课件40张PPT。2019/3/141第九章直线、平面、简单几何体1.平面的表示方法2019年3月14日星期四9.1平面的基本性质2019/3/142教学目的：2019/3/143复习引入 2019/3/144复习引入 …………2019/3/145复习引入 平静的湖面、海平面、……，真的很平吗？ 2019/3/146回 顾平面几何研究的对象、内容是什么？对象是平面图形；
内容是平面图形的画法、形状、位置关系、大小计算及应用。2019/3/147立体几何研究的对象、内容是什么？ 对象是空间图形（由空间的点、线、面组成的图形，也可以看成空间点的集合）
内容是空间图形的画法、形状、位置关系、大小计算及应用．是平面几何的推广与发展．2019/3/1482019/3/149平面图形2019/3/14102019/3/14112019/3/14122019/3/1413讲解新课 1．平面的两个特征：
①无限延展 ②平的（没有厚度） 常见的桌面，黑板面，平静的水面等都是平面的局部形象. 2019/3/14142．平面的画法：
通常画平行四边形来表示平面 讲解新课 (1)一个平面：水平放置和直立； 当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45°，横边画成邻边的2倍长，如图三、平面的表示法平面AC或平面BD
或平面ABCD平面αα? 平面 ? ABC平面ABC2019/3/1416讲解新课 (2) 直线与平面相交，如图 2019/3/1417讲解新课 （3）两个相交平面：
画两个相交平面时，若一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画2019/3/14183.平面的画法及其表示方法：讲解新课 ①在空间几何中，常用平行四边形表示平面.
当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成45°，横边画成邻边的两倍.
画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画.2019/3/14194.空间图形是由点、线、面组成的 讲解新课 规定：
直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示，
点用一个大写的英文字母表示，
平面则用一个小写的希腊字母表示.2019/3/1420点A 在平面a内，点B 在平面a外，点Ｐ在直线l上，点Q不 在直线l上，PQ四、点、线、平面之间的关系的符号表示（用集合语言描述）2019/3/1421直线L在平面a 内,表示为：直线a与b 相交于点A,表示为：（不在呢？）2019/3/1422表示为：直线 L 在平面 a 之外(II)(I)2019/3/1423表示为：2019/3/1424总结:点、线、面的基本关系：②点A在平面α内点A不在平面α内①点A在直线 ?上点A不在直线 ?上③直线?在平面α内直线?不在平面α内④直线?与直线m相交于点A⑤直线?与平面α相交于点A⑥平面α与平面β相交于直线?2019/3/1425讲解新课 2019/3/1426讲解新课 直线与平面无公共点或相交于一点统称为直线在平面外！2019/3/1427讲解新课 虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言.2019/3/1428讲解新课 5.平面图形与空间图形的概念 如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图形，否则称为空间图形 . 如：三角形、梯形、平行四边形都是平面图形；三棱锥为空间图形 .ABCDC′2019/3/1429讲解范例 例1 将下列符号语言转化为图形语言： 说明：画图的顺序：先画大件（平面），再画小件（点、线） 2019/3/1430例2 将下列文字语言转化为符号语言：讲解范例 解： 2019/3/1431讲解范例 2019/3/1432课堂练习： 1．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”
（1）可画一个平面，使它的长为4cm，宽为2cm． （ ）
（2）一条直线把它所在的平面分成两部分，一个平面把空间分成两部分． （ ）
（3）一个平面的面积为20 cm2． （ ）
（4）经过面内任意两点的直线，若直线上各点都在这个面内，那么这个面是平面． （ ）× × √ √ 2019/3/1433课堂练习： 2．观察（1）、（2）、（3）三个图形，模型说明它们的位置关系有什么不同，并用字母表示各个平面．2019/3/1434课堂练习： 3．如图所示，用符号表示以下各概念：
①点A、B在直线a上 ；
②直线a在平面?内 ；
点C在平面?内 ；
③点D不在平面?内 ；
直线b不在平面?内 ．2019/3/14352019/3/14362019/3/14372019/3/1438课堂练习： 3．如图所示，用符号表示以下各概念：
①点A、B在直线a上 ；
②直线a在平面?内 ；
点C在平面?内 ；
③点D不在平面?内 ；
直线b不在平面?内 ．2019/3/1439小结 ：平面的概念；
平面的画法、表示方法及两个平面相交的画法；点、直线、平面间基本关系的文字语言，图形语言和符号语言之间关系的转换. 2019/3/1440 本讲到此结束，请同学们课后再做好复习.谢谢！再见！作业： 预习三个公理课件38张PPT。2019/3/141第九章直线、平面、简单几何体2.平面的基本性质2019年3月14日星期四9.1平面的基本性质2019/3/142教学目的：2019/3/1431．平面的两个特征：
