2.2基本不等式 课件（共30张PPT）

(共30张PPT)
2.2基本不等式
一
二
三
教学目标
掌握基本不等式，了解基本不等式的证明过程
理解基本不等式的取最值成立条件
（一正二定三相等）
利用基本不等式解决简单的最值问题
教学目标
难点
重点
易错点
复习导入
重要不等式：一般地，
当且仅当a=b时，等号成立
特别地，如果a>0,b>0,我们用,,可得
当且仅当a=b时，等号成立
当通常把上式称为基本不等式
说明：两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数
复习导入
当且仅当a=b时，等号成立
说明：两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数
算数平均数
几何平均数
我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用。那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？本节就来研究这个问题。
新课讲授
新课讲授
通常称不等式(1)为基本不等式，其中，叫做正数a，b的算术平均数，正数a，b的几何平均数。
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
即：
基本不等式的证明
作差比较法）
基本不等式的几何解释
A
B
C
D
E
a
b
O
如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.
②如何用a, b表示CD CD=______
①如何用a, b表示OD OD=______
③OD与CD的大小关系怎样 OD_____CD
≥
几何意义：半径不小于半弦长
当点C在什么位置时OD=CD？
此时a与b的关系是？
例1 若 ,求 的最小值.
积定问题
例2 已知x ，y都是正数，求证：
如果积xy 等于定值P，那么当x =y时，和 x +y有最小值 ；
证明：
和定问题
例2 已知x ，y都是正数，求证：
如果和 x +y等于定值S，那么当x =y时，积xy有最大值 .
证明：
归纳：
利用基本不等式求积的最大值或求和的最小值时，需满足
(1)a，b必须是正数.（一正）
(2)在a+b为定值时，便可以知道ab的最大值；
在ab为定值时，便可以知道a+b的最值. （二定）
(3)当且仅当a=b时，等式成立（三相等）
【例题】用篱笆围成一个面积为100平方米的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用的篱笆最少，最短长度是多少？
【解】由题意设篱笆的长和宽分别为米，且
所以米
当且仅当米，即围成正方形时，有最短长度40米
基本不等式的实际应用
【例题】用一段长为36米的铁丝网围成一个矩形菜园，当这个矩形的长和宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
【解】由题意设篱笆的长和宽分别为米，且
所以为平方米，根据基本不等式，
，即
当且仅当，即围成正方形时，有最大面积81平方米.
基本不等式的实际应用
【例题】某工厂要建造一个长方体形状的无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深为3米.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池才能使总造价最低？最低造价是多少？
【解】设水池底面的长和宽分别为米，且，总造价元，
根据题意，有
因为容积为，所以，，
当且仅当米时，取得最低总造价
元
，
基本不等式的实际应用
课堂练习
2．（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？
答：当这两个正数均为6时，它们的和最小。
2．（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？
答：当这两个正数均为96时，它们的积最大。
3．某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米的造价为1 200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5 800元．如果墙高为3 m，且不计屋脊面和地面的费用，那么怎样设计房屋使总造价最低？最低总造价是多少？
当3600y=4800x,即x=6, y=8时，z有最小值，最低造价为63400元。
6．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费y1（单位：元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比，每月库存货物费用y2（单位：元）与x成正比；若在距离车站10 km处建仓库，则y1和y2分别为2万元和8万元．这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？
所以仓库应建在距离车站5 km处，才能使两项费用之和最小，最小费用为8万元．
7．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10 g黄金，售货员先将5 g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5 g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金是小于10 g，等于10 g，还是大于10 g？为什么？
1.两个不等式
适用范围
文字叙述
“=”成立条件
a=b
a=b
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
两数的平方和不小于它们积的2倍
a,b∈R
a>0,b>0
①各项皆为正数；
②和或积为定值；
③注意等号成立的条件.
一“正”
二“定”
三“相等”
2.利用基本不等式求最值时，要注意：
同学们再见！
Goodbye Students！