初中数学北师大版八上教案2.7.1二次根式及其化简

2.7.1 二次根式及其化简
一、教学目标
阅读教材，了解二次根式的定义及最简二次根式;
运用二次根式有意义的条件解决相关问题;
会化简二次根式.
二、教学重难点
【重点】了解二次根式的定义及最简二次根式.
【难点】运用二次根式有意义的条件解决相关问题并正确化简二次根式.
三、教学方法
引导探索法
四、教学过程
（一）复习导入
内容：问题1 什么叫做平方根
问题2 什么叫做算术平方根
问题3 什么数有算术平方根
思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？
(1)如图1的海报为正方形，若面积为2m2,则边长为_____m；若面积为S m2，则边长为_____m．
(2)如图2的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为6m2，则它的宽为_____m．
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，那么t为_____．
追问: 问题1 这些式子分别表示什么意义？
问题2 这些式子有什么共同特征？
归纳总结
一般地，我们把形如的式子叫做二次根式. “”称为二次根号.
注意：a可以是数，也可以是式.
意图：通过层层设问，让学生回忆并熟悉之前所学，快速进入学习状态，通过解决实际问题，激发学生学习热情.
效果：快速熟悉旧知，引入新课.
（二）新课讲授
探究活动一
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
例2 当x是怎样的实数时, 在实数范围内有意义
【变式题1】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
总结归纳：要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.
【变式题2】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
总结归纳：被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
练一练
1.下列各式：
一定是二次根式的个数有（ ）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
2.(1)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______;
(2)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________.
意图：通过例题和变式，让学生掌握二次根式有意义的条件.
效果：学生明确二次根式有意义的条件，并根据不同类型题目，找到做题方法，并在练一练环节中得到加强，教师可以在这里选择题目并讲解.
例3 若 ，求a -b+c的值.
总结：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
意图：通过例题的综合训练，让学生对二次根式有意义的条件加深理解，并解决问题.
效果：学生明确二次根式有意义的条件，并根据不同类型题目，找到做题方法，并
探究活动二
填一填 通过填空发现规律
总结归纳：积的算术平方根等于算术平方根的积（a≥0，b≥0）
商的算术平方根等于算术平方根的商（a≥0， b＞0）．
例5：化简
（1）；（2） ；（3） .
（教师板演并讲解）
总结归纳：
最简二次根式：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式.
强调：被开方数或式子，分母等词语
例6、7：化简的目的在于巩固所学，教师可以有选择的选用问题.其中例7的第三问需要重点讲解.
（教师板演解题过程）
总结归纳
最简二次根式的条件：
①是二次根式；
②被开方数中不含分母；
③被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式.
意图：通过例题的综合训练，让学生对二次根式化简理解，学会判断并化简二次根式，解决问题，这是一个重点也是一个难点.
效果：学生学习判断二次根式是否是最简二次根式，并学会化简，并根据不同类型题目，找到做题方法，教师可以在这里选择题目并讲解.
（三）课堂练习
1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2.式子有意义的条件是 （ ）
A.x＞2 B.x≥2 C.x＜2 D.x≤2
3.若 是整数，则自然数n的值有 （ ）
A.7个 B.8个 C.9个 D.10个
4.当x________， 在实数范围内有意义．
5.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
6.(1)若二次根式有意义，求m的取值范围．
(2)无论x取任何实数，代数式都有意义，求m的取值范围．
意图：练习题是本节课的综合运用，意在巩固基础知识，教师可根据实际情况选用试题.
效果：培养学以致用.
（四）课堂小结
内容：
教师提问：
1.这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？
2.对这些内容你有什么体会？与同伴进行交流.
在学生自由发言的基础上，师生共同总结：
1.知识: 二次根式有意义的条件和最简二次根式及化简.
2.方法：
3.思想：
意图：鼓励学生积极大胆发言，可增进师生、生生之间的交流、互动.
效果：通过畅谈收获和体会，意在培养学生口头表达和交流的能力，增强不断反思总结的意识.
（五）作业布置
内容：布置作业：1.完成习题2.9 1、2、3题
意图： 1是为了扩展基础知识而设计； 2是为了巩固基础，完成学习目标.
效果：学生进一步加强对本课知识的理解和掌握.
五、板书设计
二次根式有意义
最简二次根式判断
化为最简二次根式
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