4.2.3《 指数函数的应用》教学设计

4.2.3 指数函数的应用
一、教材分析
人民教育出版社《普通高中课程标准实验教科书A》必修第一册4.2指数函数和性质是在学生系统地学习了第一章中的函数概念,掌握了前一节指数与指数幂的运算性质的基础上展开研究的。指数函数的教学按照《教参》要求分三个课时完成。 通过第一课时4.2.1学习指数函数的定义，然后第二课时4.2.2探讨指数函数图像及性质，第三课时4.2.3探讨指数函数性质的应用，从而进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，并且为学习对数函数作好准备。
学情分析
从学生来看，主要体现在三个层面：
知识层面：学生已了解指数函数的概念和简单的指数运算技能，探讨了指数函数图像及性质，通过幂函数的学习掌握了研究函数的一般方法；
能力层面：学生在初中已经掌握了用描点法描绘函数的图象，幂函数的学习提供了按“背景-概念-图象和性质-应用”的顺序研究函数。
情感层面：学生思维活跃，乐于合作，有探究问题的意识，但思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有待于提高。
从条件资源来看，我们有多媒体、几何画板等软件，以及生活中大量的贴合实际的素材展示给学生，帮助学生理解指数函数的深刻内涵。
三、学习目标
1. 知识目标：
掌握指数函数的性质，掌握指数函数性质的应用。
能力目标：
体会从一般到特殊研究问题的方法，能通过数形结合，解决定点、单调性等问题.
素养目标：
发展学生的直观想象和数学抽象，逻辑推理.
四、教学重难点
1. 重点：指数函数的图象和性质及其实际应用
难点：指数函数性质的归纳、概括及其实际应用.
五、教学思路与方法
本节课主要采用问题为载体的任务驱动式教学方法，启发引导学生归纳总结。通过作图识图，培养学生从函数图象中归纳函数性质。通过自主探究与合作探究，通过独立思考，动手操作，培养实践能力；通过小组讨论，培养学生的交流、协作能力。
六、课前准备
PPT，几何画板
七、教学过程
（一）复习导入
1、指数函数的定义？
预设答案：一般的，函数叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域为R.
追问：指数函数对于底数的要求是什么 为什么要这样要求
【设计意图】学生复习回顾指数函数的概念，明确对底数a的限制条件。通过复习指数函数引入指数函数的图象和性质的研究。
2、幂函数的研究过程和方法？
类比幂函数的研究方法和过程研究指数函数：
背景→定义→图象→性质（单调性、奇偶性、特殊点等）→应用
注意：（1）引导学生独立思考，提出研究函数性质的基本思路；
　　 （2）突出数形结合，强调函数图象在研究函数性质中的作用.
（3）通过熟悉的旧知识引入知识，调动学生学习的积极性，用旧方法研究新问题，培养学生类比迁移的学习能力.
3、
探究2.利用“对称性”在同一坐标系中，作图象.
请思考：通过几何画板的演示，并观察以上图象的位置和变化趋势，它们有哪些共性和不同之处？
学生分组完成，教师教师几何画板直观展示
合作探究要求：小组讨论，每个小组推荐一个中心发言人.
注意：①引导学生独立思考，并相互交流，形成对指数函数性质的认识；
　　　 ②培养学生的归纳总结能力及团队合作能力.
探究3.观察这6个图象，试着将它们分类，并完成下表
a>1 0图象
定义域 R
值域 (0，+∞)
性质 过定点 过定点 ，即x＝ 0时，y＝ 1 ；
函数值的变化 当x>0时， ；当x<0时， ； 当x>0时， ；当x<0时， ；
单调性 在R上是增函数 在R上是减函数
列表如下：
预设答案：
1、学生合作探究完成性质表格，小组代表给出答案.教师适当的修改补充，最后用多媒体展示标准答案.
2、本环节既可以培养学生观察，分析，归纳等思维能力，又可以培养学生的合作意识和创新精神，同时也让学生体会到分类讨论、数形结合的数学思想.
