九年级数学上册（北师大版） 4.7 相似三角形的性质（同步课件）(共24张PPT)

(共24张PPT)
第四章 图形的相似
4.7 相似三角形的性质
学习目标
1）理解并掌握相似三角形对应高、角平分线、中线的比都等于相似比，
相似三角形对应线段的比等于相似比.
2）理解并掌握相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
3）利用相似三角形的性质解决简单的问题.
重点
利用相似三角形的性质解决简单的问题.
难点
相似三角形性质与判定的综合应用.
【提问1】什么叫做相似三角形？
【提问2】相似三角形的判定方法有哪些？
【提问3】你知道相似三角形的性质有哪些？
三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.
三角形相似判定定理1：
两角分别相等的两个三角形相似.
三角形相似判定定理2：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
三角形相似判定定理3：
三边成比例的两个三角形相似.
对应角相等、对应边成比例
如图，小王依据图纸上的△ABC，以1：2的比例建造了模型房梁△A’B’C’，CD和C’D’分别是它们的立柱。
1)△ABC与△A’B’C’的对应边之间的关系，对应角之间的关系.
∠A=A’, ∠B=B’, ∠ACB=∠A’C’B’
如图，小王依据图纸上的△ABC，以1：2的比例建造了模型房梁△A’B’C’，CD和C’D’分别是它们的立柱。
2)△ACD与△A’C’D’相似吗？为什么？如果相似，它们的相似比是多少.你发现了什么？
解：∵
∴∠A=∠A’（相似三角形对应角相等）
而∠ADC=∠ADC=90°
∴ （两个角对应相等的两个三角形全等）
∴ =
相似三角形对应高的比等于相似比
如图，小王依据图纸上的△ABC，以1：2的比例建造了模型房梁△A’B’C’，CD和C’D’分别是它们的立柱。
3) 如果CD=1.5cm，那么模型房的房梁立柱有多高？
4）由此你发现相似三角形还有哪些性质？
∵ =
A
B
C
D
A’
B’
C’
D’
解：∵
∴∠B=∠B’， =k
而
∴ ∴ 而∠B=∠B’
∴
∴ =k
相似三角形对应中线的比等于相似比.
A
B
C
D
A’
B’
C’
D’
解：∵ ∴∠B=∠B’，∠A=∠A’
而
∴ BAC, BAC’
∴ = ∴
∴ =k
相似三角形对应角平分线的比等于相似比.
如图，已知△ABC∽△A’B’C’，△ABC∽△A’B’C’的相似为k，点D,E在BC边上，点D’,E’在B’C’边上
1）若∠BAD=∠BAC,∠B′A′D′= ∠B′A′C′,则等于多少？
∵△ABC ∽△A′B′C′
∴∠B＝∠B' ∠BAC＝∠B' A’C’ ==
∵∠BAD＝ ∠BCA ∠B'A'D'= ∠B′C′A′
∴∠BAD＝∠B'A’D’
∴△ABD ∽△A' B' D’ ∴ =
∴ = =k
如图，已知△ABC∽△A’B’C’，△ABC∽△A’B’C’的相似为k，点D,E在BC边上，点D’,E’在B’C’边上
2)若 D= , ’D’= ’ ’,则等于多少？
∵△ABC ∽△A′B′C′ ∴∠B＝∠B' =
∴BD= BC,B’D’= B’C’
∴ = ∴△ABE ∽△A' B' E' .
∴ ==k
相似三角形的性质：
1）对应角相等，对应边成比例.
2）相似三角形对应高的比，对应角平分线的比，对应中线的比都等于相似比.
例1 如图,AD是△ABC的高， AD=h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E。当SR=BC时，求DE长.
1）∵SR AD,BC AD,∴RS∥BC
∴∠ASR=∠B，∠ARS=∠C
∴△ASR∽△ABC. ∴ = 而SR=BC
∴AE=DE=
例1 如图,AD是△ABC的高， AD=h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E。当SR=BC时，求DE长.
2）∵SR AD,BC AD,∴RS∥BC
∴∠ASR=∠B，∠ARS=∠C
∴△ASR∽△ABC. ∴ = 而SR=BC
∴AE=DE=
1．已知，且相似比为，则与的对应高之比为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，经过的重心，点是的中点，过点作交于点，若，则线段GE的长为（　　）
A．6 B．4 C．5 D．3
【详解】解：∵经过的重心，∴点D是BC中点，
∵BC=12，∴CD=BD=6，
∵GE∥BC，∴△AGE∽△ADC，
∵点E是AC中点，∴，即，
解得：GE=3，故选D.
∵
∴ =k
由等比性质，得
相似三角形对应周长的比等于相似比。
解：∵
∴ =k ∴BC=kB’C’，AD=kA’D’
则 =
相似三角形的性质
对应高的比等于相似比
对应中线的比等于相似比
对应角平分线的比等于相似比
相似三角形对应线段的比等于相似比
对应周长的比等于相似比
对应面积的比等于相似比的平方
例2 相似三角形对应边的比为1∶3,那么相似比为_________,
对应角平分线的比为______，对应高的比为_________，对应中线的比为______，
对应周长的比为__________，对应面积的比为_________.
1∶9
1∶3
1∶3
1∶3
1∶3
1∶3
1 把一个三角形变成和它相似的三角形，
1）如果边长扩大为原来的5倍，那么面积扩大为原来的__________倍。
2）如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为原来的__________倍。
3）如果边长缩小到原来的一半，那么面积缩小为原来的__________。
2 若与相似且对应中线之比为，则周长之比和面积比分别是_________、____________.
25
10
2∶5
4∶25
3．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1
4．如图，在中，，BC=4，为边上的一点，且．若的面积为，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
【详解】∵，，∴，
∴，即，解得，的面积为，
∴的面积为：，故选C．
【详解】解：∵两相似三角形的对应中线的比是2:3，
∴两相似三角形的相似比是2:3，
∴两相似三角形的面积比是4:9，
∵较大的三角形的面积为27，
∴较小的三角形的面积为：，
故答案为：12．
5．已知两相似三角形的对应中线的比是2：3，其中较大的三角形的面积为27，则较小的三角形的面积是______．
6．如图，D是△ABC的边AB上一点，∠B=∠ACD，AC=2，△ACD与△BDC面积之比为2：1，则AD的长为___________
【详解】解：∵∠ACD=∠B，∠CAD=∠BAC， ∴．
∵△ACD与△BDC的面积之比为2：1， ∴△ACD与△ABC的面积之比为2：3，
∴ ∵AC=2， ∴．
7．已知，△ABC和△DEF中，，△ABC的周长为80厘米，求△DEF的周长．
解：，，，
∵△ABC的周长为80厘米，
∴（厘米），
答：△DEF的周长是60厘米