初中数学北师大版九上 4.4.4黄金分割 教案

第4课时　黄金分割
一、教学目标
1.知道并理解黄金分割的定义，熟记黄金比；
2.会找一条线段的黄金分割点；
3.会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点
二、教学重难点
【重点】了解黄金分割的意义，并能运用.
【难点】找黄金分割点和画黄金矩形.
三、教学方法
观察法、讲授法、小组讨论
四、教学过程
（一）新课导入
生活中我们见到过许许多多的图形，形态各异，美观大方.那么这些漂亮的图形你能画出来吗？比如，下图是一个五角星图案，如何找点C把AB分成两段AC和BC，使得画出的图形匀称美观呢？
二、合作探究
探究点一：黄金分割的有关概念
一个五角星如下图所示.
问题：度量C到点A、B的距离，与相等吗？
【概念学习】点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果=，那么称线段AB被点C黄金分割.点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比称为黄金比.
1.计算黄金比.
解：由，得AC2 = AB·BC.
设AB = 1，AC =x,则BC = 1 –x.
∴ x2 = 1 ×（1 -x）.
即 x2 +x – 1 = 0.
解方程得：x1=， x2=
黄金比.
想一想：如果把图中用虚线表示的矩形画成如图所示的矩形ABCD，以矩形ABCD 的宽为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇地发现， 点E是AB 的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？为什么
∵四边形AEFD为正方形，
∴AE＝AD.
∵四边形ABCD为矩形，
∴BC＝AD.
∴AE＝BC.
∵＝，∴＝.
∴点E是AB的黄金分割点，＝.
∴＝.
∴矩形ABCD的宽与长的比是黄金比．
【归纳】宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形.
探究点二：黄金分割的应用
在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比值越接近0.618越给人以美感.小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的
身高为1.60 m，她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美？
解析：想要看起来更美，则鞋底到肚脐的长度与身高之比应为黄金比，此题应根据已知条件求出肚脐到脚底的距离，再求高跟鞋的高度.
解：设肚脐到脚底的距离为x m，根据题意，得＝0.60，解得x＝0.96.
设穿上y m高的高跟鞋看起来会更美，则＝0.618.
解得y≈0.075，而0.075 m＝7.5 cm.
故她应该穿约为7.5 cm高的高跟鞋看起来会更美.
易错提醒：要准确理解黄金分割的概念，较长线段的长是全段长的0.618. 注意此题中全段长是身高与高跟鞋鞋高之和.
如图，设AB是已知线段，在AB上作正方形ABCD；取AD的中点E，连接EB；延长DA至F，使EF=EB；以线段AF为边作正方形AFGH. 点H就是AB的黄金分割点.
解: 设AB=1,那么在 Rt△BAE 中，
于是
因此，点H就是AB的黄金分割点
【课外引入】1.大自然与黄金分割；
2.人体与黄金分割；
3.设计与黄金分割；
4.黄金分割的魅力
（三）课堂练习
1.已知线段AB，点P是它的黄金分割点，AP>BP，设以AP为边的正方形的面积为S1，以PB、AB为边的矩形面积为S2，则S1与S2的关系是（ ）
A．S1>S2 B．S1< S2 C．S1= S2 D．S1≥S2
2.如图所示，乐器上的一根弦AB=80 cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近A的黄金分割点，则AC=______cm，DC=_______cm.
3.点C是线段AB的黄金分割点，如果AB=4，求线段 AC的长度．
【答案】AC=4×0.618=2.472 或者 AC=4×(1-0.618)=1.528.
4.小明家搬进了新房，他买了一幅山水画，想挂到书房（书房高3 m），请你帮他设计一下，挂在多高能给人赏心悦目的感觉？
【答案】离地面的高度 h=3×0.618=1.854 m
5. 如图:在△ABC中，AB=AC, ∠BAC=36°， BD平分∠ABC交AC于点D, 求证：D是AC的黄金分割点.
证明：在等腰△ABC中，顶角∠A=36°，
所以∠ABC=∠C=72°，
∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
在△ACB和△BCD中，∠BDC=72°
∵∠C=∠C，∠A=∠CBD=36°，
∴△ACB∽△BCD，
∴AC：BC=BC：DC；
∵∠A=∠ABD，
∴AD=BD.
∵∠DBC=36°，∠C=72°，
∴∠BDC=72°，
∴BD=BC，
∴AD=BC，
∴AC：AD=AD：DC；
即点D是AC的黄金分割点．
（四）课堂小结
1．什么叫做黄金分割？黄金比是多少？
2．一条线段有几个黄金分割点？
3．如何说明一个点是一条线段的黄金分割点？
（五）作业布置
完成教材第98页习题
五、板书设计
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