①无限延展 ②平的（没有厚度）复习回顾 2．平面的画法：
通常画平行四边形来表示平面 3. 直线与平面相交，如图 2019/3/144直线L在平面a 内,表示为：直线a与b 相交于点A,表示为：表示为：直线L与平面相交于点A,2019/3/1454.两个相交平面：
画两个相交平面时，若一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画复习回顾 2019/3/1465.平面的表示方法：复习回顾 ①2019/3/147复习回顾 2019/3/148直线与平面无公共点或相交于一点统称为直线在平面外！复习回顾 2019/3/1496.平面图形与空间图形的概念 如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图形，否则称为空间图形 . 如：三角形、梯形、平行四边形都是平面图形；三棱锥为空间图形 .ABCDC′复习回顾 2019/3/1410 1．正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面所在平面 ，分别记作 ，试用适当的符号填空． 平面的基本性质练习（6）平面A1C1CA∩平面D1B1BD=A1B1C1D1O1ABCDOoo1平面的基本性质练习 2．根据下列符号表示的语句，说出有关点、线、面的关系，并画出图形．2019/3/1412讲解新课 平面的基本性质BAa观察图形……CD公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内 .推理模式： 2019/3/1413讲解新课 平面的基本性质BAaCD公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内 .应用： 这条公理是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面. 如泥瓦工用直的木条刮平地面上的水泥浆 2019/3/1414反之,若一条直线 l 在平面α内,则直线上的所有点均在此平面α内公理1应用(2)证明点在平面内;(1)证明直线在平面内.平面的基本性质
公理1检验物体表面的平整度
2019/3/1415讲解新课 观察图形……βA公理2 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其它公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线 .平面的基本性质推理模式： 2019/3/1416讲解新课 βA公理2 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其它公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线 .平面的基本性质应用： ①确定两相交平面的交线位置；
②判定点在直线上 公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法. 指出:今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线) 2019/3/1417文字语言：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是一条直线 ；
符号语言：
图形语言：公理2应用(1)判定两个平面的相交;(2)证明点在直线上(如证三线共点或三点共线);公理22019/3/1418若两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做这两个平面的交线.用图形表示两个相交平面时，应注意些什么？2019/3/1419两个相交平面的常见画法：α?aα?a平卧式竖式2019/3/1420讲解范例 例1∵E∈AB,H∈AD过一点可以做几条直线？两点呢？过空间中一点可以做几个平面？两点呢？三点呢？2019/3/1422讲解新课 观察图形……ABCβ公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面. 平面的基本性质推理模式： 2019/3/1423讲解新课 ABCβ公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面. 平面的基本性质应用： ①确定平面；②证明两个平面重合 “有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性 .2019/3/1424文字语言：经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面 ；
符号语言：
图形语言：公理3应用(1)确定平面的依据;(2)证明有关点、线共面.公理3A、B、C三点不共线?确定平面ABC2019/3/1425讲解新课 “有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性 . 在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词. 因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．2019/3/1426课堂练习: 2019/3/1427课堂练习: 2019/3/14282019/3/1429讲解范例 解： (1)(1)2019/3/1430讲解范例 作图： NM(1)(2)2019/3/1431讲解范例 例3 求证:三角形是平面图形. 已知：三角形ABC求证：三角形ABC是平面图形证明：∵三角形ABC的顶点A、B、C不共线α∴三角形ABC上的每一个点都在同一个平面内
