平移个单位，
则平移后的抛物线表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
解得：，
则新抛物线的表达式为：，
则新抛物线的对称轴为，
则设点，点，
由点、的坐标得，，
当为菱形的边时，则，
即，
解得：或，
即点的坐标为或，
当为菱形的边时，的中点即为的中点，
由中点坐标公式得：，
则点的坐标为或
【分析】( 1 )利用对称轴求出点A的坐标，再用待定系数法即可求解；
（2）利用A、B、C及BE∥AC求出AC、BE、BC的表达式， 设点，则点， 再根据DF∥BC求出DF的表达式，接着用DF、AC的表达式，求出点D的横坐标，利用△FDP面积=×FP×（)，即可求解；
( 3 )设抛物线沿CB向右平移t个单位，则向上平移2t个单位，则平移后的抛物线表达式为：，得到新抛物线的对称轴是，再利用菱形的性质即可求解.
27．（2023九上·巴南开学考） 如图，已知为等腰直角三角形，且，为上一动点，连接，把绕点旋转得到，连接；
（1）如图，交于点，若，，求的长；
（2）如图，连接、，点为中点，求证：；
（3）如图，连接，以为斜边在右侧作以点为直角顶点的等腰，点为上一点且，点为上一动点，把沿着翻折到的同一平面得，连接，若，当取最小值时，请直接写出的值．
【答案】（1）解：如图所示，将绕点顺时针旋转，得到，连接，，
，，
，，
≌，
，，
，
是直角三角形，
把绕点旋转得到，
是等腰直角三角形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
设，则，
在中，，
即，
解得：，，
或；
（2）证明：如图所示，
延长至，使得，连接，，
则是等腰直角三角形，则，
，
，
又，，
，
，
≌，
，
是的中点，是的中点，
，
即；
（3）．
【知识点】图形的旋转；三角形的综合
【解析】【解答】解：如图所示，连接，过点作于点，
，都是等腰直角三角形，
，
又，
，
∽，
，
，
，
过点作交的延长于点，则在直线上运动，
则四边形是正方形，
，是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，
，
又，
，
∽，
，
，
延长交的延长线于点，则是等腰直角三角形，
则在上运动，
，
，，
，
，
把沿着翻折到的同一平面得，
，
在以为圆心，为半径的上运动，
当取最小值时，，，三点共线，
又在直线上运动，
当时，取最小值，
．
如图所示，过点作，设交于点，
，，
，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
．
【分析】( 1 )将CQ绕点C顺时针旋转90°，得到CP，连接PB，PD，得出△ACQ≌△BCP，证明△QCD≌△PCD，从而证明∠PBD=90°，因此，在Rt△DBP中，设BP=AQ=x，BD=7-x，PD=DQ=5，勾股定理建立方程，解方程即可求解.
（2）延长ED至G，使得DG=ED，连接GC， GB，证明△ACE≌△BCG，从而AE=BG，因为DF是△EBG的中位线，即可得证.
（3）连接AE，过点C作CK⊥AB于点K，证明△ACE∽△KCD，过点B作BT⊥BC交AE的延长于点T，则E在直线AT上运动，证明△ABE∽△TBH，得∠HTB=45°，TH∥AB，延长TH交CB的延长线于点S，则△TSB是等腰直角三角形，则H在ST上运动，根据翻折得△MQN，所以M在以Q为圆心，1为半径的⊙Q上运动，当H，Q，M三点共线时， HM取最小值，又H在直线ST上运动，当QH⊥TS时，HM取最小值，得出，过点Q作QH'⊥TS，设QH交AB于点R，证明Q'H⊥AB，在Rt△RMN中，设RN=a，，MN=，勾股定理建立方程，解方程即可求a，得出RN=，然后根据三角形的面积公式进行计算即可求解.
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