初中数学北师大版九上 4.4.3利用三边判定三角形相似 教案

第3课时　利用三边判定三角形相似
一、教学目标
1．掌握三边成比例的两个三角形相似这个判定定理．
2．会运用本课的判定定理证明三角形相似，会根据已知条件选择合适的判定方法判定三角形相似，并会应用它们解决一些问题．
二、教学重难点
【重点】掌握相似三角形的判定定理3.
【难点】能熟练运用相似三角形的判定定理3.
三、教学方法
讲授法、类比法
四、教学过程
（一）新课导入
1. 什么是相似三角形？在前面的课程中，我们学过哪些判定三角形相似的方法？你认为这些方法是否有其缺点和局限性？
2. 证明三角形全等有哪些方法？你能从中获得证明三角形相似的启发吗？
3. 类似于判定三角形全等的SSS方法，我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？
（二）新课讲授
探究点一：三边成比例的两个三角形相似
画 △ABC 和 △A′B′C′，使，动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形是否相似？
通过测量不难发现∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，又因为两个三角形的边对应成比例，所以 △ABC ∽△A′B′C′.
【归纳】由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理：
三边成比例的两个三角形相似．
判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
解析：因为已知两个三角形的三边长，所以可以考虑根据三边之间的比例关系来判定两个三角形是否相似.
解：在 △ABC 中，AB > BC > CA，在 △ DEF中， DE > EF > FD.
∵，，，
∴.
∴ △ABC ∽ △DEF.
方法总结：已知两个三角形三边的大小，要判断它们是否相似，关键是通过计算来说明三边是否对应成比例.在相似三角形中，最短（长）边与最短（长）边是对应边，所以在判定两个三角形的三边是否成比例时，应先确定边的大小，以便找准对应关系.
探究点二：相似三角形的判定定理3的应用
如图，在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′中，∠C =∠C ′= 90°，且
求证：△ A′B′C′∽△ABC.
证明：由已知条件得 AB = 2 A′B′，AC = 2 A′C′，
∴ BC 2 = AB 2－AC 2 = ( 2 A′B′ )2－( 2 A′C′ )2 = 4 A′B′ 2－ 4 A′C′ 2 = 4 ( A′B′ 2－A′C′ 2 ) = 4 B′C′ 2 = ( 2 B′C′ )2.
∴ BC=2B′C′，
∴ △ A′B′C′∽△ABC. (三边对应成比例的两个三角形相似)
如图，在 △ABC 和 △ADE 中，∠BAD=20°，求∠CAE的度数.
解：∵，
∴ △ABC ∽△ADE (三边成比例的两个三角形相似).
∴∠BAC=∠DAE，∠BAC －∠DAC = ∠DAE －∠DAC，
即 ∠BAD=∠CAE.
∵∠BAD=20°，
∴∠CAE=20°.
（三）课堂练习
1. 如图，若 △ABC∽△ DEF，则 x 的值为 ( C )
A. 20 B. 27 C. 36 D. 45
2. 如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，下列结论正确的是( C )
A. △PAB∽△PCA B. △PAB∽△PDA
C. △ABC∽△DBA D. △ABC∽△DCA
3. 如图，△ABC中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA的中点，求证：△ABC∽△EFD．
证明：∵△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
∴，,,
∴，
∴ △ABC∽△EFD.
4. 如图，某地四个乡镇 A，B，C，D 之间建有公路，已知 AB = 14 km，AD = 28 km，BD = 21 km， DC = 31.5 km，公路 AB 与 CD 平行吗？说出你的理由.
解：公路 AB 与 CD 平行.
∵，
∴ △ABD∽△BDC，
∴∠ABD=∠BDC，
∴AB∥DC.
（四）课堂小结
1．相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似．
2．根据题目的具体情况，选择适当的方法判定三角形相似．
3．本节学习中体现的数学思想：数形结合、分类讨论．
（五）作业布置
完成教材第95页习题
五、板书设计
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