∴三角形ABC是平面图形 .2019/3/14322019/3/14332个平面分空间有两种情况：两个平面把空间分成3或4个部分。（1）两平面没有公共点时（2）两平面有公共点时2019/3/14343个平面（2）（3）（4）（5）3个平面把空间分成4，6，7或8个部分。2019/3/1435作图： C′ M A′ D′ S T NPQABCDA1B1C1D1思考题： 进入小结2019/3/1436小结 ： 平面的基本性质是研究空间图形性质的理论基础，也是以后演绎推理的逻辑依据． 本课主要的学习内容是平面的基本性质，三条公理中公理1用于判定直线是否在平面内，公理2用于判定两平面相交，公理3是确定平面的依据．“确定一个平面”与“有且只有一个平面”是同义词．“有”即“存在”，“只有一个”即“唯一”．所以证明有关“有且只有一个”语句的命题时，要证两方面——存在性和唯一性．2019/3/1437平面的基本性质公理1: 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。公理2:如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点,这些公共点的集合是一条直线。 公理3:经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面。推论1:经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面。推论2: 经过两条相交直线有且只有一个平面。 推论3:经过两条平行直线有且只有一个平面。基本题型证明线共点：先确定两条直线交点，再证交点在第三条直线上。证明点共线：证明这些点同时在两相交平面内证明点共面或线共面：先由一些元素确定一个平面，再证另一些元素也在这个平面内。2019/3/1438 本讲到此结束，请同学们课后再做好复习.谢谢！再见！作业： P11 习题9.1 1～4课件22张PPT。2019/3/141第九章直线、平面、简单几何体4.空间图形在平面内的表示方法2019年3月14日星期四9.1平面的基本性质2019/3/142平面的基本性质BAa公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内 .推理模式： 复习回顾 2019/3/143反之,若一条直线 l 在平面α内,则直线上的所有点均在此平面α内公理1应用(2)证明点在平面内;(1)证明直线在平面内.公理1检验物体表面的平整度
2019/3/1441.证明点在平面内例1.已知三角形ABC中，点A在平面α内，BC的中点M在平面α内，问：三角形ABC的重心 G是否也在平面α内？BC2019/3/145βA公理2 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其它公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线 .推理模式： 复习回顾 ①确定两相交平面的交线位置；
②判定点在直线上 应用： 2019/3/146文字语言：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是一条直线 ；
符号语言：
图形语言：公理2应用(1)判定两个平面的相交;(2)证明点在直线上(如证三线共点或三点共线);公理22019/3/147ABC公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面. 推理模式： 应用： ①确定平面；②证明两个平面重合 复习回顾 2019/3/148推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面. 推理模式：推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面 推理模式： 推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面 .推理模式： 复习回顾 l2019/3/1491.如何将一个直立放置的平面图形画在纸上?2.将一个水平放置的平面图形画在纸上,怎样画才有立体感呢?讲解新课 2019/3/1410问题:(1) 太阳光线（假定太阳光线是平行的）把一个长方形形状的窗框投射到地板上，变成了什么图形？2019/3/1411 (2) 上述窗框的投影图形与原窗框图比较，哪些几何关系或几何量发生了变化？哪些没有发生变化？AB’A’BMM’PP’讲解新课 2019/3/1412直观图: 表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图.如何画空间图形的直观图?空间图形直观图的画法斜二测画法讲解新课 2019/3/1413例1 画水平放置的正六边形的直观图.一、平面图形的直观图的画法.四个步骤：取轴、画轴、平行性、长度.空间图形直观图的画法斜二测画法讲解新课 2019/3/1414二、怎样画立体图形的直观图？