初中数学北师大版九上教案4.7 第1课时相似三角形中的对应线段之比

4.7 相似三角形的性质
第1课时 相似三角形中的对应线段之比
一、教学目标
1.明确相似三角形中对应线段与相似比的关系.
2.能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题．
二、教学重难点
【重点】明确相似三角形中对应线段与相似比的关系.
【难点】能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题.
三、教学方法
讲授法，引导法，练习法　　　　　　　　　　　　　
四、教学过程
（一）新课导入
在前面我们学习了相似多边形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，相似三角形是相似多边形中的一种，因此三对对应角相等，三对对应边成比例.那么，在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们将进行研究相似三角形的其他性质.
（二）新课讲授
探究点一：相似三角形对应高的比等于相似比
如图4.7.1-1，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应高的比各是多少？
图4.7.1-1
解：分别作出 △ABC 和△A' B' C' 的高 AD 和 A' D' ．
则∠ADB =∠A' D' B'=90°.
∵△ABC ∽△A′B′C′，
∴∠B＝∠B' ，
∴△ABD ∽△A' B' D' .
∴
方法总结：利用相似三角形的性质：对应高的比等于相似比.
如图4.7.1-2，AD是△ABC的高，点P，Q
在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，
BC=60 cm，AD=40 cm，四边形PQRS是正方形.
(1)AE是△ASR的高吗？为什么？
(2) △ASR与△ABC相似吗？为什么？
(3)求正方形PQRS的边长.
图4.7.1-2
解：（1） AE是△ASR的高.
理由：
∵AD是△ABC的高
∴ ∠ADC=90°
∵四边形PQRS是正方形
∴SR∥BC
∴∠AER=∠ADC=90°
∴ AE是△ASR的高.
（2）△ASR与△ABC相似. 理由:
∵ SR∥BC
∴ ∠ASR=∠B, ∠ARS=∠C
∴ △ASR与△ABC相似.
（3）解：∵ △ASR ∽ △ABC
AE、AD分别是△ASR 和△ABC
对应边上的高
∴
设正方形PQRS的边长为 x cm,
则SR=DE=x cm,AE=(40-x) cm
∴ ，
解得：x=24
∴正方形PQRS的边长为24 cm.
探究点二：相似三角形对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比
两个相似三角形的两条对应边的长分别是6 cm和8 cm，如果它们对应的两条角平分线的和为42 cm，那么这两条角平分线的长分别是多少？
解：方法一：设其中较短的角平分线的长为x cm，则另一条角平分线的长为（42－x）cm.
根据题意，得＝.解得x＝18.
所以42－x＝42－18＝24（cm）.
方法二：设较短的角平分线长为x cm，则由相似性质有＝.解得x＝18.较长的角平分线长为24 cm.
故这两条角平分线的长分别为18 cm，24 cm.
方法总结：在利用相似三角形的性质解题时，一定要注意“对应”二字，只有对应线段的比才等于相似比，而相似比即为对应边的比，列比例式时，尽可能回避复杂方程的变形.
（三）课堂练习
1.两个相似三角形的相似比为, 则对应高的比为_________, 则对应中线的比为________.
2.相似三角形对应边的比为2∶3,那么对应角的角平分线的比为______.
3.两个相似三角形对应中线的比为，则对应高的比为______ .
4.已知△ABC∽△DEF，BG、EH分别是△ABC和△DEF的角平分线，BC=6 cm,EF=4 cm,BG=4.8 cm.求EH的长.
5.如图，AD是△ABC的高，AD=h, 点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E.当时，求DE的长.如果 呢？
（四）课堂小结
本节课主要根据相似三角形的性质和判定推导出了相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.
（五）作业布置
完成教材习题
五、板书设计
相似三角形中的对应线段之比：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.
4.7 相似三角形的性质
第1课时 相似三角形中的对应线段之比
一、1.做一做
2.议一议
3.例题讲解
二、课堂练习
三、课时小节
四、课后作业
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