探究4.思考：当底数变化时，函数在第一象限图象有何变化规律？
指数函数在y轴右侧的图像，底数越大图像越高.（底大图高）
（二）典型例题与随堂练习
例1 判断函数的单调性。
解：因为
底数
所以 函数在R上是减函数
练习1：
已知指数函数 在R上为减函数，求a的取值范围。
解：因为指数函数在R上为减函数
所以底数0所以2即a的取值范围为（2，3）
例2、比较下列各题中两个值的大小：
预设答案：
【解】（1）函数是增函数，且2.5＜3，则1.72.5＜1.73
（2）函数是减函数，且，则
（3），，
【设计意图】通过例题让学生了解比较大小的方法如：利用单调性比大小；或间接利用中间数.同时进一步加深学生对指数函数的性质的认识.
【方法总结】
（1）构造函数法：比较两个同底数幂的大小时,可以构造一个指数函数,再利用指数函数的单调性即可比较大小.
（2）搭桥比较法：用0或1搭桥。数的特征是不同底不同指。比较两个不同底数幂的大小时,通常引入第三个数作参照.
例3、比较满足下列条件的m,n的大小
(1) ( mn)
(3)(0n) (4)(a>1) (m>n)
(5) (1)当 a>1时，mn
例4、指数函数的图像如下图所示，则底数a,b,c,d与正整数 1共五个数，从小到大的顺序是 ：
0例5：函数(a>0且a≠1)的图像必过定点：
（－1，1） .
练习3： 函数的图象过定点__________________.（1，1）
例6：解不等式
解：因为指数函数 在R上为增函数，
又因 ，
所以 ，解得： ，
所以原不等式的解集为
【设计意图】例3至例6及其变式的探讨，进一步加深学生对指数函数的性质及其应用的认识.
（三）课堂小结：
通过本节课的学习:
1.回扣学习目标：
根据指数函数的图象说明指数函数的性质并能应用。
2.研究函数的过程是什么？内容是什么？
3.你掌握了哪些解题方法？你体会了哪些数学思想？
【设计意图】引导学生从知识层面和思想层面对本节课进行小结。及时梳理复习，加深学生对知识、方法的印象。回顾指数函数的概念、图象及性质，建立指数函数与学习过的其他函数之间的联系，并进一步体会研究具体函数的内容、过程和方法.
布置作业：
必做题：习题4.2 第3、4、5、6题
2、思考题：（见PPT）
【设计意图】采取分层作业的形式帮助不同层次的学生巩固知识，拓展能力。
八、板书设计
4.2.2 指数函数的图象和性质（1）
1.指数函数
2.指数函数的图象和性质
3.例1 例2
4.总结
【设计意图】本节课我采用纲要式的教学板书，把本节内容纲目化，使之提纲挈领、条理清晰、层次分明，使学生一目了然，利于学生对本节内容框架的把握和课后的复习巩固。
九、教学反思：
成功之处：本节课充分利用了现代多媒体教学手段，引用生活实例，将数学与生活问题紧密结合，激发了学生的学习兴趣。学生不仅收获了数学知识，更加懂得了生活中数学所蕴含的道理。思政教育教学效果良好，激发了学生的爱国热情。
在本节课的教学中努力实践以下三点：
引导学生作出指数函数图象，观察图象后总结出指数函数的性质，利用性质解决一系列简单问题和实际问题。
在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。
在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学核心素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。
通过让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，对比总结得到指数函数的性质，让学生体会到对函数的研究方法,将其迁移到其他函数的研究中去。教学中，借助信息技术可以弥补传统教学在直观感、立体感和动态感方面的不足，做到化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率，通过学生自己亲自做图象，对比出指数函数的图象随底数的变化而变化的动态过程，让学生直观观察底数对指数函数性质的影响；在教学过程中通过不断向学生渗透数学思想方法，落实核心素养，让学生感受数学思想方法之美、体会数学思想方法的重要。
存在问题：指数函数性质的应用，以及在具体问题的建模中，学生还需加强引导和练习。