例2 画棱长为2cm的正方体的直观图.2019/3/1415上述画直观图的方法叫做斜二测画法，规则如下：(2)画直观图时，把它们画成对应的 o’x’、o’y’、 o’ z’ ，使∠x’o’y’= 45 °(或135°), ∠x’o’z’= 90 °. x’o’y’所确定的平面表示水平平面；(1)在已知图形中取水平平面，取互相垂直的轴ox、oy，再取oz轴，使 ∠ xoz=90° 且∠ yoz=90 °；(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x’轴，y’轴，z’轴的线段；(4)已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半.四个步骤：取轴、画轴、平行性、长度.2019/3/1416练习1：下列说法是否正确？ （1）水平放置的正方形的直观图可能是梯形.（2） 两条相交直线的直观图可能平行. (3) 互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直.（×）（×）（×） （4）等腰三角形的水平放置的直观图仍是等腰三角形.（×）课堂练习： 2019/3/1417B课堂练习： 2019/3/1418C课堂练习： 2019/3/1419D课堂练习： 2019/3/1420练习5 右图是ΔABC利用斜二测画法得到的水平放置的直观图ΔA‘B‘C’，其中A‘B’∥y’轴，B‘C’∥x‘轴，若ΔA‘B‘C’的面积是3，则ΔABC的面积是（ ） 练习6 水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高为原三角形高的一半的三角形.（×）haah=6c’ 2c’a2019/3/1421小结 ：四个步骤：取轴、画轴、平行性、长度.空间图形直观图的画法斜二测画法∠x’o’y’= 45 °(或135°),平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半.2019/3/1422 本讲到此结束，请同学们课后再做好复习.谢谢！再见！作业： P11 习题9.1 8～9预习9.2---空间的平行直线和异面直线课件41张PPT。9.1平面的基本性质（2）学习目标理解掌握平面的三个基本公理及其推论
会运用基本公里及推论进行简单的几何证明。
会运用公理证明共面问题。复习提问１、平面的特征是怎样的？
２、试用数学符号表示下列命题：
（１）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
（２）如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．
平面的基本性质如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线上所有的点都在这个平面内． 公理1:AB公理1的用途:①判定直线是否在平面内②检查直线是否直,平面是否平③判定直线上的点在不在平面内公理1mpeg.avi 公理2:如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线． 公理2的用途:①判定两个平面是否相交②判定点共线、线共点③寻找两个平面交线公理2mpeg.avi经过不在同一条直线上的三点， 有且只有一个平面。 公理3:公理3mpeg.avi平面的基本性质 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，
那么这条直线上的所有点都在这个平面内。公理2:如果两个平面有一个公共点，那么它们
还有其他公共点,这些公共点的集合是一条直线。 公理3:经过不在同一条直线上的三点有且只有
一个平面。(即不共线的三点确定一平面)推论1: 推论1mpeg.avi 推论1: 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面 求证：过点A和直线a可以确定一个平面 所以经过点A和直线a有且只有一个平面 唯一性: 如果经过点A和直线a的平面还有一个平面β，那么A∈β， B ∈ β，C ∈ β因为A∈α, B∈α，C∈α， (公理1)故不共线的三点A，B，C既在平面α内又在平面β内.所以平面α和平面β重合.(公理3)推论2: 经过两条相交直线有且只有一个 平面。ABC推论2mpeg.avi推论2:经过两条相交直线，有且只有一个平面 证明：设直线a、b相交于点C,在a、b上分别取不同于点C
的点A和点B，点A，B，C是不在同一条直线上的三点（否
则与a、b为两条相交直线矛盾）
由公理3，过A、B、C三点有且只有一个平面α，
因为a、b各有两点在平面α内，
所以直线a、b在α内，因此过直线a、b有平面α。
因为点A、B、C分别在直线a、b上，
所以它们在过a、b的平面内。
由由公理3，过A、B、C三点的平面只有一个，过直线a、b的平面只有一个。怎样用两根拉紧的细线来检验桌子的四条腿的底端是否共面？ 推论3:经过两条平行直线有且只有一个平面。C推论3mpeg.avi推论3:经过两条平行直线，有且只有一个平面 证明：设直线a、b满足a平行于b ，由平行线的定义，直线a、b在同一平面内，这就是说，过直线a、b有平
面α。
设点A为直线a上任一点，则点A在直线b外，点A
和直线b在过直线a、b的平面α内，由公理3的推论1，过点A和直线b的平面只有一个。过直线a、b的平面只
有一个。(1)如果空间几个点或几条直线都在同一平面内,那么我们就说它们共面.(2)如果构成图形的所有点都在同一平面内,这个图形叫做平面图形.(3)如果构成图形的点不都在同一平面内,这种图形叫做立体图形.(4)我们在初中学过的平面图形的某些性质,例如全等、平行、相似等，对空间里的平面图形仍然成立。注:平面的基本性质公理1: 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。公理2:如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点,这些公共点的集合是一条直线。 公理3:经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面。推论1:经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面。推论2: 经过两条相交直线有且只有一个平面。 推论3:经过两条平行直线有且只有一个平面。基本题型证明三线共点：先确定两条直线交点，再证交点在第三条直线上。证明点共线：证明这些点同时在两相交平面内证明点共面或线共面：先由一些元素确定一个平面，再证另一些元素也在这个平面内。例1?直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C，判断这三条直线是否共面，并说明理由。(如图) 解：这三条直线共面，因为直线AB和直线AC相交于点A，所以直线AB和AC确定一个 平面α.(推论2)因为B∈AB，C∈AC，所以B∈α，C∈α，故BC α (公理1)因此直线AB，BC，CA都在平面α内，即它们共面.例题讲解 1、选择题:（１)两个平面的公共点的个数可能有......( )（２)三个平面两两相交,则它们交线的条数……( )（A）0 （B）1 （C）2 （D）０或无数（A)最多4条最少3条 （B）最多3条最少1条
（C)最多3条最少2条 （D）最多2条最少1条 DB 反馈练习2、下列各个条件中，可以确定一个平面的是( )
A.三个点 B.两条不重合的直线
C.一个点和一条直线 D.不共点的两两相交的三条直线反馈练习 3、填空题:看看答案吧361.三个公理的符号表示及其作用
2.公理3的三个推论：
推论1? 经过一条直线和这条直线外的一点，有且
只有一个平面
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面
3.公理3及其三个推论的作用是确定平面
4.证明若干个点、线共面的方法．
(先证其中某些点、线确定一个平面,再证剩余点、线落在此平面内)【小结】（3）三条直线两两相交，由这三条直线所确定平面的个数是（? ）
A．1??????? B．2??????? C．3???????? D．1或33条直线相交于一点时： 三条直线相交于一点,用其中的两条确定平面,最多可以确定3个。(1)3条直线共面时(2)每2条直线确定
一平面时4条直线相交于一点时： 三条直线相交于一点,用其中的两条确定平面,最多可以确定6个。(1)4条直线 全共面时(2)有3条直线共面时(3)每2条直线都确定一平面时2个平面分空间有两种情况：两个平面把空间分成3或4个部分。(1)两平面没有公共点时(2)两平面有公共点时3个平面（2）（3）（4）（5）3个平面把空间分成4，6，7或8个部分。平面的基本性质公理1: 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。公理2:如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点,这些公共点的集合是一条直线。 公理3:经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面。推论1:经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面。推论2: 经过两条相交直线有且只有一个平面。 推论3:经过两条平行直线有且只有一个平面。基本题型证明线共点：先确定两条直线交点，再证交点在第三条直线上。证明点共线：证明这些点同时在两相交平面内证明点共面或线共面：先由一些元素确定一个平面，再证另一些元素也在这个平面内。一、共线问题：证明三点共线的方法：
[1]先由两点确定一条直线，然后证明另一个点也在此直线上；
[2]证明三点在两平面的交线上；证明三线共点的方法：
证明两直线的交点在第三直线上，而第三直线又
往往是两平面的交线二、共点问题：MNaAbcBCl三、共面问题：例5：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
画出过M、N、P三点的截面。ADCBA1B1C1D1MPN四、画平面交线问题：ADCA1B1C1D1PNMBADCA1B1C1D1BNMP 例8、如图，正方体的棱长为4，M、N分别是A1B1和CC1的中点，设平面DMN与棱B1C1相交P点，求线段PN的长.1.三个公理的符号表示及其作用
2.公理3的三个推论：
推论1? 经过一条直线和这条直线外的一点，有且
只有一个平面
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面
3.公理3及其三个推论的作用是确定平面
4.证明若干个点、线共面的方法．
(先证其中某些点、线确定一个平面,再证剩余点、线落在此平面内)【小结】 预习提纲空间中的三点共线如何证明？
空间中的三线共点问题又如何叙述呢？
